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(1)

二、无界函数的反常积分

第四节

常义积分积分限有限被积函数有界

推广

一、无穷限的反常积分

反常积分 ( 广义积分 )

反常积分

第五章

(2)

2

1 y  x A

1 ^x

y

O

一、无穷限的反常积分

引例 . 曲线 1₂

y  x _和直线 x 1 _及 x 轴所围成的开口边梯形的面积可记作曲



^^

 1 2

d x A x

其含义可理解为







  ^b

b x

A x

1 2

lim d

b

b x ₁

lim 1 



 

 

 



 

 

 ^b b 1 1

lim 1

(3)

定义 1. 设f (x)C[a,  ), 取b  a, 若 x

x

b f

blim___



a ( )d

存在 ,则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分 ,

记作 x

x f x

x

f ^b

b a

a ( )d lim



( )d



^^ ^ ___

这时称反常积分 f x x

a ( ) d



^^ ^收敛 ^;^{如果上述极限不存在} ^,

就称反常积分 f x x

a ( )d



^^ ^发散

类似地 , 若f (x)C (. , b], _则定义 x x

f x

x

f ^b

a a

b ( )d lim



( )d



__ ^ ___

(4)

, ) ,

( )

(x C   

若 f 则定义



_^_^ ^f ⁽^x⁾^d^x _a^lim___



_a^c ^f ⁽^x⁾ ^d^x ^ _b_^lim__



_c^b ^f ⁽^x⁾^d^x

( c 为任意取定的常数 ) 只要有一个极限不存在 , 就

称

x x

f ( )d



_^_^ ^发散 ^.

无穷限的反常积分也称为第一类反常积分 .

 ,



 _{并非不定型} _, 说明 : 上述定义中若出现

它表明该反常积分发散 .

(5)

, )

( )

( 是的原函数

若F x f x _引入记号

; ) ( lim

)

( F x

F   x F( ) lim F(x)

x





则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 : x

x

a f ( ) d



^^ ^ ^F⁽^x⁾ _a^ ^ ^ ^F⁽^⁾ ^ ^F⁽^a⁾

x x

b f

d )



__ ( ^ ^F⁽^x⁾ ^b_ _ ^ ^F⁽^b⁾ ^ ^F⁽^⁾ x

x f ( ) d



_^_^ ^ ^F⁽^x⁾ _^ _^ ^ ^F⁽^⁾ ^ ^F⁽^⁾

(6)

例 1. 计算反常积

分 .

1 d



_^_^ _^x_x2

解 :



_^_^₁_^d^x_x² ^ ^[^arctan ^x ^] ^^^^

2) ( π 2 

 π  π x

y

1 2 1

y x

 

O 思考 : 0 ?

1 d

2  对吗



_^_^ ^x _x^x 分析 :







 





  



₁^x^d_x^x² ₂¹ ^ln(¹ ^x²⁾ ^{原积分发散} ^!

注意 : 对反常积分 , 只有在收敛的条件下才能使用

“ 偶倍奇零” 的性质 , 否则会出现错误 .

(7)

例 2. 证明第一类 p 积

分



_a^^ _x^d^x^p

证 : 当 p =1 时有



_a^^ ^d_x^x ^

^

^ln ^x

^

^^a^ ^ ^



_a^^ _x^d^x^p ^ _^ _^ _^ ^^

a p

p x

1

 

 

当 p ≠ 1 时有

1 p

1 , p

1



p a ^p

当 p >1 时收敛 ; p≤

时发散 1 .

 ,



因此 , 当 p >1 时 , 反常积分收敛 , 其值为

1;

1



p

a ^p 当 p≤1 时 , 反常积分发

散 .

(8)

例 3. 计算反常积分 e d ( 0).

0 



^^^t ^ ^p^t ^t ^p

解 : ^p^t p

t _



 e

原式 0



 ^ 1



0^^ e^ d p t

t p

p

 

 1 e

2 0





2

1

 p

(9)

二、无界函数的反常积分

引例 : 曲线

y  1x _与 ^x _轴 ^{, y} _轴和直 x 1 _所围成的开口曲边梯形的面积可记作线



 ¹

0

d x A x

其含义可理解为



 

 ¹

0

lim d

  x

A x ^ _^lim_₀^ ² ^x ¹ )

1 ( 2 lim

0

  

    2

y  1x A

1 x

y

O 

(10)

定义 2. 设f (x)C (a, b], _而在点 _a _{的右邻域内无界} , ,

 0

取 存在 ,

x x

f x

x

f ^b

a b

a ( )d lim ( )d

0



 _  _

 

这时称反常积分 ^b f x x

a ( )d



^收敛 ^;^{如果上述极限不存在}

就称反常积分 ^b f x x ,

a ( )d



^发散 ^.

类似地 , 若f (x)C[a, b), _而在 b 的左邻域内无界

, f x x

x x

f ^b

a b

a ( )d lim ( )d

0



 _  ^^



若极限 _ 



_

b

a f x x

lim  ( )d

0

数 f (x) 在 [a , b] 上的反常积分 ,

则定义

则称此极限为函记作

(11)

若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类说明 :

, )

( ]

, [ )

( 在上除点外连续

若 f x a b c a  c  b _而在点 c 的

无界函数的积分又称作第二类反常积分 ,无界点常称邻域内无界

,



_a^b ^f ⁽^x⁾ ^d^x 



a^c ^f (^x)d^x ^



_c^b ^f ⁽^x⁾ ^d^x

x x

c f

a ( )d

lim ¹

1_0^



^

 ^

 ^b f x x

c ( )d

lim

2_0^



_ 2

  

为瑕点 ( 奇点 ) .

例如 , x x

x d

1 1



_ 2_^ ^



_¹₁⁽^x ^¹⁾^d^x

间断点 , 而不是反常积分

. 则本质上是常义积分 ,

则定义

(12)

注意 : 若瑕点

, )

( )

( 是的原函数

设 F x f x 计算表达式 :

x x

b f

a ( )d



^ ^F⁽^b^⁾ ^ ^F⁽^a⁾

x x

b f

a ( )d



^ ^F⁽^b⁾ ^ ^F⁽^a^ ⁾

x x

b f

a ( )d



^ ^F⁽^b^⁾ ^ ^F⁽^a^ ⁾

则也有类似牛 – 莱公式的

若 b 为瑕点 ,

则若 a 为瑕点 , 则

若 a , b 都为瑕点 , 则

, ) , (a b

c _则



_a^b ^f ⁽^x⁾ ^d^x  ^F⁽^b⁾ ^ ^F⁽^c^ ⁾ ^ ^F⁽^c^⁾ ^ ^F⁽^a⁾

可相消吗 ?

(13)



_¹_{1 2}^d_x^x

  11  2

1

1 1

 

 



 x

下述解法是否正确 :

, ∴ 积分收敛例 4. 计算反常积

分 d ( 0).

0 2 2 



^a _a ^x _x ^a 解 : 显然瑕点为 a , 所以

原式 0

arcsin







 ^a

a

x  arcsin1

2

 π

例 5. 讨论反常积分



_¹_{1 2}^d_x^x ^的收敛性 ^.

解 :



_¹1 2

d x

x ^



_⁰_{1 2}^d_x^x ^



_{0 2}¹^d_x^x

1

1 0





 

 

x   _





0

1 1

x  

所以反常积分



_¹_{1 2}^d_x^x ^发散 ^.

(14)

例 6. 证明反常积分



_a^b₍_x _^d^x_a₎^q

证 : 当 q = 1 时 ,

当 q < 1 时收敛 ; q≥1 时发散 .



_a^b_x^d_^x_a 

^

ln x  a

^

^ba_  

当 q≠1 时



_a^b x _ a q

x ) (

d

 

 

 

  ^

a q b

q a x

1

)

( ¹



 

 

¹ ^, ^q ^¹

)

( ¹

q a

b ^q



 ^

1 , q





所以当 q < 1 时 , 该广义积分收敛 , 其值为

1 ;

)

( ¹

q a

b ^q



 ^ 当 q ≥ 1 时 , 该广义积分发散

.

(15)

例 7.

解：

) , 2 (

) 1 (

) 1 ) (

( ₃

2



 

x x

x x x

设 f ^求 d .

) ( 1

) (

3

1 2



_ _ ^

 x

x f

x I f

) ( 2

0 x f x

x  与  为

 _{的无穷间断点} ^,_故 I 为反常

x x f

x

f d

) ( 1

) (



_ ^ 2 ^



₁_^d ^f_f ⁽²^x₍⁾_x₎ ^ ^arctan ^f ⁽^x⁾ ^ ^C



_ _ ^

 ⁰

1 2 d

) ( 1

)

( x

x f

x

I f ^



₀²₁_^f _f^⁽²^x₍⁾_x₎ ^d ^x^



₂³₁_^f _f^⁽²^x₍⁾_x₎ ^d ^x

积分 .



^arctan ^f ⁽^x⁾



 ^



^arctan ^f ⁽^x⁾







0

2 ^



^arctan ^f ⁽^x⁾



₂³_

2

 π

 2

[ π

 ]

2

 π

27 [arctan 32

 ]

2

 π 2 π

27 arctan 32 



1 0



(16)

内容小结

1. 反常积分积分区间无限

被积函数无界常义积分的极限 2. 两个重要的反常积分



_a^^ _x^d^x^p 

 



_a^b₍_x ^d^x_a₎^q

1 p

1

p (a  0)

 



_a^b₍_b ^d^x_x₎^q ¹ ^, ^q ^¹

)

( ¹

q a

b ^q



 ^

1 , q





 ,

 ) , 1 (

1

1

 a ^p p

(17)

说明 : (1) 有时通过换元 , 反常积分和常义积分可以相转化互

. 例如 ,



0¹ 1_ 2

d x

x ^



₀²^π^d^t (令 x  sint） x x

x d

1 1

1 0 4



2 _^ ^



₀¹ 2^_ 1 1

1 d

2

2 t

x x

x ^



₀¹ _ 1^² _ 1

2 )

(

) d(

x

1) (令t  x  x



__ _

 ⁰ ₂

2 d

t t

(2) 当一题同时含两类反常积分时 ,应划分积分区间 , 分别讨论每一区间上的反常积分 .

(18)

(3) 有时需考虑主值意义下的反常积分 .



_a^b ^f ⁽^x⁾^d^x

v.p. (c为瑕点, a  c  b)



_^_^ ^f ⁽^x⁾^d^x

v.p. ^a f x x

alim___



_a ( )d



P260 题 1 (1) , (2) , (7) , (8)



 

 _ ^



^ ^f ^x ^x



c^b_ ^f ^x ^x c

a ( )d ( )d

lim

0 



常积分收敛 .

注意 : 主值意义下反常积分存在不等于一般意义下反

思考与练习

其定义为

(19)

P260 1

(4) , (5) , (6) , (9) , (10) ;

2 ; 3

提示 : P260 题 2



₂^ _x_(ln^d ^x_x₎^k ^



₂^ ^d(ln_(ln _x^x₎^k⁾

, 1时

当k  ₂ ₁

) 2 )(ln 1

(

1 )

(ln ) d

( ^ _

 





_x ^x_x ^k _k ^k

k I

, )

2 )(ln 1

( )

(k  k  ^k^¹

令 f 求其最大值 .

作业

(20)

备用题

试证 x x

x x

x d

1 1

d

0 4

2

0 4



^^ _ ^ ^^ _ ^, ^并求其值

.

解 :



₀^^₁_^d ^x_x⁴ ^令 ^t ^ ¹^x

^

_t

^

^t

t

1 d 1

1

2 0

14



_ _ ^

t t

t d

0 1 4



^ _2

 x

x

x d

0 1 4



^ _ 2





 

 

 





^^₁^d ^x_x ₂¹



^^₁ ^d ^x_x



₀^^₁ ^x _x4 ^d ^x 2

0 4

x x

x d 1

1 2

1

0 4



^^ _^ 2

 x

x x

x 1 d

2 1

0 1 2

1

2



^^ 2_^



(21)

x x

x

x 1 d

2 1

0 1 2

1

2



^ 2_^



1) (

2 d )

(

1 2

1

0 1 2 x x

x _x 







^ 





 

0 1

arctan 2 2

2

1 x _x

2 2

 π