* 第五 节
一、被积函数含参变量的积分 二、积分限含参变量的积分
含参变量的积分
第十章
一、被积函数含参变量的积分
] ,
[ ] , [ )
,
(x y R a b
f 是矩形域
设 上的连续函数 ,
则积分
f (x, y) d y确定了一个定义在 [a, b] 上的函数 ,记作
(x)
f (x, y) d yx 称为参变量 , 上式称为含参变量的积分 . 含参积分的性质
定理 1.( 连续性 ) 若 f (x, y)在矩形域 R [a,b][
,
] 上连续 则由 ① 确定的含参积分在, [a, b] 上连续 .— 连续性 , 可积性 , 可微性 :
①
证 :
由于 f (x, y在闭区域) R 上连续 , 所以一致连续 即, , 0
任给
存在
0, 对R内任意两点 (x1, y1), (x2, y2), 只要 x1 x2
, y1 y2
就有 f (x1, y1) f (x2, y2)
,0 ,任给
因此 存在
0, 当x
时, 就有 )( )
(x x
x
[ f (x x, y) f (x, y)]d y
f (x x, y) f (x, y) d y
(
) 这说明
(x)在[a,b]上连续.定理 1 表明定义在闭矩形域上的连续函数, ,其极限运 算与积分运算的顺序是可交换的 . 即对任意 x0 [a,b],
f x y y
x
xlim ( , )d
0
xlimx f (x, y)d y0
同理可证 , 若 f (x, y)在矩形域 R [a,b][
,
]上连 续 ,
b
a f x y x y) ( , ) d
(则含参变量的积分
. ]
,
[ 上连续
也在
由连续性定理易得下述可积性定理 :
定理 2. ( 可积性 )若 f (x, y)在矩形域 R [a,b][
,
] 上连续 , 则
(x)
f (x, y)d y 在[a,b]上可积,且
f x y y
xx
x b
a b
a ( )d
( , )d d
D f (x, y)d x d y
同样 ,
( y)
ab f (x, y) d x 在[
,
]上可积,且
f x y x
yy
y b
a ( , )d d
d )
(
D f (x, y)d x d y推论 : 在定理 2 的条件下 , 累次积分可交换求积顺序 , 即
abd x
f (x, y)d y
d y
ab f (x, y) d x定理 3. ( 可微性 )若 f (x, y)及其偏导数 fx (x, y) 都在 ,
] ,
[ ] ,
[ 上连续
矩形域 R a b
则
(x)
f (x, y)d y且 上可微
在[a,b] ,
f x y yx x ( , )d
d ) d
(
fx (x, y)d y证 : 令g(x)
fx (x, y)d y, 则g(x) 是[a,b]上的连续 函数 , 故当x [a,b] 时,
axg(x) d x
ax fx (x, y)d y
d x
x f x y x
ya x ( , )d d
f (x, y) f (a, y)
d y
) ( )
(x
a
因上式左边的变上限积分可导 , 因此右边
(x)可微，且有 )( )
(x g x
axg(x) d x
fx (x, y)d y
此定理说明 , 被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续 时 , 求导与求积运算是可以交换顺序的 .
例 1. d (0 ). ln
1
0 x a b
x x I x
a
b
求 解 :
y
b x
a
y d
由被积函数的特点想到积分 :
a y b
x x
ln x
x xb a
ln
y
x x
I b
a
y d
1d
0
x x
y y
b
a d 1 d
0
y
y x
b a
y
1 0 d
1 1
y yb
a d
1
1 1
ln 1
a b
) ]
, [ ] 1 , 0 [
(x y在 a b 上连续
例 2. d . 1
) 1
ln(
1
0 2 x
x I
x 求解 :考虑含参变量 t 的积分所确定的函数 .
1 d
) 1
) ln(
( 1
0 2 x
x t
x
t显然 , [0,1] [0,1] , 1
) 1
ln(
2 在 上连续
x
x
t
(0) 0,
(1) I,由于 x
x t x
t x d
) 1
)(
1 ) (
( 1
0 2
xx t t x
t x
x
t d
1 1 1
1 1
2 1
0 2
2
ln(1 ) arctan ln(1 )
2 1 1
1 2
2 x t x t x
t
0 1
ln(1 )
4 2 π
2 ln 1 1
1
2 t t
t
) 0 ( )
1
(
I
t t
tt ln(1 ) d
4 2 π
2 ln 1 1
1
2 1
0
0
arctan 1
2 2 ln
1 t
0 2) 1
1 8 ln(
π t
t
t
t d 1
) 1
ln(
1
0 2
I
ln 2 4
π 故
2 8 ln
π 因此得 I
二、积分限含参变量的积分
在实际问题中 , 常遇到积分限含参变量的情形 ,例如 , )
, (x y
设 f 为定义在区域 b x
a 上的连续函数 ,
) ( )
(x y
x
a b
) (x y
) (x y
D 则
也是参变量 x 的函数 ,
( )
)
( ( , )d
)
( x
x f x y y
x
: D
其定义域为 [ a , b ]
利用前面的定理可推出这种含参积分的性质. .
x y
O
定理 4.( 连续性若) f (x, y) 在区域
} ),
( )
( )
, {(
: x y x y x a x b
D
上连续 , 其中
(x),
(x) 为[a,b]上的连续函数, 则函数
( )
)
( ( , )d
)
( x
x f x y y
x
. ]
,
[ 上连续
在 a b
证 : 令 y
(x) t[
(x)
(x)], t [0,1], 则
1
0 ( , )
)
(x f x
由于被积函数在矩形域[a,b][0,1]上连续 , 由定理 1 知 , 上述积分确定的函数
(x) 在[a,b]上连续.)]
( )
( [ )
(x t
x
x
[
(x)
(x)]dt定理 5. ( 可微性 )若 f (x, y)及其偏导数 fx (x, y) 都在 ,
] , [ ] ,
[ 上连续
矩形域 R a b c d
(x),
(x)为定义在 上] , [a b
( )
)
( ( , ) d
)
( x
x f x y y
x
且
， 上可微 在[a,b]
中的可微函数 , 则
( )
)
( ( , )d
)
( x
x fx x y y
x
f (x,
(x))
(x) ) ( ))( ,
(x x x
f
证 :把
(x)看作复合函数, 令) ,
, ( )
(
x H x
f (x, y)d y,
(x),
(x) ], [c d 其值域含于
利用复合函数求导法则及变限积分求导 , 得
) ,
, ( )
(
x H x
f (x, y)d y,
(x),
(x)) ( )
( )
( H x
H x x
x H
( )
)
( x ( , )d
x fx x y y
f (x,
(x))
(x) ) ( ))( ,
(x x x
f
例 3. sin d , ( ).
) (
2
x y y
x x xy
x
求 设
解 :
(x) x x y yx cos d
2 sinx2x 2x 3 sin 2 1 x
x
x x
x y
x 2
sin
x
x3 sin
2
x x2
sin
x
x x3 2sin 2 sin
3
例 4.设 f (x) 在 x 0 的某邻域内连续 , 验证当 x 充 分小时 , 函数
x x t n f t t x n
0
1 ( )d )
! ( ) 1 (
) 1
(的 n 阶导数存在 , 且
(n)(x) f (x).证 : 令 F(x,t) (x t)n1 f (t), 显然, F(x,t) 及 Fx (x,t) 在原点的某个闭矩形邻域内连续 , 由定理 5 可得
x n x t n f t t
x n
0
2 ( )d )
)(
1
! ( ) 1 (
) 1
() ( )
!( ) 1 (
1 1
x f x
n x
n
x x t n f t t
x n
0
2 ( )d )
! ( ) 2 (
) 1
( 即同理 ( ) ( )d ,
! ) 3 (
) 1
( 0
3
x x t n f t t
x n
x
n x f t t
0 )
1
( ( ) ( )d
) ( )
)(
(n x f x 于是
