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2.4 克拉默法则

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Academic year: 2023

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全文

(1)

主要内容 ：

2.4 克拉默法则

逆矩阵的一个简明表达式

克拉默法则

(2)

一 . 逆矩阵的一个简明表达式 引理 1. 设 A=(a ij ) n,n ， 则

 

 

i j

j i

A A a

A

a i j in jn

, 0

, det

1

1 

证 .

j a i A j a in A jn

i : 1 1

设

in i

in i

n

a a

a a

a a

1 1

1 11

i行

j行  0

逆矩阵的一个简明表达式

(3)

引理2 设A为n阶矩阵，则  �� ∗ = � ∗ � = ���� �

其中：

) (

2 1

2 22

12

1 21

11

* A 的伴随矩阵

A A

A

A A

A

A A

A A

nn n

n

n n



 



 

证 .



 

 



 

 



 

 



 

 

n

n n

n

A A

A

A A

A

A A

A

a a

a

a a

a

a a

a AA

2 22

12

1 21

11 2

22 21

1 12

11

*

逆矩阵的一个简明表达式

(4)

) det

,..., det

, (det

diag A A A

  (det A) I

??

定理1 方阵A可逆的充要条件为|A|≠0。当A可逆时，

det .

1 *

1 A

A A

证 . A 可逆的充要条件为 |A|≠0 。（前面已证）

当 A 可逆时， |A|≠0 ：

逆矩阵的一个简明表达式

(5)

, )

* (det A I AA

, det )

( 1 A * I

A A

所以

det .

1 *

1 A

A A

逆矩阵的一个简明表达式

(6)

例1. .

2 7

3

3 4

2

7 3

1

1

 

 

A

A 是否可逆？若可逆则求

解 :

 

 

 

 

10 2

26

17 23

5

19 55

29 196

1 det

1 *

1 A

A A

逆矩阵的一个简明表达式

(7)

例2. 设 , ( ) . 3

1 1

1 2

1

1 1

1

1

*

1 

 

 

A

A 求

解: AA *  (det A ) I , A -1 存在，所以 detA≠0 ， ,

det )

( 1 A A * I

A  .

det ) 1

( * 1 A

A A det 2 .

det

1  A 1A

* 1 1

1

1 ( )

det ) 1

(

A

A A

A   

 

1 0

1

0 2

2

1 2

5 2

1

逆矩阵的一个简明表达式

(8)

A A

A det

) 1

( * 1

 

 

1 0

1

0 2

2

1 2

5 2 A

逆矩阵的一个简明表达式

(9)

克拉默法则

已有定理： 方阵 A 可逆的充要条件为 AX=b 有唯一解 .

克拉默法则 设 A 可逆，则 AX=b 的唯一解为：

) ...,

,1 (

det ,

det j n

A

x jA j

detA j 是用 b 代替 detA 中的第 j 列得到的行列式 .

(10)

说明：

n j

n n

j n n

n j

j

n j

j

j

a a

b a

a

a a

b a

a

a a

b a

a A

2 1

, 1

, 1

2 1

, 2 2

1 , 2 21

1 1

, 1 1

1 , 1 11

2 .

2 1

1 A j b A j b n A jn

b   

 

克拉默法则

(11)

证 . 解的唯一性（显然）

b A x

x X

n

1 1

 

 

 

 



 



 



 



 

n nn

n n

n n

b b b

A A

A

A A

A

A A

A

A

2 1

2 1

2 22

12

1 21

11

det 1

 

 

A n

A A det

det det

1 1

为什么？

克拉默法则

(12)

例3

1 1 1

2 3 2

1

2 3 2

1

3 2

1

x b bx

x

x a ax

x

x x

x

解：

克拉默法则

(13)

克拉默法则

(14)

例 4

解 设所求的二次多项式为

得一个关于未知数 的线性方程组 ,

克拉默法则

(15)

又 得

故所求多项式为

注意： 解方程组一般不用 Gramer 法则，计算量

非常大，不具有实际计算意义，主要是理论上的意义

（如，给出了解的表达式）。

克拉默法则

(16)

逆矩阵的一个简明表达式

克拉默法则

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