习题课 线面积分的计算

习题课

一、 曲线积分的计算法 二、曲面积分的计算法

线面积分的计算

第十一章

一、曲线积分的计算法

1. 基本方法

曲线积分 第一类 ( 对弧长 第二类 ) ( 对坐标

)

(1) 选择积分变量



 转化 定积分

用参数方程

用直角坐标方程 用极坐标方程

(2) 确定积分上下限 第一类 : 下小上 大第二类 : 下始上终 练习题 : P244 题 3 (1), (3), (6)

解答提示 :

计算 x² y² ds,



L ^{ 其中 L 为圆周x2  y2  ax.}

提示 : 利用极坐标 , ) 2 π 2

( π cos

: r  a



 



 L



d ds  r²  r² 原式 = ax s

L d



^



_^2π₂^{π a2 cos2}

^

^{ ad}

^

^{ 2a2}

说明 : 若用参数方程计算 ,

:

L ( 0  t  2π) O a x

y r





d

 a

) cos 1

2 ( t

x  ^a  t y  ^a₂ sin

t 则

t y

x

s d

d  ²   ² a t 2 d

 P244 3 (1)

t t

a(1 cos )d



P244 3(3). 计算



_L(2^{a  y})d ^{x  x}d ^y, ^{其中 L 为摆线} ,

) sin (t t a

x   y  a(1 cost) 上对应 t 从 0 到 2 的一段

弧 .

提示 :





 ^2π

0

2 t sintd t 原式 a

 

²₀^π

2 t cost sin t

a  

  2π a²

) cos 1

( t

a 



t t a

t t

a(  sin )  sin d

 y

x x

y

a ) d d

2

(  

t t t

a² sin d



z

y x

O 1

P244 3(6). 计算 其中 _由平面 y = z 截球

2 面

2 y x 

提示 : 因在  _上有x²  2y² 1,_故



:

原式 = ^2πcos t sin td t

0

2 2

2 21



t t

t d



^



 ^π2

0

2 2

2

21 4 cos (1 cos )



 



    

 2

π 2 1 4 3 2

π 2 2 1

16 π

 2 t

x  cos

t y  ¹₂ sin

2 sin

1 t

z 

) π 2 0

(  t  ,



_ ^xyzd^z

从 z 轴正向看沿逆时针方向 . ,

2  1所得

 z

(1) 利用对称性及重心公式简化计算 ; (2) 利用积分与路径无关的等价条件 ;

(3) 利用格林公式 ( 注意加辅助线的技巧 ) ; (4) 利用斯托克斯公式 ;

(5) 利用两类曲线积分的联系公式 .

2. 基本技巧

例 1. 计算 I 



(x² y z²)ds, 其中 _为曲线









  



0

2 2

2 2

z y

x

a z

y x

解 : 利用轮换对称性 , 有

s z

s y

s

x² d



² d



² d



    

利用重心公式知



_ y ^ds ^ y



_ ^ds ^{ 0} s

z y

x

I ( ) d

3

2 ₂  ₂  ₂













 a d s 3

2 _{2 3}

3 π

4 a



z

y x



O

( _{的重心在原点} )

C y

x A B

L O

例 2. 计算I ^



L(x^{2 } y)d x ^ (y^{2 } x)dy, 其中 L 是沿 时针方向以原点为中心 逆

、解法 1 令P  x²  y, Q  y²  x, _则

 

 x Q

这说明积分与路径无关 , 故

y x

y x

y x

I 



AB ( ²  )d  ( ²  )d



^

 ^a

a x² d x ³ 3 2 a





1

y P



 

a 为半径的上半圆周 .

解法 2 BA,_它与 L 所围区域为 D,



^

 D 0 d x d y

y x

y x

y

BA(x²  )d  ( ²  )d





x

a x

a ² d



_



D

( 利用格林公 式 )

思考 :

(2) 若 L 同例 2 , 如何计算下述积分 :



^{  }

 L x y x y x y

I₂ ( ²

 y

² )d ( ² )d



^{  }

 L x y x y x y I₁ ( ²

3

) d ( ² )d

3

3 2 a





(1) 若 L 改为顺时针方向 , 如何计算下述积分 :



^{  }

 L BA x y x y x y I  ( ² )d ( ² )d

添加辅助线段 则

C y

x A B

L O

思考题解答 :



^{  }

 L x y x y x y I₁ ( ² 3 )d ( ² )d (1)





^

 LAB AB





 2 Dd x d y π ) 3

(2

2 

 a a



^{  }

 L x y x y x y

I₂ ( ²



y² )d ( ² )d (2)



^{  }

 L(x² y)d x (y² x)dy ^



_L ^{y2 dx}

t t a sin³ d

π 0



3



, sin ,

cos

: x a t y a t

L  

3

3 2 a



 1

3 2 ³  2 

 a  2a³ π

0

:  t

3

3 2 a



 I

D

C y

x A B

L O

), ,

( )

,

(t x t y t ² f x y

f  ^

证 : 把

例 3. 设在上半平

面 D  {(x, y) y  0}内函数 f (x, y) 具有 连续偏导数 , 且对任意 t > 0 都有 证明 对 D 内任意分段光滑的闭曲线 L, 都有

0 d

) , ( d

) ,

(  



_L ^{y f x y x x f x y y}

) , ( )

,

(tx t y t ² f x y

f  ^ 两边对 t 求导 , 得 :

) , ( 2

) ,

( )

,

( ₂ ³

1 t x t y y f tx t y t f x y f

x      ^

得

， 令t 1

) , ( 2 )

, ( )

,

( ₂

1 x y y f x y f x y

f

x     

), ,

( ),

,

(x y Q x f x y f

y

P   

再令 则有

0 )

, ( )

, ( )

, (

2  ₁  ₂ 



 

 



 f x y x f x y y f x y y

P x

Q

， 即 y

P x

Q



 



 因此结论成立 .

(2006 考研 )

D

a

y L

OA B x 计算 ^{I }



_L (e^x sin ^{y } 2^y)d ^{x } (e^x cos ^{y } 2)d^y, 其中 L 为上半圆周(x  a)²  y²  a², y  0,

提示 : P  e^x sin y  2y, Q  e^x cos y  2 x y

y Q y

P _{x x}

cos e

, 2 cos

e 



 

 



y

D 2d x d



  0

π a2



沿逆时针方向 .





^

 L AB AB

I 

练习题 : P244 题 3(5) ; P245 题 6; 11.

3(5).

用格林公式 :

P245 6 . 设在右半平面 x > 0 内 ,

构成力场 , 其中力 k 为常数 ,



 x²  y² , _{证明在此力场中} 场力所作的功与所取的路径无关 .

提示 :

) d d

3(x x y y W k

L  



 _

令 ₃ , ₃





y Q k

x

P   k  

易证 3 ₅



y x k y

P 





x Q



  ( x  0 )

) ,

3 (x y F k







F 沿右半平面内任意有向路径 L 所作的功 为

P245 11. 求力 沿有向闭曲线  _所作 其中  _为平面 x + y + z = 1 的被三个坐标面所截成 三

提示 :

B A

z

y x

O C



^{ }

  y x z y x z

W d d d



^{ }

 3 AB y d x z d y xdz



 3 AB x d z



^

 ¹

0(1 )d

3 z z

2

 3 方法 1

从 z 轴正向看去沿顺时针方向 .

利用对称性 角形的整个边界 ,

) , ,

(y z x F 

功 ,

O B A

z

y x

C 设三角形区域为 , 方向向上

, 则



^{ }

  y x z y x z

W d d d





  x y z



 dS

13

13

13

y z x ^

^{: x  y  z 1}



^



  ( 3)d S

13 (1,1,1)

13

 n 方法 2

2

 3





y

Dx 3d xd y 3

利用

n 斯托克斯公式

D x z

O y



例 4.

z y

x y

x z

x z

y

I 



L( ²  ²)d  (2 ²  ²)d  (3 ²  ²)d

设 L 是平面 与柱面 x  y 1_的交线 从 z 轴正向看去 , L 为逆时针方向 ,

计算

解 : 记  _为平面x  y  z  2 上 L 所围部分的上 侧 ,

D 为 _在 xOy 面上的投 影 .

 I





13

13

13

 2



 y z x

2

3x2  y



^{ }



  (4x 2y 3z)dS 3

2

2 2 z

y  2z²  x²

z S

y

x _^ _^ d

 L

由斯托克斯公式



^{ }



 2 D(x y 6)dxdy

D 的形心

 0

 y x





 12 D dxdy

24





^{ }





  x y z S

I (4 2 3 )d

3

 2

D y

x z

y

x    2, ( , ) 



:

1 : x  y  D

D x y

1 1

O

二、曲面积分的计算法

1. 基本方法

曲面积分  第一类 ( 对面积 第二类) ( 对坐标 )

转化 二重积分 (1) 选择积分变量 — 代入曲面方程

(2) 积分元素投影



 第一类 : 始终非负 第二类 : 有向投影 (3) 确定二重积分域

— 把曲面积分域投影到相关坐标面

思 考 题

1) 二重积分是哪一类积分 ?

答 : 第一类曲面积分的特例 .

2) 设曲面



: z  0 , (x, y) D,_{问下列等式是否成立 ?}





_ ^{f (x, y, z)d S } _D ^{f (x, y,0)d xdy}

不对 ! 对坐标的积分与  _的侧有 关





_ ^{f (x, y, z)d x d y } _D ^{f (x, y,0)d xdy}

2. 基本技巧

(1) 利用对称性及重心公式简化计算

(2) 利用高斯公式 注意公式使用条件 添加辅助面的技巧

( 辅助面一般取平行坐标面的平面 ) (3) 两类曲面积分的转化



z

x y O

练习 :

^P244 题 4



_(3)^{x d y d z  y d z d x  z d x d y,其中 为半球面}

2 2

2 x y

R

z    _的上侧 .

且取下侧 ,

原式 =



_

π 3

3

3 2 R

  0  2 π R³

P244 题 4(2) , P245 题 10 同样可利用高斯公式计 算 .

0

z y

x d d d

3 ^



_0 ^{xdydz  ydzdx  zdxdy}

记半球域为  , 高斯公式有

计算

提示 : 以半球底面



_{0为辅助面 ,}

利用

例 5.

证明 :

设 _{( 常向量 )}

则

单位外法向向量 , 试证



^cos

^

^cos

^

^cos

^

^cos

^

^cos

^

^cos

^ 

^{d S}

     





 0

 

^v

z y

x (cos



) (cos



) (cos



) d

 



 

 

 

 









  cos



^dydz  cos



^dzdx  cos



^dxdy 设  _{为简单闭曲面} , a 为任意固定向量 ,

n 为 _的 .

0 d

)

cos( 



_ ^{n , a S}



^

  n a ^ dS ) cos ,

cos ,

(cos

  

 n

) cos

, cos

,

0  (cos



^



^



^ a



_ ^{cos(n ,a )d S}

例 6. 计算曲面积分

y r x

x z r z

z y r y

I 



_ x₃ d d  ₃ d d  ₃ d d

其中 , r  x²  y²  z² ,  : x²  y²  z²  R² 取外侧. 解 : x y z y z x z x y

I R1 d d d d d d

3  





_

3

1 3d d dx y z

R ^





^{ 4 π}

思考 : 本题  _{改为椭球面 2}²  ₂²  ₂² 1 c

z b

y a

x 时 , 应如

计算 ? 何

提示 : 在椭球面内作辅助小球面 x²  y²  z² 



² 取 内侧 , 然后用高斯公式 .









^{ }



2 1

2

1   



 _{ }

I

例 7. 设  _是曲面

9 ) 1 (

16 ) 2 (

1 5

2

2  

 

 z x y



 



 

 ( ^{2 2 2})³²

d d

d d

d

z y

x

y x

z x

z y

z y

I x d

2 2

1 : z 



2 x  y



解 : 取足够小的正数  , 作曲

面 取下侧

使其包在  _内

, ^{2为 xOy 平面上夹}

之间的部分于, 且取下侧 ,



1



_与 ^2



1

取上侧 , 计算

, ) 0 (z 

则 O

z

y x

) π

2

1 ( ₃

3





^



 I







^{ }



2 1

2

1   



 _{ }

I



^

  0 d v ^

_

¹³



_1 ^{x d y d z  y d z d x  z d x d y}





 

2 ( 2 2)32

d d

0

 x y

y x

π

 2

第二项添加辅助面 , 再用高斯公式 ,



2



1

O z

y x



 



 

 ( ^{2 2 2})³²

d d

d d

d

z y

x

y x

z x

z y z

y

I x d

Σ1

z

x y

O 

注意曲面的方向 !

得

例 8. 计算曲面积分^{I }



_



^{(x  y)2  z2  2yz}



^{d S,}_其

中 _是球面 x²  y²  z²  2x  2z . 解 :



^

  (2x 2z) d S

π

 32



^{x y z}



^S

I 



_ ^{( 2}  ²  ²⁾ ^{2 xy  2 yz} d



 

 2 (x z) ydS





 2(x z)  d S

 0

利用对称性 用重心公式

作业

P244 3

(2) , (4) ;

4

⁽²⁾

5 ; 9

备用题 1. 已知平面区 L 为域 D 的边界 , 试

证

π}, 0

, π 0

) ,

{(    

 x y x y

D

x y

y x

x y

y

x ^{y x}

L x

y

L e d e d e d e d

) 1

(



^sin  ^sin 



^sin  ^sin

2 sin

sin d e d 2π

e )

2

(



L ^{x y y}  ^{y  x x} 

证 : (1) 根据格林公式

 d ) e

e ( d

e d

e^{sin sin sin y sin x}

D x

y

L x y  y ^ x 



 ^



 d ) e

e ( d

e d

e ^{sin sin sin y sin x}

D x

y

L x ^ y  y x 



^ 



①

② 所以相等 , 从而 左端相等 , 即 (1) 成立 .

(2003 考研 )

O π

π y

x D

因①、②两式右端积分具有轮换对称性 ,

(2) 由①式

 d ) e

e ( d

e d

e^{sin sin sin y sin x}

D x

y

L x y  y ^ x 



 ^





 e d

d

e^{sin sin x}

D y

D





^

 d



2

 D

π2

 2

 d ) e

e

( ^{sin x sin x}

D 





^

由轮换对称性

O π

π y

x D

) 2 e

e

(易证 ^t  ^t 

(1) 在任一固定时刻 , 此卫星能监视的地球表面积 是

2. 地球的一个侦察卫星携带的广角高分辨率摄象机

能监视其”视线”所及地球表面的每一处的景象并摄像 , 若地球半径为 R , 卫星距地球表面高度为 H =0.25 卫星绕地球一周的时间为 R , T , 试

求

(2) 在

 解 : 如图建立坐标系 .

5,

cos



 4



^{ arccos0.8}

R 25 . 1

R T3 的时间内 , 卫星监视的地球

表面积是多少 ? 多少 ?

y z

x O

设卫星绕 y 轴旋转

(1) 利用球坐标 , 任一固定时刻监视的地球表面积 为











^

 

0 π 2

2

1 0 R sin d

S d  2 π R²(1 cos



) ²

5 π 2 R

 (2) 在

2 

S ^{0 2}

2

5 π 2 3

π

4 R S R

 

T3

时间内监视的地球表面积为

54

cos





点击图片任意处 播放开始或暂停

注意盲区与重复部分

其中 S₀ 为盲区面积

 R y z

x O

R 25 . 1

(1) 利用球坐标 , 任一固定时刻监视的地球表面积 为

 





^

 

0 π 2

2

1 0 d R sin d

S  2 π R² (1 cos



)  ²₅^π R² (2) 在

2  S

其中盲区面积



 ^2π

0 2 0 d



S



0^2π

^{ }

2 sin d R

) sin 1

( π

4 ² 



 R π ²

5

8 R

 π 2

5

6 R



T3

时间内监视的地球表面积为

54

cos





0 2 2

5 π 2 3

π

4 R  S  R

 R y z

x O

R 25 . 1