6 椭圆函数

§ 6 椭 圆 函 数

一、 椭圆函数的定义与性质

双周期的半纯函数称为椭圆函数.

若2和2(Im  0)



 _{是椭圆函数} ) (z

f 的两个基本周期（也称原始周期），对于任意整 数m,n有

f(z2m2n) f(z) 以

z,z2,z22,z2^ 为顶点（其中z为任一复数）的平行四边形称为 周期平行四边形.整个z平面可组成这样的周 期平行四边形网（图12.6）.

) (z

f 在一个周期平行四边形内（包括两个 邻边及其交点）极点的个数（极点个数与零点个

数相等，n阶极点算作n个）称为椭圆函数的阶.阶为s的椭圆函数称为s阶椭圆函数.

椭圆函数具有以下性质：



1 周期相同的椭圆函数的和、差、积、商及导数是具有同样周期的椭圆函数.



2 不是常数的椭圆函数必有极点.

具有相同周期、零点和极点（零点和极点的阶数也相同）的椭圆函数的商是一个常数.

具有相同周期、相同的极点、且在每一极点上的主要部分也相同的椭圆函数相差一个常 数.

3  椭圆函数在它的周期平行四边形内所有极点上留数之和等于零.

4 椭圆函数的阶数至少等于2.

5  在周期平行四边形内，椭圆函数取每一个（有限或无限）值的次数一样，且等于椭

圆函数的阶.

6  椭圆函数在周期平行四边形内所有零点的和与所有极点之和的差等于它的某个周

期，即







  

 

n m b a

s

k

s

k k

k 2 2

1 1

式中a_k为零点，b_k 为极点，m,n为某一确定整数.

二、 雅可比椭圆函数

[雅可比椭圆函数的定义与级数表达式]

第一类椭圆积分

^



0^ (1_ 2)(1_ 2 2) d

t k t

z t

的反函数是双周期的亚纯函数，记作

 snzs n (z,k) 它具有基本周期：

^{  }



0² 1_ 2s i n2

4 d 2) , ( 4 4







 

k k F K

^{   }



0² 1_{ }2s i n2

2 d 2) , ( 2 2







 

i k k

iF K

i (k 1k²)

z

sn 称为椭圆正弦，式中k称为模，k称为补模.若 sin snz

则称为z的振幅函数，记作 amz.又定义

cnz cos  1sn² z （称为椭圆余弦）

z z z

z z

sn2

1 sn cn

tan sn

tn      （称为椭圆正切）

dnz  1k²sn² z z

z z

z,cn ,tn ,dn

sn 统称为雅可比椭圆函数.它们都是二阶椭圆函数.

^{2 3 2 4 5 2 4 6 7}

! 7

135 135

1

! 5 14 1

! 3

sn 1 k k k z

k z z k

z k

z         

( )

! 9

1228 5478

1228

1 ^{2 4 6 8} ₉

K z k z

k k

k      

  

^{2 2 4 2 4 6}

! 6

16 44

1

! 4

4 1

! 2 1 1

cn k k z

k z z

z       

( )

! 8

64 912

408

1 8

6 4

2

K z k z

k

k     

  

^{2 2 2 2 4 2 2 4 6}

! 6

) 44

16 (

! 4

) 4 (

! 1 2

dn k k k z

k z z k

z k  

 







( )

! 8

) 408

912 64

( 8

6 4 2

2

K z k z

k k

k      

 

^{2 3 2 2 5 2 2 4 7}

! 7

) 44

16 (

! 5

) 4 (

!

am 3 k k k z

k z z k

z k

z       

( )

! 9

) 408

912 64

( ^{2 4 6} ₉

2

K z k z

k k

k      

 

[特殊点的值]

z 0 K/2 K iK/2 KiK/2 iK KiK

z sn

z cn

z dn

0 1 1

k

 1

1

k k

 

 1

k

1 0 k

k i

k

k 1

k 1

k 1

k k1



k 1







k 1

k k i 

 0 [周期·零点·极点·留数]

基本周期 零 点 极 点 留 数

z sn

z cn

z dn

K i K;2  4

K i K

K;2 2  4

K i K;4  2

K ni mK2  2

K ni K

m1) 2  2

(

K i n K

m1) (2 1)  2

(

K i n

mK(2 1)  2

K i n

mK(2 1)  2

K i n

mK(2 1)  2

k

m 1 ) (1

iK

n

m 1

) 1 ( ^

i

n 1

) 1 ( ^ [诱导公式表] sn(mKniKz)

n m -1 0 1 2 2p

-1 0

z k

z cn

 dn

z z dn

cn

z ksn

 1

z

sn

z k

z cn dn

z z dn cn

z ksn

 1 z

sn

n m -1 0 1 2 2p

1 2

z k

z cn

 dn

z z dn

cn

z ksn

 1

z

sn

z k

z cn dn

z z dn cn

z ksn

 1

z

sn

2q (1)^psnz

c n (mKniKz)

n m -1 0 1 2 2p

-1 0 1 2

z k

k i cn

 

z z k

dn

sn



z k

k i cn



z z k

dn

sn



z k

z i

sn

 dn

z cn

z k

z i

sn

 dn

z

cn

z k

k i cn



z z k

dn

sn



z k

k i cn

 

z z k

dn

sn



z k

z i

sn

 dn

z

cn z k

z i

sn

 dn

z cn

2q (1)^pqcnz

d n (mKniKz)

n m -1 0 1 2 p

-1 0 1 2

z z k i

cn

sn



z k dn



z z k i

cn

sn

 z k dn

 

z z i

sn

 cn

z dn

z z i

sn

 cn

z

dn

z z k i

cn

sn



z k dn



z z k i

cn

sn

 z k dn

 

z z i

sn

 cn

z dn

z z i

sn

 cn

z

dn

q (1)^qdnz

[变换公式]

z1 k₁ sn(z₁,k₁) cn(z₁,k₁) dn(z₁,k₁)

kz iz

z k ikz

z k i 

z k) 1 ( 

z k ) 1 (  

k 1 k

k i k

 k ik

k

1

k k

 1

2

k k

 

  1 1

) , sn(z k k

) , cn(

) , sn(

k z

k i z

) , dn(

) , sn(

k z

k k z

) , dn(

) , sn(

k z

k ik z

) , cn(

) , sn(

k z

k k z

i 

) , ( sn 1

) , ) sn(

1

( k 2 z k

k k z

 

) , dn(

) , cn(

) , )sn(

1

( z k

k z k k z



) , dn(z k

) , cn(

1 k z

) , dn(

) , cn(

k z

k z

) , dn(

1 k z

) , cn(

) , n(

d k z

k z

) , ( sn 1

) , dn(

) , cn(

2 z k k

k z k z



) , dn(

) , ( sn ) 1 (

1 ²

k z

k k z





) , cn(z k

) , cn(

) , n(

d k z

k z

) , dn(

1 k z

) , dn(

) , cn(

k z

k z

) , cn(

1 k z

) , ( sn 1

) , ( sn 1

2 2

k z k

k z k





) , dn(

) , ( sn ) 1 (

1 ²

k z

k z k





z1 k1 sn(z₁,k₁) cn(z₁,k₁) dn(z₁,k₁) k z

2 ) 1

(   ²

iz

z

)2

1 (1

k k

 





k

ik

)]

, dn(

)][

, dn(

1 [

) , cn(

) , sn(

2

k z k

k z k

k z k z k









) , cn(

) , sn(

k z

k i z





] ) 1 ( , 1 dn[

1

] ) 1 ( , 1 sn[

2 1 2 2

2

2 1 2 2















k k k z k

k k k z

 





 k

k k z 1

) , dn(

)]

, dn(

)][

, dn(

1 [

) 1 ( 2

k z k

k z

k







 

) , cn(

1 k z 

1 ] , 1 dn[

] 1 , 1 cn[

2 2

2 2

k k k

z

k k k

z

 

 

)]

, dn(

)][

, dn(

1 [

) ) , (dn(

1

k z k

k z

k k z k















) , cn(

) , dn(

k z

k z





] 1 , 1 dn[

1

2 2

k k k

z  

[基本关系]

sn²zcn² z1 dn² zk²sn² z1 dn² zk²cn² z1k² k² a m (z)a m (z) s n (z)s n (z) c n (z)c n (z)

t n (z)t n (z) d n (z)d n (z) [加法公式]

z z z

z z

k

z z

z z

dn cn sn dn cn sn

sn sn

sn sn 1

dn sn cn dn cn ) sn

sn(

2 2

2 2

2   









 



 



 



z z z

z z

z z

k

z z

z z

dn cn sn dn cn sn

dn cn sn dn cn sn sn

sn 1

dn dn sn sn cn ) cn

cn( 2 2 2   













 





 

 



z z z

z z

z z

k

z z

k z z

dn cn sn dn cn sn

dn cn sn dn cn sn sn

sn 1

cn cn sn sn dn

) dn

dn( 2 2 2

2



















 





 

 

 [倍数公式]

z k

z z z z

4 2sn 1

dn cn sn 2 2

sn  

z k

z z z

k

z z z z

4 2

2 2 4

2

2 2 2

sn 1

dn sn 1 2 sn

1

dn sn 2 cn

cn   



  1

sn 1

cn 2

4 2

2 

 

z k

z

z k

z z k z

k

z z k z z

4 2

2 2 2 4

2

2 2 2 2

sn 1

cn sn 1 2

sn 1

cn sn 2 dn

dn   



  1

sn 1

dn 2

4 2

2 

 

z k

z

[半数公式]

z k z k

z z z

k

z z

z z

cn dn

cn dn )

cn 1 (

dn 1 dn

1 cn 1 sn 2

2 2

2

2   

 



 



 

z k z k

z k

z k

z k

z k z

z z z

cn dn

) cn 1 ( )

cn 1 (

dn cn

dn 1

dn cn cn 2

2 2

2 2

2 2

2   



 







 



 

z k z k

z k

z z z k k z

z z z

cn dn

) dn 1 ( dn

1

dn cn cn

1 dn cn dn 2

2 2

2 2

2

2   

 

 



 

 

 

[乘法公式]



 

 2 2 2

2 2

sn sn 1

sn ) sn

sn(

)

sn( k z

z z

z 

 







 

 2 2 2

2 2 2

sn sn 1

dn sn ) cn

cn(

)

cn( k z

z z z

z 

 







 

 2 2 2

2 2 2 2

sn sn 1

cn sn ) dn

dn(

)

dn( k z

z k

z z

z 

 





sn²zsn² cn² cn² z [导数与积分公式]

z z z

zsn cn dn d

d  ， z z z

zcn sn dn

d

d  ， z k z z

zdn sn cn

d

d  2



^{snzdz  1}_k^{ln(dnzkcnz)}



^cnzdz _k^{i ln(dnziksnz)}



^{dnzdziln(cnzisnz)}



_sn^dz_z ^ln_cnz^sn_^z_dnz ^lndnz_sn^_z^cnz



_cn^dz_z ^ _k¹_^lnksn_cn^z_z^{dnz } ₂¹_k^ln_dn^dnz_z^_k^k_^_sn^sn_z^z



_dn^dz_z ^ _k¹_^argtan_k^k_^_sn^sn_z^z_^_cn^cn_z^{z } ₂¹_k^argtank_cn^sn_z^z

三、 外尔斯特拉斯椭圆函数

外尔斯特拉斯第一类椭圆积分





 



 ^ t g t g t

z (4 ) ²d

1 3 2 3

的反函数 (z)称为外尔斯特拉斯椭圆函数，











 

 



 





n

m z m n m n

z z

,

2 2

2 (2 2 )

1 )

2 2

( ' 1 ) 1

(    

式中



^{'表示对所有整数m,n(mn0除外）求和，在z0的邻域内，有}







 



 

 

 



 2 5 7 11

3 5 3 2 7 2 5 2 ) 1

( 4

3 8 2 2

4 6 22 2

3 4 2

2 2 2

z g g z

g z

g z g z z

外尔斯特拉斯椭圆函数具有以下性质：



1 (z)是二阶椭圆函数，在周期平行四边形中有一个二阶极点：z 



 n ^

m 2

2 .



2 (z)的周期是2和2:(z2m2n)(z) (m,n为任何整数）.



3 (z)(z),(z)(z)