《数值分析》19

《数值分析》19

主要内容：

Simpson公式的精度和复合型 圆周长计算外推方法（引例）

复合梯形公式外推方法

Gauss型数值积分公式

Simpson公式的精度和复合型

)]

( 2 )

( 4 )

( 6 [

]

[ f b a f a f a b f b

S  

 



例

证明辛卜生公式代数精度为

Simpsion

公式

证明：分别令

，

验证

复合 Simpson ^公式

类似复合梯形公式，自推

圆周长计算外推方法（引例）

引例 圆周长计算的“外推算法”

R 

ln

半径

的圆内接正多边形周长

边长为

对应三角形顶角为

n

  ²

l_n



. 2 0

1 

n n

L_n 

sin





利用正弦函数泰勒展开

记

圆周长计算外推方法（引例）

则有：

说明

的截断误差为

! 令：

将两式联合消去

得如下

即：

上述过程完成了一次外推，

=> 得到截断误差更小的外推公式 截断误差为

!

圆周长计算外推方法（引例）

同理，可完成第二次外推：

有

且

将两式联合消去

得如下

即：

此时截断误差为

!

同理，反复进行下去得到收敛速度越来越快的公式！

圆周长计算外推方法（引例）

实验数据

边数 周长误差

一次外推误差

二次外推误差

6 1.4159e-001 7.6181e-003

12 3.5764e-002 4.8793e-004 1.2590e-005 24 8.9640e-003 3.0683e-005 1.9969e-007 48 2.2425e-003 1.9206e-006 3.1319e-009 96 5.6070e-004 1.2008e-007 4.8982e-011

圆周长计算外推方法（引例）

外推小总结

•

数学工具：基于泰勒展开

•

目的：为了让截断误差越来越小

•

原理：将h不断变为h/2, 得到两个公式，共同消去截断 误差

•

消去截断误差注意：从阶数小开始消去，反复实施，最 终达到截断误差越来越高阶（收敛速度越来越快）

•

问：可以先从高阶误差开始消去么？

•

不行！

复合梯形公式外推方法



 ^b

a f x dx

I ( )

记

) 12 (

) ) (

( ₂ ³ _f 

n a h b

T

I  







则

) (

)

(h  I  ₁h²  ₂h⁴  ₃h⁶   _kh^2k  O h^2k2

T

  



) (

) ( )

( )

( )

( ₁ ² ₂ ^{4 2 2 2}

2 2

2 2

 









 I h h _k h ^k O h ^k

T h

 



]) (

2 )

( )

( 2[

)

( ¹











 ⁿ

j

jh a

f b

f a

h f h

T

) 2

12 ( ) ) (

(h I b a f h

T   ^{ }



( )

(h I O h²

T  

1 h

欧拉

马克劳林公式

复合梯形公式

复合梯形公式外推方法

) (

)

( ₂ ⁴ ₃ ^{6 2 2 2}

1 h  I  h  h   _kh ^k  O h ^k

T

 



有

1 42

4

2

1 2 1

2 

 ( )  ( ) )

( T h T h

h T

记

1 24

4

1 

 ( )  ( ) )

( T h T h

h T

记

) (

2) ( 2)

( 2 )

( 2)

( ₂ ⁴ ₃ ^{6 2 2 2}

1 h  I  h  h   _k h ^k  O h ^k

T

 



) (

3 / )]

( 2)

( 4

[ T h  T h  I  O h⁴

所以

复合梯形公式外推方法

以此类推到m次类推，如果记

且：

T₀(h)

的展开课逐次构造出I的更高阶的近似，这种方法称 为理查森外推原理

考虑外推算法，用

表示区间[a, b]的等分数，记

T_0(k)(k=0, 1, …)

表示[a, b]逐次二等分后的梯形公式值：

)]

( )

( [

)

( b a f a f b

T   

2

00

a ^2k¹

b

记

复合梯形公式外推方法

h=(b-a)/2⁰ ↓ T₀⁽⁰⁾

h=(b-a)/2¹ ↓ T₀⁽¹⁾ → T₁⁽¹⁾

h=(b-a)/2² ↓ T₀⁽²⁾ → T₁⁽²⁾ → T₂⁽²⁾

h=(b-a)/2³ ↓ T₀⁽³⁾ → T₁⁽³⁾ → T₂⁽³⁾ → T₃⁽³⁾ …

h=(b-a)/2^k ↓ T₀^(k) →… …… … … … → T_k^(k) …

Ø

龙贝格积分公式

注意：

=

次 ^{复化梯形求积公式}

计算：1) 次序由上而下(半分区间)，由左而右(外推公式)；

2) 先求出

3) 按上式表格算出

直到

精度要求)即停止计算。

Gauss型数值积分公式

-4 -2 0 2 4

0 10 20 30 40 50 60 70

高斯型数值求积公式

插值型求积公式

) (

) (

)

( _{0 0 1 1}

1

1 f x dx  A f x  A f x



代数精度为3,取 f(x)=1, x, x

, x































0 3 2 0 2

3 3

12 2 1

0 0

1 1 0

0

1 0

x A x

A

x A x

A

x A x

A

A

A (1)

(2) (3) (4)

(4)-(2)

×

(3)-(1)

×

x

=1/3

1

1 



 x

x ,









3

2

3 5 3 1)

(x x x dx

x

= x

Gauss型数值积分公式

A

=1, A

=1. ^{代数精度为}

^{的数值求积公式}

) (

) (

)

( 3

1 3

1

1

1

f x dx  f   f







 



  ¹

1 2 2

2 a f b a t b a dt dx b

x

b f

a ( ) ( )

)]

( )

( [ )

( 2 2 3 2 2 3 2

a b a

f b a

b a

f b a dx b

x

b f

a

 

 

 

 

 



对于 [a, b] ^{区间上的定积分}

^构造变换

2 2

a t b

a t b

x 

  ) 

( t

-1, 1

Gauss型数值积分公式

定义

如果求积结点

使插值型求积公式

的代数精度为

则称该求积公式为

型求积公式

称 这些求积结点为

点

定理

如果多项式

与任意的不超过

次的多项式

正交，即

1 0

1 1 



则

的所有零点

是

点

 

  ⁿ

k Ak f xk

dx x

f

0 1

1 ( ) ( )

Gauss型数值积分公式

证明

设

是任意不超过

次多项式

由多项式除法

) ( )

( ) ( )

(x w x P x Q x

f  _n1 





1 1

1 f (x)dx Q(x)dx

构造插值型求积公式

有  

  ⁿ

k AkQ xk

dx x

Q

0 1

1 ( ) ( )

由于

其中

均为不超过

次多项式

两端积分，得



 ¹

1l x dx A_{k k}( )

其中

 

  ⁿ

k Ak f xk

dx x

f

0 1

1 ( ) ( )

所以

插值结点为

的零点

Gauss型数值积分公式

验证多项式

在

上与任意小于等 于1次多项式正交

0 )

( )

( )

( )

( ₀ ¹_{1 2 1} ¹_{1 2}

1

1 0  1 2 







2 1

2 x  x 

w ( )

1 1



Gauss

3 1 3

1 1

0   x 

x ,

得

点

插值公式

0 1

0 0 0

1

1 f x

x x

x x x

x f x

x x x

f 

 



 

2 1

0 1

1 1

1 1 0

1 

 





dx x x

x

x

x 2 1

0 1

1 0

1 1 0

0 



 





dx x x

x

x x

Gauss型数值积分公式

0 3

2 5

1

3

( x )  ( x  x ) 

p ^{0 7745067}

5

2

3

0_,

    .

x

1

 0 x

三点

数值求积公式

) 7745 .

0 ( 5556 .

0 )

0 ( 8889 .

0 )

7745 .

0 ( 5556 .

0 f   f  f

Legendre

多项式递推式







 



 







1 1

1 0

1 1

1 2

1

n n

n p

n xp n

n p n

x p

p , ,

) (

)

( 3 1

2

1 2

2 x  x 

p

p ( x ) ( 5 x 3 x )

2

1

3

 



1

1 f (x)dx

学到了什么？

Simpson公式的精度和复合型 圆周长计算外推方法（引例）

复合梯形公式外推方法

Gauss型数值积分公式