5 弹性理论与有限元解法

§5 弹性理论与有限元解法

有限元法用来解弹性体的小变形问题是很有效的.这是由于变形能与外力势能或总势能 可以表示为形式划一的二次泛函.由于弹性力学问题提法,特别是边界条件的复杂性,要使有限 元解法灵活运用,还需要对各种问题作些分析与讨论.因此本节除了介绍各类问题与§1中B、D 等有关的基本关系式外，还着重分析边界条件在有关变分问题中所起的作用，并讨论各类变 分问题与微分方程定解问题的等价性。

一、 三维的弹性问题

本节在直角坐标系(x,y,z)中讨论弹性体内部受力与形变的情况.为了简化论述,假设弹性 体是单连通、均匀并各向同性的,必要时还用通常的矢量记号以突出其力学意义.

[应力与平衡方程] 弹性体在外力、温差等作用下，各部分之间将产生内力，表示内力 的大小是作用面上受力的强度或单位面积所受的力,即所谓应

力.对弹性体内的一点P,可在其邻近作一微元六面体，其棱边平 行于坐标轴。六面体的六个面中有三个面其外法线方向分别与 x 轴、y 轴或 z 轴同向（其余三个则与坐标轴反向）,可分别称 为 x,y,z坐标面(或第 1,2,3 坐标面).设₁,₂,₃分别表示作用于 x,y,z 坐标面的应力,并记_i的三个分量为_i1,_i2,_i3(对其余三 个面的应力取号相反.例如,图19.18 上所示的分量全是正的),这 九个分量_ij(i,j=1,2,3) 构成一个张量,称为应力张量.

从图可看出,分量_ii表示第i坐标面上的正应力(受拉取正,受压为负);而分量_ij则表示沿 第 i 坐标面剪应力的二分量(使扭角变成锐角的为正).由微元六面体力矩的平衡可得剪应力互 等定律,即

ij =_ji (

i  j

)

因此应力张量是对称的,其分量只有六个是独立的.在有限元解法中,一般是把这六个分量按如 下次序排成列矢量,并记作

 











} ( , , , , , )

{  _{11 22 33 23 31 12}

设过点P作一任意的斜面,其法线n的方向余弦为(

n

₁

, n

₂

, n

₃),则利用与三坐标面围成的四 面体的平衡条件可得作用于该斜面的应力_n的三个分量









3 

1

3 3 2 2 1 1 i

j j

j i

ijn  n  n  n

 (j=1,2,3) 于是_n在方向余弦为(m₁,m₂,m₃)的直线上的投影,即其分量为





 ³

1 ,j i

j i ij

nm  nm



这表明,一个点的应力状态完全由该点的六个应力分量{}所决定.例如,作用于上述斜面的正 应力为





 ³

1 ,j i

j i ij

nn  nn



而沿该斜面的剪应力方向取nσ_nn,大小等于

  

  







 ³

1 3

1

3

1 ,

2 2

2 2

) (

) (

j i i j

j i ij i

ij nn

n

n    n  nn



反过来,对于_n 0的斜面称为 P点的应力主面,相应的法线称为 P点的应力主轴,而其正 应力_nn称为 P 点的主应力.可以证明,在弹性体内任意一点,一定存在三个互相正交的主应力, 而且其中最大(小)的一个就是该点的极大(小)正应力.三个正应力之和

33 22

11  



   

称为体积应力,它在坐标变换下是个不变量,因而等于三个主应力之和.

设 f {f}(f₁, f₂, f₃)^,表示作用于 P 点的体力(单位体积的外力),对体积元素作积分 或均值分析都可以推出力的平衡方程

3 0

2

1  













i i i

i f

z y

x





 (i=1,2,3) (26) [应变与几何方程] 弹性体内任一点P(x,y,z)在小变形后移到

P  ( x  , y  , z  )

其位移函数为

)

, , (u v w

 u 式中

z z w y y v x x

u  ,   ,  

它们是(x,y,z)的微量函数,假定有一微小线段PN=dr其方向余弦为 (n₁,n₂,n₃),经过小变形变为PNdr,则沿该方向的正应变_n定 义为单位伸长,即

dr dr r d

n  



从变形前后的dr与dr关于位移的表达式不难得出

1 } ] ) 1 ( [

] )

1 ( [

] )

1 ( {[

2 1 2 3 2

1

2 3 2 1

2 3 2

1



























n w w

n w n

v n n v v

n u

n u n u n

z y

x

z y

x z

y x

n

展开右端的根式并略去高阶无穷小量(即位移导数的高次项),就得到

) (

) (

)

( _{3 1 1 2}

3 2 2

3 2 2 2

1 x y z y z z x x y

n n u n v n w n n w v nn u w nn v u



设另一线段PM的方向余弦为(m₁,m₂,m₃),变形前的夹角MPN ,则

3 3 2 2 1 1 3

1

cos nm nm n m nm

i i

i   







 (27) 设变形后的夹角MPN^(图19.19),则







 

 ³

1

cos

i i im

 n

根据变形前后两线段大小、方向的变化,不难得出

) )(

( ) )(

(

) (

2 cos ) 1

( cos

3 1 1 3 2

3 3 2

3 3 2 2 1 1

x x z

y

z y

x m

n

w u m n m n v w m n m n

w m n v m n u m n























   



) )(

(n₁m₂ n₂m₁ v_x u_y

 (28) 对照(27),(28)可知,只要在P点给定如下六个导数值:

y x

x z

x y

x y x

u v

w u

v w

w v u































21 12

13 31

32 23

33 22 11



















(29) 就可以完全确定 P点邻近的变形状态._ii表示沿第 i坐标轴的正应变,_ij表示经过小变形第 i,j 坐标方向之间的直角改变量即所谓剪应变(₁₂如图19.20所示,变形后成锐角为正,成钝角为负).

这六个量称为应变分量,记作

 











} ( , , , , , ) {  _{11 22 33 23 31 12}

同样可以证明,在弹性体内任意一点,一定存在互相正交的应变主轴,变形后三轴交角仍然保持 直角,即剪应变为零;三主轴的正应变称为主应变,而且其中最大(小)的一个就是该点的极大(小) 的正应变.三个正应变之和

33 22

11  

  

 e

称为体积应变,也是个不变量,而且表示微元中每单位体积的改变量.对于各向同性体来说,应力 主轴与应变主轴的方向还是一致的.§1中所述的变形能密度

} { } 2{ } 1 { } 2{

dV  1  ^    ^ 

正是把坐标系变换到共同的主轴方向并应用虎克定律而推导出来的.

关系式(29)称为几何方程,其矩阵形式为

) 9 2 0 (

0 0

0 0

0 0

0 0

} {

12 31 23 33 22 11























































 

 

 































 Bu

w v u

x y

x z

y z

z y x















[物理方程与弹性系数] 对杆件作简单拉、压的小变形实验证明,单独的轴向(取为x轴)力 不会引起剪应变,其正压力_x与正应变_x之间具有如下的线性关系

x

x E

  或₁₁E₁₁

如果考虑到沿x方向的伸长还伴有侧向收缩,则产生沿y,z方向的正应变

x z

y  

  - 或₂₂ ₃₃ ₁₁

这就是虎克定律,式中系数E,v分别称为弹性模数和泊松比.从胡克定律就可以推导出应变与应 力之间的一般关系式,即所谓物理方程

) 30 1 (

) 1 ( )] 2

( 1[

) 1 1 ( )] 2

( 1[

) 1 1 ( )] 2

( 1[

12 12

12 22

11 33

33

31 31

31 33

11 22

22

23 23

23 33

22 11

11















 









 









 

























































G E

v E

G E

v E

G E

v E

式中 2(1 v) G E

  称为剪切弹性模数.

从(30)求逆得出应力与应变之间的关系式

) ( ),

3 , 2 , 1 (

2G i G i j

e _{ii ij ij}

ii        

 或写成矩阵形式:

) 31 ( }

{ } {

0 0 0 0

0

0 0

0 0

0

0 0 0

0 0

0 0 0 2

0 0 0 2

0 0 0 2

}

{     













 D

G G G G G

G



































式中 (1 v)(1 2v) Ev

 

 与G称为拉梅系数,e就是体积应变.它与体积应力Θ 成正比:

E 

e12v 或 e v E

2 1

  式中比例常数

v E

2

1 称为体积弹性模数.

[边界条件] 弹性体Ω 的边界Ω '承受面力

)

, , ( }

{q  q₁ q₂ q₃

 q

有三种方式:固定支承,荷载支承和弹性支承.假定Ω '接受这三种支承的部分分别记作₁,₂和

3,则其边界条件可表示为

1° 几何约束条件: 在₁上给定位移,即

w w v v u

u  

 , ,

1

2° 面力平衡条件: 在Ω₂上给定荷载即面力 q,(n₁,n₂,n₃)表示Ω₂上任一面积元素的外法 线方向余弦.由于应力要与面力平衡,从(27)可得其条件为

) 3 , 2 , 1

∑

³ (

1

2  

 n q j

i

j i

ij

Ω

3° 耦合平衡条件: 在Ω₃上弹性体与另一弹性结构耦合,这些耦合边界上的位移既不受 约束也不完全自由,而是接受与其位移偏差(相对于某一给定的位移值u,v,w)成正比的弹性反 力.每单位面积上它的三个分量可表示为

) 3 , 2 , 1 ( ]

[

)]

( ) ( ) ( [

3 2 1

3 2

1

























j q

w c v c u c

w w c v v c u u c

j j

j j

j j

j

这里弹性支承系数矩阵 C=(c_ji)是正定的,而q_j c_j1u c_j2vc_j3w可看作给定的面力.同样,这 反力应由₃上的应力来平衡.于是其条件可写成

) 3 , 2 , 1 ( )

(

∑

³ -

1

3 2 1

3     

 n c u c v c w q j

i

j j

j j i

ij

Ω

[外力势能及其计算公式] 弹性体内及其边界上,凡给定的外力因变形而作功的部分都要 累加起来,再补上负号可看作弹性体相对于外力系统的势能,即所谓外力势能-F(u).例如在弹性 体内部除体力f外,也可能有部分施加集中的面力、线力和点力，这些力与该部分的位移的内 积就是它们所作的功，因此都要算进去。在边界上，除几何约束的部分外，施加在其余部分 的外力,包括面力、线力和点力对外力势能都有贡献,也要引入公式.为了简化计算公式,同式

(1)~(7)只列出体力f与面力q一样,这里也不考虑集中力的情况.

假定在弹性体Ω 的边界Ω的部分Ω₁,Ω₂,和Ω₃上分别施加几何约束、面力与弹性反力,则 外力由于变形而作的功等于







 

 

 



3 2

d 2 ) ( 1 d

d )

(









 f  u q  u q- u 

u

u C

W

Ω

取内积记号

3 3

3 d ( , )

) , (

d )

, ( d

) , (





 

































 









u u u

u u

u

q u u

q f

u u

f

C C

C

式中C=(c_ji)表示正定的弹性耦合系数矩阵,而-Cu就是因位移u而产生的弹性反力.于是,外力 所作的功W可简写成

3 3

2 ( , )

2 ) 1

, ( ) , ( )

(u  f u  q u _{ }  Cu u _

W _{Ω }

上式右边第三个积分是由于边界变形而产生的外功，它是u 的二次泛函，因此改号后可看作 弹性体变形能的一部分，于是总势能可写成

) ( ] , 2[ ) 1

(u u u F u

P   （32）

式中 [ , ] 2

1 u u 表示变形能,-F(u)表示外力势能,即

 



 



3

d d

) ( ) ( ] , [

Ω Ω

Ω C B D

Bu ^ u u^ u  u

u

3

) 2

, ( ) , ( )

(u  f u_Ω q u _{ } F

二、 二维的弹性问题

本段只在直角坐标系中讨论平面应力、平面应变以及薄板弯曲等三个常见的问题。对于 抗拉薄板,可以认为沿板厚方向的正应力与剪应力都等于零.一般以薄板的中面为xy面,可假定

0 ,

0 _{32 31 23 13}

33     



只有沿xy平面的三个应力分量:₁₁,₂₂和₁₂₂₁,而且它们与坐标z无关.这就是平面应力问 题.反过来,分析相当长棱柱体(例如重力坝)在受到沿长度不变的外力作用下的变形,可以认为 各点只有平行其横截面(取为xy平面)的位移(即w=0),而且其位移沿长度不变(即u,v与z无关), 从几何方程可知

0 ,

0 _{32 31 23 13}

33     



只有沿xy平面的₁₁,₂₂和₁₂₂₁,而且与z无关,这就是平面应变问题.

分析薄板受横向荷载而引起的弯曲的情况,可以认为中面各点不作纵向位移,即当 z=0 时,u=v=0,而板的横向位移w不沿厚度变化,即w = w(x,y)与z无关.此外,由于沿板厚方向的正应 力与剪应力虽不等于零,但远小于其他应力分量,对变形的影响可忽略不计,因此又有同平面应 力问题一样的物理方程.

[平面应力问题] 作用于法线的方向余弦为(n₁,n₂)的截面上的应力分量为

2 21 1 11 2

1

1n n n

i i

i  

  





² _{12 1 22 2}

1

2n n n

i i

i  

  





1° 力的平衡方程

0 0

2 22 12

1 21



 









 







y f x

y f x

11











2° 边界条件 假定边界接受固定支承,荷载支承和弹性支 承的部分分别记作₁,₂,₃,则其边界条件可表示为

) 2 , 1 (

) 2 , 1 ( ,

2 1 2 2 1 1 3

2 2 1 1 2

1









 





 



 

j q

v c u c n n

j q

n n

v v u u

j j j j

j

j j

j















3° 几何方程

y v x u y

v x

u









 

 



  _{22 12 21}

11 , , 

 4° 物理方程



























12 12

11 22 11

22 11 11

) 1 2(

) 1 (

) 1 (

















E v E v E v

或















 

 



 



12 12

22 2 11

22

22 2 11

11

) 1 ( 2

) 1 (

) 1 (

















v E v v E

v v E

5° 矩阵B与D

u v B u

x y

y x





 



































 

 





















 0

0 }

{

12 22 11









} { 2

0 1 0

0 1

0 1

} 1 {

12 22 11 2

12 22 11















 D

v v

v v

E 

































 





















注意,从物理方程(30)还推导出

) 1 (

)

( _{11 22 11 22}

33    

 

 







 v

v E

v

它是单位板厚的改变量.

6° 总势能表达式形式上与(32)完全一样,只须注意这里是二维情况.

[平面应变问题] 力的平衡方程、边界条件、几何方程(因而矩阵B)以及总势能的表达式

同平面应力问题一样.从₃₃0和(30)可推出其物理方程















 

 

 

 

 

12 12

11 22

2 22

22 11

2 11

) 1 ( 2

1 ) 1 (

1 ) 1 (

















E v

v v E

v

v v E

v

或















 

 





 

 





 

12 12

22 11 22

22 11

11

) 1 ( 2

1 ) )( 1 )(

2 1 (

) 1 (

1 ) )(

1 )(

2 1 (

) 1 (

















v E

v v v v

v E

v v v

v v E

对照平面应力问题的物理方程看出,只要把其中的 E,v 分别改成

v v v E



 ,1

1 ² ,就得到平面 应变问题的物理方程.这表示弹性系数为

v v v

v E E

 

 



, 1 1

*

2 的材料的平面应力问题同弹性 系数为 ^* _{* 2}^{* *} _*

, 1 ) 1 (

) 2 1 (`

v v v

v v E E

 



  的材料的平面应变问题是一致的.相应的矩阵D可写成























 











 

) 1 ( 2

2 0 1

0 1 0 1 1

1 0 1 1

2 1

v v v

v v

v

v v v v

v D E

注意,从物理方程(30)还得出纵向的正压力

) )(

1 )(

2 1 ) (

( _{11 22 11 22}

33    

 



 



 v v

v Ev

它是使棱柱体纵向无应变所应加于其两端的面力.

[薄板弯曲问题] 薄板的小变形可完全由中面(取作xy坐标平面)的挠度(即沿z方向的位

移)w= w(x,y)来表示.也就是要得出板中面z=0变形后的弹性曲面z= w(x,y).这时板中面点(x,y,0) 的 法 向 线 段 , 依 假 定 只 作 刚 性 位 移 变 到 该 曲 面 的 法 向 线 段 ( 图 19.22 右 ), 其 方 向 数 为

) 1 , ,

(w_x w_y 。

因此,薄板中任一点(x,y,z)(

2 2

z h h  

 ,h为板的厚度)的位移分量可写成

) , ( 1

) ( 1

) (

y x w w

zw w

w w v z

w zw w

w u z

y y

x y

x y

x x





 



 



 



 

这里略去了微量

w

_x

, w

_y的高阶项.同样,我们可记变形后曲面的三个曲率分量的一阶近似为

xy yy

xx k w k k w

w

k₁₁ , ₂₂  , ₁₂  ₂₁ 2 而把几何方程写成

12 12

22 22

11 11

2zw zk u

v

zk zw v

zk zw u

xy y

x

yy y

xx x

































物理方程中主要的应力分量则可写成

12 12

12

11 11 2 22 11

11 2 22 22

22 2 11

22 2 11

11

) 1 ( 2 )

1 ( 2

) 1 (

) 1 (

) 1 (

) 1 (

v k Ev v

E

vk k v k v Ez

v E

vk v k

v Ez v

E

 

 

 



 



 



 





















这些分量与上述的应变分量成对地出现于变形能的积分式中,并含有z²的公因子.现在把_ij中 的z移到_ij上并考虑如下积分















































) 33 ) (

1 2d(

d 1

) d(

d

) d(

d

12 2

2 12 21

12

11 22 2

2 22 22

22 11 2

2 11 11

k v z

z M

M

vk k z z M

vk k z z M

h h h

h h

h







式中

) 1 (

12 ²

3

v d Eh

 

称为板的抗弯刚度，而M₁₁,M₂₂与M₁₂ M₂₁就是同 x,y 轴正交的单宽截面上所受的弯矩与扭 矩。

这些内力与应力之间显然有如下关系:

) 2 , 1 , 12 (

3 

 i j

h z M_ij

ij

因此把M_ij称为广义应力,k_ij称为广义应变,而(33)就称为广义的胡克定律.如果记





) , , ( } {

) , , ( } {

12 22 11

12 22 11

k k k k

M M M M



 则变形能可写成

) 34 ( d

d } { } 2 {

1

d ) d d } { } { 2 (

1

0 0

2 2



 



 







 



y x k M

z y x V

h h

式中₀表示薄板中面的区域.由于待定函数只有位移分量 w(x,y), 于是可令





























 



 



 



y x y x B

2 2 2

2 2

2

















 



2 0 1 0

0 1

0 1

) 1 (

12 ²

3

v v

v v

D Eh

并把{k}=B w,{M}=D{k}代入(34),得到





^



0 0

d d ) ( ) 2 (

d 1 d ) ( ) 2 (

) 1 (









D Bw x y Bw D Bw x y

Bw w

V

积分式中出现位移函数w的二阶偏导数,与平面问题仅出现位移函数u,v的一阶偏导数有本质 上的不同.

[弹性曲面与板的总势能]

1° 弹性曲面的微分方程 在应力分量中,₁₁,₂₂,₁₂不但对变形影响较大,而且由它们 所产生的弯矩、扭矩在把荷载传递到边界的作用中是基本的内力.但直接同外力平衡的内力却 是其余的分量.因此,为了得出弹性曲面的形状,还要考虑到各应力分量



_3j (j=1,2,3)与 w 之间 的关系.

由于薄板的体力 f_j可忽略不计,根据应力平衡方程(26)与上下板面的边界条件,通过对 z 的积分可得

) 4 )(

)( 1 ( 2

) 4 )(

)( 1 ( 2

2 2 23 2

32

2 2 13 2

31

yyy xxy

xyy xxx

w w h z

v E

w w h z

v E



 









 















再 代 入 (26) 第 三 方 程 就 能 求 出₃₃ . 一 般 地 说 , 下 板 面 悬 空 即 无 面 力 , 于 是 依 其 边 界 条 件:[ ] 0

2

33 

h z

 通过对z的积分可得

) 2

)(

1 ( 2 )

(1 ) 1 ( 6

2 2

3

33 wxxxx wxxyy wyyyy

h z h

z v

Eh    

 

 

最 后 根 据 施 加 于 上 板 面 的 荷 载 强 度 q( 向 下 为 正 ) 的 边 界 条 件 , 并 利 用 拉 普 拉 斯 算 子

2 2 2 2

y

x 

 



 

 的记号可得

0

2 ( , ) 

  x y 

d w q

这就是弹性曲面的四阶微分方程,式中 d 为板的抗弯刚度.为了求解 w,还需要考虑沿薄板边缘 (截面)的边界条件.

2° 板的边界条件 为了统一表达式,设Q₁,Q₂分别表示垂直于 x,y 轴的单宽截面上由

23 32 13

31  , 

   所产生的切力

) ( d d

) ( d d

2 2

32 2

2 2

31 1

y w z

Q

x w z

Q

h h h

h











 







 











 (35)

其次在中面区域₀的边界₀上作切线方向s与外法线方向n,使n,s与z轴构成右手的局部坐 标系(参考图19.24),并设s,n的方向余弦分别为(s₁,s₂,0),(n₁,n₂,0)(s₂,s₁,0)。

对比(33),(35)显然有平衡方程:

) 2 , 1

2 (

1 







 j

y M x

Q_j M ^{j j}

如果以Q_n表示作用于外法向为n的单宽边缘截面的切力,则得平衡方程:

s M n

n M Q

Q ^{nn sn}

i i i

n 





 





 2

1

0

式中

sn j

i

j i ij ns

j i

j i ij

nn M nn M M ns M

M 













2

1 , 2

1 ,

,

它们分别表示作用于边缘截面的正应力^{nn }



^{ijninj与剪应力ns }



^{ijnisj 所产生的单宽}

弯矩与扭矩.

薄板的各种边界条件基本上可分为以下三类:

(i) 几何约束

(a) 给定某部分边界的挠度:

w  w

。例如固定边、简支边都要给定w=0。

(b) 给定边缘截面绕切向 s 的转角 _s w_s n w w 



: 。例如固定边除 w=0 外,还要给定 n

w

 =0 。 (ii) 荷载支承

(a) 在单宽边界上给定横向的线力荷载 p,它是由边缘截面上的切力Q_n和扭矩的切 向变化率所产生的切力来平衡,即

s p Q_n M^sn 



 (p朝z方向为正) 例如在自由边部分p=0,依上述公式左端包含w的三阶偏导数.

(b) 对单宽边缘截面给定绕切向s的力矩荷载m_s即M_nn m_s。例如在自由边部分同 p一样，m_s 0。

（iii) 弹性支承

(a) 除横向的线力荷载外还承受与挠度成正比的弹性反力-cw，其中c0为弹性耦合 系数，其条件可写成

cw s p

Q_n M^sn  





(b) 除了力矩荷载外还承受与截面绕切向的转角成正比的弹性反力矩 n c w





0 ，其中

c00也是弹性耦合系数。其条件可写成

n c w m w c m

M_{nn s s s}



 





 _{0 0}

注意，在同一边界上给定的二条件不能同样是（a）型或（b）型的。

3° 总势能的表达式 给定的二条件假定在中面区域₀的边界₁^上都是弹性支承，其 平衡条件为

n c w m M cw

s p

Q_n M^sn _{nn s}









 

 , ₀ (c, c₀0)

变形能与外力势能的表达式可分别写成



































0 0

0

0 0

d d

d )

(

d ) ( d

d ) ( ) ( ] , 2[ ) 1 (

0

2 0 2

0

















 n s m w s pw qw

w F

n s c w s cw Bw

D Bw w

w w

V

s

o

如果在部分边界₁,₂上分别给定挠度

w  w

和绕切向s的转角w_s，则在表达式的后面 二线积分中应分别去掉与这些几何约束有关的积分线段。于是总势能可写成



































 

 





2 0 1

0

0 2

0 1

0 0

\

\

0

\

2 0

\ 2

0 d ( ) d d

d ) ( ) ( ) (





















  

n ds m w pwds

qw n s

c w s

cw Bw

D Bw w

P

s

当其他部分改为荷载支承时，只要把该部分的c或c₀取零，表达式照旧。

三、 一维的弹性问题

本段只讨论柱体的扭转问题，因为它是用扭转率作为广义应变的.其他问题如杆的伸缩、

梁的弯曲等可看作二维问题的简化而且与有限元法关系不大,从略.

[圆柱的扭转] 圆柱的半径为 R,圆柱的中心轴取作 z 轴,两端为 z=0,z=l,体力不计.首先考虑只在两端截面受相反的力偶矩 M(图 19.24)而 产生的扭转变形.一般可假定只有沿各横截面产生抗扭的剪应力而其余的 分量

0 ,

21 0

12   _ii 

 (i=1,2,3)

从 物 理 方 程 可 知 它 也 是 一 种 纯 剪 切 变 形 。 在 圆 截 面 上 取 极 坐 标 )

, , ( ), ,

(r r z 也构成右手坐标系(图19.24) 对圆柱的扭转，还进一步假 定

（i) w0，即各圆截面无轴向位移；

（ii) 任一圆截面将绕圆心作微小的转动。

设转动角为ω(z),则ω(z)-ω(0)表示相对于端面z截面z=0的扭转角，而ω(l)-ω(0)就是柱 体的总扭转角。一般可令ω(0)=0，即一端固定。

考虑半径为r在z与z+dz截面之间的环面,不难看出,由于相对扭转角dω 而产生的直角改 变量即剪应变

r z

z d

d

 _ 

它是由环面上沿 方向（或垂直于半径r）的剪应力_z  作用的结果，依虎克定律 Gr z

G _z

z d

d





 _   _  根据剪应力的对称性可得沿z截面的扭矩

GI z z G R

r r r

M_z ^R _z

d d d

d d 2

d ₀

4 0

2 0





 

 

  



 

式中 2

4 0

I R

 就是截面对中心轴的惯矩。于是变形能可写成







^{ }

 _{z z} ^l _z ^l z

GI z z z

M z

r r

V 0

2

0 0 ) d

d (d 2

d 1 d d 2

d 1 d 2 d

) 1

(     







因此，圆柱扭转问题的扭矩M_z与扭转率 a z

d d

 可分别看作广义的剪应力与剪应变。系数GI₀ 称为柱体的抗扭刚度。对这问题，§1中B是微分算子

z d

d ，D是GI₀，待定函数就是广义的位 移即扭转角ω(z)。

推广到一般情况。如果沿柱体每单位长度施加分布荷载即扭转m_z，则平衡方程可写成 mz

GI z

z 

 )

d ( d d

d

0

 而其边界条件同样有三种支承形式：

（i) 几何约束 对柱端截面给定扭转角ω 。例如[]_z0 

（ii) 荷载支承 对柱端截面施加一定的扭转。例如

l l

z M

GI z] _  d

[ ₀ d 或

0

d ] [d

GI M z

l l

z_ 



（iii) 弹性支承 在柱端截面给定与扭角偏差成正比的弹性反矩。例如

0 0

0 ]

d

[ d c M

GI z   _z  或

0 0 0 0

d ] [d

GI M GI

c

z   ^z_ 

 式中c 0为弹性耦合系数。

总势能的表达式 由于体力不计，对弹性支承的情况，变形能与外力势能可分别表示

ω(z)的泛函形式：

0

0 2 2

0 2 0

] [ - ] [ - ) ( -

] [ ] [ d )

(d 2

] 1 , 2[

1

∫

















z z l

z z

z l

z l

M M

F

c c

z dz GI









 





若某端为荷载支承，可取该端c 0，则表达式照旧；若某端（例如z=0）给定扭转角[]_z0  ， 则在上二式中含端点z=0的项都要去掉，而总势能的表达式可写成

l z z l z

l z c M

GI z

P  ) d [ ] _ -[ ] _

d (d 2

) 1

(^ ₀

∫

₀ ^{ 2 2 }

[柱体的扭转] 同圆柱扭转一样，假定₁₂ 0,_ii 0(i1,2,3)，体力与侧面的面力不计，

只在两端施加力偶矩M，其扭矩的位移分量可写成

) ( ,

, v azx w a x,y

azy

u   

其中a z d d

 为扭转率，(x,y)称为翘曲函数。

几何方程 _ii 0 (i1,2,3)

) (

) (

0

23 32

13 31

21 12

x a

y a

y x

































物理方程

)

13 (

31 Ga_xy



)

23 (

32  Ga_y x



平衡方程 从 ^{13 23} 0









y x



 可得

0  _xx _yy 0

 其中Ω₀为柱体截面。

边界条件 设Ω₀的边界Ω′₀ 的外法线的方向余弦为(n₁,n₂)，由于柱侧面不受面力，从物 理方程可得边界条件

2 1

0 yn -xn

n 



 

 根据

∫

( - )d 0

0

 





 s

n x y n

y x ，从平衡方程与边界条件可知其一般解的形式为(x,y)c₁（c₁ 为任意常数）。a可由两端截面的力矩平衡条件来确定，例如从端面z=l的扭矩





^{    }



0 0

d d ] ) (

) [(

d d )

( _{31 32}











 y x x y Ga y y x x x y

M _{x y}

可得出扭转率

1 2

2 - )d d ]

( [

0



^{ } 







 y x x y x y G

a M _{x y}

于是，(x,y)可看作位移，问题归结为求使总势能





























0

0 0

d d ) (

)ψ (

d d ) (

) (

2 2

2 1 2

2





















y x y

x

ds xn yn y

x P

x y y

x y x

达到极值的解。

四、 与有限元解法有关的问题

在讨论空间与平面问题时,为简化起见,坐标(x,y,z)改用(x₁,x₂,x₃),u仍表示位移列矢量,其 三分量用(u₁,u₂,u₃)代替(u,v,w);对体力f等荷载仍用( f₁, f₂, f₃)表示其分量;对积分,除列式演算 外,一般只用一个积分号表示.

[变形能的正定性与刚性位移] 弹性系数矩阵D是正定的,从变形能 V=0可推出{}0,

即对应变{}来说它是正定的,但是对位移来说,它却退化为非负的,即不能由{}Bu0推出

0

u ,因为弹性体还存在无应变的位移即刚性位移.