第三节 泰勒（Tailor）公式

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二、几个初等函数的麦克劳林公式

第三节

一、泰勒公式的建立

三、泰勒公式的应用

应用 目的－用多项式近似表示函数

.

理论分析 近似计算

泰勒公式

^第三章

特点 :

) (

₀

1

x p 

) ( x

₀

 f

) ( x

₀

f 



一、泰勒公式的建立

) (x

f  f (x₀)  f (x₀)(x  x₀) )

1(x p

以直代曲

x0

)

1(x p

) (

₀

1

x p

在微分应用中已知近似公式 :

需要解决的问题 如何提高精度 ? 如何估计误差 ?

x

x 的一次多项式

x y y  f (x)

O

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1. 求 n 次近似多项式 要求 :

, ) (x p_n

) ( ₀

! 21

2 p x

a  _n  f (x₀), 

,

a_n  _n1! p_n⁽ⁿ⁾⁽x⁰⁾  f ⁽ⁿ⁾(x₀) 故 p_n(x)  f (x₀)  f (x₀)(x  x₀)





! 21

1! n

n

n x x x

f ^{( )}( ₀)(  ₀)

 _n¹_!

0 2

0)( )

(x x x f  

 ₂¹_! 令 p_n(x) 

则 p_n(x) 

(x)  p_n









an

 n!

)

)(

( x

p_nⁿ

) ( ₀

0 p x

a  _n  f (x₀), ,

) (

)

(x₀ f x₀ p_n 

) ( ₀

1 p x

a  _n  f (x₀),

a1  2a₂(x  x₀)  na_n(x  x₀)^n1

! 2

2 a  n(n 1)a_n(x  x₀)^n2 ,

) (

)

(x₀ f x₀

p_n   , p_n⁽ⁿ⁾(x₀)  f ⁽ⁿ⁾(x₀) a0  a₁(x  x₀)  a₂(x  x₀)²  a_n(x  x₀)ⁿ

0 )

(



_在 x _与



_{n 之间}

) (

)

(

0 1

 ⁿ  _n x x

x R

)

( 2 )

1 (

) (

0 )

(

x n

R

n n n

n 

 







2. 余项估计

) ( )

( )

(x f x p x

R_n   _n

令 ( 称为余项 ) , )

(x₀

R_n  R_n (x₀)   R_n⁽ⁿ⁾(x₀)  0

0) 1

(

) (

ⁿx ⁿ

x

x R

n n

x n

R

) )(

1 (

) (

0 1

1





 





)

)(

1 (

) (

0 1

1 n

n

x n

R





 





0 1 2

2

) (

) 1 (

) (

 



 ⁿ _n

x n

n

R





 

! ) 1 (

)

)(

1 (

 ^ n

R_nⁿ



则有

) (x₀ R_n



 0

) (x₀ R_n



 0

) ( ₀

)

( x

R_nⁿ



 0 ^x

0 )

(



1 _在 x _与x _之间

1 )

0

( 2

之间 与



在



x

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) ( )

( )

(x f x p x

R_n   _n

0) 1

(

) (

ⁿx ⁿ

x

x R

! ) 1 (

)

)(

1 (

 ^ n

R_nⁿ



0 )

(



_在 x _与x _之间 ,

0 )

) (

1

( ^ x 

p_nⁿ



0 1 )

1 (

)

! ( ) 1 (

) ) (

( ^



 

 ⁿ

n

n x x

n x f

R



) ( )

( ^{( 1)}

) 1

( x f x

R_n^n  ^n



时 的某邻域内

当在 x

₀

f

^(n1)

( x )  M

0 )

(



_在 x _与x _之间

1

!

0

) 1 ) (

( 

^

 

ⁿ

n

x x

n x M

R

) (

) ) ((

)

( x o x x

₀

x x

₀

R

_n

 

ⁿ





公式 ① 称为 的

f ( x )

n 阶泰勒公式 .

公式 ② 称为 n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .

泰勒 (Taylor) 中值定理 :

内具有 的某开区间

在包含

若 f (x) x₀ (a,b)

1

直到 n _阶的导数 ,

) , ( a b

x 

_时 , 有

 ) (x

f f (x₀)  f (x₀)(x  x₀) ⁰ ( ₀)²

! 2

)

(x x x

f  

 

n n

x n x

x

f ( )

! ) (

0 0 )

( 

  R_n(x) _①

其中 ₀ ¹

) 1 (

)

! ( ) 1 (

) ) (

( ^



 

 ⁿ

n

n x x

n x f

R



② 则当

0 )

( 

_在

x

_与

x

_之间

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公式 ③ 称为 n 阶泰勒公式的佩亚诺 (Peano) 余项 . 在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为



 ) (x

f f (x₀)  f (x₀)(x  x₀) ⁰ ( ₀)²

! 2

)

(x x x

f  



n n

x n x

x

f ( )

! ) (

0 0 )

( 



 o [( x  x

₀

)

ⁿ

] ]

) [(

)

(

₀ ⁿ

n

x o x x

R  

注意到 ③

④

*

可以证明 :

阶的导数 有直到

在点 x n x

f ( ) ₀

④ 式成立

特例 :

(1) 当 n = 0 时 , 泰勒公式变为

 ) (x

f f (x₀)  f (



)(x  x₀) (2) 当 n = 1 时 , 泰勒公式变

为

给出拉格朗日中值定理

 ) (x

f f (x₀)  f (x₀)(x  x₀) ( ₀)²

! 2

)

( x x

f  

 

可见 f (x)  f (x₀)  f (x₀)(x  x₀)

0 2

1 ( )

! 2

) ) (

( f x x

x

R  





误差

 ) (x

f f (x₀)  f (x₀)(x  x₀) 

0 1 )

1 (

)

! ( ) 1 (

)

( _

 

 ⁿ x x ⁿ n

f



0 2

0 ( )

! 2

)

(x x x

f  



n n

x n x

x

f ( )

! ) (

0 0 )

( 



f d

0 )

( 

_在

x

_与

x

_之间

0 )

( _在x _与x _之间

0 )

( _在x _与x _之间

0 )

( 

_在

x

_与

x

_之间

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称为麦克劳林 ( Maclaurin ) 公式 . ,

0  0

x 则有

 ) (x

f f (0)  f (0)x 

) 1 1 (

! ) 1 (

)

( _



 ⁿ  xⁿ n

x

f 

2

! 2

) 0

( x

f 

 ⁿ xⁿ

n f

! ) 0

) (

 (

在泰勒公式中若取

 ) (x

f f (x₀)  f (x₀)(x  x₀) 

0 1 )

1 (

)

! ( ) 1 (

)

( _

 

 ⁿ x x ⁿ n

f



0 2

0 ( )

! 2

)

(x x x

f  



n n

x n x

x

f ( )

! ) (

0 0 )

( 



0 )

( 

_在

x

_与

x

_之间

 ) (x

f f (0)  f (0)x  , )

)(

1

( x M

f ^n  _{则有误差估计式}

1

! ) 1 ) (

( ^

  ⁿ

n x

n x M

R

2

! 2

) 0

( x

f 

 ⁿ xⁿ

n f

! ) 0

)(

 (

若在公式成立的区间上

麦克劳林

由此得近似公式

, ) 1 0

(  

  

 x

记

二、几个初等函数的麦克劳林公式

x x

f ( ) e )

1

( 

, e )

) (

(k x x

f 

 f ^(k)(0) 1 (k 1,2,) ex

 1  x

! 3 x3

 

! n xⁿ

  R_n(x)

! 2 x2

 其中 R_n(x) 

! ) 1

(n^e^{ x xn1} (0 



1)

 ) (x

f f (0)  f (0)x  ^{( 1) 1}

! ) 1 (

)

( _



 ⁿ  xⁿ n

x

f 

2

! 2

) 0 ( x f 

 ⁿ xⁿ

n f

! ) 0

)(

 (

麦克劳林公式

) 1 0

(  

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π) sin(₍₁₎



^mx_cos( ²



^m₂^_x¹₎

) sin(x 

x x

f ( ) sin )

2

( 

 )

)(

( x

f ^k



x

 sin  x

! 3 x3

 5! x5

 (2 1) !

1 2

 ^

m x ^m

)

2 (x R _m

 其中 R_2m(x) 

2

 π k 2

sin π )

0

)(

( k

f ^k 



  0, k  2m

1

2 

 m , k

) 1

( ^m1 (m 1,2,)

 (1)^m1

) 1 0

( 





1 2m

! x ) 1 2

( m 

 ) (x

f f (0)  f (0)x  ^{( 1) 1}

! ) 1 (

)

( _



 ⁿ  xⁿ n

x

f 

2

! 2

) 0 ( x f 

 ⁿ xⁿ

n f

! ) 0

)(

 (

) 1 0

(  

麦克劳林公式

麦克劳林公式

! ) 2 (

2

m x ^m

 x

x

f ( ) cos )

3

( 

类似可得 x

cos 1

! 2 x2

 4!

x4

  R_2m1(x)

其中

₁( ) 

2 x

R _m

! ) 2 2

( m 

) cos(

) 1

( ^m1



x

) 1 0

( 





 (1)^m

2 2m

x

 ) (x

f f (0)  f (0)x  ^{( 1) 1}

! ) 1 (

)

( _



 ⁿ  xⁿ n

x

f 

2

! 2

) 0 ( x f 

 ⁿ xⁿ

n f

! ) 0

)(

 (

) 1 0

(  

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) 1 (

, ) 1

( )

( )

4

( f x   x ^ x  

 )

)(

( x

f ^k



)

1

(  x

 1 



x x²

xn  R_n(x) 其中 R_n(x)  (1 ) ^{1 1}

! ) 1 (

) (

) 1

(  _{  }





 _{n n}

x n x

n



_







_

) 1 0

( 



 x k

k   ^







^





( 1)( 1)(1 ) )

1 (

) 1 (

) 0

)(

(    k 

f ^k

 

_





) ,

2 , 1

(k  

! 2





(



1)

!





(



1)_n(



 n 1)

 ) (x

f f (0)  f (0)x  ^{( 1) 1}

! ) 1 (

)

( _



 ⁿ  xⁿ n

x

f 

2

! 2

) 0 ( x f 

 ⁿ xⁿ

n f

! ) 0

)(

 (

) 1 0

(  

麦克劳林公式

) 1 (

) 1

ln(

) ( )

5

( f x   x x  

已知

) 1

ln(  x  x

2 x2

 3

x3

 n

xⁿ

  R_n(x) 其中 R_n(x)  ₁

1

) 1

1 ( ) 1 (





 



n n

n

x x

n



^{(0 }



^1)

 (1)^n1 因此可得

 )

)(

( x

f ^{k k} _k

x k

) 1

(

! ) 1 ) (

1

( ¹



 ^  (k 1,2,)

 ) (x

f f (0)  f (0)x  ^{( 1) 1}

! ) 1 (

)

( _



 ⁿ  xⁿ n

x

f 

2

! 2

) 0 ( x f 

 ⁿ xⁿ

n f

! ) 0

)(

 (

) 1 0

(  

麦克劳林公式

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三、泰勒公式的应用

1. 在近似计算中的应用

误差 ¹

! ) 1 ) (

( ^

  ⁿ

n x

n x M

R

M 为 f ^(n1)(x) _{在包含 0 , x 的某区间上的上} 界 .

需解问题的类型 :

1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ;

2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差

;3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用 范围 .

 ) (x

f f (0)  f (0)x ² 

! 2

) 0

( x

f 

 ⁿ xⁿ

n f

! ) 0

) (

 (

例 1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不

超过 10^6.

解 : 已 知

ex

! ) 1 ( 

 n

 x

e

x

^n1

令 x = 1 , 得

e

_{(0 1)}

! ) 1 (

e

! 1

! 2 1 1

1  

 









 ^



n

 n

) 1 0

(   

由于 0  e^  e  3, 欲使

) 1

n

(

R

( 1)! 3

  n

10

^6



由计算可知当 n = 9 时上式成立 ,

因此

e

9 !

1

! 2 1 1

1    



 ^{ 2.718282}

ex  1  x

! 3 x3

 

! n xⁿ

!  2 x2



的麦克劳林公式为

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说明 : 注意舍入误差对计算结果的影响 . 本例

若每项四舍五入到小数点后 6 位 , 则

各项舍入误差之和不超过

7  0 . 5  10

^6

,

总误差限为

7  0 . 5  10

^6

 10

^6

 5  10

^6

这时得到的近似值不能保证误差不超过

10

^6

.

因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 .

e

9 !

1

! 2 1 1

1    





例 2. 用近似公式

cos 1 2 ! x

2

x  

_{计算 cos x 的近似值}

使其精确到 0.005 , 试确定 x 的适用范, 围解. : 近似公式的误差

)

! cos(

) 4 (

4

3

x x

x

R  

24 x

4



令

0 . 005 24

4

x 

解得

x  0 . 588

即当

x  0 . 588

_{时 ,} 由给定的近似公式计算的结 能准确到 0.005 . 果

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2. 利用泰勒公式求极限

例 3. 求

3 4 4 3 4 .

lim

₂

0

x

x x

x











解 : 由于

4

x 1

3

2 

4 

3 x 

 2(1 ₄³ x)²¹

 

 2 1 

¹₂

 (

₄³

x ) 

₂¹_!



₂¹

(

₂¹

 1 ) (

₄³

x )

²

 o ( x

²

)

用洛必达法则 不方便 !

x2

用泰勒公式将分子展到 项 ,

1

) 1

1

! ( ) 1 (

) (

) 1

(  _{  }





  x ⁿ xⁿ

n

n  _





 _

xn

!

 ( 1)_n(  n 1) )

1

(  x ^1  x x² 

! 2

 ( 1)

) 1 0

(  

x 3

4   2 ( 1 

₄³

x )

¹²

 2

0 2

lim x

 x

 原式



¹₂



₁₆⁹

x

²

 o ( x

²

)

329





4

x



3



¹₄



₁₆⁹

x

²

 o ( x

²

)

 2 

₄³

x 

₄¹



₁₆⁹

x

²

 o ( x

²

)

1

) 1

1

! ( ) 1 (

) (

) 1

(  _{  }





  x ⁿ xⁿ

n

n  _





 _

xn

!

 ( 1)_n(  n 1) )

1

(  x ^1  x x² 

! 2

 ( 1)

) 1 0

(   3. 利用泰勒公式证明不等式

例 4. 证明 ( 0).

8 1 2

1   x  x² x  x

证 :  1 x  (1 x)²¹

1 2x

 1) ²

2 (1 2 1

! 2

1   x



2 3

) 5

1 )(

2 2 )(1 2 1

(1 2 1

! 3

1     x ^ x





) 1 0

( 





2 3

52

) 1

16( 1 8

1 2x  x   x  x





) 0 8 (

1 2 1

2 









 x x x

x

+

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内容小结

1. 泰勒公式

其中余项

) ) (( x x

₀ ⁿ

o 



当

x

₀

 0

_{时为麦克劳林公式 .}

 ) (x

f f (x₀)  f (x₀)(x  x₀) ⁰ ( ₀)²

! 2

)

(x x x

f  

 

n n

x n x

x

f ( )

! ) (

0 0 )

( 

  R_n(x)

0 1 )

1 (

)

! ( ) 1 (

) ) (

( ^



 

 ⁿ

n

n x x

n x f

R



0 )

( 

_在

x

_与

x

_之间

2. 常用函数的麦克劳林公式 ( P142 ~ P144 )

,

e

^x

ln( 1  x ) , sin x , cos x , ( 1  x )

^

3. 泰勒公式的应用

(1) 近似计算

(3) 其他应用 求极限 , 证明不等式 等 .

(2) 利用多项式逼近函数

例如 sin x

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思考与练习

计算 e 2cos 3.

lim ₄

0

2

x

x x

x







)

! ( 2 1 1

e^x2   x²  x⁴  o x⁴



)

! ( 4

! 1 2

cos x

²

x

⁴

o x

⁵

x    

) (

!) 4 2 1

! 2 ( 1 3

cos 2

e^x2  x     x⁴  o x⁴



12 ) 7

lim ₄ (

4 4

127

0  

  x

x o x

x

解 :

原式

第四节

作业

P145 1 ; 4 ; 5 ; 7 ; 8;

*

10

^{(1), (2)}

, ]

1 , 0 [ )

( 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 上 f x

, 0 )

( ,

2 )

1 ( ,

1 )

0

(  f  f  ₂¹ 

f

 ) (x f

) (其中



在 x 与 ₂¹ 之间 ,

] 1 , 0

[ 证 : 由题设 x

对

备用题 1.

3 12) )(

! ( 3

1  

 f



x )

(₂¹

f ( ) (x  ¹₂)²

! 2

1

21

f 

 ) )(

(₂¹  ¹₂

 f  x 有

) (¹₂

 f ( ) (x  ¹₂)²

! 2

1

12

f 

 ( )( ¹₂)³

! 3

1  

 f



x

内至少存在 证明(0 ,1)

且

得 分别令 x  0,1,

, ( ) 24.

 f ^   一使点

目录 上页 下页 返回 结束

) (其中



在 x 与 ₂¹ 之间 )

( )

(x f ¹₂

f  ( ) (x  ¹₂)²

! 2

1

12

f 

 ( )( ¹₂)³

! 3

1  

 f



x

1 ( )

24 f ^ 



( ) 24 f ^  

)) ,

0 (

(



₁  ₂¹ )

(₂¹

 f (



₂ (¹₂ ,1))

3 21 1 ( )

! 3

)

( 

 f 



3 12 2 ( )

! 3

) (



f 

 )

0 (

1  f  f (₂¹) ¹² ( ¹₂)²

! 2

)

( 

 f 

) 1 (

2  f ²¹ (¹₂)²

! 2

) ( f 



 1

下式减上式 , 得



2 1



1 ( ) ( )

48 f ^   f ^ 



2 1



1 ( ) ( )

48 f ^  f ^ 

 

) 1 0

( 





令 f ^( )  max ( f ^( ) ,2 f ^( ) )1

e (0 1)

! ) 1 (

e

! 1

! 2 1 1

1  

 









 ^



n

 n

两边同乘 n ! e

!

n _{= 整数 +} (0 1)

1

e  

^



n 假设 e 为有理

数

q

p

( p , q 为正整数 ) 则当 时 ,

,

q

n 

_{等式左边为整数} ;

矛盾 !

2. 证明 e 为无理数 . 证 :

 2

n

_时

, 当

故 e 为无理数 .

等式右边不可能为整数 .