高雄市明誠中學高二數學平時測驗日期：109.03.13

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：109.03.13

範 圍

空間 空間向量之外積

班級 二年____班 姓 座號 名

壹、填充題：每題十分

1.正四面體OABC的各稜長為6﹐點O在底面ABC上的正射影為H﹐則

(1)OH長為____________﹒ (2)四面體體積為____________﹒

解答 (1)2 6;(2)18 2

解析 (1) ^{2 2 3} 6 2 3

3 3 2

AH= AM =   = ﹐故OH= 6²−(2 3)² =2 6﹒

(2) 錐體體積 ¹

= 3 底面積高 ¹( ³ 6 ) 2 6² 18 2 3 4

=   = ﹒

2.設ABCD為正四面體（各面均為正△）﹐其稜長a﹐設M為CD中點﹐AMB = ﹐則 (1)其高AG=____________﹒ (2)體積為____________﹒

(3)全表面積為____________﹒ (4)cos = ____________﹒

解答 (1) ⁶

3 a;(2) ^{2 3}

12 a ;(3) ^3a2;(4)¹ 3

解析 (1)∵稜長為a﹐底面△BCD的中線BM 長為 ³

2 a﹐G為重心﹐

∴ ²( ³ ) ³

3 2 3

BG= a = a﹐

△ABG中﹐ ^{2 2 2 2 1 2 2 2 6}

3 3 3

AG =AB −BG =a − a = a  AG= a﹒

(2)體積 ¹

=3(底面積)  高 ^{1 3 2 6 2 3}

3 4 a 3 a 12a

=   = ﹒

(3)全表面積 = 4(△BCD) 4 ^{3 2} 3 ²

4 a a

=  = ﹒

(4)△AGM中﹐

1 3 3 2 1

cos 3 3

2 GM a

AM a

 = = ^ = ﹒

3.有一個底為正方形的直角錐﹐每一稜長都是10﹐設□ABCD為其底﹐O為

其錐頂﹐

(1)求此直角錐之高為____________﹒

(2)若兩側面之夾角為﹐則cos = ____________﹒

解答 (1)5 2;(2) ¹

−3

A

O

B

C D

O

B

A C

H M

6

6 3

A

B D

C G M

a

A

O

B

C D

H 10

10 10

解析 (1)作圖如下﹕ ¹ 5 2

CH=2AC= ﹐OC=10OH= OC²−CH² = 100 50− =5 2﹒ (2)取OB中點M﹐連接AM ﹐CM﹐如下圖﹐

△AMC中﹐AM =CM =5 3﹐AC=10 2

2 2 2

(5 3) (5 3) (10 2) 1 cos= 2 5 3 5 3^{+ −} = −3

  ﹒

4.正八面體各稜長均為a﹐相鄰二側面之夾角為﹐求cos = ____________﹒

解答 ¹

−3

解析 取AC中點M﹐∵各面均為正三角形﹐

∴BM ⊥AC﹐DM⊥AC﹐

∴BMD為二側面之夾角﹒

△BDM中﹐ ³

BM = 2 a﹐ ³

DM = 2 a﹐BD= 2a﹐

∴

2 2 2

2 2 2 3 3

( ) ( ) ( 2 )

2 2 1

cos 2 3 3 3

2 2 2

a a a

BM DM BD BM DM

a a

= ^{+ −} = ^{+ −} = −

   

﹒

5.如下圖﹐設ABCD − EFGH是一個邊長為2的正六面體﹐則

(1)四面體AEDB的體積為____________﹒

(2)四面體AEDB的兩歪斜稜AE﹐DB的距離為____________﹒

解答 (1)⁴

3;(2) 2 解析 (1)所求 ¹

= 3 (△ABD面積)  高 ¹ (¹ 2 2) 2 ⁴

3 2 3

=     = ﹒ (2)作AH ⊥BD﹐又AH ⊥AE﹐則AH 為所求﹐

△ABD的面積 ¹ 2 2 ^{1 1} 2 2 ² 2

2 2 BD AH 2 AH AH 2

=   =   =    = = ﹒

6.如圖﹐設A﹐B﹐C在平面E上﹐且AB⊥BC﹐另設PA⊥平面E於A﹐已知

8

PA= ﹐AB=6﹐BC=24﹐求PC=____________﹒

解答 26

解析 △PAB中﹐PB= 8²+6² =10﹐∵PA⊥E﹐AB⊥BC﹐ 由三垂線定理知PB⊥BC﹐

△PBC中﹐PC= PB²+BC² = 10²+24² =26﹒

7.如圖﹐四面體ABCD﹐已知BC⊥BD﹐AD⊥平面BCD﹐且BC=7﹐AB=24﹐

20

AD= ﹐若平面ABD和平面ACD所夾二面角的度量為﹐試求sin之值為____﹒

解答 ⁷ 15

解析 AC= 7²+24² =25﹐CD= 25²−20² =15﹐則sin ⁷

⁼15﹒

B A

O

M

C D

E

B C

D M A

A B

D C

G F E

H

A B

D C

G F E

H H

P

E C

B A

8

24 6

A

B C

D

8.如下圖﹐長方體ABCD − EFGH中﹐AE=1﹐AB=2﹐AD=3

(1)有一蜜蜂從A點飛到G點﹐其飛行的最短距離為____________﹒

(2)有一螞蟻從A點爬到G點﹐其爬行的最短距離為____________﹒

解答 (1) 14;(2)3 2

解析 (1)AG= AE²+EG² = AE²+(EF²+FG²)= 1²+2²+3² = 14﹒

(2)(i)將矩形DCGH沿DH 攤開﹐如圖﹐ 此時AG= (3+2)²+1² = 26﹒

(ii)將矩形DCGH沿DC攤開﹐如圖﹐ 此時AG= (3 1)+ ²+2² = 20﹒

(iii)將矩形BCGF沿BC攤開﹐如圖﹐ 此時AG= 3²+(2 1)+ ² = 18=3 2﹒

由(i)(ii)(iii)知爬行的最短距離為 18﹒

9.有一正四角錐﹐底面是邊長 10 公分的正方形﹐側面是腰長 13 公分的等腰三角

形﹐若底面與側面的夾角為﹐則cos 之值為____________﹒

解答 ⁵ 12

解析 由圖﹕AM =12﹐MH=5﹐∴cos ⁵ 12 MH

= AM = ﹒

10.有一個直四角錐﹐它的底面是邊長為8的正方形﹐四個側面為全等的等腰三角形﹐若頂點O到

底面ABCD的垂直距離為3﹐則 (1)OA=____________﹒

(2)平面OAB與平面OBC之夾角餘弦值為____________﹒

解答 (1) 41;(2) ¹⁶ 25

−

1 2

A 3 D C

E H G

2 1 3

C G B

H D A

A

F B

D

G C 2

1

3

A D

H

F G

B E

C 1

3 2

A

B C

D M

E H

13 10

解析 (1)如圖﹐O在平面ABCD上的投影為E﹐則AE=¹

2 AC= 4 2﹐ 於直角△AOE中﹐OA= AE²+OE² = (4 2)²+3² = 41﹒ (2) F OB﹐作AF⊥OB﹐CF⊥OB﹐

則AFC即為平面OAB與平面OBC之二面角﹐

如圖﹐OH= ( 41)²−4² = 5﹐

△OAB之面積=¹

2 ABOH=¹

2 OBAF﹐ 即¹

2 8  5 =¹

2 41AF﹐則AF= ⁴⁰

41﹐同理CF= ⁴⁰ 41﹐ 於△ACF中﹐由餘弦定理﹕

cos(AFC) =

2 2 2

2

AF CF AC AF CF

+ −

  =

2 2 2

40 40

( ) ( ) (8 2 )

41 41

40 40 2 41 41

+ −

  = ¹⁶

25

− ﹒

11.四面體ABCD中﹐AB=AC=AD=9﹐BC=CD=BD=6﹐則直線AB與直線CD

的距離為____________﹒

解答 23

解析 (i)取CD之中點M﹐作MN⊥AB﹐則此時MN亦垂直CD﹐故MN 即為所求﹒

(ii)BM =3 3﹐ ² 2 3

BH =3BM = AH = 81 12− = 69﹒

(iii)△ABM ^{1 1}

2BM AH 2AB MN

=  = 

3 3 69 9 MN 9 23 9MN

  =   = ﹐ 故MN= 23﹒

12.如圖﹐將一張四邊形的紙 ABCD 沿著對角線BD摺起﹐使得 ABC = 45﹐已知

4

AB=AD= ﹐BC=CD=2 2﹐A = 60﹐若平面ABD與BCD的夾角為﹐則cos

= ____________﹒

解答 ¹ 3

解析 (i)AB=AD=4且A = 60﹐ ∴BD=4﹒

(ii)M為BD之中點﹐ ∴CM = 8 4− =2﹐AM = 16 4− =2 3﹒ (iii)△ABC中﹐

2

8 16 2

cos 45 8

2 2 2 4

AC AC + −

 =  =

  ﹐ ∴△AMC中﹐cos ^{4 12 8 1} 2 2 2 3 3

 = ^{+ −} =

  ﹒

13.有一矩形紙板ABCD﹐將D點沿AC線段上摺至D位置﹐由D點作ABC平面之垂線D H ﹐其垂足

H點恰好在AB邊上﹐已知AB=4﹐BC=3﹐則此時D﹐A﹐B﹐C四點所形成的四面體D − ABC之 體積為____________﹒

E F B A

O

C

D 3

8 8

8

A

B D

C A

B D

C H M N

6

9

3 3

A C

D B

A

C

B D

解答 ^{3 7} 2

解析 ∵D H ⊥AB﹐又AB⊥BCD B ⊥BC（三垂線定理）﹐ 又AD=AD'=3﹐CD=CD'=4﹐∴BD'= 4²−3² = 7﹐

〈解法一〉直角三角形

∵AB=4﹐AD =3﹐BD = 74²=3²+( 7 )²﹐

∴AD B = 90 ﹐∴ ^{3 7 3 7}

4 4

D H =  = 1 1 3 7 3 7

( 3 4)

3 2 4 2

D ABC

V _−

 =     = ﹒

〈解法二〉非直角三角形

令∠D'AB = ﹐已知AD'=3﹐AB=4﹐BD'= 7﹐ 由餘弦定理知

2 2 2

cos 3

2 4

AB AD' BD' AB AD'

 = ^{+ −} =

  ﹐故sin 1 cos^{2 7}

= −  = 4 ﹐

△AD'H中﹐ sin 3 ^{7 3} 7

4 4

D'H =AD' =  = 1 1 3 7 3 7

( 3 4)

3 2 4 2

D ABC

V _−

 =     = ﹒

14.如圖﹐設二平面E與 F的夾角是 30﹐A 為其交線L上一點﹐又平面E上線段AB

的長為10﹐AB與L的夾角是60﹐則AB在平面F上之正射影AC的長為_______﹒

解答 ^{5 13} 2

解析 作CD⊥L﹐則BD⊥L AD=5﹐BD=5 3﹐ ¹⁵ CD= 2 ﹐

∴ 5² (¹⁵)^{2 325 5 13}

2 4 2

AC= + = = ﹒

15.將一正方形紙ABCD沿對角線BD摺起﹐使得ABC = 60﹐則平面ABD與

平面CBD之夾角為________度﹒

解答 90

解析 取O為BD中點﹐則AO⊥BD﹐CO⊥BD﹐AOC為平面ABD與平面CBD之夾角﹐

設正方形ABCD的邊長為a﹐

在△ABD中﹐A = 90﹐ABD = 45﹐ ∴

2

AO= a =OC﹐ 在△ABC中﹐∵AB=BC=a﹐ABC = 60AC=a﹒

∴

2 2

2 2 2 2

2 2

cos 0

2 2

2 2

a a OA OC AC a

AOC OA OC a a

+ −

+ −

 = = =

    AOC = 90

 兩平面ABD與CBD的夾角為90﹒

16.正四面體ABCD中﹐△ABC與△ACD的重心分別為M與N﹐若已知MN=2﹐則四面體ABCD的體

積為____________﹒

D'

H B

D C

A 4

3

3 4

3 7

A C

B L

F E

60° 5

30°

5 3

A D L

B F C E

5 3 2

A

B C D

O

60°

解答 18 2 解析 ^{1 2}

2 3

MN=  ABAB=6﹐故正四面體A − BCD體積 ² 6³ 18 2

= 12  = ﹒

17.如下圖﹐正方形ABCD的邊長為2﹐而P﹐Q各為BC﹐CD的中點﹐今將此正方形沿

虛線向上摺起﹐使 B﹐C﹐D 三點重合﹐令此重合點為 R﹐則 R 到△APQ 的距離為 __________﹒

解答 ² 3

解析 作圖如下﹕

如圖﹐ ( 5)² ( ²)^{2 3}

2 2

AM = − = ﹐

由體積可知﹕¹ (¹ 1 1) 2 ¹ (¹ 2 ³ )

3 2   = 3 2  2 h﹐∴ ² h=3﹒

18.三角錐（四面體）ABCD﹐頂點A﹐底面為△BCD﹐已知AB=AC=AD= 21﹐底邊BC=CD=DB=6﹐

求(1)平面ABC與底面BCD的銳夾角為____________﹒(2)若AH垂直於底面BCD於H﹐則高AH的 長為____________﹒

解答 (1)60;(2)3

解析 (1)AM = 21 9− =2 3﹐DM =3 3﹐

∴cos ^{12 27 21 18 1} 36 2 2 2 3 3 3

 = ^{+ −} = =

  ﹐∴ = 60﹒

(2) ² 2 3

DH=3DM = ﹐∴AH= 21 12− =3﹒

19.下圖中﹐斜坡平面和水平面成45的二面角﹐在斜坡平面上有一條公路和二

面角的稜成30﹐某人沿此公路由A點向上行走至C點﹐測得垂直上升了500 公尺（CH=500）﹐問此人沿公路走了_________公尺﹒（求AC之長度）

解答 1000 2

解析 如圖﹐取C點在稜線之投影點為B

 sin 45 sin 30 sin 45 500 ^{1 1}

2 2

CH =BC  =AC    =AC 

∴AC=1000 2（公尺）﹒

20.四面體ABCD中﹐AB=AC=BC=BD=CD=4﹒

(1)當AD=2時﹐若相鄰兩面ABC與BCD的夾角為﹐則cos = __________﹒

(2)當四面體ABCD有最大體積時﹐AD的長為____________﹒

解答 (1)⁵

6 ;(2)2 6

A

B

D Q P C

A

M Q

P 2

2 5

A

B

C

D M H

3

3 6

21 21

A

C H 45° 30°

A

C 45° H45°

30° B

4 4

4 4

4 A

B D

C

解析 (1)作圖如下﹕ 設BC的中點為M﹐

∴ ³ 4 2 3

DM = 2  = =AM﹐ ∴cos ^{12 12 4 20 5} 24 6 2 2 3 2 3

= ^{+ −} = =

  ﹒

(2)作圖如下﹕

∵ ³ 4² 4 3

BCD= 4  =

△

∴ABCD體積 ^{1 4 3}

3 BCD AH 3 AH

= △  =  （∴AH 愈大愈好）

（由三垂線定理中知H落在DM上）

^{4 3}

3 AM

  （即平面ABC ⊥ 平面BCD）

∴AD= AM²+MD² = 12 12+ =2 6﹒

21.一矩形紙板ABCD沿AC上折至ACD之位置﹐由D作ABC平面之垂足H在AB

上﹐如圖﹐AB=2﹐BC=1﹐則BD之長為____________﹒

解答 3

解析 D H ⊥ABC平面﹐

HB⊥BCD B ⊥BC﹐∴BD= CD²−BC² = CD²−BC² = 4 1− = 3﹒

22.△ABC是邊長為4 的正三角形﹐D﹐E﹐F 為三邊中點﹐沿DE﹐EF﹐FD上摺﹐

使A﹐B﹐C 三點重疊在 P 點成為一個正四面體PDEF﹐則此四面體頂點P 與底面 DEF的高度為____﹒

解答 ^{2 6} 3

解析 如圖﹕ ^{2 2 3}

3 3

DH= DM = ﹐∴ 4 ^{4 8 2 6}

3 3 3

PH = − = = ﹒

23. 如圖﹐有一長方體ABCD − EFGH﹐已知AB=AD=6﹐AE=2 7﹐設平面BEG

與平面DEG兩面角為﹐則cos = ____________﹒

解答 ⁵ 23

解析 取EG中點M﹐則∠BMD = ﹒

在△BMD中﹐BM =DM= 46﹐BD=6 2﹐得cos ^{46 46 72 5} 2 46 46 23

 = ^{+ −} =

  ﹒

24.一塊平置在桌面的長方體雪白巧克力（如圖）﹐長寬高分別是

10﹐8﹐6﹐若沿著通過ABC三點的平面垂直平面DAB切下﹐恰

巧將體積平分成兩塊﹐則截面的面積為____________﹒

解答 60

解析 ∵平面ABC平分長方體體積且垂直於平面DAB﹐

∴AB必平分矩形DPQR﹐即AB過上方矩形對角線的交點

4 4

4 4

4 A

B D

C 2

2 3 M

2 3

A

B

C

D

M H

A B

D C

D'

H

A B

C D'

H 2 1 1

D

A

B C

D H E

F G

B D

M

D

B C A 2 10

6

8 D 2 A 8 P

H

R B Q

8

D F

P

E H M 2

2 1

2 BQ DA

 = = ﹐BR=10 2− =8﹐

作AH 垂直BR於H﹐RH=2﹐HB=BR−RH=6﹐ 8

AH=DR= ﹐AB= HB²+AH² =10﹐所求面積=AB長方體高 = 60﹒

25.如圖所示﹐一長方體ABCD − PQRS﹐已知AP=8, AB=6﹐AD=10﹐今從頂點P處切下一塊﹐

得新頂點為Q﹐R﹐S﹒已知P﹐Q﹐R﹐S共平面﹐且BQ =5﹐DS =4﹒ (1)CR =____________﹒

(2)四邊形PQRS的面積為____________﹒

解答 (1)1;(2)6 141

解析 建立一坐標系﹐如圖所示﹒

(1)令A(0,0,0)﹐B(6,0,0)﹐C(6,10,0)﹐D(0,10,0)﹐P(0,0,8)﹐Q(6,0,8)﹐

R(6,10,8)﹐S(0,10,8)﹐Q(6,0,5)﹐R(6,10,k)﹐S(0,10,4)﹐

得PQ =(6,0, 3)− ﹐PR =(6,10,k−8)﹐PS =(0,10, 4)− 共平面﹐

6 0 3

6 10 6 0 6 0

6 10 8 0 3 ( 8) ( 4) 0

0 10 0 10 6 10

0 10 4

k k

−

− =  −  − −  + −  =

−

 60k = 60﹐得k = 1﹐即R(6,10,1)﹐故CR =1﹒ (2)∵PQ =(6,0, 3)− 且S R  =(6,0, 3)− ﹐

∴四邊形PQRS為平行四邊形﹐

其面積為|PQPS|

2 2 2

0 3 3 6 6 0

10 4 4 0 0 10

− −

= + +

− −

2 2 2

30 24 60 6 141

= + + = ﹒

26.如圖﹐設空間中一點A在平面E上投影為B﹐P﹐Q均在平面E上﹐平面APQ

與平面BPQ所交成的兩面角為45﹐且APQ = 60﹐PA=8﹐則PA在平面E上 之正射影長為____________﹒

解答 2 10

解析 如圖﹐AH⊥PQ﹐BH⊥PQ﹐

△APH中﹐AP=8﹐PH=4﹐AH =4 3﹐

△AHB中﹐AH =4 3﹐BH =AB=2 6

 △ABP中﹐AP=8﹐AB=2 6﹐

故PA在E上的正射影長BP= 8²−(2 6)² =2 10﹒

27.下圖是邊長為a的正立方體﹐求

(1)四面體ABCD的體積____________﹒

(2)AC在平面ABD上的正射影長 = ____________﹒

(3)若平面ABD與平面BCD之夾角為﹐求sin = ____________﹒

A R R' Q'

Q

B C

D S

S' P

A R R' Q'

Q

B C

D S

S' P

x

y z

A B E P Q

B

H

P Q

A

8

30° 45°

60°

45°

A

B C

D

解答 (1)^{1 3}

6a ;(2) ⁶

3 a;(3) ⁶ 3 解析 (1)所求 ^{1 1}( ) ^{1 3}

3 2 a a a 6a

=   = ﹒

(2)設C到平面ABD的距離為h

ABCD的體積 ¹

3 ABD h

= △  1 ³ 1 3 ²

( 2 )

6 3 4 3

a a h h a

 =     = ﹐

∴所求

2 2 2 2 2 6

3 3 3

AC h a a a a

= − = − = = ﹒

(3)設M為BD中點 ²

CM = 2 a﹐ ⁶ AM = 2 a﹐

∴sin ^{4 6} 6 6 3 2

AC a

AM a

= = = = ﹒

28.正四面體ABCD﹐一稜長為10﹐有一隻螞蟻由點A﹐沿△ABC﹐△BCD﹐△ABD﹐

△ACD之順序﹐在側面上移動﹐終點為C﹐則移動之最短距離為______﹒

解答 10 7

解析 將正四面體攤開如圖﹐其爬行之最短距離為

2 2

(20) 10 2 20 10 cos120 700 10 7

AC= + −     = = ﹒

29.有公共底邊的兩個等腰三角形﹐它們所在的平面組成60的二面角﹐公共邊長為16﹐一個三角形

的腰長為17﹐另一個三角形的兩腰互相垂直﹐求這兩個等腰三角形頂點間的距離為______﹒

解答 13

解析 AB=16﹐AC=BC=17﹐令AB中點為M﹐則CMD = 60﹐

直角△BCM中﹐ ¹ 8

BM =2AB= ﹐∴CM= BC²−BM² = 17²−8² =15﹐

△BDM中﹐DM =BM =8﹐

△CMD中﹐由餘弦定理CD²=DM²+CM²−2DM CM cos 60 64 225 2 8 15 1 169

= + −    =2 ﹐∴CD=13﹒

30.一長方形紙片 ABCD﹐AB=15﹐AD=20﹐沿著對角線AC摺起﹐使平面BAC 與平面 DAC互相垂

直﹐則此時B﹐D兩點間的距離為____________﹒

解答 337

A

B C

D M

a 2a a

A

B

D C

A B A

C D C

10

A M

B C

D

17

60°

解析 AC= AB²+BC² =25﹐自B﹐D兩點分別向AC作垂線﹐垂足為G﹐H﹐

設AG=x﹐CG=25−x﹐則15² − x² = 20² − (25 − x)²

 225 − x² = 400 − (625 − 50x + x²)  50x = 450  x = 9﹐

故GH=25 2 9−  =7﹐

又平面BAC與平面ADC互相垂直﹐所以BG⊥GD﹐則BG=DH= 15²−9² =12﹐

故BD= BG²+GH²+DH² = 12²+7²+12² = 337﹒ 且過H﹑C﹑F三點的平面方程式為x + y + z = 1﹐

由點到平面距離知四面體的高d(A,平面) ^{|1 1 1 1| 2}

3 3

+ + −

= = ﹐

所以正四面體ACHF體積為^{1 3} ( 2)^{2 2 1} 3 4   3 =3﹒

31.不共面三射線OX ﹐OY﹐OZ互成30角﹐POX ﹐OP=2﹐P至平面YOZ之投影為Q﹐Q至

OY之垂足為R﹐又QR交OZ於S﹐求PS²+OR²=____________﹒

解答 11 4 3− 解析 如圖﹕

∵PQ⊥平面OYZ﹐QR⊥OY ﹐∴PR⊥OY﹐

△OPR中﹐ cos 30 2 ³ 3

OR=OP  =  2 = ﹐

△OSR中﹐ sec30 3 ² 2

OS=OR  =  3 = ﹐

△OPS中﹐由餘弦定理 ^{2 2 2} 2 cos 30 2² 2² 2 2 2 ³ 8 4 3 PS =OP +OS − OP OS   = + −    2 = − ﹐

∴PS²+OR²= −8 4 3+( 3)²= −11 4 3﹒ 32.已知向量 a = −(1, 2,8)﹐ b =(2,1,1)﹐

求(1) a b =____________﹒

(2)由 a ﹐ b 所張出平行四邊形之面積為____________﹒

解答 (1)( − 10,15,5);(2)5 14

解析 (1) ( ^{2 8 8}, ^{1 1}, ²) ( 10,15,5) 1 1 1 2 2 1

a b − −

 = = − ﹒

(2)面積=| a b |= 100+225 25+ =5 14﹒

O

P S R Q

X

Z Y

A D

B C

G H

A

D B

G C H

33.A(4,0,2)﹐B(3,3,2)﹐C(3,0,4)﹐

求(1)△ABC的面積 = ____________﹒(2)A到直線BC的距離 = ____________﹒

解答 (1)⁷

2;(2)^{7 13} 13

解析 AB= −( 1,3,0)﹐AC= −( 1,0, 2)﹐ABAC=(6, 2,3)﹐

(1)△ABC的面積 ¹| | ⁷

2 AB AC 2

=  = ﹒

(2)A到直線BC的距離即為△ABC中以BC為底的高﹐

由BC= (3 3)− ²+ −(3 0)²+(2−4)² = 13﹐

所求 ^{2 | | 7 7 13} 13 13

ABC AB AC

BC BC

= △ =  = =

﹒

34.已知 a =(1,0,1)﹐ b = −(1, 1,0)﹐若 n ⊥ a 且 n ⊥ b ﹐| n |= 3﹐求 n =____________﹒

解答 (1,1, − 1)或( − 1, − 1,1)

解析 n 為 a ﹐ b 之公垂向量﹐ a b =(1,1, 1)− ﹐令 n =t(1,1, 1)− =( , ,t t −t)﹐

2 2 2

| n |= t + + =t t 3 = t 1﹐∴ n =(1,1, − 1)或( − 1, − 1,1)﹒

35.設A(−1,1,0)﹐B(1,3,1)﹐C(4,5,3)﹐D(−5,5,−2)為空間中相異四點﹐試問﹕

(1)由向量AB﹑AC﹑AD所展開的平行六面體之體積為____________﹒

(2) D點到平面ABC的距離為____________﹒

解答 (1)8;(2)⁸ 3

解析 (1)AB=(2,2,1)﹐AC=(5,4,3)﹐AD= −( 4,4, 2)− ﹐所求=

2 2 1

| 5 4 3 |

4 4 2

− −

= 8﹒

(2)AB與AC展平行四邊形面積= |AB| |² AC|²−(AB AC )² =3﹐則D到平面ABC距離⁸ 3﹒

36.空間中三點A(1,2,3)﹐B( − 1,0,1)﹐C(0, − 1,k)﹐若△ABC面積為2 2﹐求k = ____________﹒

解答 0或2

解析 AB= − − −( 2, 2, 2)﹐AC= − −( 1, 3,k−3)﹐ABAC= −( 2 , 2k k−4, 4)﹐

2 2 2 2

|ABAC|= −( 2 )k +(2k−4) +4 =2 2k −4k+8﹐

△ABC面積= 2k²−4k+ =8 2 2 2k² − 4k = 0  k = 0或k = 2﹒

3 0 1 1 0 2 3 0 1 1

0 AB×AC= 2

37.空間中三向量 a =(1,1, 2)﹐ b =(2,0,1)﹐ c = −( 1,3, 1)− ﹐求由三向量 a ﹐ b ﹐ c 所張出之平行 六面體的體積為____________﹒

解答 10

解析 a b =(1,3, 2)− ﹐體積=| (a b) c | | (1,3, 2) ( 1,3, 1) | 10= −  − − = ﹒

38.已知空間中兩向量AB﹐AC﹐且ABAC= − −(1, 2, 3)﹐則△ABC之面積為____________﹒

解答 2

解析 △ABC的面積 ¹| | ¹ 1 4 3 2

2 AB AC 2

=  = + + = ﹒

39.若以A( − 2,0,2)﹐B(0,6,8)﹐C(k − 3,0,2)﹐D( − 5,2, − 1)四點為頂點之四面體體積為15﹐試求k值

___________﹒

解答 4或 − 2

解析 AB=(2,6,6)﹐AC=(k−1,0,0)﹐AD= −( 3, 2, 3)− ﹐

∴

2 6 6

1| 1 0 0 | 15 |12( 1) 18( 1) | 90 | 30( 1) | 90

6 3 2 3

k− =  k− + k− =  k− =

− −

﹐

∴k − 1 = 3或k − 1 = − 3  k = 4或k = − 2﹒

40.若空間中四點A(1,1,1)﹐B(1,2,t)﹐C(3,4,5)﹐D(4,5,t)共平面﹐則t = ____________﹒

解答 5

解析 AB=(0,1,t−1)﹐AC=(2,3, 4)﹐AD=(3, 4,t−1)共平面﹐

表示由AB﹐AC﹐AD所張出之平行六面體的體積為0﹐

∴| (ABAC)AD| | (7 3 , 2= − t t− − 2, 2) (3, 4,t−1) | = | 21 − 9t + 8t − 8 − 2t + 2 | = 0 t = 5﹒

41.空間四點A(1,1,2)﹐B( − 1,0,3)﹐C(3,k,1)﹐D(2,0, − 1)﹐若四面體ABCD的體積為5﹐則實數k值為

__________﹒

解答 8或 − 4

解析 AB= − −( 2, 1,1)﹐AC=(2,k− −1, 1)﹐AD= − −(1, 1, 3)﹐

所求

2 1 1

1 | 2 1 1 | 5 | 5 10 | 30 | 2 | 6 8

6 1 1 3

k k k k

− −

=  − − =  − =  − =  =

− −

或k = − 4﹒

42.若空間中四點A(1,2,3)﹐B(3,8,9)﹐C( − 2,4,0)﹐D(t,2,3)所形成之四面體體積為20﹐則t = _____﹒

解答 5或 − 3

解析 AB=(2,6,6)﹐AC= −( 3, 2, 3)− ﹐AD= −(t 1,0,0)﹐