第五节 含参变量的积分

* 第五 节

一、被积函数含参变量的积分 二、积分限含参变量的积分

含参变量的积分

第十章

一、被积函数含参变量的积分

] ,

[ ] , [ )

,

(x y R  a b 

 

f 是矩形域

设 上的连续函数 ,

则积分



_^{ f (x, y) d y确定了一个定义在 [a, b] 上的函数 ,}

记作

^

^{(x) }



_^{ f (x, y) d y}

x 称为参变量 , 上式称为含参变量的积分 . 含参积分的性质

定理 1.( 连续性 ) 若 f (x, y)在矩形域 R  [a,b][



,



] 上连续 则由 ① 确定的含参积分在, [a, b] 上连续 .

— 连续性 , 可积性 , 可微性 :

①

证 :

由于 f (x, y在闭区域) R 上连续 , 所以一致连续 即, ,

 0

任给



_存在



 0, _对^R_{内任意两点} ^(x₁^{, y}₁^{), (x}₂^{, y}₂^), 只要 x₁  x₂ 



, y₁  y₂ 



就有 f (x₁, y₁)  f (x₂, y₂) 



,

0 ,_任给





因此 _存在



 0, 当x 



时^, _就有 )

( )

(x x



x



   ^



_^{ [ f (x  x, y)  f (x, y)]d y}



^{  }

 ^

 f (x x, y) f (x, y) d y 



(







) 这说明



(x)在[a,b]上连续.

定理 1 表明定义在闭矩形域上的连续函数, ,其极限运 算与积分运算的顺序是可交换的 . 即对任意 x₀ [a,b],







 f x y y

x

xlim ( , )d

0 ^



_^ _x^lim_x ^{f (x, y)d y}

0

同理可证 , 若 f (x, y)在矩形域 R  [a,b][



,



]上连 续 ,



 ^b

a f x y x y) ( , ) d



(

则含参变量的积分

. ]

,

[ 上连续

也在

 

由连续性定理易得下述可积性定理 :

定理 2. ( 可积性 )若 f (x, y)在矩形域 R  [a,b][



,



] 上连续 , ^则

^

^{(x) }



_^{ f (x, y)d y 在[a,b]上可积,且}



^{f x y y}



^x

x

x ^b

a b

a ( )d

 

( , )d d

 ^

^ _^{ }



_D ^{f (x, y)d x d y}

同样 ,

^

^{( y) }



_a^{b f (x, y) d x 在[}

^

^,

^

^{]上可积,且}



^{f x y x}



^y

y

y ^b

a ( , )d d

d )

(

 



_^

^

^ _^{ }



_D ^{f (x, y)d x d y}

推论 : 在定理 2 的条件下 , 累次积分可交换求积顺序 , 即



_a^{bd x}



_^{ f (x, y)d y }



_^{ d y}



_a^{b f (x, y) d x}

定理 3. ( 可微性 )若 f (x, y)及其偏导数 f_x (x, y) 都在 ,

] ,

[ ] ,

[ 上连续

矩形域 R  a b 

 

^则

^

^{(x) }



_^{ f (x, y)d y}

且 上可微

在[a,b] ,



  ^



 f x y y

x x ( , )d

d ) d

( ^



_^{ fx (x, y)d y}

证 : 令^g(^x) ^



_^{ fx} (^x, ^y)d ^y, ^{则g(x) 是[a,b]上的连续} 函数 , 故当x [a,b] 时,



_a^{xg(x) d x }



_a^x

^ 

_^{ fx (x, y)d y}

^

^{d x}



^{x f x y x}



^y

a x ( , )d d





^

 ^





^{f (x, y)  f (a, y)}



^{d y}





_^

) ( )

(x



a







因上式左边的变上限积分可导 , 因此右边



(x)可微，^且有 )

( )

(x  g x





 



_a^{xg(x) d x}



 ^

 f_x (x, y)d y

此定理说明 , 被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续 时 , 求导与求积运算是可以交换顺序的 .

例 1. d (0 ). ln

1

0 x a b

x x I x

a

b   





求 解 :

y

b x

a

y d



由被积函数的特点想到积分 :

a y b

x x 



 ln x

x x^{b a}

ln

  y

x x

I ^b

a

y d

1d

0









x x

y ^y

b

a d ¹ d



0



 y

y x

b a

y

1 ₀ d

1 1



 





 ^ y y

b

a d

1



1_

 1

ln 1



 

a b

) ]

, [ ] 1 , 0 [

(x ^y在  a b 上连续

例 2. d . 1

) 1

ln(

1

0 2 x

x I ^



_^ x 求

解 :考虑含参变量 t 的积分所确定的函数 .

1 d

) 1

) ln(

( ¹

0 2 x

x t ^



_^ x



^t

显然 , [0,1] [0,1] , 1

) 1

ln(

2 在  上连续



 x

x

t



(0)  0,



(1)  I,

由于 x

x t x

t x d

) 1

)(

1 ) (

( ¹

0 2



_{ }

 



 

^x

x t t x

t x

x

t d

1 1 1

1 1

2 1

0 2

2  

 



 





^{ln(1 ) arctan ln(1 )}



2 1 1

1 ₂

2 x t x t x

t    

 

0 1



^{ln(1 )}



4 2 π

2 ln 1 1

1

2 t t

t   

 

) 0 ( )

1

(









I



^{t t}



^t

t ln(1 ) d

4 2 π

2 ln 1 1

1

2 1

0   







0

arctan 1

2 2 ln

1 t



0 2) 1

1 8 ln(

π  t

 t

t

t d 1

) 1

ln(

1

0 2



_^



 I

 ln 2 4

π 故

2 8 ln

 π 因此得 I

二、积分限含参变量的积分

在实际问题中 , 常遇到积分限含参变量的情形 ,例如 , )

, (x y

设 f 为定义在区域 b x

a   上的连续函数 ,

) ( )

(x y



x



 

a b

) (x y 

) (x y  

D 则

也是参变量 x 的函数 ,



 ^{( )}

)

( ( , )d

)

( ^x

x f x y y

x ^





: D

其定义域为 [ a , b ]

利用前面的定理可推出这种含参积分的性质. .

x y

O

定理 4.( 连续性若) f (x, y) 在区域

} ),

( )

( )

, {(

: x y x y x a x b

D



 



 

上连续 , 其中



(x),



(x) 为[a,b]上的连续函数, _则函数



 ^{( )}

)

( ( , )d

)

( ^x

x f x y y

x ^





. ]

,

[ 上连续

在 a b

证 : 令 y 



(x)  t[



(x) 



(x)], t [0,1], 则



 ¹

0 ( , )

)

(x f x



由于被积函数在矩形域[a,b][0,1]_上连续 , 由定理 1 知 , 上述积分确定的函数



(x) 在[a,b]上连续.

)]

( )

( [ )

(x t



x



x



  [



(x) 



(x)]dt

定理 5. ( 可微性 )若 f (x, y)及其偏导数 f_x (x, y) 都在 ,

] , [ ] ,

[ 上连续

矩形域 R  a b  c d



(x),



(x)为定义在 上

] , [a b



 ^{( )}

)

( ( , ) d

)

( ^x

x f x y y

x ^





且

， 上可微 在[a,b]

中的可微函数 , 则



  ^{( )}

)

( ( , )d

)

( ^x

x fx x y y

x ^



  f (x,



(x))



^(x) ) ( ))

( ,

(x x x

f

 

^

 证 :把



(x)看作复合函数, 令

) ,

, ( )

(

 



x  H x ^



^ f (x, y)d y,







(x),







(x) ]

, [c d 其值域含于

利用复合函数求导法则及变限积分求导 , 得

) ,

, ( )

(

 



x  H x ^



^ f (x, y)d y,







(x),







(x)

) ( )

( )

( H x

H x x

x H



 

 

^



 

 

 



 





 ^{( )}

)

( ^x ( , )d

x fx x y y



  f (x,



(x))



^(x) ) ( ))

( ,

(x x x

f

 

^



例 3. sin d , ( ).

) (

2

x y y

x ^x xy

x









^{求 }

设

解 :



(x)  ^x _{x y y}

x cos d



2 ^sin_x2^{x 2x} 3 

  sin ² 1 x

x

x x

x y

x ²

sin 



 x

x³ sin

 2

x x²

 sin

x

x x³ 2sin ² sin

3 



例 4.设 f (x) 在 x  0 的某邻域内连续 , 验证当 x 充 分小时 , 函数



^{ }

  ^x x t ⁿ f t t x n

0

1 ( )d )

! ( ) 1 (

) 1



(

的 n 阶导数存在 , 且



⁽ⁿ⁾(x)  f (x).

证 : 令 F(x,t)  (x  t)^n1 f (t), 显然, F(x,t) 及 F_x (x,t) 在原点的某个闭矩形邻域内连续 , 由定理 5 可得



^{  }

 

 ^x n x t ⁿ f t t

x n

0

2 ( )d )

)(

1

! ( ) 1 (

) 1



(

) ( )

!( ) 1 (

1 ₁

x f x

n x

n

 





^{ }

 

 ^x x t ⁿ f t t

x n

0

2 ( )d )

! ( ) 2 (

) 1



( 即

同理 ( ) ( )d ,

! ) 3 (

) 1

( 0



^{ }3

 

 ^x x t ⁿ f t t

x n



_



  x

n x f t t

0 )

1

( ( ) ( )d



) ( )

)(

(ⁿ x  f x 于是



作业

P179 1

^{(2), (3) ;}

2

^{(2), (4) ;}

3 ; 4

^{(1) ;}

5

⁽¹⁾