3.高阶导数隐函数求导法则.pdf

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

第2章 一元函数微分学

高等数学A

2.1 导数及微分

2.1.9 高阶导数

2.1.10 隐函数的求导法则

2.1 导数及微分

2.1.9 高阶导数

高阶导数定义与记号

简单函数高阶导数的习例1-5 高阶导数的运算法则

高阶导数的运算法则习例6-8

2.1.10 隐函数的求导法则

隐函数的求导法则

隐函数的求导数习例9-14

内容小结

课堂思考与练习

导 数 及 微 分

间接法 直接法

一、 高阶导数的定义与记号 问题:变速直线运动的加速度.

), (t f s 

设 则瞬时速度为v(t)  f (t) 的变化率 对时间

是速度

加速度a v t



. ] ) ( [

) ( )

(     

a t v t f t

定义:

. )

(

, )

( )

(

的二阶导数 叫做

这个导数 处可导

在 的导数

若

x f y

x x

f y

x f y



 

 

) . ) (

(

: ₂

2 2

2

dx x f d dx

y x d

f

y 或 或 或

记为  

即 ( ) ( ) . lim

) (

0 x

x f

x x

x f f

x 

 



 

 





记号与求导过程: ( ) .

2 2 2

2

dx y d dxdx

dy d

dx dy dx

d dx

y

d   



 



 

类似地，y=f(x)的二阶导数的导数叫做三阶导数. 记为

称二阶、三阶…n阶导数为高阶导数. .

, ),

( ₃

3

dx y y d

x

f  

y=f(x)的三阶导数的导数叫做四阶导数. 记为 .

, ),

( ₄

) 4 4 ( )

4 (

dx y y d

x f

y=f(x)的n-1阶导数的导数叫做n阶导数.

. ,

),

( ^{( )}

) (

n n n

n

dx y y d

x f

注意：

. )

(

; )

( , )

1

( 相应地 f x 称为零阶导数 f  x 称为一阶导数

(2)高阶导数是在低一阶导数的基础上定义的，故求高

阶导数得先求出各低阶导数.

(3)物体运动的加速度，是距离函数关于时间的二阶导 数, 即

).

( )

( ₂

2

t dt s

y d dt

t dv

a    

一个函数的导函数不一定再可导, 也不一定连

续. 如果函数 f ( x) 在区间 I 上有直到 n 阶的导数

f ⁽ⁿ⁾(x) , 且 f ⁽ⁿ⁾( x) 仍是连续的 (此时低于 n 阶的导 数均连续 ), 则称 f (x) 在区间 I 上 n 阶连续可导, 记为 f

(

)

( I )

(

)

.

如果 f (x) 在区间 I 上的任意阶的高阶导数均存

在且连续, 则称函数 f (x) 是无穷次连续可导的, 记为

. )

(

) I ( )

( x  C

f x  C

f 或

说明：

二、简单函数高阶导数的习例

)

1. 设 f x (  x

, 求各阶导函数 . 例

,

2. y  a

y

. 例 设 求

. ( ) cos ,

) 3 设 f x  x 求 f

( . x 例

1. 直接法 由低阶向高阶逐步求高阶导数.

. ),

1

ln( x y⁽ⁿ⁾

y 求

设   例4

)

1. 设 f x (  x

, 求各阶导函数 . 例

解: f (x)  nx^n1, f (x)  n(n  1)x^n2, ,

) 2 )(

1 (

)

(    ^3

 x n n n xⁿ f



( 1) , )

2 )(

1 (

)

)(

(k n k

x k

n n

n n x

f      ^

, 2 )

2 )(

1 (

)

)(

1

( x n n n x

f ^n    

,

! 1

2 )

2 )(

1 (

)

)(

( x n n n n

f ⁿ      

, 0 )

)(

1

( ^ x 

f ⁿ

0 )

( ,

1 ^{( )} 

 f ^ x

k ^{n k}

对于一切

2 ,

2 1

1

0 n

n n

n a x a x a

x a

y   ^  ^ 

若

0 !

)

( a n

y ⁿ   则

练习: 1.y = (ax+b)ⁿ 的高阶导数

k k

n k

n k

a b

ax k

n n

n

b ax

y

















) 

)(

1 (

) 1 (

) )

(( ^{( )}

) (



当k≥n+1时， y^(k) = 0

解：当 1≤k≤n 时

,

2. y  a

y

. 例 设 求

解: y  a^x lna,

, ,

ln² a  a

y   ^x

.

) ln

( a a

y ⁿ  ^{x n}



注意：

求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结 果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)

: ( )e^x ( )ⁿ  e^x 特

( ) cos ,

( ).

3. f x  x 求 f

x 例 设

解： 



 

 





 

cos 2 sin

) (



x x

x

 f



 

 



 

 ( ) sin



x

f 



 



  

 



 



  

 cos 2 2

2

cos



 

x x



 



  



 

2 2 sin

)

(



x x

f 



 



  

 cos 3



2 . cos

) (

^{( )} 



 



  







n x

x

f ⁿ

 

cos 2 cos

^{( )} 



 



  





n x

x ⁿ 即

 

sin sin .

2 x

_{ } x _{ } n  _

 

 

同理

. ),

1

ln( x y⁽ⁿ⁾

y 求

设  

解

y x

 

 1 1

)2

1 (

1 y x

 

 

)3

1 (

! 2 y x

 

 ⁽⁴⁾ ₄

) 1

(

! 3 y x

 

 

( ) 1

( 1)!

[ln(1 )] ( 1)

(1 )

n n

n

x n

x

 

  

 ^{(n 1, 0!1)} 思考:

例4

类似地，有

N x n

n

x ⁿ

n n

 



 



 





 ^ .

) 1

( ) ! 1 1 (

1

1 )

(

) . (

) ! 1 1 (

1 )

(

 



 



 





 ⁿ

n n n

b ax

a n b

ax

So easy

( )

1

1 !

1 (1 )

n

n

n n N

x x ^

   

   

 

2. 间接法 利用已知的高阶导数公式, 通过四则运算, 变量代换等 方法, 求出n阶导数.

n

n n x

x^ )  (  1) (   1) ^ (

) 4

( ^{( )} 

( ) 1 ( 1)!

(5) (ln(1 )) ( 1)

(1 )

n n

n

x n

x

 

  



2) sin(

) (sin

) 2

( kx ⁽ⁿ⁾  k ⁿ kx  n  2) cos(

) (cos

) 3

( kx ⁽ⁿ⁾  k ⁿ kx  n  ) 0 (

ln )

( ) 1

( a ^{x (n)}  a ^x  ⁿ a a  (e ^x )⁽ⁿ⁾  e ^x

( )

1

1 !

(5 ). ( 1) .

1 (1 )

n

n

n

n n N

x x ^

 

       

例5

, . 1

1

2

y

y x 求

设  

例6

设 y  sin

x  cos

x , 求 y

.

例7 求 . 6 5

1

2 100

100



 







 x x

dx d

2. 间接法求高阶导数

例5

, . 1

1

2

y

y x 求

设  

解

)

1 1 1

( 1 2 1 1

1

2

 

 

 

x x

y x



) ] 1 (

! 5 )

1 (

! [ 5

2 1

6 6

) 5 (



 



 

 y x x

) ] 1 (

1 )

1 (

[ 1

60

 

 

x x

( )

1

1 !

( ) ( 1)

1 (1 )

n n

n

n

x   x ^

 

利用公式

例6

设 y  sin

x  cos

x , 求 y

.

解 y  (sin² x)³  (cos² x)³

) cos

cos sin

)(sin cos

(sin² x  ² x ⁴ x  ² x ² x  ⁴ x



x x

x

x ^{2 2 2 2}

2 cos ) 3sin cos

(sin  



x 2 4 sin

1  3 ²

 2

4 cos 1

4

1 3  x





 x 4 8 cos

3 8

5 



2).

4 cos(

8 4

) 3

(      

 y ^{n n} x n

例7 求 . 6 5

1

2 100

100



 







 x x

dx d

解 由于

) 3 )(

2 (

1 6

5 1

2   



 x x x

x ,

3 1 2

1

 

 

x x

故 



 



 

 



 



 

 



 







 3

1 2

1 6

5 1

100 100 100

100 2

100 100

dx x d dx x

d x

x dx

d



 





 

  _{101 101}

) 3 (

1 )

2 (

! 1

100 x x

101 100

101 100

) 3 (

! ) 100

1 ) (

2 (

! ) 100

1

(   

 

 x x

三、 高阶导数的运算法则

定理1：如果u=u(x), v=v(x)都在点x处具有n阶导数, 则

 

) 1

( u  v ⁿ  u ⁿ  v ⁿ

 

) ( )

( ) (

) 2 (

2 )

1 (

1 )

) ( (

) 2 (

n k

k n k

n

n n

n n

n n

uv v

u C

v u

C v

u C v

u uv







 

 















 

) 3

( Cu ⁿ  Cu ⁿ

公式(2)称为Leibniz(莱布尼兹)公式.

v u  

 3 )

( u v   u  v  u v  ( u v )   ( u  v  u v  )   u  v  2 u  v   u v 

)

( u v   u  v  3 u  v   u v 

注意: 求高阶导数的方法可归纳为三种

方法1(直接法): 即利用高阶导数的定义，再由不完全归 纳法得出结论.

方法3: 即利用高阶导数的运算法则来得结论.

方法2(间接法): 即利用已知的高阶导数公式, 通过四则

运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数.

四、高阶导数的运算法则习例

2 (20)

c

8 y  x os , x 求 y . 例

. ),

, (

sin ⁽ⁿ⁾

ax bx a b y

e

y 为常数 求

设 

例9

设 y  x

e

, 求 y

.

例10

2 2

1 ,

11 dx d x .

dy  y dy

 求

例 由

解：设 u  cos x,v  x²,则

,20) 1,2,

( 2

) cos

(   



 



  

 x k k

u ^k



) 20 , ,

4 , 3 (

0 ,

2 ,

2   ^{( )}   

  x v v k

v ^k

v u

C v

u C

v u

y     

 ^{(20) (20)} ₂₀^{1 (19)} ₂₀^{2 (18)}

2

20 2

cos x   x



 



  





x

x 2

19 2 cos

20  



 



  





2 2 18 2 cos

19

20  



 



  

 



x

. cos 380

sin 40

2 cos

x x

x x

x  



2 (20)

c

8 y  x os , x 求 y .

例

例9

设 y  x

e

, 求 y

.

解

设 u  e

, v  x

, 则由莱布尼兹公式知

0 )

( )

! ( 2

) 1 20

( 20

) (

) (

20 )

(

2 )

18 ( 2

2 )

19 ( 2 2

) 20 ( 2 )

20 (

 

 



 







x e

x e

x e

y

x

x x

2

! 2 2

19 20

2 2

20 2

2 18

2 19 2

2 20

 













x x x

e

x e

x e

) 95 20

(

2

 

 e

x x

例10 设 y  e^ax sin bx (a,b为常数), 求y⁽ⁿ⁾ . 解 _y _{ ae}^ax _{sin bx  be}^ax _{cos bx}

) cos

sin

(a bx b bx

e^ax 



) arctan (

)

2 sin(

2

a bx b

b a

e^ax      



)]

cos(

) sin(

2 [

2       

  a b ae bx be bx

y ^{ax ax}

) 2

2 sin(

2 2

2      

 a b e^ax a b bx





) sin(

) ( ^{2 2 2}

)

(  a  b  e bx  n

y ^ax

n

n ( arctan )

a

 b



2 2

1 ,

11 dx d x .

dy  y dy

 求 例 由

2

2 2 2

2

( ') 1 ( ')

( ) ( )

' ( ') ( ')

( ') ( ')

y

d y

d x d dx d y dy

dy dy dy dy y y y

d y dx dx dy

y

      

 

解：注意，y', y''是y对x的导数，而 ₂

2

d d

y x

导数.由复合函数及反函数的求导法则，得

是求x对y的

2 ( ')3

'' )

' (

) ' (

y y dx

y dy dx

y d











) ) ' ( ( '' )

(

2 3

3

y y dy

d y

d x d dy

d dy

x

d   

5 2

) (

) (

3

y

y y y







 

 



6

2 3

) (

) 1 (

1 3 )

' (

y

y y y

y y y

y



 

 

 

 

 







6

3 3

) (

) ' ) (

' (

y

dy dx dx

y y d

dy dx dx

y y d



 

 



6 

3 3

) (

) ' '' (

) ' (

y

dy y y d

dy y y d



 





五、隐函数的求导法则

定义:

由方程所确定的函数 y  y ( x ) 称为隐函数 .

. )

(x 形式称为显函数 f

y 

0 )

,

(x y 

F y  f (x) 隐函数的显化

问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导?

隐函数求导法则:

用复合函数求导法则直接对方程两边求导. 值得注意的是：在求导过程中，若x为自变量，

则y是x的函数，关于y的其他形式都是复合函数.

如果由方程F(x, y)=0确定隐函数y=f (x)可导，

则将y=f (x)代入方程中，得到 F(x, f (x))  0

对上式两边关于x求导：

0 )

, d (

d F x y  x

然后，从这个式子中解出y，就得到隐函数的导数。

隐函数求导法则:

3 3

3 3

13. 3 , ( , )

2 2

, .

C x y xy C

C

 

例 设曲线 的方程为 求过 上点

的切线方程 并证明曲线 在该点的法线通过原点

六、隐函数的求导数习例

2

12.

0 ,

.

e xy e y x

   dx

例 设方程 确定了 为 的可微函数 求

2

12.

0 , d y

.

e xy e y x

   dx

例 设方程 确定了 为 的可微函数 求

解: 方程两边对x求导得,

, 0 )

(e  xy  e  dx

d _y

.

 0

 

  y xy y

e ^y

.

e y

x y y



 

 

求二阶导数有两个方法:

方法 1. 



 







 

 y

e x

y y

)2

(

) 1

)(

( )

(

y

y y

e x

y e y

e x

y



 





 

 

) . (

2 2

3 2 y

y y

e x

e y ye

xy





 

 

方法 2.  e ^y y  y  xy  0,

, 0 )

(

e ^y y  y  xy   则

. 0 )

( y ²  e y   y  y  xy  

e ^{y y}

y y

e x

y y

y e



 

 

 

 ( ) 2

2

3 2

) (

2 2

y

y y

e x

e y ye

xy





 

 

解: 方程两边对x求导, ^{3x2  3y2 y  3y  3xy}

2) ,3 2 (3

2

2

2) ,3 2

(3 y x

x y y



 

   1.

所求切线方程为 )

2 ( 3

2

3   

 x

y ^{即 x  y  3  0.}

2 3 2

3  

 x

法线方程为 y 即 _{y  x,} 显然通过原点.

3 3

3 3

13. 3 , ( , )

2 2

, .

C x y xy C

C

 

例 设曲线 的方程为 求过 上点

的切线方程 并证明曲线 在该点的法线通过原点

内容小结

(1) 逐阶求导法 (2) 利用归纳法

(3) 间接法 —— 利用已知的高阶导数公式

(4) 利用莱布尼兹公式 1.高阶导数的求法

2. 隐函数求导法则 直接对方程两边求导

思考题：

课堂练习：

1. 设

g  ( x )

f ( x )  ( x  a )

g ( x )

f  ( a ) )

( x

 g

) ( )

( )

( ) (

2 )

( x x a g x x a

g x

f      



) ( x g 



f  (a )

) (a f 

a x

a f

x f

a

x



 

 



) ( )

lim ( f  ( a )  0

a x

x f

a

x



 



)

lim ( _{lim [ 2 g ( x ) ( x a ) g ( x )]}

a x

 





 2 g ( a )

解

练习题

)]

( [

! f x

n

2 已知

f ( x )

 2

n

f

( x ) 

提示:

, )]

( [ )

( x f x

f  

 ( x ) 

f 2 f ( x ) f  ( x )  2 ! [ f ( x )]

 ( x ) 

f 2 !  3 [ f ( x )]

f  ( x )  3 ! [ f ( x )]

3. 证明f (x)=arcsinx满足下式

. 0 )

( )

( )

1 2

( ) ( )

1

(  x² f ^(n2) x  n  xf ^(n1) x  n² f ⁽ⁿ⁾ x  证：

0 )

( ' )

( ' ' ) 1

(  ²  

 x f x xf x

) ( 1 '

1 ) 1

( )

( ''

₂

2

2 f x

x x x

x x x

f  



 

2

'( ) 1 ,

1 f x

x

 

对上式关于x求导n次：

0 ))

( ' ( )' (

)) (

' ( ))

( '' ( ' )' 1

(

)) (

'' ( )' 1

( ))

( '' )(

1 (

) 1 ( 1

) ( 0

) 2 ( 2

2

) 1 ( 2

1 )

( 2

0























n n

n n

n n

n n

n n

x f

x C

x f

x C x

f x

C

x f

x C

x f

x C

故

0 )

( 1

) (

) ( )

2

! ( 2

) 1 ) (

( )

2 ( )

( )

1 (

) ( )

1 (

) ( )

1 ( )

2 ( 2











 















x f

n x

xf

x n f

x n f

x n

x f

x

n n

n n

n

即

0 )

( )

( )

1 2

( )

1

(  x² f ^(n2)  n  xf ^(n1) x  n² f ⁽ⁿ⁾ x 

4 . 设 求 解:

,

1 1

x2

y   即

( 1  x

) y   1

用莱布尼兹公式求 n 阶导数

) 1

(  x

2 x 2

令 得

由 得





) 0

)

(

1 2

( m

y

) 0 (

! ) 2 ( ) 1

( 

m y 



 

0 )

0

)

(

2

( ^m



y











 

1 2

,

! ) 2 ( ) 1 (

2 ,

) 0 0

)

(

(

m n

m

m

y ⁿ _m n

即

( m  0 , 1 , 2 ,  )

由 得

y

( 0 )  (  1 )

( 2 m ) ! y  ( 0 )