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二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛

第二节

一、正项级数及其审敛法

常数项级数的审敛法

第十二章

* 四、绝对收敛级数的性质

一、正项级数及其审敛法

若 u_n  0,



1 n

un

定理 1. 正项级数



1 n

un _{收敛 部分和序列} S_n )

, 2 , 1

(n   _有界

.

若



1 n

un _{收敛 ,} 收

 

 0 un

 ^{∴ 部分和数列}

 

 

 



1 n

un

又已知 从而

故有界 . 则称 为正项级数 .

单调递增 , 收敛 , 也收敛 . 证 : “ ”

“ ”

 ,

 N

n _都有 u_n  k v_n , 定理 2 ( 比较审敛法 )设 ,



 n

un



1 n

vn

且存在 N  N_ , _对一切 n  N, 有

(1) 若强级数



1 n

vn 则弱级数



1 n

un

(2) 若弱级数



1 n

un 则强级数



1 n

vn

证 :

设对一切 和 令 S_n  _n

收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散 .

分别表示弱级数和强级数的部分和 , 则 有

n n k v u 

是两个正项级数 , ( 常数 k > 0 ),

因在级数前加、减有限项不改变其敛散性 , 故不妨

(1) 若强级

数



1 n

vn 则有 _n

n 

  lim

因此对一切 n N_ , _有 S_n 由定理 1 可知 ,



1 n

un

(2) 若弱级数



1 n

un lim  ,



 n

n S

因此 lim   ,



 n

n  _{这说明强级数}



1 n

vn _也发散

.



 k Sn  k _n

也收敛 . 发散 ,

收敛 ,

弱级数

例 1. 讨论 p 级数 _p  _p  _p  n

1 3

1 2

1 1 _{( 常数 p >}

的敛散性 . 0)

解 : 1) 若p 1, _{因为对一切} n N_ ,

而调和级数



1

1

n n 由比较审敛法可知 p 级数



1

1

n np

n

 1

发散 .

发散 , n p

1

,

1

p _因为当n 1  x  n 1 1 ,

p

p x

n  _故



 ⁿ

n p

p x

n n1 ¹ 1 d



 ⁿ

n p x

x

1 1 d



 



  _1 1_1 )

1 (

1 1

1

p

p n

p n

考虑强级数  

 

  





1 )

1 (

1

p

n n p n 的部分和

 n



 



 _{ }



1 ( 1)

1 1

p p

n

k k k



 n

故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 时 ,

) 1

1 (

1 1 _

 

 _p

n 1

2) 若





 



 

 

 

 

 

  _{1 1 1 1 1}

) 1 (

1 1

3 1 2

1 2

1 1_{p p p p p}

n

 n

调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数 .

若存在 N  N_ , _对一切 n  N , 1 ,

) 1

( u_n  n

, ) 1 1 (

) 2

(  p 

u_n n _p .

1

收敛 则





n un

;

1

发散 则





n un

证明级数



₁ ( 1) 1

n n n 发散 .

证 : 因 为

)2

1 (

1 )

1 (

1

 

 n

n

n ( 1, 2, )

1

1  

  n n

而级数



₁ 1 1

n n







2

1

k k ^发散

根据比较审敛法可知 , 所给级数发散 . 例 2.

定理 3. ( 比较审敛法的极限形 式 )

,





n un



1

n vn lim l,

v u

n n

n 



 则有

两个级数同时收敛或发散 ;

(2) 当 l = 0 ,

1

收敛时 且





n vn ;

1





n un

(3) 当 l =∞ ,

1

发散时 且





n vn .

1





n un

证 : 据极限定义 ,

,

 0

对 存在 N  N_ ,





 l

n

vn

u ( l   )

设两正项级数 满足

(1) 当 0 < l <∞ 时 ,

时, 当n  N

n n

n u l v

v

l ) ( )

(     

,

l

取 由定理 2 可 知



1

n un



1 n vn

同时收敛或同时发散 ;

) ( n  N

), (

)

(l v n N

u_n    _n  利用

(3) 当 l = ∞ 时 ,

 ,

 N

存在 N 当n  N 时, 1,

n n

v

u 即

n n v u  由定理 2 可知 ,

若



1

n vn _{发散 ,}

;

1

也收敛 则





n un

(1) 当 0 < l <∞ 时 , (2) 当 l = 0 时

, 由定理 2



1

n vn _{收敛 ,}

若

.

1

也发散 则



n un





v u

n n

n 



是两个正项级数 , 

(1) 当 时 ,





 l

0 两个级数同时收敛或发散 ;

2) 特别取 1 ,

n p

v  n _{对正项级数}



1

p 0  l   l

u_n

n 



lim n ^p

,

1

p 0  l  



时 ,

 0

l



(3) 当 且 发散 时 ,





l



也收敛 ;



也发散





1) u_n , v_n 均为无穷小时 , l 的值反映了它们不同阶的比较 .

的敛散性 .

～ n n

n

lim  1

 

例 3. 判别级数



1

sin 1

n n 的敛散性 . 解 :



 nlim

 sin ¹_{n n}¹

 1

根据比较审敛法的极限形式知 1 . sin

1





n n

例 4. 判别级数



 





1 2

1 1 ln

n n

解 :



 nlim

 ² 1₂

lim n n

n 

   1

根据比较审敛法的极限形式知 ^ln





1 2 收敛







n n

n n

sin 1

) 1

ln( ¹₂

 n _{～ n}¹₂

n2 ^ln





 n

知 由 ^  



 n

n

n u

u ₁ lim

定理 4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别 法 )

设



n n

n u

u 则

(1) 当 1 (2) 当  1

证 : (1)当  1时,

1    1

  

n n

u u

n

n u

u ₁  (   )

 _  (   )² u_n1   ) 1

(  ^ _

   ^{n N} u_N

,

1

 



 _使 取

收敛 ,



或    时 , 级数发散 .

, N_



存在N 当n  N时,

)k

(  



, 1或  时

 

 _{必存在N  N , uN  0,}

,

1 1

 n n

u u

, 0

lim  



 n N

n u u

因此 所以级数发散 .

N n  当

时

(2) 当

n

n u

u _1   u_n1    u_N

1 lim ^1 



 n

n

n u

说明 : 当 u 时 , 级数可能收敛也可能发散 . 例如 , p – 级数 1 :





n np _n

n

n u

u ₁ lim ^



 p

p

n n

n 1

) 1 (

1

lim ^



  1

但 p 1, _级数收敛 ; ,

 1

p _级数发散 . 从而

lim

 n

例 5. 讨论级数 ( 0)

1

1 





 x x

n

n

n 的敛散性 . 解 :

n n

n u

u ₁ lim ^



 

xn

n 1) ( 

1

xn

n  x

根据定理 4 可知 : , 1

0 时

当  x  _级数收敛 ; ,

1时

当x  级数发散 ;

.

1

发散 级数



 n

, n 1时 当x 

 对任意给定的正数  ,

lim  





n n

n u



* 定理 5. 根值审敛法 ( Cauchy 判

别法 ) 设



1 n

un 为正项 ,

lim  





n n

n u 则

; ,

1 )

1

( 当  时 级数收敛

. ,

1 )

2

( 当  时 级数发散

证明提示 :

, N_

 存在N







   ⁿ u_n  

有 时

当n  N ,

即 (   )n  un  (   )ⁿ

分别利用上述不等式的左 , 右部分 , 可推出结论正 ,

) 1

(   

 1

    1

 1

  ^ ^1

级数 , 且

时 , 级数可能收敛也可能发散 .

1



例如 , p – 级数 1 :

1 p n n





p n n

n n

u 



 



  1 1 (n  ) 说明 :

1 ,

n p

u  n

但 p  1, 级数收敛 ; ,

1

p 级数发散 .

例 6. 证明级数



1

1

n nn 收敛于 S , 似代替和 S 时所产生的误差

. 解 : ⁿ

n n un  ¹n

 n

 1  0 ( n  )

由定理 5 可知该级数收敛 令. r_n  S  S_n , _{则所求误差为}



 

 

 _{1 2}

) 2 (

1 )

1 (

0 _n 1 _{n n}

n r n



 

  _{1 2} )

1 (

1 )

1 (

1

n

n n

n

 

 _1

) 1 (

1

n n n(n 1)ⁿ 1

 

11

1 1

 _n

并估计以部分和 S_n 近

二 、交错级数及其审敛法

则各项符号正负相间的级数



  





 u u ^n u_n u_{1 2 3} ( 1) ¹ 称为交错级数 .

定理 6 . ( Leibnitz 判别法 若交错级数满足条件) :

则级数

; ) ,

2 , 1 (

)

1 u_n  u_n1 n   ,

0 lim

)

2 



 n

n u

n n

n u





  1

) 1

1

( _{收敛 , 且其和} S  u₁, _{其余项满足}

1 .

 _n

n u

r

, ,

2 , 1 ,

0  

 n u_n

收

证 : S_2n  (u₁  u₂)  (u₃  u₄)  (u_2n1  u_2n)

) (

) (

)

( _{2 3 4 5 2 2 2 1}

1

2_n  u  u  u  u  u   u _n  u _n

S 

u1



是单调递增有界数列 , S₂n

 lim S_2n S u₁

n  





又 lim _{2 1} lim ( _{2 2 1})



 



  _n  _n

n n

n S S u _n

nlim S₂



 

故级数收敛于 S, 且

1, u

S  S_n 收 收 收 :

 0

u₂n



n

n S S

r    (u_n1  u_n2 )







 r_n u_n1 u_n2  u_n1 故

 S

收敛 收敛



  







 ^

n

n 1 )

1 4 (

1 3

1 2

1 1 )

1 ¹



  







 ^

! ) 1

1

! ( 4

1

! 3

1

! 2 1 1

)

2 ¹

n

n

用 Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性 :



  







 ^n n_n

) 10 1 10 (

4 10

3 10

2 10

) 1

3 _{2 3 4} ¹ _收敛

上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ? 1 ;

) 1





n n ;

! ) 1

2





n n .

) 10 3





n n

n

发散 收敛 收敛

! ) 1 (

1

 n

! 1 n

1 1

 

 n

 n n

u

u ₁ 10 _1₁

n

n

n

n 10

n n 1 10

1  



三、绝对收敛与条件收敛





n un _若

若原级数收敛 , 但取绝对值以后的级数发散 ,





  1

1 1 )

1 (

n

n

n

! , ) 1 (

) 1 1 (

1







 

n

n

n





  1

1

) 10 1 (

n n

n n



1

n un _{收敛 ,}



1 n un

数



1 n un

为条件收敛 .

均为绝对收敛 . 例如 ：

绝对收敛 ；

则称原级 数

条件收敛 .

则称原级

定理 7. 绝对收敛的级数一定收敛 . 证 : 设



1

n un

vn ( n  1, 2 , ) 根据比较审敛法

显然 v_n  0 ,



1

n vn _{收敛 ,}



1

2

n vn n

n

n v u

u  2  ,





n un



1

n un _也收敛

) 2 (

1

n

n u

u 



且 vn  u_n , 收敛 ,令

例 7. 证明下列级数绝对收敛 :

e . )

1 ( )

2 ( sin ;

) 1 (

1

2

1 4













n n

n n

n n

n

证 : (1) sin 1 ,

4

4 n

n

n 

 而



1 4

1

n n ^{收敛 ,}







1 4

sin

n n

n

收敛

因此



1 4

sin

n n

n

绝对收敛 .

(2)

令 ,

e

2 n nn

u 

n n

n u

u ₁ lim ^



 

lim

 n

1 2

e

) 1 (





n

n

n

n e

2

1 2

e

lim 1 



 



  



 n

n

n 1

e 1 

 因此







1

2

) e 1 (

n n

n n









1

2

) e 1 (

n n

n n

收敛 , 绝对收敛 .







1

2

) e 1 ( )

2 (

n n

n n

其和分别为

* 四、绝对收敛级数的性 质

* 定理 8. 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其

和 . ^{(P263 定理}

9)

( 证明见 P263 ～ P26 6)

* 定理 9. ( 绝对收敛级数的乘法 )

 . S

则对所有乘积 u_iv _j



1 n wn

按任意顺序排列得到的级数 也绝对收敛 ,

设级数



n1vn



1 n

un 与 都绝对收敛 , S, ,

其和为 ^{(P265 定理 10)}

说明 : 绝对收敛级数有类似有限项和的性质 , 但条件收敛级数不具有这两条性质 .

绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质 .

内容小结

2. 判别正项级数敛散性的方法与步骤 必要条件 lim  0



 n

n u

不满足 发 散 满足

比值审敛法 lim

n

1

un

un  

根值审敛法  





n n nlim u

1



1

 不定

比较审敛法

用它法判别 积分判别法 部分和极限

 1



有极限 部分和数列

收敛 { }

.

1



3. 任意项级数审敛法

为收敛级数



1 n un

设

Leibniz 判别法

: u_n  u_n1  0 0

lim 



 n

n u ^{则交错级数} _n ⁿ

nu







1

) 1

( _收敛

概念 :

,

1

收敛 若





n un



1 n un

称 ^绝对收敛

,

1

发散 若





n un



1 n un

称

思考与练习

设正项级数



1

n un _收敛 , 能否推出



1 2

n un _收敛 ? 提示 :

n n

n u

u² lim

 _n uⁿ



 lim  0 由比较判敛法可知



1 2

n un _收敛 . 注意 : 反之不成立 .例如 ,



1 2

1

n n ^{收敛 ,}



1

1

n n ^{发散 .}

作业

P266 1

2

*3

4

5

备用题

) ; 1 ln(

) 1 1 (



 

n n

1. 判别级数的敛散性

: 1 .

) 2 (





n n n n 解 : (1) ln(n 1)  n,

n n

1 )

1 ln(

1 

 



1

1

n n ^{发散 ,故原级数发散 .}







1

1

n n p

p

级数

不是 p– 级 数

(2)  nlim n n n

lim 1



   1



1

1

n n ^{发散 , 故原级数发散}

n n n

1

n1

2. 收 u_n  0 (n 1,2,3,), lim 1,



 unⁿ

且 n ^则级数

 

) 1

( 1

1 1

1

1

 







n

n u

n u

n

(A) 发散 ; (B) 绝对收敛

;(C) 条件收敛 ; (D) 收敛性根据条件不能确 定 .

分析 : lim 1,



 unⁿ

由n _u¹ ~ ¹_n ,

知 n ∴ (B) 错 ; )

( 1 2

1 1 u n u

S   

又 ( )

3 2

1 1 u u 



C

) ( 3 4

1 1 u u 

 ( )

5 4

1 1 u u 

 )

( )

1

( 1

1 1 1

 





 ^

n

n u

u

 n

1 1

1 1 1 ( 1)



 





 n un

u ⁿ ^^{ 1} (u_n  )

 u