PDF 學測試題關鍵解析

被

去年的數學學測試題嚇到的同學今年總算鬆了一口氣，今年的試題沒有很繁 雜的的計算過程，題目的選擇也算中規中矩！對於基本觀念有弄懂、歷屆試題有做 熟的同學，只要在考場中沒有過分緊張，應該會得到不錯的成績。

本份試題各冊的分配平均，下表雖然好像沒有空間概念的題目，不過選填題G利用到坐

標化的觀念及空間向量的加法仍是第四冊空間向量的重要觀念，因此整體而言並沒有冷落任何 一單元。本試題另有一特別的地方就是有幾道題目，觀念清楚的同學都會有更快更好的做法，

這是對程度好的同學一種報酬。

一、各冊配分情形：

冊別 單 元 題型

配分 合計 單選題 多選題 選填題

第 一 冊

數與式 7 5

多項式函數 1 10 10 20

指數、對數函數 4 5

第 二 冊

數列與級數 6 5

排列、組合 A 5 30

機 率 13 F 10

數據分析 8，11 10

第 三 冊

三 角 2 12 10 直線與圓 3 E 10 25

平面向量 B 5

第 四 冊

空間向量 0

空間中的平面與直線 5 9 G 15 25

矩 陣 D 5

二次曲線 C 5

前 言

數學考科 105 ^年 學測試題關鍵解析

二、試題題型、特色分析：

1. 由統計表可看出四冊分布的量平均，就難度而言，單選題是拿分的地方，多選題的8及13 則可能造成同學們在緊張的氣氛中思緒混亂，冷靜思考才能5分全拿。選填題A可能是這 分試題中難度較高的題目了，雖是歸類於排列組合中，不過並不是典型的P或C的公式，

一般程度同學要得分並不容易！

(1) 多選8的買水果問題，這是很生活化的一道題目，對「數學就是生活」的宗旨而言是很 好的驗證，不過此題目藏著陷阱喔！在甲商場以一袋5顆的奇異果為最便宜，一袋6顆 的奇異果反而比較貴，而乙商場則是愈多顆的賣愈便宜，這就彷彿在大賣場琳瑯滿目的 商品中，消費者是不是可以找出最便宜的東西在哪裡是一樣的道理囉！

(2) 多選13的抽機車鑰匙想必對大家而言是一種年輕的回憶，此題看起來是不是格外的熟 悉呢？而這題筆者實際畫出樹狀圖後覺得還算簡單，不過計算紙必須大一些就是了，各 位可參考畫畫看！在後面的解析當中，我所使用的觀念是「抽籤公平原理」，當我們把 機率表做出來後，5個選項就可輕易得分了！

2. 針對今年題目，以下幾題是筆者認為比較特殊的題目，提出與各位先進分享：

(1) 單選1：本題乍看是給拋物線的頂點及另一點坐標來求拋物線方程式，不過細心的同學

可能已想到其實本題利用拋物線的對稱性更簡潔，由於對稱軸為x＝2，則 f (1)＝f (3)＝3可得解。

(2) 單選4：半衰期的考題在學測中算是第一次出現，但同學們在做模擬試題時應該不陌生

這道題目了，其實只要記得所謂的半衰期就是「物質質量衰退到原來的一半所 需的時間」這句話，要得分應該不難。

(3) 多選9：這是一道關於空間中圖形的題目，腳踏實地讀書的同學一定早就了解它了，也

可輕易的畫出圖形，這麼容易就得分的感覺應該覺得舒服！

(4) 多選12：針對SSA來出題，歷屆學測試題中並不多見，91年學測補考有考過外接圓半

徑的選項，而整題同學們只要能畫出SSA可能的兩種圖形應該不算難。

(5) 選填D：高斯消去法單獨考一道填充題可能太過簡單了，不過此題出現了四條方程式，

一般課文中我們只見過三條方程式的高斯消去法，有些同學可能會感到不習 慣。不過，畢竟高斯消去法的變化不多，做下去就容易得分了！

(6) 選填E：在這份試題中，本題算是難的，因為有些同學可能一開始會卡在a是正數或負

數而猶豫不決如何作圖。不過，細心的同學應該發現a的答案只有一格，所以

a當然是正數囉！

(7) 選填G：本題只是說明ABCD−EFGH是長方體，也未說邊長為何？答題技巧好的同學

坐標化後應會令邊長是1的正方體解題（因為題目的意思就是對所有的長方體 都吻合啊！），而如此計算過程就遠比筆者所提供的解答簡潔許多，同學這種 直覺的反應功力有賴於平常對題目的敏感度，也常常收到不錯的效果。

第壹部分：選擇題

（占 65 分）

一、單選題（占 30 分）

說明︰第1題至第6題，每題有5個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在 答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得5分；答錯、未作答或畫記多於 一個選項者，該題以零分計算。

1. 設f (x) 為二次實係數多項式，已知f (x) 在x＝2時有最小值1且f (3)＝3。請問f (1) 之值為下列哪一選項？

(1) 5 (2) 2 (3) 3 (4) 4 (5) 條件不足，無法確定

【答 案】(3)

【概念中心】能利用已知頂點假設拋物線方程式或利用拋物線的對稱性解題。

【命題出處】南一版數學第一冊第二章 多項式函數

【試題解析】設f (x)＝a ( x－2 )²＋1

∵ f (3)＝3 ∴ a ( 3－2 )²＋1＝3  a＝2 即f (x)＝2 ( x－2 )²＋1

∴ f (1)＝2 (－1 )²＋1＝2＋1＝3 故選(3)。

2. 請問sin 73°、sin 146°、sin 219°、sin 292°、sin 365° 這五個數值的中位數是哪一個？

(1) sin 73° (2) sin 146° (3) sin 219° (4) sin 292° (5) sin 365°

【答 案】(5)

【概念中心】能將廣義角三角函數化為銳角三角函數並比較銳角中正弦函數值的大小。

【命題出處】南一版數學第三冊第一章 三角

【試題解析】sin 146°＝sin ( 180°－146° )＝sin 34°，

sin 219°＝sin ( 180°＋39° )＝－sin 39°，

sin 292°＝sin ( 360°－68° )＝－sin 68°，

sin 365°＝sin ( 360°＋5° )＝sin 5°

∵ －sin 68°＜－sin 39°＜sin 5°＜sin 34°＜sin 73°

∴ 中位數為sin 5°＝sin 365°

故選(5)。

3. 坐標平面上兩圖形Γ1，Γ2的方程式分別為Γ1：( x＋1 )²＋y²＝1，Γ2：( x＋y )²＝1。請問 Γ₁，Γ₂共有幾個交點？

(1) 1個 (2) 2個 (3) 3個 (4) 4個 (5) 0個

試 題 詳 解 與 分 析

【答 案】(2)

【概念中心】能做出幾何圖形並利用點到直線的距離公式判斷交點個數。

【命題出處】南一版數學第三冊第二章 直線與圓

【試題解析】Γ₁：( x＋1 )²＋y²＝1為圓心A (－1 , 0 )，

半徑為1的圓，

Γ₂：( x＋y )²＝1

 x＋y＝1或x＋y＝－1為平面上兩平行線

∵ d ( A , L₁ )＝ |－1＋0－1|

2 ＝ 2

2 ＝ 2 ＞1

∴ 圓與L1不相交，而與L2交於兩點 故選(2)。

4. 放射性物質的半衰期T定義為每經過時間T，該物質的質量會衰退成原來的一半。鉛製 容器中有兩種放射性物質A、B，開始紀錄時容器中物質A的質量為物質B的兩倍，而 120小時後兩種物質的質量相同。已知物質A的半衰期為7.5小時，請問物質B的半衰 期為幾小時？

(1) 8小時 (2) 10小時 (3) 12小時 (4) 15小時 (5) 20小時

【答 案】(1)

【概念中心】能了解半衰期的意義並利用指數式的相等觀念解題。

【命題出處】南一版數學第一冊第三章 指數、對數函數

【試題解析】設物質B的半衰期為t小時，

則2w×( 1 2 )

120

7.5 ＝w×( 1

2 )

120 t

 2×( 1

2 )¹⁶＝( 1 2 )

120

t  ( 1

2 )¹⁵＝( 1 2 )

120

t  120

t ＝15  t＝8，

故選(1)。

5. 坐標空間中一質點自點P ( 1 , 1 , 1 ) 沿著方向 a ＝( 1 , 2 , 2 ) 等速直線前進，經過5秒 後剛好到達平面x－y＋3z＝28上，立即轉向沿著方向 b＝( －2 , 2 ,－1 ) 依同樣的速率 等速直線前進。請問再經過幾秒此質點會剛好到達平面x＝2上？

(1) 1秒 (2) 2秒 (3) 3秒 (4) 4秒 (5) 永遠不會到達

【答 案】(2)

【概念中心】能求出空間中的直線參數式與平面的交點坐標並進而找出質點的行經距離。

【命題出處】南一版數學第四冊第二章 空間中的平面與直線

【試題解析】L1：





x＝1＋t y＝1＋2t z＝1＋2t

，t  ，代入E：x－y＋3z＝28

 ( 1＋t )－( 1＋2t )＋3 ( 1＋2t )＝28  t＝5

∴ L1與平面E的交點為A ( 6 , 11 , 11 )

而所行距離為 | 5 ( 1 , 2 , 2 ) |＝5 1²＋2²＋2² ＝5×3＝15

∴ 質點每秒行進 15

5 ＝3 ( 單位 ) 又L2：





x＝6－2k y＝11＋2k z＝11－k

，k  ，代入x＝2得6－2k＝2  k＝2，

而所行距離為 | 2 (－2 , 2 ,－1 ) |＝2 (－2)²＋2²＋(－1 )² ＝6＝3×2，

可知需行進2秒，故選(2)。

6. 設〈an〉為一等比數列。已知前十項的和為

k＝1 10

ak＝80，前五個奇數項的和為 a₁＋a3＋a5＋a7＋a9＝120，請選出首項a₁的正確範圍。

(1) a1＜80 (2) 80 ≤ a1＜90 (3) 90 ≤ a1＜100 (4) 100 ≤ a₁＜110 (5) 110 ≤ a₁

【答 案】(4)

【概念中心】能找出等比數列奇數項、偶數項和的關係並利用等比級數和公式求值。

【命題出處】南一版數學第二冊第一章 數列與級數

【試題解析】∵ a₁＋a₃＋a₅＋a₇＋a₉＝120 ………○¹ 且

k＝1 10

a_k＝80

∴ a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝－40 ………○² 由○¹ 得a₁ ( 1＋r²＋r⁴＋r⁶＋r⁸ )＝120………○³ 由○² 得a1 r ( 1＋r²＋r⁴＋r⁶＋r⁸ )＝－40……○⁴ ○⁴

○³ 得r＝－ 1

3 ，代入○³ 得a1 ( 1＋ 1

3²＋ 1 3⁴＋ 1

3⁶＋ 1

3⁸ )＝120

 a₁×

1×［1－( 1 9 )⁵ ］ 1－ 1

9

＝120  a₁＝120× 8×9⁴

9⁵－1  120× 8

9  106.…，

故選(4)。

二、多選題（占 35 分）

說明︰第7題至第13題，每題有5個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫 記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，

得5分；答錯1個選項者，得3分；答錯2個選項者，得1分；答錯多於2個選項或 所有選項均未作答者，該題以零分計算。

7. 下列各方程式中，請選出有實數解的選項。

(1) | x |＋| x－5 |＝1 (2) | x |＋| x－5 |＝6 (3) | x |－| x－5 |＝1 (4) | x |－| x－5 |＝6 (5) | x |－| x－5 |＝－1

【答 案】(2)(3)(5)

【概念中心】能利用三角不等式解題。

【命題出處】南一版數學第一冊第一章 數與式

【試題解析】由三角不等式a，b  ，則

○¹ | a |＋| b | ≥ | a＋b |，| a |＋| b | ≥ | a－b |；○² | | a |－| b | | ≤ | a－b |，

可得

(1) ×：| x |＋| x－5 | ≥ | x－( x－5 ) |＝5。

(2) ○：同(1)。

(3) ○：| | x |－| x－5 | | ≤ | x－( x－5 ) |＝5 ∴ －5 ≤ | x |－| x－5 | ≤ 5 (4) ×：同(3)。

(5) ○：同(3)。

故選(2)(3)(5)。

8. 下面是甲、乙兩個商場的奇異果以及蘋果不同包裝的價格表，例如：甲商場奇異果價格

「35元／一袋2顆」表示每一袋有2顆奇異果，價格35元。

甲商場售價

乙商場售價

依據上述數據，請選出正確的選項。

(1) 在甲商場買一袋3顆裝的蘋果所需金額低於買三袋1顆裝的蘋果

(2) 乙商場的奇異果售價，一袋裝越多顆者，其每顆單價越低

(3) 若只想買奇異果，則在甲商場花500元最多可以買到30顆奇異果

(4) 如果要買12顆奇異果和4顆蘋果，在甲商場所需最少金額低於在乙商場所需最少金

額

(5) 無論要買多少顆蘋果，在甲商場所需最少金額都低於在乙商場所需最少金額

【答 案】(1)(2)(4)

【概念中心】能了解商場中售價的奇妙處並找出對消費者最有利的購買行為。

【命題出處】南一版數學第二冊第四章 數據分析

【試題解析】(1) ○：130＜45×3。

(2) ○： 18 1 ＞ 50

3 ＞ 65 4 ＞ 95

6 。

(3) ×：甲商場以5顆裝奇異果最便宜

∵ 500＝80×6＋20

∴ 可買到6×5＋1＝31 ( 顆 )

奇異果價格 20元／一袋1顆 35元／一袋2顆 80元／一袋5顆 100元／一袋6顆 蘋果價格 45元／一袋1顆 130元／一袋3顆 260元／一袋6顆 340元／一袋8顆 奇異果價格 18元／一袋1顆 50元／一袋3顆 65元／一袋4顆 95元／一袋6顆 蘋果價格 50元／一袋1顆 190元／一袋4顆 280元／一袋6顆 420元／一袋10顆

(4) ○：甲：奇異果：12＝5×2＋2×1，花費2×80＋35＝195 ( 元 )，

蘋果：130＋45＝175 ( 元 )，

共需195＋175＝370 ( 元 )。

乙：奇異果：95×2＝190 ( 元 )，

蘋果：190 元，

共需190＋190＝380 ( 元 )。

得甲＜乙。

(5) ×：當買11顆時，

甲商場需340＋130＝470 ( 元 )；乙商場需420＋50＝470 ( 元 )。

故選(1)(2)(4)。

9. 下列各直線中，請選出和z軸互為歪斜線的選項。

(1) L1：





x＝0

z＝0 (2) L2：





y＝0

x＋z＝1 (3) L3：





z＝0 x＋y＝1 (4) L4：





x＝1

y＝1 (5) L5：





y＝1 z＝1

【答 案】(3)(5)

【概念中心】能畫出空間中直線兩面式的圖形並判斷與z軸是否相交。

【命題出處】南一版數學第四冊第二章 空間中的平面與直線

【試題解析】(1) ×：L₁為y軸的兩面式，

與z軸交於 ( 0 , 0 , 0 )。

(2) ×：L2位於xz平面上，滿足x＋z＝1，

與z軸交於 ( 0 , 0 , 1 )。

(3) ○：L3位於xy平面上，滿足x＋y＝1，

與z軸歪斜。

(4) ×：L4為過 ( 1 , 1 , 0 ) 且平行z軸的直線，

與z軸平行。

(5) ○：L5為過 ( 0 , 1 , 1 ) 且平行x軸的直線，

與z軸歪斜。

故選(3)(5)。

10. 設a、b、c皆為正整數，考慮多項式f (x)＝x⁴＋ax³＋bx²＋cx＋2。請選出正確的選項。

(1) f (x)＝0無正根 (2) f (x)＝0一定有實根 (3) f (x)＝0一定有虛根 (4) f (1)＋f (－1 ) 的值是偶數

(5) 若a＋c＞b＋3，則f (x)＝0有一根介於－1與0之間

【答 案】(1)(4)(5)

【概念中心】能知道實係數多項式方程式根的可能性並運用勘根定理解題。

【命題出處】南一版數學第一冊第二章 多項式函數

【試題解析】f (x)＝x⁴＋ax³＋bx²＋cx＋2，a，b，c  。

(1) ○：α＞0，f (α)＝α⁴＋aα³＋bα²＋cα＋2＞0恆成立

∴ 不可能有正根α存在

(2) ×：四次方程式可能四虛根或二實根二虛根或四實根。

(3) ×：同(2)。

(4) ○：f (1)＝1＋a＋b＋c＋2＝( a＋b＋c )＋3，

f (－1 )＝1－a＋b－c＋2＝(－a＋b－c )＋3，

f (1)＋f (－1 )＝2b＋6＝2 ( b＋3 ) 必為偶數。

(5) ○：f (0)＝2＞0，

f (－1 )＝1－a＋b－c＋2＝( 3＋b )－( a＋c )＜0

∴ f (0)×f (－1 )＜0

由勘根定理可得有實根介於－1與0之間。

故選(1)(4)(5)。

11. 一個41人的班級某次數學考試，每個人的成績都未超過59分。老師決定以下列方式

調整成績：原始成績為x分的學生，新成績調整為40 log ₁₀ ( x＋1

10 )＋60分 ( 四捨五入

到整數 )。請選出正確的選項。

(1) 若某人原始成績是9分，則新成績為60分

(2) 若某人原始成績超過20分，則其新成績超過70分

(3) 調整後全班成績的全距比原始成績的全距大

(4) 已知小文的原始成績恰等於全班原始成績的中位數，則小文的新成績仍然等於調整 後全班成績的中位數

(5) 已知小美的原始成績恰等於全班原始成績的平均，則小美的新成績仍然等於調整後 全班成績的平均 ( 四捨五入到整數 )

【答 案】(1)(2)(4)

【概念中心】能了解原始成績與調整後新成績的關係及判斷一些統計量的變化。

【命題出處】南一版數學第二冊第四章 數據分析

【試題解析】(1) ○：40 log 10 ( 9＋1

10 )＋60＝40×log 10 1＋60＝0＋60＝60。

(2) ○：x＞20，則 40×log 10 ( x＋1

10 )＋60＞40×log 10 ( 20＋1

10 )＋60

＝40×log 21＋60＞40×0.301＋60  72＞70。

(3) ×：若原始分數為9～59，則全距為50。

新成績最少為40×log ₁₀ ( 9＋1

10 )＋60＝40×0＋60＝60，

最多為40×log 10 ( 59＋1

10 )＋60＝40×log 10 6＋60  40×0.7781＋60  91，

全距為91－60＝31＜50。

(4) ○：f (x)＝40×log ₁₀ ( x＋1

10 )＋60為嚴格遞增函數

∴ 小文的原始成績與新成績皆是全班的中位數 (5) ×：x＝ x₁＋x₂＋…＋x_n

n ，

但log x不一定等於 log x1＋log x2＋…＋log xn

n 。

故選(1)(2)(4)。

12. 在△ABC中，已知∠A＝20°、 AB ＝5、 BC ＝4。請選出正確的選項。

(1) 可以確定∠B的餘弦值 (2) 可以確定∠C的正弦值

(3) 可以確定△ABC的面積 (4) 可以確定△ABC的內切圓半徑

(5) 可以確定△ABC的外接圓半徑

【答 案】(2)(5)

【概念中心】能判斷滿足SSA條件的所有可能三角形，並算出三角函數值及面積、半徑。

【命題出處】南一版數學第三冊第一章 三角

【試題解析】h＝5×sin 20°＜5×sin 30°＝ 5 2 而4＞ 5

2

∴ 以B為圓心，4為半徑畫圓弧，

可交底邊於兩點C₁與C₂

(1) ×：△ABC1與△ABC2中兩個∠B明顯不同

∴ 餘弦值必不同

(2) ○：由圖可知∠C的兩種可能分別是θ與180°－θ ∴ 正弦值相同

(3) ×：△ABC₁與△ABC₂大小明顯不同 ∴ 面積不同 (4) ×：作圖可知△ABC1的內切圓半徑

明顯小於△ABC₂的內切圓半徑。

(5) ○：△ABC₁中外接圓半徑R₁，由正弦定理得 5

sin ( 180°－θ) ＝2R₁；

△ABC2的外接圓半徑R2，由正弦定理得 5

sinθ ＝2R2

∵ sin ( 180°－θ)＝sinθ ∴ R₁＝R₂ 故選(2)(5)。

13. 甲、乙、丙、丁四位男生各騎一台機車約A、B、C、D四位女生一起出遊，他們約定 讓四位女生依照A、B、C、D的順序抽鑰匙來決定搭乘哪位男生的機車。其中除了B 認得甲的機車鑰匙，並且絕對不會選取之外，每個女生選取這些鑰匙的機會都均等。請 選出正確的選項。

(1) A抽到甲的鑰匙的機率大於C抽到甲的鑰匙的機率

(2) C抽到甲的鑰匙的機率大於D抽到甲的鑰匙的機率

(3) A抽到乙的鑰匙的機率大於B抽到乙的鑰匙的機率

(4) B抽到丙的鑰匙的機率大於C抽到丙的鑰匙的機率

(5) C抽到甲的鑰匙的機率大於C抽到乙的鑰匙的機率

【答 案】(4)(5)

【概念中心】能畫樹狀圖或利用抽籤公平原理計算出機率。

【命題出處】南一版數學第二冊第三章 機率

【試題解析】A先抽，抽中甲、乙、丙、丁之機率均為 1 4 。 而B不抽甲 ∴ B抽中乙、丙、丁之機率均為 1

3 C、D抽中甲之機率均等 ∴ ( 1－ 1

4 )× 1 2 ＝ 3

8 C、D抽中乙、丙、丁之機率均為 ( 1－ 1

4 － 1 3 )× 1

2 ＝ 5 24 。 列表如右：

(1) ×： 1 4 ＜ 3

8 。 (2) ×： 3

8 ＝ 3 8 。 (3) ×： 1

4 ＜ 1 3 。 (4) ○： 1

3 ＞ 5 24 。 (5) ○： 3

8 ＞ 5 24 。 故選(4)(5)。

甲 乙 丙 丁 A 1

4

1 4

1 4

1 4

B 0 1

3

1 3

1 3 C 3

8

5 24

5 24

5 24 D 3

8

5 24

5 24

5 24

第貳部分：選填題

（占 35 分）

說明︰1.第A至G題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號 ( 14－31 )。

2.每題完全答對給5分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 考慮每個元 ( 或稱元素 ) 只能是0或1的2×3階矩陣，且它的第一列與第二列不相同 且各列的元素不能全為零，這樣的矩陣共有_________○¹⁴○¹⁵ 個。

【答 案】42

【概念中心】能利用笛摩根定律及加法、乘法原理算出滿足條件的矩陣個數。

【命題出處】南一版數學第二冊第二章 排列、組合

【試題解析】設A表示第一、二列相同的事件，

B表示有全為0的列出現的事件，

所求＝n ( A′∩B′ )＝n ( A∪B )′

＝n (S)－n ( A∪B )

＝2⁶－［n (A)＋n (B)－n ( A∩B )］

＝2⁶－［2³＋( 2³＋2³－1 )－1］

＝64－( 8＋15－1 )＝42。

B. 坐標平面上O為原點，設 u ＝( 1 , 2 )、 v ＝( 3 , 4 )。令Ω為滿足 OP＝x u ＋y v 的所 有點P所形成的區域，其中 1

2 ≤ x ≤ 1、－3 ≤ y ≤ 1

2 ，則Ω的面積為

_________

○¹⁶

○¹⁷ 平方單

位。( 化成最簡分數 )

【答 案】 7 2

【概念中心】能作圖做出終點集範圍並利用行列式算出面積。

【命題出處】南一版數學第三冊第三章 平面向量

【試題解析】 u與 v 所張平行四邊形面積

＝|



 1 2 

3 4 |＝| 4－6 |＝2

∴ Ω的面積＝( 1－ 1 2 )［ 1

2 －(－3 )］×2 ＝ 1

2 × 7

2 ×2＝ 7 2

C. 從橢圓Γ的兩焦點分別作垂直於長軸的直線，交橢圓於四點。已知連此四點得一個邊長 為2的正方形，則Γ的長軸長為_______○¹⁸ ＋_________ ○¹⁹ 。

【答 案】1，5

【概念中心】能利用橢圓的定義PF₁PF₂ 2a解題。

【命題出處】南一版數學第四冊第四章 二次曲線

【試題解析】2c＝2  c＝1 而長軸長＝2a

＝ PF1 ＋ PF2

＝1＋ 1²＋2² ＝1＋ 5 。

D. 線性方程組

 

 



_2x＋ ^{x＋2y＋3z＝0}_y＋3z＝6

x－ y ＝6 x－2y－ z＝8

經高斯消去法計算後，其增廣矩陣可化簡為

 

 

 

 

1 0 a

0 1 c

0 0 0 0 0 0

b d 0 0

，則a＝_______○²⁰ 、b＝_______○²¹ 、c＝_______○²² 、d＝_________○²³○²⁴ 。

【答 案】1，4，1，－2

【概念中心】能利用高斯消去法將增廣矩陣進行化簡。

【命題出處】南一版數學第四冊第三章 矩陣

【試題解析】

 

 

 

 

1 2 3

2 1 3

1 －1 0

1 －2 －1

0 6 6 8

 

 

 

 

1 2 3

0 －3 －3

0 －3 －3

0 －4 －4

0 6 6 8

 

 

 

 

1 2 3 0 1 1 0 1 1 0 1 1

0

－2

－2

－2

 

 

 

 

1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0

4

－2 0 0

∴ a＝1，b＝4，c＝1，d＝－2

E. 設a為一實數，已知在第一象限滿足聯立不等式





x－3y ≤ a

x＋2y ≤ 14 的所有點所形成之區域面 積為 213

5 平方單位，則a＝_______○²⁵ 。

【答 案】6

【概念中心】能作出聯立不等式圖形並求出所圍區域面積。

【命題出處】南一版數學第三冊第二章 直線與圓

(－2 ) (－1 )

(－1 )

(－1 ) (－1 ) (－2 )

【試題解析】

x－3y＝a， x 0 a

y －a 3 0

x＋2y＝14， x 0 14

y 7 0

兩直線交點P：





x－3y＝a

x＋2y＝14  P ( 42＋2a

5 , 14－a

5 )，

所圍區域面積＝ 1

2 ×7×14－ 1

2 ( 14－a ) ( 14－a

5 )＝ 213 5

 1

2 ( 14－a ) ( 14－a

5 )＝ 32

5  ( 14－a )²＝64

∴ 14－a＝8或－8  a＝6或22 ( 不合 ) 故a＝6。

F. 投擲一公正骰子三次，所得的點數依序為a，b，c。在b為奇數的條件下，行列式





 a b 

b c ＞0的機率為

___________

○²⁶○²⁷

○²⁸○²⁹ 。( 化成最簡分數 )

【答 案】 19 36

【概念中心】能算出事件的元素個數並利用條件機率的觀念解題

【命題出處】南一版數學第二冊第三章 機率

【試題解析】



 a b 

b c ＞0  ac－b²＞0  b²＜ac。

設A表示b為奇數的事件，B表示b²＜ac的事件，

分別討論b＝1，b＝3，b＝5等三種情形：

(1) 當b＝1時，

有5＋6×5＝35 ( 種 )。

a 1 2 3 4 5 6

c 2～6 1～6 1～6 1～6 1～6 1～6

(2) 當b＝3時，

有2＋3＋4＋5＋5＝19 ( 種 )。

a 2 3 4 5 6

c 5～6 4～6 3～6 2～6 2～6

(3) 當b＝5時，

有1＋2＝3 ( 種 )。

a 5 6

c 6 5～6

∴ 所求條件機率為P ( B | A )＝ n ( A∩B )

n (A) ＝ 35＋19＋3 3×6² ＝ 57

108 ＝ 19 36

G . 如右圖所示，ABCD－EFGH為一長方體。若平面 BDG上一點P滿足 AP＝ 1

3 AB ＋2 AD＋a AE， 則實數a＝

_________

○³⁰

○³¹ 。( 化成最簡分數 )

【答 案】 4 3

【概念中心】能利用坐標化的技巧解決空間中點落在平面上的問題。

【命題出處】南一版數學第四冊第二章 空間中的平面與直線

【試題解析】坐標化：

設A ( 0 , 0 , 0 )，B ( p , 0 , 0 )，

D ( 0 , q , 0 )，E ( 0 , 0 ,－r )，

則G ( p , q ,－r )

∵ 平面BDG不過原點A

∴ 設平面方程式為a′x＋b′y＋c′z＝1 將B，D，G分別代入

得





a′p＝1 ………○¹ b′q＝1 ………○² a′p＋b′q＋c′ (－r )＝1……○³

○¹ 、○² 代入○³ 得c′ (－r )＝－1  c′＝ 1 r

 a′＝ 1

p ，b′＝ 1

q ，c′＝ 1 r

∴平面BDG方程式為 x p ＋ y

q ＋ z r ＝1 而 AP＝ 1

3 ( p , 0 , 0 )＋2 ( 0 , q , 0 )＋a ( 0 , 0 ,－r ) ＝( p

3 , 2q ,－ar )＝P坐標，

代入平面方程式得 1 p ×p

3 ＋ 1

q ×2q＋ 1

r ×(－ar )＝1

 1

3 ＋2－a＝1  a＝ 4 3 。

一、考題趨勢：

1. 就筆者分析這些年的學測試題看來，這是一份告訴學生有努力就會有收穫的試題，

雖然有些單元考的重點不是我們一般強調的部份，例如：選填題D是屬於矩陣中的 高斯消去法、多選7的三角不等式，但整體而言如同筆者在前言所說的是屬於一份 中規中矩的試題，一般的反應比起去年好多了。也許這也是適時的告訴我們，同學 們研習數學還是不能覺得有哪種題目一定不會考，紮紮實實的打好基礎、按部就班 的復習才是正確的方式。

2. 縱觀整份試題，有太多的容易取分的題目，尤以單選題更是明顯，這可能是出題教

授要大家不要緊張而設計的吧！就99課綱以來的試題而言，筆者依然建議同學們 的基本觀念應多加強 ( 二次多項函數圖形特色及多項方程式根的性質、直線參數式 與平面交點、正弦函數值比較大小等均容易得分 )，數據解讀能力還要再提升( 買水 果問題 )，尤其作圖能力更不可忽視 ( 圓與圖形交點個數問題、與z軸互為歪斜等問 題，其畫出圖等於答案已然知曉 )。而對於 99課綱新增的單元，例如：數據分析、

線性規劃、矩陣等等的典型考題，來年同學們復習時仍必須留意。

3. 以上考題解析及趨勢在本人所編著的「智慧型復習講義」中皆一再提及，並要同學

多加留心注意，「智慧型復習講義」一書每年皆有修訂以更符合現今的考題趨勢，

今年又新加入許多筆者所蒐集的國外考題以供同學釐清觀念用。另外本書的範例、

演練皆留有空格以利於老師上課講解、同學演練，並適時比較觀念差異，參酌同學 的意見刪去較難的題目，讓同學們做起題目來更有信心、更容易進入復習狀況。期 望各位先進可參考並不吝加以選用、指教。

二、結語：

對高三同學而言，今年的數學可能讓考場中的你輕鬆不少！也代表在這三年來，你

的努力有了些許的收穫。不過，數學一直存在我們的生活當中，不管你喜歡否，它都會 跟隨著你一輩子，今年的買水果考題是不是給我們一些啟發呢？不在意錢的人當然可以 亂買，但如果能找到最佳的買法不是顯得更有趣嗎？

努力三年了！還是那句老話：「堅持到底」的人必將歡喜收割！

結

論