第十节 闭区间上连续函数的性质

第十节

一、最值定理 二、介值定理

* 三、一致连续性

闭区间上连续函数的性质

第一章

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注意 : 若函数在开区间上连续 , 结论不一定成立 .

一、最值定理

定理 1. 在闭区间上连续的函数 即 : 设f (x)C[a, b] ,

1 ₂ 则 



₁ ,



₂ [ a, b] , 使

) ( min

)

( ₁ f x

f



 a xb

) ( max

)

( ₂ f x

f



 a xb

值和最小值 .

或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大

( 证明略 )

点 ,

x y

a b

) (x f y 

O

例如 , y  x , x (0,1) 无最大值和最小值













   



2 1

, 3

1 ,

1

1 0

, 1 )

(

x x

x

x x

x f

2 2

也无最大值和最小值

又如 , x

y

1 1

O

x y

O 1

1

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] , [ )

(x a b

f 在

因此

1 ₂ m

M

二、介值定理

由定理 1 可知有 ,

) ( max[ , ] f x

M  x a b min ( )

] ,

[ f x

m  x a b

, ] , [a b x 

故 

证 : 设f (x)C[a, b] ,

, )

(x M

f

m  

有

上有界 .

定理 2. ( 零点定理

)

, ] , [ )

(x C a b

f 

至少有一点 ,

) , ( a b



 且

使 f (



)  0 . 0

) ( )

(a f b  f

( 证明略 )

推论 在闭区间上连续的函数在该区间上有界 .

b x y

a

) (x f y 

O

 x

y

a

b ) (x f y  O

定理 3. ( 介值定理

) 设 f (x)C[a, b] , _且 f (a)  A,

, ,

)

(b B A B

f   _则对 A 与 B 之间的任一数 一点



( a, b), C ,

证 : 作辅助函数

C x

f

x)  ( ) 



(

则



(x)C[a, b] , 且 )

( )

(a



b



 (A  C)(B  C)  0

故由零点定理知 , 至少有一点



( a, b), _使



⁽



^{)  0,}

即 f (



)  C .

推论 : 在闭区间上的连续函 数

C

 使 f (



)  C.

至少有

必取得介于最小值与 最大值之间的任何值 .

x A

b y

a

) (x f y  B

O

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O 1 ^x

例 . 证明方程 x³  4x² 1  0 一个根 .

证 : 显然f (x)  x³  4x² 1C[0,1] , 又 ,

0 1

) 0

(  

f f (1)  2  0

故据零点定理 , 至少存在一点



(0,1),_使 f ⁽



^{)  0,} _即 0

1 4 ²

3 



 



说明 :

2 ,

 1

x f (¹₂)  ₈¹  0, 内必有方程的根 ;

) 1 , (₂¹

取[¹₂ ,1] _的中点 x  ₄³ , f (₄³)  0, 内必有方程的根 ;

) ,

(¹_{2 4}³  ^{可用此法求近似根 .}

 二分法





 在区间( 0,1)

的中点 取 [0,1]

内至少有

则 则

43 21

内容小结

* 三 . 一致连续

性

已知函数 f (x)_{在区间 I 上连续 ,即 :}

0 I, x 

 



 0,  (x₀)  0, 当 x  x₀ 



时,





 ( ) )

(x f x₀ f

一般情形 ,



与



, x₀ 都有关.若



与x₀无关时, _就引出 了一致连续的概念 .

定义 : 对 f (x), x  I , _若



 0, _存在



 0, ,

, ₂

1 x I

x 

对任意的 都有 f (x₁)  f ( x₂) 



, )

(x

则称 f 在 I 上一致连续

显然 : f (.x)在区间 I 上一致连续

上连续 在区间 I

x f ( )

2 ,

1 时

当 x  x 



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例如 , f (x)  ¹_x C ( 0,1 ],_{但不一致连续} ^.

因为 



 0 (0 



1), _取点 ^x₁ ^{ 1}_n^{, x}₂ ^ _n¹_1 ^{(n N),} 则 x1  x2  ¹_n  _n¹_1  _n(n¹_1) 可以任意小

但 f (x₁)  f (x₂)  n  (n 1)  1 



这说明 ^{f (x)  1}_x在 ( 0 , 1 ] 上不一致连续 .

定理 4. 若 f (x)C[a,b] , 则 f (x) 在 [a,b]^{上一致连续 .}

( 证明略 )

思考 : P74 题 ^*7

提示 : 设 ^{f (a), f (b)} 存在 , 作辅助函数

 ) (x F

a x

a

f ( ^) , 

b x

a x

f ( ) ,   b x

b

f ( ^) ,  F(x) C[a,b] 显然

内容小结

则 设 f (x)C [a ,b],

在

) ( .

1 f x

上达到最大值与最小值 ;

上可取最大与最小值之间的任何值 ; 4. 当f (a) f (b)  0 _时 ,_必存在  (a, b), _使 f ( )  0.

] ,

[a b _上有界 ;

在

) ( .

2 f x ^[a,b]

在

) ( .

3 f x ^[a,b]

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1. 任给一张面积为 A 的纸片 ( 如 图 ),

证明必可将它

思考与练习

一刀剪为面积相等的两片 . 提示 : 建立坐标系如图 .

O x y





则面积函数 S(



) C[



,



] 因 S(



)  0, S(



)  A

故由介值定理可知 : , ) ,

0 (

 





 .

) 2

( ₀ A

S



 使

) (



S



则

, ] 2 , 0 [ )

(x C a

f  f (0)  f (2a) , _{证明至少存在} ,

] , 0

[ a

  _使 f ( )  f (  a). 提示 : 令(x)  f (x  a)  f (x) ,

则(x) C[0,a], _易证 (0)(a)  0 2. 设

P74

⁽ 习题 1 －

作业

10 ）

2 ; 3; 5

一点

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

^0,4



^,

)

(x 在闭区间 上连续

f

备用题

^{x  ex31}至少有一个不超过 4 的

证：

证明

令 f (x)  x  e^x31

且

 ) 0 (

f  e^31

 ) 4 (

f 4  e^431

 0

0 e

3  

 根据零点定理 ,

, ) 4 , 0

(

 使 f ₍



_{)  0,} 原命题得证 . )

4 , 0

( 内至少存在一点 在开区间

显然 正根 .