中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
第 第 1 1 章 函数与极 章 函数与极 限 限
高等数学 A
1.5 极限存在准则 两个重要极 限
1.5.1
夹逼原理
1.5.2单调有界准则
1.5.3 Cauchy收敛准则
1.5.4两个重要极限
1.5 极限存在准则 两个重要极限
1.5.3 Cauchy
收敛准则
1.5.1夹逼原理
极 限 存 在 准 则 两 个 重 要 极 限
Cauchy 收敛准则 应用习例
夹逼原理
应用习例 1-4
单调有界准则 应用习例 5
1.5.4
两个重要极限
1.5.2单调有界准则
应用习例 6-
0 11
limsin 1
x
x x
重要极限
重要极限 lim 1 1
x
x e
x
应用习例 12- 16
在给定的变化过程中,如果
f(x),g(x),h(x)满足
), (
) ( )
( , 0
0, 0 0
0 x x g x f x h x
当 时
设
A x
h x
g( ) lim ( ) lim
) 2 (
. )
( lim
f x A
则
证明
:不失一般性
,考虑极限过程
x x0., )
( lim
) ( lim
0 0
A x
h x
g x x
x
x
,
0
1 0,
当
0 x x0 1时
,有
g(x) A , .) (
A g x A
即
, )
(x A
有
h一、夹逼原理
定理
1(夹逼原理
-准则
I)
) ( )
( )
( ) 1
( g x f x h x
, 0
0, 0 2
2
当
时
x x
. )
(
A h x A
即
}.
, ,
min{1 2 0
取 当
0 x x0 时
, , )( )
( )
(
g x f x h x A
有
A. )
(x A
即
f. )
( lim
0
A x
x f
x
极限过程为 同理可证。 x x0, x x0, x , x , x
定理
2如果数列
xn, yn, zn满足
) ,
2 , 1 (
)
1
( yn xn zn n a
z
y n
n n
n
lim
lim )
2 (
. lim xn a
n
则
注意
:.
,
的极限是容易求的
与 并且
与 键是构造出
利用夹逼准则求极限关
n n
n n
z y
z y
准则
I和准则
I'称为夹逼准则
.夹逼准则应用习例
1 ).
2 ...
1 ( 1
lim
1.
2 2 2
n n nn n
n
求
例
1 ).
2 ...
1 1
( 1 lim
2.
2 2 2n n
n n
n
求
例
. 1 lim
3.
n
n n
证明 例
, ,
0 ,
, ,
.
4 设
1 2为正整数
例 a a a
k k
} ,
, ,
max{
lim
n 1n 2n kn 1 2 k
n a a a a a a
证证
1 ).
2 ...
1 ( 1
lim
1. 2 2 2
n n n
n n
n
求
例
解
:1 ) 2
1
( 21 2 2
n n n
n n
n n
n
2 2
2 2
n n
, 1 lim
2 2
n n n
又
n lim 2 1.2
n n
n
由夹逼准则得
. 1 1 )
2 ...
1 ( 1
lim 2 2 2
n n n n n
n
1 ).
2 ...
1 1
( 1 lim
2. 2 2 2
n n
n n
n
求
例
解:
1 )2 1 1
( 21 2 2
n n
n
n
n n
n
2
2 1
n n
, 0 lim
2
n n n
又
n 0.lim 2 1
n n
n
由夹逼准则得
. 0 1 )
2 ...
1 1
( 1
lim 2 2 2
n n n n
n
. 1 lim
3.
n
n n
证明 例
证明: 当
n 1时
,n n 1.), 0 (
1
n n n
n n h h
记
an n
h n (1 )
则有
n n n hn hnnnh
2
! 2
) 1
1 ( 2
2
) 1 (
hn
n n
1,
0 2 2
hn n ,
1 0 2
hn n 1,
1 2 1
1
h n
an n
于是有
1,1 1 2
lim
n
而
n. 1
lim
n
n n
类似可证
, lim 1( 0).
n a a
n
证明 为正整数
设
例
4. a1,a2,,ak 0,k ,} ,
, ,
max{
lim n 1n 2n kn 1 2 k
n a a a a a a
证明: 令
a max{a1,a2,,ak },n n
n n
n k
n an a1n a2 a ka
a a n k
, 1 lim
n
n k
又
} ,
, ,
max{
lim n 1n 2n kn 1 2 k
n a a a a a a a
单调有界数列必有极限
.注意: 单增数列只需上有界;单减数列只需下有界
.1 x
x x
2x
3x
nx
n1几何解释
:A M
二、单调有界准则
定理
3 (单调有界准则—准则
II)x
1x
2x
3x
nA
x
n1m
单调有界准则应用习例
, ,
, 0 .
5
设
a 证明数列
x1 a x2 a a例
, ,
3 a a a, x a a a
x n
的极限存在,并求其极限
.设
( )2 1
1 n n
n x
x a
x ( n 1 , 2 , ) ,
0 , a
1 0 x
,
且 求
lim n .n x
例
6, ,
, 0 .
5
设
a 证明数列
x1 a x2 a a例
, ,
3 a a a, x a a a
x n
的极限存在,并求其极限
.解:
xn1 a xn (n 1,2,) ,1 a 0 x
1,
1
2 a x a x
x
, xn xn1
假设
n n
n
n a x a x x
x 1 1
则
即
xn单增
. ,1 1
n n
x
从而
x1,
n
n a x
又
x则
xn2 a xn1.n n n
x x x
2
n n
x x a 1
n n
n x
x x
a 1
1
a
a a 1
上有界
.即
xn所以数列极限存在
. ,lim xn A
n
设
. lim
) (
lim
lim 2 1 1
n
n n n n
n x a x a x
则
, A2 a A
即
24 1
1 a
A
解得
2 .
4 1
lim 1
a
xn
n
)
(
负号舍去
设
( ) 21
1 n n
n x
x a
x ( n 1 , 2 , ) ,
0 , a
1 0 x
,
且 求
lim n .n x
例
6. }
{xn
有下界
] ) (
) 2[(
1 2 2
n xn
x a
, 易知
由
x1 0 xn 0 (n 1, 2,).n xn
x a
) 2 (
1
1 n n
n x
x a
x
a (n 1, 2,)
证
1°有界性
2°
单调性
n n n
n
n x
x x a
x
x ( ) 2
1
1
) 2(
1
n n
x x
a
n n
x x a
2
2
. }
{xn
单调减少且有下界
) ,
3 , 2 (
0
n
n
存在,
n x
lim
或
n nx x 1
) 1
2( 1
n2
x
a
(1 )
2 1
a
a
1 (n 2, 3,)
, 令
xn An
lim
则
A a) ,
3 , 2
(
a n xn
n
x x a
x
n n
n
,令
由
( )2 1
1
得
( ),2 lim 1
lim 1
n n n n
n x
x a
x
), 2 (
1
A A a
A
即
(舍去)
或
解得
A a A a. lim x
na
n
三、
Cauchy收敛准则
定理
4 (Cauchy收敛准则
)数列 收敛的充分必要条件是
xn :, ,
使得当 时
,有
. 0
N N m N n N , xn xm
满足上述条件的数列也称
Cauchy数列或基本数列
.这
样
, Cauchy收敛准则又可叙述成
:数列 收敛的充分必要条件是
xn :
xn为
Cauchy数列
.证明:
必要性 设 , , 由数列极限的定义,,
a xn
n
lim 0 N N
当 时,有 n N
2
a
xn 同样,当 时,也有 m N
2
a xm
因此,当 时m N n N , , 有
2 2
n m n m n m
x x x a x a x a x a
即得 为
xn Cauchy数列
.充分性的证明要用到实数理论 , 这里从略 .
注意
:( 1 ) Cauchy 收敛准则的几何意义 : 数列 收敛的充分必要
条件是 : 对于任意给定的正数 , 在数轴上一切具有足够大号码 的点 中 , 任意两点间的距离小于 .
xn
xn
( 2 )由于 Cauchy 收敛准则是判断数列收敛的充分必要条件 , 因
此 , 它不但可以用来判断数列的收敛性 , 而且也可以用来判断数列的 发散
( 3 )应用上常使用 Cauchy 收敛准则的一个等价形式 : 数列 收敛的充分必要条件是 : , , 使得当 时 , 对 一切正整数 , 有 .
xn
0
N N n N p xn p xn
Cauchy
收敛准则应用举例
Cauchy
收敛准则应用举例
四、两个重要极限
首先看看在计算机上
进行的数值计算结果:
sin 1
lim
.
1
x x
x 0
重要极限
x
x x0
sin 1
0.1 0.9983341664682815475018 0.01 0.9999833334166664533527 0.001 0.9999998333333416367097 0.0001 0.9999999983333334174773 0.00001 0.9999999999833332209320 0.000001 0.9999999999998333555240 0.0000001 1.0000000000000000000000
0.00000001 1
2
2x y sin x
x
y
O 1
. sin
然后看 的图形
x
y sin x .
然后看 的图形
x y x
Using the Sandwich theorem to find 0
lim sin
x
x x
sin 1
lim
0
x
x
x
A C
2 ) 0
( ,
,
x x
AOB
O
圆心角
设单位圆
, tan
, ,
sin x BD x 弧 AB x AC 于是有
o x
B
D
.
ACO
,得 作单位圆的切线
, x OAB
的圆心角为
扇形 OAB 的高为 BD ,
,tan sin x x x
cos sin 1,
x x x
即
.
2 0
也成立
上式对于
x ,
0 2
时
当
x, 1 cos
lim0
x
又
x lim sin 1.0
x
x
x
1.
第一重要极限
说明 : 重要极限 1 的标准式的特点是
1)是 型未定式
2)
含三角式
3)
分子的三角函数 的弧度数与分母一 致
.0 0
sin 1
lim
0
x
x
x 0
lim sin 1
u
u u
0
lim sin 1
第一重要极限应用习例
0
sin 5 tan
. : (1) lim ;(2) lim ;
6 x x
x x
x x
限 例 求极
4 lim arcsin .1
x x
x
()
0
1 cos
. lim .
7 x
x x
例 计算
2 2
( 4)
11. lim .
sin
x
x x
x
例计算
0
1 sin cos
9. lim .
sin
x
x x x
x x
例计算
10. lim(11 ) tan . 2
x x x
例计算
0 3
tan sin limx
x x
x
求
例
8.0 2
1 cos (3) lim
x
x x
解
:0 0
sin 5 sin 5
(1) lim lim 5
5
x x
x x
x x
0
tan sin 1
(2) lim lim 1
cos
x x
x x
x x x
) 5 (
. sin 5
lim
5 0 u x
u u
u
0 0 0 2
sin 5 tan 1 cos
: (1) lim ; (2) lim ;(3) li .
6. m
x x x
x x x
x x x
求极限
例
2
2 2
0 0
1 cos 2sin 2
(3) lim lim
x x
x x
x x
2 2
0 )
( 2 sin 2 2lim
1
x x
x
2
0 )
2 sin 2 (
2 lim 1
x x
x
12
0 0
1
4 lim arcsin .
x x
x
()
4 lim arcsin .1
x x
x
()
解:
1 ,arcsin
t
x
令
. 0 ,
t
x
时
则当
t t x x
t
x 1 limsin
arcsin
lim 0
. sin 1
lim 1 sin
lim 1
0
0
t t t
t
t t
0
arcsin
lim 1.
x
x x
同理
0 0
解:
0 0 21 cos 1 cos
lim lim
x x
x x
x x
2
2
2 2
0 0 0
1 cos 1 cos 1 cos
lim lim lim
x x x
x x x
x x x
2
2
cos . lim 1
0
不存在
x
x
x
0 2
1 cos
x
lim
x x
0 0
0
1 cos
. lim .
7
xx x
例 计算
2 1 2
1 1 cos 1
lim1 lim sin
cos lim 1
cos
) cos 1
( lim sin
cos sin sin lim
:
0 2 0
0
0 3 0 3
x
x x
x x
x x
x x
x x x x
x x
x
x
原式
x解
0 3
tan sin limx
x x
x
求
例
8.解:
) cos sin
1 (
sin
cos sin
lim 1 sin
cos sin
lim 1
2 0
0 x x x x x
x x
x x
x
x x
x
x
x
cos ) sin
1
1 sin
sin ( sin
lim 2
0 x x x x x
x x
x
x
. 1 sin )
1 ( 2 lim 1
0
x
x
x
0 0
0
1 sin cos
9. lim .
sin
x
x x x
x x
例计算
解:
(1 ) tan 22 lim tan
) 1
(
lim 0
1
1 x x t t
t x t
x
t
t tcot 2 lim0
t t
t t
sin 2 cos 2 lim0
2 cos 2 sin 2
lim 2
0
t
t t
t
2 .
0 0
10. lim(11 ) tan . 2
x x x
例计算
解:
x x xx x
x x
x
x sin
) 2 )(
2 lim (
sin
) 4 lim (
2 2
2
) 2
( sin
) 4
( ) 2
lim(
0 2
t t t
t
t t x
令
t
t t
t
t sin
) 4
( ) 2
lim (
0
t t
t t
t sin
) 4
)(
2 lim (
0 8 .
0 0
2 2
( 4)
11. lim .
sin
x
x x
x
例计算
x e
x
x
1 )
1 ( lim
下面分三步进行讨论
.(1)
设
x依次按自然数
n变化,则函数为
n n
n n f
x 1)
1 ( )
(
12
! 2
) 1 (
1
! 1 1
n n
n n
xn n
1).
1 ( 2)
1 1)(
1
!( ) 1
1 1
!( 2 1 1
1 n
n n
n n
n
nn
n
n n
n
n 1
!
) 1 (
) 1
(
2.
第二重要极限
1).
1 ( 2)
1 2 1)(
1 1 )!( 1 (
1
1) 1 1
( 2)
1 2 1)(
1 1
!( 1
1) 1 1
!( 2 1 1
1 1
n n n
n n
n n n
n n
xn n
1 n,
n x
x
显然
xn是单调递增的
;! 1
! 2 1 1
1 n
xn 1
2 1 2
1 1
1
n 2 1
3 1
n 3,
xn是有界的
;
. lim
n存在
n
x
en
n
n
1) 1
(
记为
lim (e 2.71828)类似地
,,
) 2
( x
时 设
n x n 1 1 ,1 1
1
n x
n
于是
1 , 1 1
1 1 1 1
n x
n
, 1)
1 ( 1 )
1 ( 1)
1 1
( 1
n x n
n x
n
1
1 )
1 1 1
( 1)
1 1 ( lim 1)
1 1 (
lim
n n n
n n
n
而
n e1) 1
( 1)
1 ( lim 1)
1 (
lim 1
n n
n
n n
n
n
e
. 1)
1 (
lim e
x
x
x
,
) 3
( x
时 设
x y,则
y y y
x
x x y
1)
1 ( lim 1 )
1 (
lim y
y y
y ) ( 1
lim
y
y y )
1 1 1
(
lim
)
1 1 1
( 1)
1 1 (
lim 1
y y
y
y e
注意:
, ))
( 1 1
( lim
) 1
( ( )
)
( e
x
x
x
常用的形式是
并以此为工具可求出相应的其它一些函数的极限
. .) 1
( lim 1 ,
) 2 (
1
0 z e
z x z
z
有
令
型
1说明 : 重要极限 2 标准式的特点是
1)是 型未定式
2)