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第三节

一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算

幂级数

第十二章

一、 函数项级数的概念

设















1 ( ) 1( ) 2( ) ( )

n un x u x u x  un x 

为定义在区间 I 上的函数项级数 . 对 x₀  I , _{若常数项级数}



1 ( 0)

n un x

敛点 ,所有收敛点的全体称为其收敛域 ; 若常数项级数



1 ( 0)

n un x

为定义在区间 I 上的函数 , 称

收敛 ,

发散 , 所有

x0

称 _为其收

x0

称 为其发散点 , )

, 2 , 1 (

)

(x n  

u_n

发散点的全体称为其发散域 .

, ) (x S 为级数的和函数 , 并写成

) ( )

(

1

x u

x S

n





 若用 S_n (x)

) ( )

(

1

x u

x S

n k

k

n







令余项 r_n(x)  S(x)  S_n(x) 则在收敛域上有

, ) ( )

(

lim S_n x S x

n 



 lim ( )  0



 r_n x

n

表示函数项级数前 n 项的和 , 即

在收敛域上 , 函数项级数的和是 x 的函数 称它

例如 , 等比级数

它的收敛域是 (1,1) ,

, 1

[ ]

1 ,

(  及 ， ）



 











n n

n x x x

x ²

0

1

x x

n

n

 



 1

1

0

它的发散域是 或写作 x 1. 又如 , 级数 ( 0) ,

0 2 







n x x x

n

n n

, )

(

lim  



 u_n x

n 级数发散 ; 所以级数的收敛域仅为 x  1.

, )

1 , 1

( 时

当x   _有和函数

,

1时收敛

当 x  ,

1

0 时

但当  x 

二、幂级数及其收敛性

形如







0

0 ) (

n

n x x n

a  a₀  a₁(x  x₀)  a₂(x  x₀)² 

的函数项级数称为幂级数 , 其中数列 a_n (n  0,1,) 下面着重讨论 x₀  0



0 n

nxn

a  a₀  a₁x  a₂x²  a_nxⁿ 

例如 , 幂级数 , 1 1

1

0

 





x x x

n

n

为幂级数的系数 .

即是此种情形 . 的情形 , 即



 a_n(x  x₀)ⁿ 

称

收敛 发散

定理 1. ( Abel 定理 )若幂级数



0 n

nxn

a

0 点收敛,

在 x  x _{则对满足不等式} x  x₀ 的一切 x 幂级数都绝对收敛

. 反之 , 若当x  x₀ x0

x  _{的一切 x , 该幂级数也发散} .

时该幂级数发散 ,则对满足不等式

证 : 设



0 0 n

nxn

a lim ₀  0,





n n

n a x

收敛 ,则必有

) ,

2 , 1

0  M (n  

x a_n ⁿ

于是存在 常数 M > 0,

使

O _{发 散} x

发 散 收

当 时x  x₀



0 0 n

n

x

M x _{收敛 ,}







0 n

nxn

a 故原幂级数绝对收敛 .

也收敛 ,

反之 , 若当x  x_{0时该幂级数发散 ,下面用反证法证之 .} 假设有一点

x

x

满足不等式 x  x₀

所以若当 x  x₀

满足 且使级数收敛 , 面的证明可知

,

级数在点 故假设不真 .

的 x , 原幂级数也发散 .

时幂级数发散 ,则对一切 则由前 也应收敛 , 与所设矛盾 ,

n n n

n n

n x

x x a x

a

0

 0 _n ^{n n}

x x x

a

0  0

 ⁿ

x M x

0



证毕

幂级数在 ( －∞ , +∞) 收敛 ;

由 Abel 定理可以看出 ,



0 n

nxn

a 中心的区间 .

用 ±R 表示幂级数收敛与发散的分界点 ,

的收敛域是以原点为 则

R = 0 时 ,幂级数仅在 x = 0 收敛 ; R = +

时 , ,

0  R  _幂级数在 ( － R , R ) 收敛 ;

( － R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域 .

R 称为收敛半径 ，

在 [ － R , R ] 可能收敛也可能发散 .

R x   外发散 ; 在

( － R , R ) 称为收敛区间 .

O _{发 散} x

发 散 收

收敛 发散

a x a x

a x a

n n n n

n n n

n  ^ 





 





1 1

1 lim

lim 定理 2. 若



0 n

nxn

a _{的系数满足} lim ^1  ,



 n

n

n a

a 1 ;

  R

 ;

 R

.

 0 R 证 :

1) 若 _≠ 0,则根据比值审敛法可知 :

当 x 1, _{原级数收敛} 当 x 1, _{原级数发散}; _.

 x



即 x  _¹ _{时 ,} 1) 当 _≠ 0 时 ,

2) 当 _＝ 0 时 ,

3) 当 _＝ +∞

时 ,

即 时 ,

则

¹

 x

2) 若  0, _{则根据比值审敛法可知 ,}

 ;

 绝对收敛 , R

3) 若  , _{则对除 x = 0 以外的一切 x 原级数} . 发

 0 R

对任意 x 原级 因此 数

散 , 因此



0 n

nxn

a _{的收敛半径为} 说明 : 据此定理

1

lim

 

 

n n

n a

R a 因此级数的收敛半径 1 .

  R

对端点 x = － ¹ ,

1

lim

 

 

n n

n a

R a



  





 ^

n x x

x x

n 1 n 3

2

) 1 3 (

2 的收敛半径及收敛域 .

解 :

1 1

 n

n 1

 1

对端点 x = 1 ,

1 , )

1 (

1

1 n n





  _{收敛 ;}

级数为 1,







n n ^{发散 .} .

] 1 , (1 故收敛域为

例 1. 求幂级数

lim

 n

级数为交错级数

例 2. 求下列幂级数的收敛域 :

.

! )

2 (

! ; ) 1

1 (

0 0

n n

n n

x n

n x











解 : (1)

lim

lim

1 

 

 

 n n

n

n a

R a

 ^!

1

n  lim ( 1)



 n

n  

所以收敛域为 ( ,  ) .

(2)

lim lim

1 

 

 

 n n

n

n a

R a

 n !

! ) 1

(n  1

lim 1

 



 n

n  0

所以级数仅在 x = 0 处收敛

规定 : 0 ! = 1

! ) 1 (

1

 n

例 3. ⁿ

n

n x

n ₂

0( !)2

! ) 2





求幂级数 ^{的收敛半径 .} 解 : 级数缺少奇次幂项 , 不能直接应用定理 比值审敛法求收敛半径2, .

) lim

(

) lim ¹(









 

n n n

n u x

x

u ^{[( 1)! ]2}

! ] ) 1 (

2 [



 n

n

]2

! [

! ] 2 [

n n

2

)2

1 (

) 2 2

( ) 1 2

lim ( x

n

n n

n 



 





4 x2

 1

4 x² 

当 时级数收敛

时级数发散 故收敛半径为 . 2

 1

2 R

 1

即 x 1 4 x² 

当 即 x  ¹

) 1 ( 2 n

x x²n

故直接由

例 4.







1 2

) 1 (

n n

n

n

求幂级数 x 的收敛域 .

解 : 令 t  x 1, _级数变为 ⁿ

n n t



1 2 1



 



 



 n n

n

n a

R lim a lim

1 2ⁿn

1

) 1 (

2

1

1 

 n

n n

n

n n

n 2

) 1 (

lim 2

1 

 ^



  2

当 t = 2 时 , 级数 为

1,





n n 此级数发散 ; 当 t = – 2 时 , 级数

为

) , 1 (







n

n

n 此级数条件收敛 ;

因此级数的收敛域为  2  t  2 , 故原级数的收敛域为 ,

2 1

2   

 x 即 1 x  3 .

三、幂级数的运算

定理 3. 设幂级数 ⁿ

n



0

n n



0

及 的收敛半径分别为 ,

, ₂

1 R

R _令

n n



0

 _{( )}

0

为常数

 ⁿ

n





 x  R₁





min R₁ R₂ R 

n

n n

n

n













0 0

, )

(

0

n n

n

n b x







 x  R

,

0

n n





 x  R

则有 :

  



n n n

n

nx b x

a









0 0

其中 n k n

k

n a b

c ^



说明 : 两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比 原来两个幂级数的收敛半径小得多 . 例如 , 设

n n

nx



0

n n

nx



0

) ,

2 , 1 ,

0 ,

1

(a₀  a_n  n  



 



   

,  3 , 2 ,

0

, 1 ,

1 ₁

0 n

b

b b

n

它们的收敛半径均为 R   , 但是

n n



0  1 x  x²  xⁿ 

其收敛半径只是 R 1.

 1

 x

1

n n



0

 x

 1 1

定理 4 若幂级 数

n n



0

的收敛半径 R  0 , )

(x 数 S

( 证明见第六 节 )

 

 





n n anx x

S

0

)

( ¹,

1

 



 ⁿ

n nanx x (R, R) x

x a

x x

S

n

n x n

x ( )d d

0 0

0

 





 ,

1

1 0

 



 ⁿ

n

n x n

a

) ,

( R R x  

则其和函 在收敛域上连续 ,且在收敛区间内可逐项求导与 逐项求积分 , 运算前后收敛半径相同 :

注 : 逐项积分时 , 运算前后端点处的敛散性不变 .

解 : 由例 2 可知级数的收敛半径 R ＝ +∞.

例 5.



0 !

n

n

n 求幂级数 x







0 ! )

(

n

n

n x x

S (    x   ) 则







 



1

1

! ) 1 ) (

(

n

n

n x x

S







0 !

k

k

k

x  S(x)

) (    x  

故有





C x

x

S( )  e , e )

( 1

) 0

( S x ^x

S  得 

由 故得 e .

!

n x

n

x 





的和函数 .

因此得

设

例 6.



1 n

xn

求幂级数 n ^的和函数

解 : 易求出幂级数的收敛半径为 1 ,

x ＝ ±1 时级数发 ,

) 1 , 1

( 时

故当x  







1

) (

n

xn

n x

S





 

1

) (

n

xn

x





 





 

x x x

1 (1 x)²

x

 

. ) (x S





 

1

1 n

xn

n x

 





1 n

xn

x 散 ,

例 7. 求级数



₀ 1

n

n

n

x 的和函数 S(x) .

解 : 易求出幂级数的收敛半径为 1 , 且 x  1时级数



 



0 1

) (

n

n

n x x

S

 

 



 ^x

n

n x

x _{0 0}x d

1 ^ _x



0

1 d 1 1

) 1

1 ln(

x  x



 ( 0  x 1 _及x  1) 收敛 ,







 

0

1

1 1

n

n

n x

x







 ^{x n}

n

x x _{0 0} x d 1

, )

1 , 1

[ 中

则在 

x = 1 时级数发散 , 当 x  0 时, 有

) 1 , 0 ( )

0 , 1

[ 

 x )

(x

S 1 ln(1 ) , x  x





因此由和函数的连续性得 :

 ) (x S

而 x = 0 时级数收敛于 1,

, ) 1

1 ln(

x  x

 ,

1 x  0

)

1 0

(  x  _及x  1 ,

) 1 1

( lim ln

0  



 



 

 x

x

x

例 8. . 2

) 1 (

1

2 2 的和

求数项级数



 

n n n

解 : 设 , ) 1

(

2 2



 



n

n

n x x

S x (1,1), _则







 

2

1

1 2 _n

n

n x

x







 

2

1

1 2

1

n

n

n x

x (x  0)







2 _n 1

n

n x

x





 2 3

1

n

n

n x x

n n

n x x n

S 



 





 





 1

1 1

1 2

) 1 (

2

















3

1 2

1 ) 2

(

n

n

n

n

n x x

n x x x

S 



1 n

n

n

x

 



 

1 0

1 d

n

x xn x

而 ^x





n

n d

0 1

 



  ^



01 d )

1

ln(  x





4 ) 2

1 2 ln(

) 1 (

2 x

x x x x

S     





₂( ² 1)2 1

n n n

) 0 (x 



 



 



 

2 1

1 ) 2

(

n

n

n x x

x x S

 

 ln 2

4 3 8

5 



) 0 (x  2 )

2 (

1 x²

x x 



故

内容小结

1. 求幂级数收敛域的方法 1) 对标准型幂级

数 先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性

2) .对非标准型幂级数 ( 缺项或通项为复合式 ) 求收敛半径时直接用比值法或根值法 ,

2. 幂级数的性质

1)两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与 )

0 (

0



 n n

n anx a

也可通过换元化为标准型再求 .

乘法运算 .

例 3 例 4

2) 在收敛区间内幂级数的和函数连续 ;

3) 幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分 .

思考与练习

1. 已知 ⁿ

n



0 在 x  x0 处条件收敛 , 问该级数收 敛

半径是多少 ?

答 : 根据 Abel 定理可知 , 级数在x  x0 _{收敛 ,}

x0

x  _{时发散 .故收敛半径为} R  x₀ .

例 6

3. 求和函数的常用方法 — 利用幂级数的性质 ^{例 7}

2. 在幂级数 ⁿ

n n

n









0 2

) 1 (

2 中 ,



 n n

a

a ₁ 







 ^

n n

) 1 ( 2

) 1 ( 2

2

1 ^{1 3}₂ , n 为奇数

n 为偶数

6 ,

1

能否确定它的收敛半径不存在 ? 答 : 不能

. 因为

n n

nlim u (x)



 lim _n 2 ( 1)_n 2x

n  

  2

 x

当 x  2 _{时级数收敛 ,} x  2 _{时级数发散} ,R  2. 说明 : 可以证明

比值判别法成立 根值判别法成立

P275 1

2

P320 7

8

作业

备用题

解 : 令 _{n n} a

n a a

S  1  2₂ 



 ⁿ

k ak

k

1

作幂级数 ,



 n

xn

n _{易知其收敛半径为} ^1, _设其和为S(x),

则







1

) (

n

xn

n x

S





 

1

1 n

xn

n

x 

 



1 n

xn

x

 

 

 x

x x

1 (1 x)²

x

 

n Sn



 lim  S( ¹_a ) ₂ ) 1 ( 

 a a