www.drhuang.com

8 ．机械能守恒定律

1 ．动能与势能的相互转化：

(1) 机械能： ________ 与势能 ( 包括 ______ 势能和 ______ 势 能 ) 统称为机械能．

动能 重力 弹性

(2) 动能与势能之间的相互转化是通过 ______ 或 ______ 做 功来实现的．

重力 弹力

① 动能与重力势能间的转化：只有重力做功时，若重力做

正功，则 ___________ 转化为 ______ ；若重力做负功，则 ______

转化为 ___________ ．

重力势能 动能 动能

重力势能

② 动能与弹性势能间的转化：被压缩的弹簧把物体弹出去，

射箭时绷紧的弦把箭弹出去，这些过程中弹力做 _______正 功，

____________ 转化为 _______.动能 2 ．机械能守恒定律：

弹性势能

(1) 内容：在只有重力或弹力做功的系统内，物体的动能与

________ 可以相互转化，而总机械能保持不变．

(2) 表达式：

E

_k1 ＋

E

_p1 ＝ __________ ，或 Δ

E

_p ＋ Δ

E

_k ＝ 0.

(3) 条件：在系统内，除重力或弹力做功外，其他外力不做 功．

E

_k2 ＋

E

_p2 势能

3 ．下列物体中，机械能守恒的是 ( ) A ．做竖直上抛运动的物体

A

B ．被匀速吊起的集装箱

C ．一物体从斜面上匀速滑下 D ．在粗糙水平面上运动的物体

解析：做竖直上抛运动的物体仅受重力作用，故机械能守 恒；被匀速吊起的集装箱，除受重力外，还受到一个竖直向上、

大小等于重力的力作用，故机械能增加；物体从斜面匀速滑下，

表明物体还受到一个沿斜面向上的力，故机械能不守恒；在粗 糙水平面上运动的物体，所受摩擦力做负功，故机械能不守恒．

4 ．关于机械能，以下说法正确的是 ( D )

A ．物体在平衡力作用下运动，其机械能不变

B ．作用在物体上的合力不做功，物体的机械能一定守恒 C ．当作用在物体上的动力所做的功等于物体克服阻力所 做的功时，物体的机械能保持不变

D ．物体在运动过程中只有重力做功，受到的其他外力不 做功时，物体的机械能守恒

解析：在平衡力作用下运动的物体，其动能不变，但机械 能不一定守恒，如匀速上升的物体．

知识点 1 动能与势能的相互转化

蹦极是非常刺激的户外休闲活动，深受年轻人的喜爱．如 图 7 － 8 － 1 所示，人在蹦极时可在空中享受几秒钟的“自由落 体”体验．当人下落到一定高度时，橡皮绳被

拉开、绷紧、阻碍人体继续下落，当到达最低 点时橡皮绳再次弹起，人被拉起，随后，又落 下，这样反复多次直到静止为止，这就是蹦极

的全过程． 图 7 － 8 － 1

讨论：

动能

重力势能 动能 弹性势能

(1) 从能量转化的角度上看，人从最高点下落到绳恰好伸直 的过程中， ____________ 转化为 ________ ．

(2) 从绳恰好伸直到绳的弹力

F

_{等于人的重力}

mg

_{的过程中，}

____________ 转化为 ________ 和 ____________ ．

(3) 从绳的弹力

F

等于人的重力

mg

到最低点的过程中，

____________ 和 ________ 转化为 ____________ ．

(4) 整个过程可看成 ________ 与 ________ 间的相互转化．

重力势能 动能 弹性势能 重力势能 弹性势能 重力势能

1 ．由动能定理可知，所有外力做功都会改变动能，即动能 的改变量等于合力做的功．但重力势能的变化仅由重力做功决 定，重力做多少正功，重力势能就减少多少；重力做多少负功，

重力势能就增加多少．弹性势能的变化仅由弹力做功的多少决 定，与其他任何外力做功均无关．

2 ．在只有重力做功的情况下，仅有动能与重力势能相互转 化；在只有弹力做功的情况下，仅有动能和弹性势能相互转化．

【例 1 】将质量为

m

_{的物体以初速度}

v

₀ ＝ 10 m/s 竖直上抛，

忽略空气阻力，取

g

_＝ 10 m/s² ，则：

(1) 物体上升的最大高度是多少？

(2) 上升过程中，何处重力势能与动能相等？

【触类旁通】

1 ．跳伞运动员从高空下落，在他张开伞经过一段时间后，

所受的空气阻力等于运动员和伞的总重力，则之后的运动过程 中，运动员具有的机械能的变化情况是 ( )

A ．动能、势能和总机械能都不变

C

B ．重力势能减少，动能增加，总机械能不变 C ．重力势能减少，动能不变，总机械能减少 D ．重力势能不变，动能为零，总机械能不变

知识点 2 机械能守恒定律

如图 7 － 8 － 2 所示，一蹦极运动员站在 40 米以上高度 ( 相 当于 10 层楼高 ) 的吊车上，把一端固定的一根长长的弹性蹦极

绳绑在足关节处，然后两臂伸开，双腿并拢，头朝下跳下去．

讨论：

假设空气阻力可忽略，运动员可视为 质点，则在蹦极过程中，运动员、地球和 蹦极绳所组成的系统的机械能 _________

( 填“守恒”或“不守恒” ) ．

守恒

图 7 － 8 － 2

1 ．判断机械能是否守恒：

(1) 从能量特点看：系统只有动能和势能相互转化，无其他 形式能量 ( 如内能 ) 之间相互转化，则系统机械能守恒．如果物 体间发生相互碰撞或相对运动时有摩擦作用，则机械能一般不 守恒．

(2) 从机械能的定义看：若动能与势能之和不变，则机械能 守恒．如果一个物体沿斜面匀速滑下，则动能不变，势能减少，

机械能减少；一个物体沿水平方向匀速运动时机械能守恒，沿 竖直方向匀速运动时机械能不守恒．

(3) 从做功的特点看：只有重力和系统内的弹力做功，系统 机械能守恒．具体表现在：

① 只受重力 ( 或系统内的弹力 ) 作用．如：所有做抛体运动 的物体．

② 还受其他力，但只有重力 ( 或系统内的弹力 ) 做功．如图 7

－ 8 － 3 甲所示．

图 7 － 8 － 3

③ 有系统的内力做功，但是做功代数和为零．如图乙所示，

A

_、

B

_间及

B

_{与地面之间均光滑，}

A

_自

B

_{的上端自由下滑时，}

B

沿地面滑动，

A

、

B

之间的弹力做功，

A

或

B

的机械能均不守恒，

但对

A

_、

B

组成的系统，其机械能守恒．

2 ．机械能守恒定律的运用：

(1) 机械能守恒定律的三种表达式：

①

E

_{k1 ＋}

E

_{p1 ＝}

E

_{k2 ＋}

E

_p2 ，即初状态的动能与势能之和等于末 状态的动能与势能之和，选用该表达式时，应恰当选取参考平

面．

②Δ

E

_{k ＝－} Δ

E

_{p 或} Δ

E

_{p ＝－} Δ

E

_{k ，即动能} ( 或势能 ) 的增加量等 于势能 ( 或动能 ) 的减少量．

③Δ

E

_{A ＝－} Δ

E

_{B ，即}

A

物体机械能的增加量等于

B

_物体机械 能的减少量．

(2) 解题步骤：

① 根据题意，先选取研究对象 ( 物体或系统 ) ．

② 明确研究对象的运动过程，分析对象在过程中的受力情 况及各力的做功情况，判断是否满足机械能守恒的条件．

③ 选取恰当的表达式列方程求解．

【例 2 】 ( 双选 ) 如图 7 － 8 － 4 所示，下列关于机械能是否守 恒的判断正确的是 ( )

图 7 － 8 － 4

A ．甲图中，物体 A _{将弹簧压缩的过程中，} A _{的机械能守恒} B ．乙图中，光滑斜面

A

置于光滑水平面，物体

B

_沿

A

_下 滑，

B

_{的机械能守恒}

C ．丙图中，不计任何阻力，

A

加速下落，

B

加速上升的过 程中，

A

_、

B

_{组成的系统机械能守恒}

D ．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的 机械能守恒

解析：甲图中，重力和弹力做功，物体

A

_{和弹簧组成的系} 统机械能守恒，但物体

A

_{的机械能不守恒，} A 错；乙图中，物 体

B

除受重力外，还受弹力，弹力对

B

做负功，机械能不守恒，

但从能量特点看，

A

_、

B

组成的系统机械能守恒， B 错；丙图中，

绳子的张力对

A

_{做负功，对}

B

_{做正功，代数和为零，}

A

_、

B

_组 成的系统机械能守恒， C 对；丁图中动能不变，势能不变，机

械能守恒， D 对．

答案： CD

【触类旁通】

) 2 ． ( 双选 ) 关于机械能是否守恒，下列叙述中正确的是 (

A ．做匀速直线运动的物体的机械能一定守恒 B ．做匀变速运动的物体的机械能可能守恒

BD

C ．外力对物体做功为零时，机械能一定守恒

D ．只有重力对物体做功，物体的机械能一定守恒

解析：匀速运动的物体动能不变，如果匀速下降，则重力

势能减少，机械能不守恒， A 错；自由落体运动的机械能守恒，

B 对；外力对物体做功为零时，物体动能不变，机械能不一定 守恒， C 错；物体只有重力做功，机械能一定守恒， D 对．

【例 3 】如图 7 － 8 － 5 所示，一固定的楔形木块，其斜面 的倾角为

θ

_＝ 30° ，斜面光滑，另一边与地面垂直，顶上有一个 定滑轮，一根柔软的不可伸长的细线跨过定滑轮，两端分别与

物块

A

_和

B

_连接，

A

_的质量为 4

m

_，

B

_的质量为

m

. 开始时将

B

按在地面上不动，然后放开手，让

A

_{沿斜面下滑而}

B

_上升，物

块

A

与斜面间无摩擦．求当

A

_{沿斜面下滑距离}

s

_时，

A

_、

B

_的速 度大小为多少？

图 7 － 8 － 5

解：因软绳不可伸长，可知

A

_下滑了

s

_，

B

_{上升的距离也为}

s

_，且

A

_、

B

的速度大小相等．设其速度为

v

，把

A

_、

B

_看做一个

系统，系统中仅有重力做功，机械能守恒

方法一：假设地面为零势能面，未下滑时

A

_{沿斜面到底端} 的距离为

l

，有

【触类旁通】

3 ．如图 7 － 8 － 6 所示，质量为

m

_{的木块放在光滑的水平} 桌面上，用轻绳绕过桌边的定滑轮与质量为

M

的砝码相连，让 绳拉直后使砝码从静止开始下降

h

(

h

_{小于桌面的高度} ) 的距离，

木块仍在桌面上，则砝码的速度大小为多少？

图 7 － 8 － 6

系统机械能守恒问题

1 ．对于相互作用的整体，在进行能量转化时，单独一个物 体的机械能一般不守恒，但系统的机械能守恒，可利用机械能 守恒定律对系统相关的量列方程求解．

2 ．对于绳索、链条、液体、长杆等这类研究对象，不能当 成质点处理时，正确确定其重心位置是解决此类问题的关键．

一般情况下，先分段考虑系统各部分的重力势能，然后再求和，

而参考平面的选取，以系统初、末状态的重力势能便于表达为 宜．

【例 3 】 ( 双选 ) 如图 7 － 8 － 7 所示，质量分别为

m

和 2

m

的 两个小球

A

和

B

，中间用轻质杆相连，在杆的中点

O

处有一固

定转动轴，把杆置于水平位置后释放，在

B

_{球顺时针摆动到最} 低位置的过程中 ( )

图 7 － 8 － 7 A ．

B

球的重力势能减少，动能增加，

B

球和地球组成的系统机械能守恒

B ．

A

球的重力势能增加，动能也增加，

A

球和地球组成的系统机械能不守恒

C ．

A

_球、

B

球和地球组成的系统机械能守恒 D ．

A

_球、

B

球和地球组成的系统机械能不守恒

错因：认为杆施的力沿杆方向，杆对球不做功，只有重力做 功， A _、 B _{球的机械能都守恒．}

正解： B 球从水平位置下摆到最低点的过程中，受重力和杆 的作用力，杆的作用力方向待定，下摆过程中重力势能减少，动 能增加，但不确定机械能是否守恒． A _球在 B _{球下摆的过程中，}

重力势能增加，动能增加，机械能增加．由于 A _、 B _{系统只有重力} 做功，系统机械能守恒， A _{球机械能增加，} B _{球机械能一定减少，}

所以 B 、 C 选项正确． ( 杆施力的方向并不总沿杆的方向，本题中 就是如此．杆对 A _、 B 球既有沿杆的法向力，也有与杆垂直的切向 力，所以杆对 A _、 B _{球施的力都做功，} A _、 B _{球的机械能都不守恒} )

答案： BC

度的—垂在桌边，如图 7 － 8 － 8 所示，松手后链条从静止开始沿

【触类旁通】

4 ．长为

L

的均匀链条，放在光滑的水平桌面上，且使其长 1

4

桌边下滑，则链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为多大？

图 7 － 8 － 8

解：链条下滑时，因桌面光滑，没有摩擦力做功，整根链 条总的机械能守恒，可用机械能守恒定律求解．设整根链条的 质量为

m

，桌面处重力势能为零，链条滑至刚刚离开桌边时的 速度大小为

v

，由机械能守恒定律得