第四节 隐函数及参数方程求导 相关变化率

第四节

一、隐函数的导数

二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率

隐函数和参数方程求导 相关变化率

第二章

3 1

 x y

一、隐函数的导数

若由方程 F(x, y)  0 _可确定 y 是 x 的函 数 ,

由 y  f (x) _{表示的函数 , 称为显函数} 例如 ,x  y³.1  0 _{可确定显函数}

0 3

2 ⁷

5  y  x  x 

y 可确定 y 是 x 的函

数 ,

但此隐函数不能显化 . 函数为隐函数 .

则称此

隐函数求导方法 : F(x, y)  0

0 )

, d (

d F x y  x

两边对 x 求导 ( 注意 y = y (x) )

( 含导数 的方程

y 

)

例 1. 求由方程y⁵  2y  x  3x⁷  0 )

(x y

y  _{在 x = 0 处的导数} .

d 0 d

 x x

y 解 : 方程两边对 x 求导







 2 3 )

d (

d _{5 7}

x x

y x y

得 x

y y

d 5 ⁴ d

x y d 2 d

 1 21x⁶  0

2 5

21 1

d d

4

6



 

 y

x x

y

因 x = 0 时 y = 0 , 故

2 1 d 0

dx x   y

0

确定的隐函数

例 2. 求椭圆 1 9

16

2 2  y 

x _在点 ( 2 , ₂³ 3 ) _{处的切线方程} .

解 : 椭圆方程两边对 x 求 导

8

x  y  y 9

2  0

y

 ₂

2 3

3



 x

y y

x 16

 9

 ₂

2 3

3



 x

y 4

 3



故切线方程为 3 2

 3

y 4

 3

 (x  2) 即 3x  4y  8 3  0

例 3. 求y  x^{sin x} (x  0) _的导数 . 解 : 两边取对数 , 化为隐

式 ln y  sin x ln x

两边对 x 求导

y y

1  cos x ln x

x x

 sin

sin ) ln

cos

sin (

x x x

x x

y  ^x  



1) 对幂指函数y  u^v, 其中u  u(x),v  v(x),可用对数

u v

y ln ln 

y y

1  vlnu

u v u



) ln

( u

v u u

v u

y ^v 

 

 

v u u

y  ^v ln    vu^v1 u

说明 :

按指数函数求导公式 按幂函数求导公式 注意 :

求导法求导 :

2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .

例如 ,  (  0 ,  0 ,  1 )



 



 



 



 



 



 

b b a

a a x x

b b

y a

b a

x

两边取对数

 y ln

两边对 x 求导

  y y

b ln a

x

 a

x

 b



 





 



 



 



 



 



 

 ^{x a b} a

x x

b b

y a

b ln a

x

 a

x

 b b 

x ln a a[lnb  ln x ]b[ln x  ln a ]

又如 ,

) 4 )(

3 (

) 2 )(

1 (







 

x x

x y x

u u u

  ) ln

( 2



ln y  1

对 x 求导

2



 1

 y y

) 4 )(

3 (

) 2 )(

1 (

2 1







 

 x x

x

y x

 

4 1 3

1 2

1 1

1

 

 

 

 x x x

x

两边取对数

2 ln

1

ln x   x  ^{ ln x  3  ln x  4}



1 1

x 2

1



x 3

1

 

x



4 1

  x

二、由参数方程确定的函数的导数

若参数方程





) (

) (

t y

t x

 

可确定一个 y 与 x 之间的函 ) 数

( ,

)

(t



t



_{可导 , 且}^[



^{(t)]2  [}



^{(t)]2  0 ,} 则 0

) ( 

 t



_时 , 有 

x y d d

x t t

y d d d

d 

t t x

y

d d 1 d

d 



) (

) (

t t







  0

) ( 

 t



_时 , 有 

y x d

d

y t t

x d d d

d 

t t y

x

d d

1 d

d 



) (

) (

t t







 

( 此时看成 x 是 y 的函 数 )

关系 ,

若上述参数方程中(t), (t) _{二阶可导 ,}

2 

2

d d

x

y )

d (d d

d

x y x



^2(t) )

( )

(t  t

 ^{ }  ^(t) ^(t)

)

^(t

) (

) ( )

( )

( )

(

3 t

t t

t t















 



  ₃

x

y x x

y









 



y t x

y

t d

) d d (d d

d 

 t

x d d ) (

) ( d

d

t t x

y







 

) (t x  

且

^{(t)  0,}

则由它确定的函数 y  f (x) _{可求二阶导数 .} 利用新的参数方程 , 可得

记





 







 

) (

) ( d

d

2 2

t t x

y



,



) (

) (

t t







  x y d

d

?

例 4. 设 x  f (t)

, 且f (t)  0,求 . d

d

2 2

x y

d

d 

x

y t f (t) ) (t

f   t , d

d

2

2 

x

y 1

) (t f 

已知

解 :

) ( )

(t f t f

t

y   

练习 : 书 P112 题 8 (1)

1 ,

2 12











t y

t

x 

x y d

d 1;

t

 ² ₂ 

d d

x

y _t¹²

t ³

1

 t 解 :

注意 : ^{对谁求导 ?}

例 5. 抛射体运动轨迹的参数方程为 x  v¹t 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向 .

解 : 先求速度大小 :

速度的水平分量为 , d

d

v1

t

x  _{垂直分量为} , d

d

2 gt t v

y   故抛射体速度大小

2

2 )

d (d d )

(d

t y t

v  x   v₁²  (v₂  gt)² 再求速度方向 ( 即轨迹的切线方向 )

设  _{为切线倾角}: ,





tan 

x y d

d t

y d d

t x d d

1 2

v

t g v 



则 ^

2 12

2 t g t v

y  

y

O x

y

O x 抛射体轨迹的参数方程 ²

21 2

1 t g t

v y

t v x





 速度的水平分量 ,

d d

v1

t

x  _垂直分量 ,

d d

2 gt t v

y  



tan

1 2

v

t g v 



在刚射出 ( 即 t = 0 ) 时 , 倾 角为

1

arctan 2

v

 v



达到最高点的时刻 高度 y

g v₂² 2

 1

落地时刻 ^{2 2 ,} g

t  v 抛射最远距离 x

g v v_{1 2}

 2 速度的方向

v2

t  g

2v2

t  g



2 , g t  v

d 0 d 

t y

例 6. 设由方程 (0 1) 1

sin

2

2

2  



















y y

t

t t

x

确定函数 y  y(x), _求 . d d

x y

解 : 方程组两边对 t 求导 , 得

故 

x y d d

) cos 1

)(

1

(t y

t





  t

y d d t x d d

 t

2 y

t t

y

cos 1

2 d

d



  2

2 

 t

y



cos

 t

y d

d  0

) 1 (

d 2

d  t  t

x

t y d d

t x d d

三、相关变化率

) ( ,

)

(t y y t x

x   _{为两可导函数} y

x , _{之间有联系}

t y t

x

d , d d

d 之间也有联系

称为相关变化率 相关变化率问题解法 :

找出相关变量的关系式

对 t 求导

得相关变化率之间的关系式

求出未知的相关变化率

例 7. 一气球从离开观察员 500 m 处离地面铅直上 升 ,

其速率为140m min , _{当气球高度为 500 m 时 , 观察} 视线的仰角增加率是多少员 ?

500

h

 解 : 设气球上升 t 分后其高度为 h , 仰角为

 ,

则 tan





500 h

两边对 t 求导

2



sec dt d

 t

h d d 500

 1 已知 140m min ,

d

d  t

h h = 500m 时 ,tan



 1,



 ²

2 1 tan

sec  

, 2 sec²





t d

d



₁₄₀

500 1 2

1  

  0.14 (rad/ min )

思考题 : 当气球升至 500 m 时停住 , 有一观测

100 m者以／ min 的速率向气球出发点走

来 , 当距离为 500 m

时 , 仰角的增加率是多少

?

提示 : tan





x 500

对 t 求导

2



sec d t d



 t

x x d

d 500

 2



已知 d

100m min , d

x

t   .

d d

t



x

500



, m

 500

x _求

试求当容器内水

h R x r  h 

例 8. 有一底半径为 R cm , 高为 h cm 的圆锥容器 今以 自顶部向容器内注水 ,

,

s cm

25 ³

位等于锥高的一半时水面上升的速度 . 解 : 设时刻 t 容器内水面高度为 x ,

水的



V ¹₃ π R²h  ¹₃ π r²(h  x)

h ]

) (

3 [

π _{3 3}

2 2

x h

h h

R  



两边对 t 求导

t V d d

2

π 2

h

 R  (h  x)^{2 ,} d d

t

 x 而

) , (

π

25

2 2

2

x h

R

h

 ,

2 时 当 h

x 

h x h

R

r 



故 ^ t x d d

) s cm (

d 25

d  ₃

t V

) s cm π (

100 d

d

R2

t x  体积为 V ,

则

R ^x r

内容小结

1. 隐函数求导法则 直接对方程两边求导

2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘 , 连除表示的函数

3. 参数方程求导法 极坐标方程求导

4. 相关变化率问题

列出依赖于 t 的相关变量关系式

对 t 求

相关变化率之间的关系式导 转化

求高阶导数时 , 从低到高每次都用参数方程求导公 式

思考与练习

1. 求螺线r 



在对应于 的点处的切线方程 . 解 : 化为参数方程

 

sin cos r

y

r

x  



cos







sin

 x 

y d

d d dy

 d

dx  sin







cos









sin cos 

当 时对应点 斜率 x

k y

d

 d

π2

  π

 2



2π



 M ( 0, ₂^π),

∴ 切线方程为

2 π π

2 



 x

y

π2





π M 2

O x

点击图中任意处 动画播放 \ 暂停

2. 设 , ) 2

( ) 2

(sin ^tan _ln ³ ₂

x x x

x x

y ^x _x



 

 _求 y.

y1

y2

提示 : 分别用对数微分法 求

. , ₂

1 y y  答案 :

2

1 y

y

y    

) 1 sin

ln (sec

)

(sin ^{tan 2}  

 x ^x x x

3 2

ln (2 )

3 1

x x

x ^x 

 

 

) 2

( 3

2 )

2 ( ln 3

2

1 x

x x

x x

 

 



3. 设 y  y(x) _由方程 e ^y  x y  e _确定 , y(0), 解 : 方程两边对 x 求

导 ,

得 0 e ^y y  y  x y  再求导 , 得

² 

e ^y y (e^y  x) y   2y  0 _② 当 x  0 时 ,y  1, 故由 ① 得

e ) 1

0

(   y

再代入 ② 得 ₂ e ) 1

0 (  y 

求 .

) 0 ( y 

①

作业

P111 1 (1) , (4) ; 2 ; 3 (3) , (4) ; 4 ⁽²⁾ , ⁽⁴⁾ ; 5 ⁽²⁾ ; 6 ; 7 ⁽²⁾ ;

8 (2) , (4) ; 9 (2) ; 10 ; 12

求其反函数的导数 .

, e^x x

y  

解 : 

x y d

 d



 y

x d

d

方法 1 1 e^x

y 1

ex

1 1

 

方法 2 等式两边同时对 求导

y



1 y

x d

d _x

 e

y x d

 d 

y x d d

备用题

ex

1 1

 1. 设

, 求















0 1

sin e

2 3 ²

y t

t t

x

y .

d d

0

x t

y

解：方程组两边同时对 t 求导 , 得 

t x d d ey

t  y d d

d 0

d





x t

y 2. 设

2 6t 

t y d

 d sint 0

d

d 

 t t y

y cos

 e

t t

y y

sin e

1

cos e



t x t y

d d

d d

 (1 e sin )(6 2) 0

cos e

 

 

y t y

t t

t

2

 e

 0 t