PowerPoint 演示文稿

(1)

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

3.1 3.1 不定积分不定积分

高等数学 A

3.1.1 原函数与不定积分的概念 3.1.2 不定积分的性质

3.1.3 基本积分表

第第 3 3 章一元函数积分章一元函数积分

学学

(2)

3.1 不定积分

3.1.3 基本积分表 3.1.1 原函数的概念

不定积分的概念与性质

3.1.2 不定积分的性质

求积分习例 2-14

3.1.2 不定积分的概念

思考题 --- 分段函数的不定积分

问题

原函数的定义原函数的存在性

定义

不定积分的几何意义

(3)

1. 问题

).

( ),

( )

1

( 已知速度v t 求路程s t

).

( ),

)(

( )

(

s t v t 已知求s t 即  

).

( ),

( )

2

( 已知曲线上每一点处的切线斜率k x 求曲线y  f x ).

( ),

)(

(

y  k x 已知求y  f x 即

一、原函数的概念

(4)

2. 原函数的定义内,

若在I F(x)  f (x)或dF(x)  f (x)dx, .

) ( )

( 为在内的一个原函数则称F x f x I



^sin



^cos ^,

x   x

如

sin x

_是

cos x

_的_原_函_数.



^ln



^ ^ ¹⁽^x ^ ⁰^),

x x

ln x

_是

x

1

在区间

( 0 ,  )

_内_的_原_函_数^.

(5)

3. 原函数的存在性定理 1.

问题：(1) 原函数是否唯一？

(2) 若不唯一 , 它们之间有什么联系

？

若函数 f(x) 在区间 I 上连续 , 则 f(x) 在 I 上存在原函数 F(x).

 ^sin ^x  ^ ^ ^cos ^x  sin x  C    cos x

（为任意常数）

C

如

(6)

定理 2.设 F(x) 是 f(x) 在区间 I 内的一个原函数 , 则

; ,

) ( )

( )

1

( F x  C也是f x 的一个原函数其中C为任意常数 . )

( )

( ,

) ( )

( )

2

( 若 x 是f x 的一个原函数则 x  F x  C 证明 : (1) [F(x)  C]  F(x)  f (x),

. )

( )

(x C 是f x 的一个原函数

F 





⁽ ⁾ ⁽ ⁾



⁽ ⁾ ⁽ ⁾

) 2

(   x  F x    x  F x ^ ^f ⁽^x⁾ ^ ^f ⁽^x⁾ ^ ⁰ C

x F

x  



 ( ) ( )

C x

F

x  

( ) ( )

即 (C 为任意常数).

(7)

注意 :

(1) 初等函数在其定义区间上都有原函数 . (2) 初等函数的原函数不一定是初等函数 . (3) 原函数不唯一 .

. )

cos (sin

2 4cos , 1

2cos , 1

2sin

1 ₂ ₂

的原函数都是

如 x  x  x x x

(4) 如果 f (x) 在 I 上存在原函数 , 则称 f(x) 在 I 上可积 .

(8)

任意常数

1. 定义函数 f(x) 在区间 I 上的原函数全体 , 称为 f (x) 在 I 上的不定积分 . 记为

 ^f ⁽ ^x ⁾ ^dx

积分

号

f

被积函数

x dx  F x  C

 ⁽ ⁾

_被_积_表_达_式

⁽ ⁾

积分变量

二、不定积分的概念

(9)

, )

(

, 称求已知函数的全部原函数的过程

习惯上 f x

. )

( 的不定积分为求函数 f x

运算. 求不定积分是求导的逆

例如：

; d

2

, 2 )

(x²   x



x x  x²  C

; sin

d cos

,

cos )

(sin x   x



x x  x  C

.

|

| ln 1 d

1 ,

)|

|

(ln x x C

x

x   x



 

每一个求导公式 , 反过来就是一个求原函数的公式 , 加上积分常数 C 就成为一个求不定积分的公式 .

(10)

注意 : (1)尽管不定积分中各个部分都有其独特的含义，

但在使用时须作为一个整体看待 . (2) 积分变量是指 d 后面的那个量 .

. ,

)

(

 



^f û ^du^中û^{为积分变量} ^比较 û^x^dx^与 û^x^du

如

(3) 不定积分与原函数是两个不同的概念，它们是整体与个体的关系，原函数是一个函数，不定积分是一族函数 .

. )

( )

( ),

( )

4

( ^若F x  f x ^则



f x dx  F x  C

(11)

2. 不定积分的几何意义

若 F(x) 是 f(x) 的一个原函数 , 则称 y=F(x) 的图形为 f(x) 的一条积分曲线 .

. )

( )

(

线族所有积分曲线组成的曲

意地平行移动所得到的

纵轴方向任的某一条积分曲线沿着

表示

则



f x dx f x

这些曲线在横坐标相同处切线平行 .

y

o ^x

₀

x

(12)

例 1. 设曲线通过点（ 1 ， 2 ），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程 .

解 : 设曲线方程为

y  f ( x ),

根据题意知

2 x ,

dx dy 

即

f ( x )

_是

2 x

_的_一_个_原_函_数.

,

2

²

 ^xdx ^ ^x ^ ^C



 f ( x )  x

²

 C ,

由曲线通过点（ 1 ，

2 ）

,

 1

 C

所求曲线方程为

y  x

²

 1 .

(13)

 ^kdx ^ ^kx ^ ^C ⁽ ^k

) 1

(

_是常数 ^);

);

1 1 (

) 2 (

1   

 ^



^x^^dx _^x^ ^C ^

三、基本积分表

特别地 , ²

2

1 2

2

1 1

xdx x C dx x C

x

dx C

x x

   

  

 



(3) dx ln | | ; x C

x  



(14)

 

 ₁ ¹ _x

²

^dx

) 4

( ^arctan ^x ^ ^C ^;

 

 ₁ ¹ _x

²

^dx

) 5

( ^arcsin ^x ^ ^C ^;

 ^cos ^xdx ^

) 6

( ^sin ^x ^ ^C ^;

 ^sin ^xdx ^

) 7

(  cos x  C ;

 _cos ^dx

²

_x  )

8 (  ^sec

²

^xdx ^ ^tan ^x ^ ^C ^;

 _sin ^dx

²

_x  )

9 (  ^csc

²

^xdx ^ ^ ^cot ^x ^ ^C ^;

(15)

 ^sec ^x ^tan ^xdx ^

) 10

( sec x  C ;

 ^csc ^x ^cot ^xdx ^

) 11

(  csc x  C ;

 ^e

^x

^dx  )

12 ( e

^x

 C ;

 ^a

^x

^dx  )

13 ( ;

ln C a

a

^x



 sinh xdx  )

14 ( ^cosh ^x ^ ^C ^;

 cosh xdx  )

15 ( ^sinh ^x ^ ^C ^;

. 0

) 16

(



dx ^C

(16)

 ⁽ ⁾  ⁽ ^),

) 1

( f x dx f x

dx

d   ^或 ^d ^[  ^f ⁽ ^x ⁾ ^dx ^] ^ ^f ⁽ ^x ⁾ ^dx ^,

, )

( )

(

) 2

(



^F^ ^x ^dx ^ ^F ^x ^ ^C ^或



^dF⁽^x⁾ ^ ^F⁽^x⁾ ^ ^C^.

 ^[ ^f ⁽ ^x ⁾ ^ ^g ⁽ ^x ^)] ^dx ^

) 3

(  ^f ⁽ ^x ⁾ ^dx ^  ^g ⁽ ^x ⁾ ^dx ^;

证明 : _

 _

^f ⁽^x⁾^dx ^

_

^g⁽^x⁾^dx



^

  

^ ^



^





^f ⁽ ^x⁾^dx



^g⁽ ^x⁾^dx

^ ^f ⁽ ^x ⁾ ^ ^g ⁽ ^x ^).

故结论正确 .

四、不定积分的性质不定积分的基本性质：

(17)

 ^kf ⁽ ^x ⁾ ^dx ^

) 4

( ^k  ^f ⁽ ^x ⁾ ^dx ^.

^(k ^{为任意常数} ⁾

. )

( )

(

) 5 (

1 1

dx x

f k

dx x

f

k

ⁿ _i

i i

n

i i i

 

 



性质 (1)(2) 说明微分运算与求不定积分的运算

是互逆的互逆 .

性质 (3) 可推广到有限多个函数之和的情况 .

(18)

练习 1.

^d    ^d ^d ^f   ^x ^dx ^  ^f ^{ } ^x ^dx 

练习 2.

( ) arccos , ( ) ( )

xf x dx



x C



f x





设则

(19)

五、求不定积分习例 --- 直接积分

例 2. 计算



法^{x x}⁽ ² ^ ⁵⁾^dx ^例 ^3.



^{(10 3}^x ^ ²^x ^ ^3sin ^x ^ ^{x dx}⁾

例 4. 计算 2

(2x x x 3 x) x x dx



  ^例 ⁵



⁽²^x ^ ^{3 )}^x ²^dx

例 6. ⁽₁ ³ ² ² ₂ ⁾

1 dx

x  x

 



例 7. 计算

2 2

1

(1 )

x x dx

x x

 





例 8. 计算

2

2 2

1 2

(1 )

x dx

x x





 例 9. 计算

4 2

1 . 1 x dx x







例 11.



^cot² ^xdx^.

例 12. 计算



_cos^{cos 2}² _x _sin^x² _x^dx

例 10.



sec (secx x  tan )x dx

例 13.

2 2

1 sin cos

2 2

x xdx



例 14 ¹ _.

1 cos 2 dx

 x



(20)

( 2 5) . x x  dx



解 :

 x ⁽ x ^ ⁵ ⁾ dx ^  ⁽ x ^ ⁵ x

²

⁾ dx

1 2

5 2

dx x

dx

x 

 ^



²⁵

5

¹²

2 3 2

7

3 10 7

2 x  x



_{+ C}

例 2. 计算

根据积分公式（ 2 ）

x C dx

x 

 

^



^

_

^ ¹

₁

(21)

例 3. ^计算



(10^x ^ 3²^x ^ 3sin x ^ x)dx. 解 :



⁽¹⁰^x ^ ³²^x ^ ³^sin x ^ x⁾dx



^ ^

 90^xdx 3 sin xdx xdx

2 3

3 cos 2

90 3 ln

90 x x

x  

  C

(22)

例 4. (2 3 ) .

2 dx

x

x x



x ^ ^

计算

解 : dx

x

x x



x ^ ^2

) 3

2 (



^ ^

 ^ dx

x 3x) 2

( ²

1

x x

x 2 3ln

2  

  C

(23)

例 5. ^计算



(2^x ^ 3^x )²dx.

解 :



⁽²^x ^ ³^x ⁾²dx ^



⁽⁴^x ^ ² ^⁶^x ^ ⁹^x ⁾dx 9 ln

9 6

ln 2 6

4 ln

4^x   ^x  ^x

  C

(24)

下面几个例子是对有理函数的不定积分，可用的公式为

 

 ₁ ¹ _x

²

^dx

) 4

( arctan x  C ;

(3) dx ln | | ; x C

x  



(25)

解 :

. 1 )

2 1

( 3

₂ ₂

dx

x x

  



x dx

x )

1 2 1

( 3

₂ ₂

 _ ^ _

x dx x dx

 _ ^  _



₂ ₂

1 2 1

1 3 1

x arctan

 3  2 arcsin x  C

例 6. 计算

(26)

解 :

) . 1

( 1

2 2

x dx x

x

 x



x dx x

x

 ¹ ^ ₍ ₁ x _ ^

²

₎

²

^  ^x _x ^ ₍ ₁ ⁽ ¹ _ ^ _x ^x

²

₎

²

⁾ ^dx

x dx

 ^ _ ^ _ x ^ ^ _ ^

 1

1 1

2

dx

dx x

 _ x ^ 

 1

1 1

2

. ln

arctan x  x  C



例 7. 计算 ^{分式化成最}

简真分式的代数和

(27)

解 :

) . 1

( 2 1

2 2

2

x dx x

 x



x dx x

 ¹

²

₍ ^ ₁ ² _ x

²²

₎ ^  ¹ _x ^

²

₍ ^x ₁

²

_ ^ _x ^x

²

₎

²

^dx

x dx x dx 

 ^ _



₂ ₂

1 1 1

. arctan

1 x C

x  





例 8. 计算 _{分式化成最}

简真分式的代数和

(28)

例 9. . 1

1

2 4

x dx



x _^ 计算

解 : 





_x^x2  ₁¹^dx

4

x dx x x



x ^ ^2 _ ₁^ ¹ ^ ² 2

2 4

假分式化成多项式加真分式

x dx



x ^ ^ _

 )

1 1 2

( ² ₂

. arctan

3 2 1 ₃

C x

x

x   



(29)

以下几例中的被积函数都含有三角函数，需要对被积函数进行恒等变形，才能使用基本积分表 , 可用的积分公式为

 ^sec ^x ^tan ^xdx ^

) 10

( sec x  C ;

 ^csc ^x ^cot ^xdx ^

) 11

(  csc x  C ;

 ^cos ^xdx ^

) 6

( ^sin ^x ^ ^C ^;

 ^sin ^xdx ^

) 7

(  cos x  C ;

 _cos ^dx

²

_x  )

8 ( 

^sec² ^xdx

tan x C;

 

 _sin ^dx

²

_x  )

9 ( 

^csc² ^xdx

cot x C;

  

2 2

2

sin cos 1;

tan 1 sec ; 1 csc ; sin 2 2sin cos ; cos 2 cos sin ;

cos 1

cos 2 2

x x

cot x x

x x x

x x

 



 

(30)

例 10.^计算



sec x(sec x ^ tan x)dx. 解 :

dx x

x x

dx x

x x









) tan sec

(sec

) tan (sec

sec

2

x x sec tan 

  C

例 11. ^计算



cot² xdx.

解 :



^cot² xdx ^



^(csc² x ^ ¹⁾dx . cot x  x  C





(31)

例 12. . sin

cos

2 cos

2

2 dx

x x



x 计算

解 : dx

x x

x dx x

x x

x



^ 2 ^ 2

2 2

2

2 cos sin

sin cos

2 cos

dx x

x sec ) (csc²  ²





. tan

cot x  x  C





(32)

例 13. . cos 2

sin 2

1

2

2 dx

x



x 计算

解 :



^



^dx

dx x x

x ₂ ²

2 sin

4 cos 2

sin 2

1

 4



csc² xdx . cot

4 x  C





(33)

解 :

2 . cos 1

  1 dx x

 ₁ _ _cos ¹ ₂ _x ^dx ^  ₁ _ ₂ _cos ¹

²

_x _ ₁ ^dx



 dx

2

x cos

1 2

1 tan .

2 1 x  C



说明 : 被积函数为三角函数时需要进行三角恒等变形，才能使用基本积分表 . 例 14. 计算

(34)

思考题 ---- 分段函数的不定积分的求法

1. 先求各分段部分在相应区间内的原函数 2. 考察在分界点处函数的连续性

1 1 ,

2 , ) 1

( 



 

  

x x x

x x

设f ^,^求^F⁽^x⁾ ^



^f ⁽^x⁾^dx

例 15.

. d



^e^^|^x^| ^x

例 16 求 .

(35)

1 1 ,

2 , ) 1

( 



 

  

x x x

x x

设f ^,^求^F⁽^x⁾ ^



^f ⁽^x⁾^dx

例 15.

2

1

1 , ( ) ( 1) 1

x



^时 F x

 

x



dx

 2

x

 

x C

处有定义且连续在

知

又函数可导必连续 , F ( x ) x  1

解 :

2

1 , ( ) 2

2

x  ^时 F x   xdx x   C

C C

F F

F























2 , 1

2 1 1

2 1 : 1

) 1 ( )

0 1

( )

0 1

( ,

2 1

则令

即

从而有

(36)

 

 











 

1 2 ,

1 1 2 ,

1 )

(

2 2

x C x

x x

F

所以

(37)

. d

 ^e

^^|^x^|

^x

求

例 16.

0 , x 

当时



^e^^|^x^| ^d ^x ^



^e^^x ^d ^x ^ ^^e^^x ^ ^C¹ ^,

,

0时

当x 



e^^|^x^| d x 



e^x d x  e^x C₂ ,

, 故

必是连续函数由于一个函数的原函数

, ) (

lim )

(

lim ₂

1 0

0 e C e^x C

x x

x _    _ 







, 2

₁ ₂ 从而

即有 C  C 













 





^e^|^x^| ^d ^x ^e_e^x^x _C² _,^C ^,^x_x ⁰₀^,_. ⁽^C^{为积分常数}^.)

解 :

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3.1 3.1 不定积分 不定积分

高等数学 A

第 第 3 3 章 一元函数积分 章 一元函数积分

学 学

3.1 不定积分





sin x

cos x





ln x

x

1

( 0 ,  )

 sin x    cos x  sin x  C    cos x

C





 f ( x ) dx

f

x dx  F x  C

 ( )

( )

例如：







 







y

o x

x

y  f ( x ),

2 x ,

dx dy 

f ( x )

2 x

,

2

 xdx  x  C

 f ( x )  x

 C ,

,

 1

 C

y  x

 1 .

 kdx  kx  C ( k

) 1

(



 



(3) dx ln | | ; x C

x  



 

 1 1 x

dx

) 4

( arctan x  C ;

 

 1 1 x

dx

) 5

( arcsin x  C ;

 cos xdx 

) 6

( sin x  C ;

 sin xdx 

) 7

(  cos x  C ;

 cos dx

x  )

8

(  sec

3.1 3.1 不定积分不定积分

第第 3 3 章一元函数积分章一元函数积分

学学

 ^sin ^x  ^ ^ ^cos ^x  sin x  C    cos x

 ^f ⁽ ^x ⁾ ^dx

 ⁽ ⁾

⁽ ⁾

o ^x

 ^xdx ^ ^x ^ ^C

 ^kdx ^ ^kx ^ ^C ⁽ ^k

 ₁ ¹ _x

^dx

( ^arctan ^x ^ ^C ^;

 ₁ ¹ _x

^dx

( ^arcsin ^x ^ ^C ^;

 ^cos ^xdx ^

( ^sin ^x ^ ^C ^;

 ^sin ^xdx ^

 _cos ^dx

_x  )

(  ^sec

^xdx ^ ^tan ^x ^ ^C ^;

 _sin ^dx

_x  )

(  ^csc

^xdx ^ ^ ^cot ^x ^ ^C ^;

 ^sec ^x ^tan ^xdx ^

 ^csc ^x ^cot ^xdx ^

 ^e

^dx  )

 ^a

^dx  )

( ^cosh ^x ^ ^C ^;

( ^sinh ^x ^ ^C ^;

 ⁽ ⁾  ⁽ ^),

d   ^或 ^d ^[  ^f ⁽ ^x ⁾ ^dx ^] ^ ^f ⁽ ^x ⁾ ^dx ^,

 ^[ ^f ⁽ ^x ⁾ ^ ^g ⁽ ^x ^)] ^dx ^

(  ^f ⁽ ^x ⁾ ^dx ^  ^g ⁽ ^x ⁾ ^dx ^;

 _

_

^ ^f ⁽ ^x ⁾ ^ ^g ⁽ ^x ^).

 ^kf ⁽ ^x ⁾ ^dx ^

( ^k  ^f ⁽ ^x ⁾ ^dx ^.

^d    ^d ^d ^f   ^x ^dx ^  ^f ^{ } ^x ^dx 