第四章
微分法 : F ( x ) ( ? )
积分法 : ( ? ) f ( x ) 互逆运算
不定积分
二、 基本积分表
三、不定积分的性质
一、 原函数与不定积分的概念
第一节 不定积分的概念与性质
第四章
一、 原函数与不定积分的概念
引例 : 一个质量为 m 的质
点 , F Asin t 的作 下沿直线运动 , v(t).
因此问题转化为 :已知 ( ) sin t , m
t A
v 求 v(t) ? 在变力
试求质点的运动速度 根据牛顿第二定律 , 加速度
m t F
a( ) t
m
Asin
定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及
f (x)
满足 F(x) f (x) 或 dF(x) f (x)dx, 在区间 I 上的一个原函数
.
则称 F (x) 为 f ( x)
如引例中 , A t
sin 的原函数有 A cos t, A cost 3,
问题 :
1. 在什么条件下 , 一个函数的原函数存在
?2. 若原函数存在 , 它如何表示
? 定理 1. 若函数 f (x)在区间I 上连续, 则 f (x)在 I 上 存在原函数
.
( 下章证明 )
初等函数在定义区间上连续
初等函数在定义区间上有原函数
, )
( )
( 是 的一个原函数 若 F x f x
定理 2. 则 f (x)的所有 原函数都在函数族 F(x) C ( C 为任意常数 ) 内
证 : 1) .
的原函数 是 ( )
)
(x C f x
F
) )
(
(F x C
F(x) f (x)
， 的任一原函数 是
设 ( ) ( ) )
2 x f x
) ( )
(x f x
又知 F(x) f (x) ]
) ( )
(
[
x F x (x) F(x) f (x) f (x) 0 故 (x) F(x) C0 (C0 为某个常数)
它属于函数族 F(x) C .
即
定义 2. f (x) 在区间 I 上的原函数全体称为f (x)在 I 上的不定积分 ,
f (x)dx , 其中
— 积分号;
) (x
f — 被积函数 ;
x x
f ( )d — 被积表达式 . x — 积分变量
;
(P185)
若 F(x) f (x) , 则
C x
F x
x
f
( )d ( ) ( C 为任意常数 )C 称为积分常数 , 不可丢 !
例如 ,
exdx ex C
x2dx 13 x3 C
sin xdx cos x C 记作不定积分的几何意义 : )
(x
f 的原函数的图形称为 f (x) x
x f ( )d
的图形 f (x) 的所有积分曲线组成的平行曲线族 . y
O x0 x
的积分曲线 .
例 1. 设曲线通过点 (1,
2), 且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍 , 求此曲线的方程 .
解 : y 2x
x x y
2 d x2 C
所求曲线过点 (1, 2) ,故有
C
12 2
1
C
因此所求曲线为 y x2 1
y
x ) 2 , 1 ( O
例 2. 质点在距地面x0 处以初速 v0 力 , 求它的运动规律 .
解 : 取质点运动轨迹为坐标轴 , 原点在地面 , 指向朝 上 ,
) 0
0 x( x
) (t x x 质点抛出时刻为 t 0, 此时质点位置为 x0 , 初速为
设时刻 t 质点所在位置为x x(t), 则 )
d (
d v t t
x ( 运动速度 )
t v t
x
d d d
d
2
2 g ( 加速度 )
0 . v 垂直上抛 , 不计阻
先由此求v(t) 再由此求 x(t)
x
O
先求 v(t). , d
d g
t
v
由 知
t g
t
v( )
( ) d g t C1 ,) 0
( v0
v
由 得C1 v0 , ) 0
(t g t v v 再求 x(t).
t v
t g t
x( )
( 0)d 21 g t2 v0t C2 ,) 0
( x0
x
由 得C2 x0 , 于是所求运动规律为
0 2 0
12
)
(t g t v t x
x
由 ( ) d
d v t
t
x g t v0 , 知
故 (0)
0 x
x
) (t x x x
O
x
d ) d 1
(
f (x)d x
f (x)二、 基本积分表
(P188)从不定积分定义可知 :
d
f (x)dx
f (x)dx或 C
x
d) 2
( F(x) F(x) 或
d F(x) F(x) C利用逆向思维
kdx )1
( kx C ( k 为常数 )
x dx )2
( 11 x1 C
dxx )3
( ln x C x 0时
) 1 (
] ) ln(
[ )
ln
( x x
x
1
1 d 2) 4
( x
x arctan x C
cos xdx )6
( sin x C
cosd x2 x )8
(
sec2 xdx tan x C或 arccot x C
1d 2) 5
( x
x arcsin x C 或 arccos x C
sin xdx )7
( cos x C
sind 2x x )9
(
csc2 xdx cot x C
sec x tan xdx )10
( sec x C
csc x cot xdx )11
( csc x C
exdx )12
( ex C
axdx )13
( C
a ax ln
例 3. 求 d .
x 3xx解 : 原式
=
x x 34 d
134
C x
3 31
例 4. 求
sin 2x cos 2x dx .解 : 原式 =
21 sin x dx 12 cos x C3 1
4
x C
三、不定积分的性质
k f (x) dx .1
x x
g x
f ( ) ( )]d [
.
2
推论 : 若 ( ) ( ) ,
1
x f
k x
f n i
i
i
则
x x
f k
x x
f i
n i
i ( )d
d ) (
1
f x xk ( )d
f (x)dx g(x)d x )
0 (k
例 5. 求
2x (ex 5)dx .解 : 原式
[(2e)x 5 2x ]dx e)2 ln(
e) 2
( x
ln 2
5 2x
C
x x
2 ln
5 1
2 ln 2 e
C
例 6. 求
tan2xdx .解 : 原式 =
(sec2x 1)dx
sec2xdx dx tan x x C
例 7. 求 d . )
1 ( 1
2 2
x x x
x
x解 : 原式 = x x
x
x
x d
) 1
(
) 1
(
2
2x dx 1
1
2 x
x d
1 x
arctan
ln x C
例 8. 求 d .
1 2
4
x x
x解 : 原式 = x x
x d
1
1 )
1 (
2
4 x x x
x d
1
1 )
1 )(
1 (
2 2
2
2 2
1 d d
) 1
( x
x x x
C x
x
x
arctan
3 1 3
内容小结
1. 不定积分的概念
• 原函数与不定积分的定义
• 不定积分的性质
• 基本积分表 ( 见 P18 2. 直接积分法8) :
利用恒等变形 , 及 基本积分公式进行积分 .
常用恒等变形方法
分项积分 加项减项
利用三角公式 , 代数公式 积分性质
思考与练习
1. 证明 x
x x
x
arctan 1 2
) 2 1
arccos(
), 1 2
arcsin( 和
1 .
2 的原函数
都是 x x
2. 若ex 是 f (x)的原函数, 则
d
)
2 (ln
x f x x(P193 题 7)
提示 : f (x) (ex ) ex
x
eln
) (ln x
f x
1
C x
2 2 1
3. 若 f (x) 是 ex 的原函数 , 则
f (lnx x) d x提示 : 已知
f ( x ) e
xe 0
)
(x C
f x
0
) 1
(ln C
x x
f
x C x x
x
f 0
2
1 )
(ln
C x
x C ln 1
0
4. 若f (x)
; sin 1
)
(A x (B) 1 sin x;
的导函数为 sin x, 则 f (x) 的一个原函数 是 ( ) .
; cos 1
)
(C x (D) 1 cos x . 提示 : 已知 f (x) sin x
求 即
B
) ( )
( f x x sin )
(
?
?
或由题意 f (x) cos x C1 , 其原函数为
f (x) d x sin x C1x C25. 求下列积分 :
cos . sin
) d 2 ( ) ;
1 ( ) d
1
(
x2 x x2
2 x x 2 x提示 :
) 1
( 1 )
1 ( ) 1
1
( 2 2 2 2
x x
x
x
x x
x
x 2 2 2
2 cos sin cos
sin ) 1
2
(
x
x 2
2 csc
sec
x
x 2
2 cos
sin
2
2 1
1 1
x x )
( x2 x2
6. 求不定积分 解：
. 1 d
e
1 e3
xx x
ee3xx11dx
x x
x
1 d e
) 1
(e (e2x ex 1)
x x
x e 1) d
e
( 2
C
x x
x
e e 2
1 2
7. 已知
1x2x2 dx A x 1 x2 B
1dxx2求 A , B .
解 : 等式两边对 x 求导 ,
得
2
2
1 x x
2 2 2
1 1
x x x A
A
1 x2
B
2
2
1
2 )
(
x
x A B
A
2 1
0 A
B A
12 12
B A
