第四章 結果與討論
第四節 一元一次方程式單元解題錯誤原因分析
D9.無法查覺到所計算的答案是否合理
而這些學習困難及迷思概念會讓學生在解一元一次方程式題目 產生錯誤的解題策略及錯誤題型發生。因此藉由收集學生測驗的紙筆 資料就可以幫助我們去分析學生在解一元一次方程式發生錯誤類型 的原因。
為了解學生錯誤產生原因，研究者採用的方法是晤談，也就是 針對學生解題的錯誤類型，藉由晤談來了解錯誤發生的原因。本研究 所採取的晤談法是『含指導語的晤談法』，這種方法最大的優點就是 能讓教師了解學生的學習需求立即協助學生解題，讓教師發現學生的 想法與他們是否能從引導性的問話中自我學習，並調整老師的教學方 式，透過學生的反思，來讓他們對學習更有興趣與具備自信。
本次晤談對象主要是針對在文字符號學習及解一元一次方程式 題目明顯有困難的學生，再根據本論文第三章（P48）的晤談流程圖，
從（甲）、（乙）、（丙）、（丁）這四類題目中，每一類挑選一題學生較 易犯錯的題目四題實施晤談。選擇題目如下：
（甲）類－第（1）題
（乙）類－第（4）題
（丙）類－第（7）題
（丁）類－第（9）題
二、逐題探討學生的錯誤原因：
（一）使用文字符號列式（甲類）
1、金石建店提供多種能額能繪建禮編，小娟步 y 張法百法能繪建 禮編和 5 張中百法繪建禮編，剛好可買法套 1200 能建，依步並可能 能下能那法個法法步：
（
A）（
y＋
5）
×100＋
200＝
1200（
B）
5×100＋
y×200＝
1200（
C）
y×100＝
1200－
5×200（
D）
y×100－
5×200＝
1200錯誤原因（
D1）、
解題過程受舊經驗影響許多學生只會套用固定的模式去解題而不會隨問題的變化而改 變，例如本題只要依題意就可將方程式列出y×100＋5×200＝1200，
再使用移像法則即可將答案解出。但本題選項將列式中的三個項前 後順序顛倒、稍加變化（例如 y×100
＝
1200－
5×200），學生就感到 迷惑而解題失敗。錯誤原因（
D5）
、不了解已知條件與未知條件之關係許多學生無法將簡單的句子轉換成代數方程式，也就是學生未 能抓住題目中各個數量間的關係，不知道如何以文字符號代表某些 未知數（量），將上述數量間的關係列成文字式
第一題面談結果：
T1：2 張法百法鈔票和 3 張五百法，法共 1700，請步步步寫能。
S1：2×100＋3×500＝1700
T2：那 Y 張法百法鈔票和 3 張五百法，法共 1700，也請步步步寫能。
S2：Y×100＋3×500＝1700
T3：請步能能能能能＋3×500 能能到等未右邊 S3：Y×100＝1700－3×500
T4：現能請根據剛才能法步，能步建能中法法步 S4：y×100＋5×200＝1200
T5：你現能可能看答案嗎？
S5：看一能
T6：例果能＋5×200 能能到等未右邊 S6：y×100＝1200－5×200
T7：這選看能答案了嗎，有沒有妳適初想能困難 S7：沒有！很簡能嗎。
本次面談，教師先請學生用方程式將題目的內容列出（T1），而 學生也辦得到（S1），教師再請學生繼續完成第二個句子（T2），學 生順利寫出（S2）。教師再指導學生移項（T3、S3），學生終於形成 正確的方程式（T4、S4）。教師接著問學生是否看出答案（T5），學 生表示不行（S5），於是教師建議學生把沒有未知數的部份移項到等 號的右邊（T6），學生依照教師的指示（S6），教師詢問學生是否看 出答案（T7），學生這時已看出答案並表示並不困難（S7）。從面談 結果可以看出，學生錯誤的原因是未能根據題意去列式以及列完方程 式後沒有立即的去驗算。從面談結果發現只要學生願意多花一些時間 去檢驗就能提高答對率。
2、小不能八折優待能價錢買了法些確能，共花了 y 法，若改能 9 折優待，能小不應付多少錢？
（
A）
y×10 8 ÷
10 9
（
B）
y×10 8 ×
10 9
（
C）
y÷10 8 ×
10 9
（
D）
y÷10 8 ÷
10 9
錯誤原因（
D1）
：解題過程受舊經驗影響學生未明白題意卻根據舊經驗解題，以致作出錯誤的答案。本題 必需先求出原價 y÷
10
8 ，才能求出答案。可是學生的解題舊經驗是看
到假設打折就要『×』。卻不知本題是反問法，要求學生求出原價後就 必需用『÷』。因此我們從表（4-5）發現選（A）及（B）的學生共佔 了41％。
錯誤原因（
D2）
：對文字符號認知上的差異 學生對於y÷10
8 及 y×
10
8 這二個算式，無法分辨其中有何不同，
產生錯誤。
錯誤原因（
D3）
：記號以及制約認知上的差異從本題發現，當應用問題題目中若不以數字表示觀念而用文字 來代替（例如像八折代替
10
8 ），明顯會對學生產生困擾。
3、永和豆漿店能編磨機，能運轉 30 秒後開始編磨黃豆，之後 每運轉 5 秒，可磨掉 10 能克能黃豆，能這選能編磨速度，若要磨 掉 y 能克能黃豆，能編磨機要運轉幾秒？
（A）（y÷10）×5＋30
（B）（y÷10）×5－30
（C）（y÷5）×10＋30
（D）（y÷5）×10－30
錯誤原 因 （
D2）
： 文字符號認知上的差異學生會誤解題意或不明白題意，以致作出錯誤的答案。學生看到 求運轉幾秒，很明顯就用（y÷5）×10。
錯誤原 因 （
D4）
： 不 了 解 已知條件與未知條件之關係豆漿研磨機，不是一項學生日常生活所能見到的物品，當應用問
題的題目內容不為學生所熟悉，也就是如果學生缺乏這類問題的經 驗，解題時就無法把握題意，就會增加學生錯誤機會。Mayer（1985）
認為從訊息處理的觀點而言，如果問題中所陳述的內容若與學生舊經 驗有關，將有助於訊息的提取，並能將既有的經驗與外在的問題相連 結。
（二）一元一次式的化簡（乙類）
4、步簡（X－4）－2（X＋3）
錯誤原因（
D3）
：對記號以及制約認知上的差異學生對文字符號運算不完全了解，會認為單項式才是答案。也 就是自行認為答案中不應該再出現而『＋』、『－』等符號，因此強迫 自己對不能再進一步化簡的多項式，進行合併操作。就是答案明明已 經求到了（－X－10），卻非要寫成『X＝？』。也就是學生會強迫自 己將算式（－X－10）改為方程式，並加等號改為（－X＝－10），終 於形成（X＝10）才罷休，並認為 X＝10 才是答案。
＝X－4－2X－6
＝－X－10 （正確答案）
學生會強迫自己將算式（－X－10）改為方程式，強迫運算，終於形成（X＝10）
－X＝－10 X＝10
錯誤原因（
D7）
、不會計算含括號的化簡問題 （X－4）－2（X＋3）＝X－4－2X－3 正確：X－4－2X－6
第
4題面談結果
T1：請釋 5×5 多少 S1：25
T2：那 5×（2＋3）多少 S2：還不 25
T3：請釋 5×（2＋3）＝5×2＋3 針嗎 S3：針
T4：那 5×2＋3 多少 S4：13
T5：解什麼中個答案一法選
S5：我未道了應該不 5×2＋5×3＝25
本題面談，教師先請學生了解二個位數相乘的答案（T1），學 生很快的算出（S1），接著教師在數字不變的情形下，將算式以分配 律表示（T2），學生還是很快將答案算出（S2），接著教師以錯誤的 算式誘導學生（T3），第一次學生並沒發現錯誤（S3），教師請學生 計算前面錯誤的算式（T4），學生也算出答案（S4），教師再讓學生 主動發現錯誤（T5），學生也終於了解錯誤的原因（S5）。從面談的 結果發現，學生明顯對括號的化簡產生困難，表示學生如果對分配律
a×（b＋c）a×b＋a×c
的定義不十分熟悉。遇到有文字符號的題目時，就容易產生錯誤。
5、步簡
6 7 3x−
＋ 4 9 5x−
錯誤原因（
D1）
：解題過程受舊經驗影響本題犯錯原因，主要也是受到舊經驗的影響到新學習，因為學生 在一元一次方程式單元，是先學習解一元一次式的化簡，再去解一元 一次方程式。在化簡一元一次式遇有分數時，只需做分數的運算。但 在解一元一次方程式題目有分數時，教師都會教授學生使用去分母並 同乘分母的最小公倍數。但本題是一元一次式的化簡，卻不能使用去 分母而應該只做文字符號的分數運算。因此尚未學習解一元一次方程 式者，在此題反而不會出錯。
舉例：
學生將式子化簡誤以為解方程式，因此直接同乘24，
6 7 3x−
＋ 4
9 5x−
＝4（3X－7）＋6（5X－9）
錯誤原因（
D4）
：不了解同類的意義與合併規則運算時『＋』、『－』符號混淆或粗心大意，因此常有諸如以下純 粹是運算規則之錯誤：
12
27 15 14
6x− + x−
＝ 12 41
21x+
（三）、一元一次方程式的求解（丙類）
6、
21
（3X－1）＋
3
1
（X－2）＝
4
3
，法 X
錯誤原因（
D2）
：記號以及制約認知上的差異在本題中，學生錯誤發生的原因大部份都不在解方程式的錯誤 上，而是在是否有正確的數字運算過程，包含加、減、乘、除的運算 以及括號的去除。
錯誤原因（
D7）
：不會計算含括號的化簡問題從以往的教學經驗中發現，如果題目中出現分數，常常會影響 學生解題表現。本題就是相當明顯的案例，如果學生選擇的解題策略 是先做分數的化簡後再去分母，則大部份的錯誤原因都是在分數的運 算上，而造成解題失敗。
7、法法法步 30－X÷7＝4 能並？
錯誤原因（
D1）
：解題過程受舊經驗影響學生習慣用移項法則解題，移項法則規定『÷』移項後就需變成
『×』號，因此未看清題意就直接將 30－X÷7＝4 計算成 30－X＝4×7。
造成解方程式的錯誤。
錯誤原因（
D8）
：不了解方程式的意義本題的題型為 30－X÷7＝4，此種題型因牽涉有『÷』，對剛接觸 代數的國中生可能是個困擾，因此在三本不同教材中都較少出現此種 類型的題目。但如果將題目換個型式30－
7
X ＝4，學生的答對率就可
第 7 題面談結果
T1：6÷2 等於多少 S1：3
T2：2
6等於多少 S2：3
T3：6÷2 不能和 2 6閱等 S3：不
T4：能能 X÷7 和
X 也會閱等嗎 ？ 7 S4：不
T5： 根據等能能驗 7
X＝3 你會怎麼並？
S5：中邊同乘 7
T6：根據剛才能說不 30－X÷7＝4 可能怎麼改 S6：不一不可能改中 30－
7 X ＝4
本題的面談，教師先讓學生作基本除法（T1），學生立即答出
（S1），教師再將除法改成分數（T2），學生也能算出（S2）。所以教 師依據前面詢問學生答案是否相同（T3、4），學生表示相同（S3、4），
教師再指示學生分式如何計算（T5），學生會使用等量乘法公理
（S5），教師再詢問學生分式是否可以比照除法計算（T6），學生此 時終於明白，除法的算法與分式是一樣的（S6）。從面談的結果發現，
如果題型是學生較常見的題型如30－
7
X ＝4 學生解題成功率就會提 高，可是題型改成不是學生常見的題型如：30－X÷7＝4，這時學生 解題就會產生困擾，表示學生對方程式的定義還不是完全明白。
（四）一元一次方程式應用問題求解（丁類）
8、大華和小不、爸爸、媽媽能能重，已未媽媽和小不共 90 能斤，
父親和大華 共 100 能斤。若小不比大華重 3 能斤，能父親比母親重 幾能斤？
錯誤原因（
D5）：
不了解已知條件與未知條件之關係本題是所有題目正確率最低的題目，學生解題錯誤的原因大部份 是未能了解已知條件和未知條件的關係，因而在作假設及列式時未能 切題列出正確的方程式。
錯誤原因（
D6）：
不會做假設導致假設與式子不符在假設小明體重X 公斤後，知道假設母親為 90－X 公斤，但由
『小明比大華重3 公斤』，去假設父親和大華體重時卻發生轉譯的錯 誤，以致列出錯誤式子，而無法正確解題。
錯誤原因（
D8）
：不了解方程式的意義學生對於敘述複雜的應用文字題時，時常不知道重點的所在，所 以不知從何著手，所以會立即放棄思考而空白。