第十节 常系数线性微分方程组解法举例

常系数线性微分方程组

* 第十节

解法举例

解微分方程组

高阶微分方程求解

消元 代入法 算子法

第七章

常系数线性微分方程组

解法步骤 :

第一步 用消元法消去其他未知函数 ,

第二步 求出此高阶方程的未知函数 ; 第三步 把求出的函数代入原方程组 ,

注意 : 一阶线性方程组的通解

中 , 任意常数的个数 = 未知函数个数

一般通过求导 得其它未知函数 .

如果通过积分求其他未知函数 , 则需要讨论任意常数 的关系 .

函数的高阶方程 ;

得到只含一个

例 1. 解微分方程组

z x y

y 3 2

d

d  

z x y

z  2  d

d

①

② 解 : 由②得





x y  z 

d d 2

1 _③

代入① , 化简得 0 d

2 d d

d

2

2   z 

x z x

z

特征方程 : r²  2r 1  0

通解 : z  (C₁  C₂x)e^x ④ 将④代入③ , 得 y (2C C 2C x)e^x

2

1 1  2  2

 _⑤

z x y

y 3 2

d

d  

z   d

①

② 原方程通解 :

x x

C C

z  ( ₁  ₂ )e

x x

C C

C

y (2 2 )e

2

1 1  2  2

 注意 :

是不独立的 而它们与C₁,C₂

1) 不能由①式求 y, 因为那将引入新的任意常数 , ( 它们受②式制约 ).

的表达式中,

因此 y 2C₁  C₂不能用另一任意常数 .

, ¹₂

3代替 系数 也不能去掉 C

3) 若求方程组满足初始条件 y _x0  y⁰ , z _x0  z⁰

2) 由通解表达式可见 , 其中任意常数间有确定的关系 ,

例 2. 解微分方程组

x t

t y t

x e

d d d

d

2

2   

d 0 d d

d

2

2   y 

t x t

y 解 : ,

d D d

 t

记 _{则方程组可表为} y t

x D e

) 1

(D²   0 )

1 (D

D x  ²  y 

⑥

⑦ 根据解线性方程组的克莱姆法则 , 有

1 D

D

D 1

D 2

2



 y 

0 D

e 1 D² ^t

y t

x D e

) 1

(D²   _⑥

即 (D⁴ D²1)y  e^t 其特征方程 : r⁴  r² 1  0

特征根 :

2 5 1

2 , 1

 



r 2

1 i 5

4 ,

3   

r

记  ^记  i 

⑧

, e^t A y^ 

令 代入⑧可得 A ＝ 1, 故得⑧的通解 :

t t

t C C t C t

C

y  ₁ e^  ₂ e^  ₃ cos   ₄ sin   e _⑨ 求 x : D× ⑦ －⑥ 得 x  D³ y  e^t

y t

x  D³  e

   ³(C₁ e^{ t}  C₂ e^{ t} )

t t

C t

C sin cos ) 2e

( _{3 4}

3  

    _⑩

作业

P352 1

2