第六节 空间直线及其方程

第六节

一、空间直线方程

二、线面间的位置关系

空间直线及其方程

第八章

一、空间直线方程

x y

z

O

1 0

1 1

1x  B y  C z  D  A

2 0

2 2

2x  B y  C z  D  A

1

2

L

因此其一般式方程 1. 一般式方程

直线可视为两平面交线，

( 不唯一 )

z x ^x0 y

y0

O

) ,

,

( _{0 0 0}

0 x y z

M

2. 对称式方程

故有

说明 : 某些分母为零时 , 其分子也理解为零 .

m x x  ₀



 

0

y0

y

x x

设直线上的动点为

则 M (x, y, z)

n y y  ₀

 p

z z  ₀



此式称为直线的对称式方程 ( 也称为点向式方程 )

直线方程为 已知直线上一点 M₀(x₀, y₀, z₀)

) , ,

(x y z M

例如 , 当

, 0

,

0  时



 n p m

和它的方向向量 ,

) ,

,

(m n p s 

s M

M₀ // ^s

3. 参数式方程

设

得参数式方程 :

p t z z

n y y

m x

x  

 

 ₀  _{0 0}

t m x

x  ₀  t n y

y  ₀ 

t p z

z  ₀ 

例 1. 用对称式及参数式表示直线

解 : 先在直线上找一点 .



     0 4

3 2

0 1

z y

x

z y

x

6 3

2









 z y

z y

再求直线的方向向量

2 ,

0  

 z 令 x = 1, 解方程组 , 得 y

交已知直线的两平面的法向量为 是直线上一点 .

) 2 ,

0 , 1

( 

故

. s ,

) 1 , 1 , 1

1  (

n n₂  (2, 1,3)

2 1 , s n n

s  

  s  n¹  n²

故所给直线的对称式方程为

参数式方程为











 

 



t z

t y

t x

3 2

4 1

 t 4

1 x

1

 y

3 2



 z 

解题思路 : 先找直线上一点 ;

再找直线的方向向量 .

) 3 ,

1 ,

4

(  

2 

1 n

n s  

3 1 2

1 1

1





k j

i

是直线上一点 ) 2 ,

0 , 1

( 

L2

L1



二、线面间的位置关系

1. 两直线的夹角

则两直线夹角  _满足

设直线 L₁, L₂ 的方向向量分别为



两直线的夹角指其方向向量间的夹角 ( 通常取锐角 )

2 1 2

1 2

1m n n p p

m  

12 12

12 n p

m   m₂²  n₂²  p₂² )

, ,

( ,

) ,

,

( _{1 1 1 2 2 2 2}

1 m n p s m n p

s  

2 1

2

cos 1

s s

s s 

 

s1

s2

特别有 :

2

) 1

1

( L  L

2 1 //

) 2

( L L

2 0

1 2

1 2

1m  n n  p p  m

2 1 2

1 2

1

p p n

n m

m  

2

1 s

s 

2 1 // s s

) ,

, (

) ,

, (

2 2

2 2

1 1

1 1

p n

m s

p n

m s





L2

L1

s1

s2

L2

L1

s1

s2

例 2. 求以下两直线的夹角

解 : 直线 L₁ 的方向向量 为

直线 L₂ 的方向向量为 二直线夹角 _的余弦为

( 参考 P44 例 2 )

1 3 4

1 : 1

1

 

 

 y z

L x















0 2

0 : 2

2 x z

y L x

cos 

2

 2

从而 4

 π



) 1 ,

2 ,

2

(  



) 1 ( 1 )

2 ( ) 4 ( 2

1       

2 2

2 ( 4) 1

1    2²  (2)²  (1)² )

1 , 4 ,

1

1  (  s

2 0

1

0 1

2 1

k j

i s 

当直线与平面垂直时 , 规定其夹角为 线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角 ;

L

 2. 直线与平面的夹角

当直线与平面不垂直时 ,

设直线 L 的方向向量为 平面  的法向量为

则直线与平面夹角  _满足

2 . π



2 2

2 2

2

2 n p A B C

m

p C n

B m

A











 

直线和它在平面上的投影直

) , ,

(m n p s 

) ,

,

(A B C n 

︿

sin  s n

n s

n s 



n s

特别有 :



 L ) 1 (

 //

) 2

( L Am  B n  C p  0

p C n

B m

A   n

s //

n s 

解 : 取已知平面的法向量

4 2

1    

 y z

x

则直线的对称式方程为

0 4

3

2x  y  z   直的直线方程 .

为所求直线的方向向量 .

1 3

2 

垂

) 1 , 3 ,

2

( 



n n

例 3. 求过点 (1, － 2 , 4) 且与平

面

1. 空间直线方程 一般式

对称式

参数式





















0 0

2 2

2 2

1 1

1 1

D z

C y

B x

A

D z

C y

B x

A









 



t p z

z

t n y

y

t m x

x

0 0 0

p z z

n y y

m x

x _{0 0}  ₀

 

 

) 0 (m²  n²  p² 

内容小结

,

1 1 1

1 1

1 1

p z z

n y y

m x

L x      直线 ：

2 0

1 2

1 2

1m  n n  p p  m

,

2 2 2

2 2

2 2

p z z

n y y

m x

L x     

：

2 1 2

1 2

1

p p n

n m

m  

2. 线与线的关 系

直线

夹角公式 :

) ,

,

( _{1 1 1}

1 m n p

s 

) ,

,

( _{2 2 2}

2 m n p

s 

2 0

1  s 

2 s

1 L

L 

2 1 // L

L s₁  s₂  0

2 1

2

cos 1

s s

s s 

 

,

 0





 B y C z D x

A

C p B

n A

m   平面 

:

L⊥

L // 

夹角公式：

 0



 n B pC A

m

 sin

p , z z

n y y

m x

x      3. 面与线间的关系

直线 L :

) ,

,

(A B C n 

) , ,

(m n p s 

 0

 n s

 0

 n s

n s

n s 

 L





作业

P48 3 ， 4 ， 5 ， 7 ， 9

P48 题 2, 10

思考与练习

) 1 , 2 , 1 (

A ,

1 1 2

3 : 1

1

 

  y z L x

Li

设直线 解：

2 上, 在

因原点O L

1 : 2

2   z

x y

L 相交 , 求此直线方程 .

的方向向量为 过 A 点及 L₂ 的平 面的法向量为 则所求直线的方向向量

方法 1 利用叉积 .

), 2 , 1 (i  s_i

,

n s  s₁  n,

所以 OA

s

n  ₂   2 1 1 k j

i

k j

i 3 3

3  



一直线过点 且垂直于直线 又和直线

备用题

n

O

A

L2

s2

设所求直线与 L₂ 的交点为

5 1 2

2 3

1



 



 

 y z

x

1 2

0 0

0   z x y

0 0

0

0 2y , z y

x   

待求直线的方向向量

方法 2 利用所求直线与 L₂ 的交点 .

即

故所求直线方程为

), ,

,

(x₀ y₀ z₀ B

则有

L2

) 1 , 2 , 1 ( A n

s s  ₁ 

3 3 3

1 2

3





k j

i

) 5 2

3 (

3 i  j  k



) ,

,

(x₀ y₀ z₀ B

1 : 2

2   z

x y L

) 1 , 2 , 1 ( 点A

所求直线过

0 )

1 (

) 2 (

2 )

1 (

3 ₀   ₀   ₀  

 x y z

7 , 8

7 , 16

7 8

0 0

0  x  z  

y

5 1 2

2 3

1



 



 

 y z

x

0 0

0

0 2y , z y

x   

将 代入上式 , 得

由点向式得所求直线方程

而 AB  (x₀ 1, y₀  2, z₀ 1)

) 5 ,

2 ,

3 7 (

3  



L1



7 ) , 15 7

, 6 7

( 9  



 AB

L2

) 1 , 2 , 1 ( A

) ,

,

(x₀ y₀ z₀ B

1 1 2

3 : 1

1

 

  y z L x