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(1)

台北市立建國高級中學第六十六期通訊解題題目解答與評析

紙上寫有1,2,…,2008這2008個正整數，第1步劃去前面4個數1,2,3,4，在2008後面寫上劃去的4個數的和10，第2步再劃去前面4個數5,6,7,8，在最後面寫上劃去的4個數的和

26；如此下去（每步劃去前面4個數，在最後面寫上劃去的4個數的和），到最後剩下一個

數為止，所有寫出的數（包括原來的1,2,…,2008）的總和是多少？

【解答】

『方法一』

（1）假定原先有4^k個數，其和為S，當4^k個數劃完，需要4^k-1步，紙上剩下4^k-1

個數，這4^k-1個數的和等於原來4^k個數得和S，故當最後剩下一個數時，

所有寫出的數的總和是(k＋1)S。

（2）2008＝4⁵＋984，原來的數經過 3

984＝328步後，剩下4⁵個數，被劃去的數

有328×4＝1312個，它們是1,2,…,1312，而紙上剩下的4⁵個數之和就是 1＋2＋…＋2008，因此，最後剩下一個數時，所寫出數的總和為

(1＋2＋…＋1312)＋6(1＋2＋…＋2008)＝12963544

『方法二』台北市民生國中姚驊庭的作法，略加修改。

以下黑字為寫上的數字，紅字為每組剩下的數字，

第一組：2008個 1,2,…,2008 第二組：502個

(1＋2＋3＋4),(5＋6＋7＋8),……,(2005＋2006＋2007＋2008) 第三組：125個，剩下2個

(1＋…＋16),(17＋…＋32),……,(1985＋…＋2000) ,(2001＋…＋2000) ,(2002＋…＋

2008)

第四組：31個，剩下3個

(2001＋…＋2008,＋1＋…＋32),(33＋…＋96),…,(1889＋…＋1952),(1953＋…＋

1968) ,(1969＋…＋1984) ,(1985＋…＋2000) 第五組：8個，剩下2個

(1953＋…＋2008,＋1＋…＋32), (33＋…＋288), …,(1569＋…＋1824) , (1825＋…

＋1988 ),(1989＋…＋1952) 第六組：2個，剩下2個

(1825＋…＋2008,＋1＋…＋288), (289＋…＋1312), (1313＋…＋1568 ),(1569＋…

＋1824) 第七組：1個 (1＋…＋2008)

6601

(2)

所寫出數的總和為以上七組中黑字的數字的總和，總和為 (1＋2＋…＋1312)＋6(1＋2＋…＋2008)＝12963544

【評析】

1. 『方法二』台北市民生國中姚驊庭的作法，是根據題意按部就班畫記、計算得到解答。

硬算，亦是解決數學問題的方法之一，同學們可從過程中訓練自己演繹、歸納的能力。

2. 『方法一』利用歸納出本題的規律性『假定原先有4^k個數，其和為S，當4^k個數劃完，需要4^k-1步，紙上剩下4^k-1個數，這4^k-1個數的和等於原來4^k個數得和S，故當最後剩下一個數時，所有寫出的數的總和是(k＋1)S』而解決此題。

3. 本題參與徵答的同學中，一些同學的作答中或有錯誤、或是不完整，同學作答之後應再作檢驗，當可減少錯誤，以期作答更完整。

4. 解題的訓練，不是答案作出來就OK了！可進一步思考、歸納這個數學問題是否有規律性？是否有其他的解法？可否推廣至一般性？這部份的思考、研究會讓您獲益良多！

本題參與徵答人數有10人，分數如下：

得7分者，3人：

台北市民生國中姚驊庭台中市居仁國中郭昱廷台北市民生國中陳士鈞得5分者，3人：

台中縣光德國中陳和謙台北市民生國中洪欣均台北市民生國中張育僑得4分者，1人：

有2008張卡片，編號：1,2,3,4,---,1000，

在編號是2的倍數卡片印上一個”*”記號；

在編號是4的倍數卡片再增加印上一個”*”記號；

在編號是8的倍數卡片再增加印上一個”*”記號；

在編號是16的倍數卡片再增加印上一個”*”記號，

然後停止印卡片的動作。(例如：編號是64的卡片因為是16的倍數，所以共印上4個”*”記號。)將卡片由編號1,2,3,----,1000號順著正整數的編號開始數”*”記號的次數，則第2008個

”*”記號是在編號哪一張上？

【解答】

找出規律

將1-16號卡片的”※”記號依序標出

卡片號碼 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

※個數 0 1 0 2 0 1 0 3 0 1 0 2 0 1 0 4

1-16號共標有15 個※號

6602

(3)

17-32號也標有15個※號 2008 ÷16=133---13

第13個標號標於第16張卡片上 16×134=2144

但只有2008張卡片，故此題無解

(桃園縣新興國中陳宗蔚與台中市居仁國中王嘉賢提供)

【評析】

這是一個非常簡單的數學問題，運用因數倍數與計數的方法來處理即可，惜因所問的問題

『第2008個”*”記號』的卡片編號超過2008，故此題看到學生的答題情形可分為兩種：一為超過編號無解，另一個為把第2008個※編號的卡片

算出來，但整體來說，同學都答得非常好，以下是他們的得分情形就讀國中姓名得分就讀國中姓名得分台北縣江翠國中廖浩翔 7 台中市居仁國中黃顯博 6 桃園縣新興國中陳宗蔚 6 台中市光德國中陳和謙 3 台中市居仁國中王嘉賢 7 台北縣丹鳳國中張昱政 7 台北市民生國中姚驊庭 7 台北縣江翠國中廖伯穎 7 台北市民生國中黃振 7 基隆市銘傳國中林琨欽 6 台北市民生國中張育僑 6 基隆市銘傳國中林益平 7

找出所有的質數 p,使得^p² ^²⁶³⁹至少有16個不同的正因數。

【解答】

(1) p=2, p² + 2639 = 2643 = 3×881，有 (1+1)(1+1) = 4個正因數。

(2) p=3, p² + 2639 = 2648 = 2³×331，有 (3+1)(1+1) = 8個正因數。

(3) p>3時，

∵ p  1 (mod 3) ∴ p² + 2639  2640  0 (mod 3)。

又 p為奇數，∴ p²  1 (mod 8)，則 p² + 2639  2640  0 (mod 8) 即 3 | (p² + 2639) 且8 | (p² + 2639)，

所以 p² + 2639 = 24k =2³×3×k, 其中 k > 24。

則 p² + 2639至少有 (3+1)(1+1)(1+1) = 16 個不同的正因數。

因此，若p是大於3的質數，則 ^p² ^²⁶³⁹ 至少有16個不同的正因數。

【評析】

本題是檢驗同學們是否清楚標準分解式中正因數個數的求法；同時也要能將整數適當地分類，來檢驗一個整數是否能有3或8的因數。

參與徵答同學數有6人，皆能採取有效的方法討論出所求的p值。其中得滿分7分的同 6603

(4)

學有3人：台北市民生國中張育僑；台北縣江翠國中廖柏穎；台中市居仁國中蔡哲平同學。

另外，3位同學皆得6分，都是需要將證明寫的更完整：

桃園市新興國中陳宗蔚同學的「可得 3n² n+220為偶數」與台北市民生國中姚驒庭同學的

「發現 2n²+n+330為3的倍數」皆須要說明清楚。至於台北市民生國中黃振同學證明過程的敘述也要再加強。

設



^x^ ^x²^¹



^y^ ^y²^⁴



^⁷^，則^x ^y²^⁴^ ^y ^x²^¹^{之值為何？}

【解答】解法：

『方法一』

∵



^x^ ^x²^¹



^y^ ^y²^⁴



^⁷

同乘



^x²^¹^^x



^y²^⁴^^y



^，得



^x²^¹^^x



^x^ ^x²^¹



^y²^⁴^ ^y



^y^ ^y²^⁴

 

^⁷ ^x²^¹^^x



^y²^⁴^^y



⁴^⁷



^xy^^x ^y²^⁴^^y ^x²^¹^ ⁽^x²^¹⁾⁽^y²^⁴⁾



7 ) 4 4 )(

1 ( 1

4 ² ² ²

2      

x y y x x y

xy …

又由條件乘開

7 ) 4 )(

1 ( 1

4 ² ² ²

2      

x y y x x y

xy …

式－式，得



⁴ ¹



⁴⁵₇

2x y²  y x² 

故 14

1 45

4 ²

2  y x  

y x

『方法二』

由條件乘開

7 ) 4 )(

1 ( 1

4 ² ² ²

2      

x y y x x y

xy …

令x y²4 y x²1z

則式化為zxy ⁽x²¹⁾⁽y²⁴⁾⁷

⁷^^z^^xy^ ⁽^x²^¹⁾⁽^y²^⁴⁾

平方得4914zz² x²y²(x²1)(y²4)2xy (x²1)(y²4)…

又^z²^



^x ^y²^⁴^^y ^x²^¹



²^＝^x²⁽^y²^⁴⁾^^y²⁽^x²^¹⁾^²^xy ⁽^x²^¹⁾⁽^y²^⁴⁾

6604

(5)

I P

H

F G

E D

C

B A

代入得4914z 4，所以 14

 45 z

『方法三』台中市居仁完全中學蔡哲平的作法

（1）設x x²1a，y y²4b，則ab＝7

（2）∵x x²1a  x²1ax x²1a²2axx²

a x a

2

2 1



（3）∵^y^ ^y²^⁴ ^^b ^y²^⁴^^b^^y ^y²^⁴^^b²^²^bx^ ^y²

b y b

2

2 4



（4）x y²4 y x²1＝xbyyax＝bx＋ay－2xy ＝

a b a

2

2 1

 ＋

b a b

2

24

 －

b b a a

2 4 2

2 1

2

2   ＝

 

ab ab

2

2 4＝

7 2

4 7²



 ＝

14 45

【評析】

1. 本題參與徵答的同學大部分都答對，可看出同學的代數運算能力很好。

2. 『方法一』利用(a＋b)(a－b)＝a²－b²，同乘



^x²^¹^^x



^y²^⁴^^y



^{，再由原式乘開，經}

由式、式得到答案。

3. 『方法三』利用變數變換，亦是數學上常用、好用的方法。

4. 本題參與徵答人數有8人，分數如下：

台中市居仁完全中學蔡哲平台北市民生國中姚驊庭台北市民生國中張育僑彰化縣陽明國中楊皓翔基隆市銘傳國中林益平台中市居仁國中郭昱廷

台北縣江翠國中李承翰得1分者，1人：

桃園縣新興國中陳宗蔚

在ABC中，AB= 850，BC= 900，CA= 1020，點P

在三角形內部，DE 、FG 、HI都通過點P，長度

都為d，且DE//AB，GF //CB，HI //AC，則d =？

【解答】

解：EH =BC (BE+HC ) =BC  (FP+PG) = 900  d，

同理可得，GD= 1020  d，由 DPG與ABC相似 6605

(6)

得DP=

CA

AB ^GD= 1020

850 (1020  d )，再由

PEH與 ABC相似得PE=

BC

AB EH = 900

850 (1020  d )，

由d =DP+PE，將上面二式相加得，d = 1020

850 (1020  d ) + 900

850(1020  d )

 d = 612

解題重點：

這是一個「平行三角形底邊的截線性質」的應用問題，想暸解同學們是否能使用

「平行三角形底邊的截線可截出相似三角形」的性質，或進一步使用「平行四邊形的定義」。來徵答同學中皆是用上述方法處理，尚無人用三角函數法解本題。

上面是我們提供的解法，僅供各位參考。

【評析】

本題徵答人數17人，其中得7分者有12人，得6分者有5人。得7分的同學是：

台北市民生國中張育橋同學、九年3班黃亮鈞同學、九年8班姚驊庭同學、九年 9班黃振同學；台北市東山國中劉凱勛同學；台北縣江翠國中八年23班黃冠傑同學、九年2班李承翰同學、九年21班廖柏穎同學；桃園新興國中八年1班陳宗蔚同學；台中市居仁國中八年32班蔡哲平同學王嘉賢與同學；台中縣光榮國中九年 29班陳鴻祥同學。

建中數學科競賽組范文榮