第四章 結果與討論
第二節 一元一次方程式單元解題策略研究
一、前言
在正式施測測驗卷的十題試題中，其中文字符號列式（甲類）的
（1）、（2）、（3）題是選擇題，因為選擇題的作答方式不需寫出計算 過程，因此這一類題目不探討的學生的解題策略。在本節中主要是探 討一元一次式的化簡（乙類）的（4）、（5）題，解一元一次方程式（丙 類）的（6）、（7）題，以及
一元
一次方程式應用問題求解（丁類）的（8）、（9）、（10）這三類題目的解題策略。
研究者根據許多國內外文獻（Lee & Wheeler, 1989；Kieran, 1983；Kieran, 1990；呂玉琴, 1989；南一書局, 2006；仁林出版社, 2006）
指出：
（一）、學生在一元一次式化簡（乙類）的解題策略為 4 種。
（S1）依照運算性質（交換律、分配律、結合律）來化簡或展開式子
（S2）去括號的化簡及變號運算
（S3）比照數字的運算，先乘除後加減
（S4）遇到分數時必需先化簡或通分。
（二）、在解一元一次方程式（丙類）及應用問題（丁類）的解題策 略則分成6 種。
（S5）、代入法
（S6）、列舉評估法
（S7）、還原法
（S8）、隱藏法
（S9）、移項法則
（S10）、等量公理。
在解一元一次方程式及應用問題時，除了上述這六種解題策略 外，還需使用一元一次式化簡的四項策略。
二、逐題探討學生解題策略
（一）、一元一次式的化簡（乙類）
4、步簡（X－4）－2（X＋3）
解題策略（
S1）、依照運算性質的分配律來化簡式子
數的運算滿足分配律去括號的運算規則，如 2×（3＋5）＝2×3＋2×5，
文字符號運算當作數時，同時也符合相同的運算規則。把X 當作數，
X＋3 可以看作二個數 X 和 3 相加，利用乘法對加法的分配律
甲×（乙＋丙）＝甲×乙＋甲×丙，先計算2（X＋3）＝2X＋6，再將 X 項相加，常數項相加。
（X－4）－2（X＋3）
＝X－4－2X－6
5
、步簡
6 7 3x−
＋ 4 9 5x−
解題策 略 （
S2） 去括號的化簡及變號運算 解題策略（
S4）遇到分數時必需通分。
本類的解題策略與前題最大不同地方是，使用此 種 解 題 策 略 的 學 生 對於分數的運算規則較為熟悉，因此會 先 求 最 小 公 倍 數 12，通分 12 後再化簡。
6 7 3x−
＋
4 9 5x−取分母最小公倍數
1212 ) 7 3 ( 2 x−
＋ 12 ) 9 5 ( 3 x−
12 14 6x−
＋ 12 27 15x−
＝ 12
27 15 14
6x− + x−
＝ 12 41 21x−
解題策 略 （
S3）
依照運算性質（分配律）來化簡或展開式子解題策略（
S4）遇到分數時必需通分。
當 文 字 符 號 代 表 數 時，除 了 滿 足 乘 法 交 換 律、結 合 律、及 乘 法 對 加 法 的 分 配 律 等 數 的 運 算 規 則，還 必 需 滿 足 數 的 運 算 規 則 ：
『 先 乘 除 後 加 減 ； 如 果 有 括 號 ， 可 以 先 去 括 號 』。
＝ 24
54 30 28
12x− + x−
＝ 24 82 42x−
＝ 12 41 21x−
（三）、一元一次方程式的求解（丙類）
6
、
2
1
（
3X－
1）＋
3
1
（
X－
2）＝
4
3
，求 X？
解題策 略 （
S1）
、先 依照運算性質的分配律來化簡式子 解題策 略 （
S9）、使用移項法則。
使 用 此 種 解 題 策 略 的 學 生 會 先 使 用 分 配 律 分 式 化 簡 ，
2 3X－
2 1 ＋
3 1X－
3 2＝
4 3
接 著 將 X 項係數通分及常數項通分 6 11X－
6 7＝
4 3
使 用 移 項 法 則 將 一 元 一 次 方 程 式 先 化 成 aX＝ b 的 樣式，
6 11X－
6 7＝
4 3
6 11X＝
12
23 ，使用移項法則，將 6
11移 項 變 為 X＝12
23÷ 6
11 再將『÷』改為『×』得 X＝
12 23×
11 6
X＝12 23×
11 6
＝ 22 23
解題策 略 （
S4）
、遇到分數時必需先化簡或通分 解題策 略 （
S9）、使 用 移 項 法 則
使 用 此 種 解 題 策 略 的 學 生，具 有 較 高 層 的 認 知 策 略，所 以 會 先 將 分 母 通 分 6，
2 1 3x−
＋ 3
−2
x ＝
4
3
6
) 4 2 ( ) 3 9
( x− + x−
＝ 4 3
再 將 分 式 化 簡 後，最 後 依 照 一 元 一 次 方 程 式 的 計 算 規 則，將 方 程 式 化 為 aX＝ b 的 樣式，即可求得其解。
解題策 略 （
S10）
、使 用 等 量 公 理
使 用 此 種 解 題 策 略 的 學 生 會 先 用 等 量 公 理 將 分 數 化 簡 變 整 數 12×【 2
1
（
3X－
1）＋
3
1
（
X－
2）
】 ＝ 4 3×126（ 3X－ 1） ＋ 4（ X－ 2） ＝ 9 22X＝ 23
X＝ 22 23
7、法法法步 30－X÷7＝4 能並？
解題策 略 （
S3）
、 比照數字的運算解題策 略 （
S9）
、 使 用 移 項 法 則使用此種解題策略學生，與上題最大的不同是，先將常數項移到等號 另一邊，再作分數的化簡，使用這種解題策略的學生因為先將常數項 化簡，以後的運算過程就比較不容易出錯。
30－ X÷7＝ 4
－ X÷7＝ 4－ 30
－ X÷7＝ － 26 同 乘 7
－ X＝ －26×7 X＝ 182
解題策 略 （
S4）
遇到分數時必需化簡解題策 略 （
S9）
使 用 移 項 法 則使用此類行解題策略的學生，因為有豐富的解題經驗，因此會直接將 題目中有分數的部份予以化簡，不特別強調等量公理。
30－ 7 X ＝4 210－ X＝ 28
－X＝ － 182 X＝ 182
解題策 略 （
S10）
、使 用 等 量 公 理
本題的解題策略為先將 X÷7 化簡為7
X ，得一個新的方程式為
30－ 7
X ＝4 依等量公理將二邊再同乘 7
（30－
7
x） ×7＝ 4×7
210－ X＝ 28
將 210 移項到等號右邊 得 －X＝28－ 210
－X＝ －182
將 方 程 式 化 簡 即 可 將 答 案 算 出 X＝182
以 下 二 個 實 例 ， 差 別 只 在 『 × 7』呈現方式的不同，第一 位 同 學 直 接 以 『 等 量 公 理 』 計 算 ， 將 『 ＝ 』 二 邊 同 時 『× 7』
即 可 將 分 數 化 簡 變 成 整 數 ， 再 化 簡 為 「X＝？」即可求得解；
第 二 位 同 學 則 是 以 註 記 方 式 在 算 式 旁『 × 7』將分數化簡變成 整 數 後 ， 將 常 數 移 項 到 等 號 右 邊 ， 再 化 簡 為 「X＝？」即可求 得 解 。
（四）、一元一次方程式應用問題求解（丁類）
8、大華和小不、爸爸、媽媽能能重，已未媽媽和小不共 90 能斤，
父親和大華 共 100 能斤。若小不比大華重 3 能斤，能父親比母親重 幾能斤？
解題策略（
S2）
、使用去括號的化簡及變號運算此 類 型 的 解 題 策 略 是 假 設 大 華 為 X 公斤，再依題意小明比 大華重 3 公斤，將小明設為 X＋ 3。依 題 意 媽 媽 和 小 明 共 90 公 斤，
所 以 媽 媽 的 體 重 為 90－（ X＋ 3），爸 爸 父 親 的 體 重 為 100－ X。
本 題 求 父 親 比 母 親 重 幾 公 斤 ， 因 此 將 父 親 體 重 減 去 母 親 的 體 重 ， 即 可 求 出 解 答 。
100－ X－ （ 90－ X－ 3）
＝100－ X－ 90＋ X＋ 3
＝100－ 90＋ 3
＝13
解題策 略
（S9）、使用移項法則此 類 型 的 解 題 策 略 為 假 設 父 親 比 母 親 重 X 公斤，父親減去 體 重 差 就 等 於 媽 媽 和 小 明 的 體 重 合 90 公斤再減去 3 公斤。
100－ X＝ 90－ 3 100－ X＝ 87
－ X＝ － 13 X＝ 13
解題策 略 （
S10）
、 使 用 等 量 公 理其 它 解題策 略
、 使 用 二 元 一 次 方 程 式 列 式本 題 解 題 策 略 先 假 設 媽 媽 a 公斤，爸爸 b 公斤， 小明 X 公 斤 ， 小華 Y 公斤。依題意
已知媽媽和小明共 90 公斤，父親和大 華 共 100 公斤。若小明比大華重 3 公斤
， 則 可 以 列 出 方 程 式 a＋ X＋ a＋ Y＝ 177---（ 1）b＋ X＋ b＋ Y＝ 203--- --（ 2）
再 將（ 1）－（2），並依據等量除法公理即可得到 203－ 177＝ 26 2a－ 2b＝ 26
2 26＝ 13 a－ b＝ 13
9、小不和家人去看電影，買了 3 張中人票釋 2 張確列票，總共付 清了 530 法，已未中人票比確列票貴 10 法，假設中人票 X 法，法確 列票多少法？
解題策 略 （
S9）
、 使 用 移 項 法 則使 用 本 解 題 策 略 的 學 生，依 題 意 假 設 成 人 票 X 元，學生 X－ 10 元 ， 再依據
買了
3張成人票與
2張學生票，總共付清了
530元
， 列 成 一 元 一 次 方 程 式 3X＋ 2（ X－ 10）＝530，再化 簡為 ax＝ b 之 模 式 ， 即 可 求 出 成 人 票 的 票 價 。3X＋ 2X－ 20＝ 530 5X＝ 550 X＝ 110
再 由
已知成人票比學生票貴
10元
， 導 出 學 生 票 為 110－ 10＝ 100解題策 略 （
S9）
、 使 用 移 項 法 則其 它 解題策 略 、
二 元 一 次 方 程 式 列 式使 用 本 類 解 題 策 略 的 學 生 ， 是 先 假 設 成 人 票 X 元，學生票 Y 元，再 根 據 題 意
買了
3張中人票釋
2張確列票，總共付清了
530法，
列出3X＋ 2Y＝ 530，再依據
已未中人票比確列票貴
10元，
列出 X－ 10＝Y。接著採用二元一次聯立方程式解法中之代入消去 法，將 未 知 數 Y 消除，就 可以得出一元一次方程式 3X＋ 2（ X－10）＝ 530，再化簡成 aX＝b 之算式，即可求解 3X＋ 2X－ 20＝ 530
5X－ 20＝ 530 5X＝ 550 X＝ 110
將 X＝ 110 代 入 求 得 Y＝ 100
10、小健全班能週末步墾丁鵝鑾鼻郊遊，40 人共租了 17 輛協力 車，同確建建每輛只能能中人能三人，請釋 17 輛協力車，中人共騎 能有幾輛？
解題策 略 （
S2） 使用去括號的化簡及變號運算作 方 程 式 化 簡解題策 略 （
S10） 使 用 移 項 法 則使 用 本 策 略 的 學 生 是 先 假 設 三 人 騎 一 輛 的 有 X 人，二人騎一輛 的 有 （17－ X）人，依據題意列出一元一次方程式後，再使用
即 可 求 解 。
3X＋ 2（ 17－ X） ＝ 40 3X＋ 34－ 2X＝ 40 X＝ 40－ 34 ＝ 6 17－ 6＝ 11 A： 11 輛
解題策 略 （
S6）
、 使 用 列 舉 評 估 法列舉評估法與代入法相似，列舉評估法在解題時先以數個不同 大小的數字代入方程式中，經由計算、比較，再評估正確解的大小，
反覆此過程直到找到正確的解為止，使用此種解題策略的 學 生 ， 具 有 較 多 樣 化 的 解 題 策 略，如 果 遇 到 不 會 計 算 的 題 目，會 試 著 先 用 一 些 數，代 入 這 個 方 程 式 中 的 未 知 數，並 檢 驗 看 看 哪 一 個 數 符 合 答 題 目 中 意 義 。
如 以 下 之 實 例 ：
其 它 解題策 略
、使 用 二 元 一 次 聯 立 方 程 式 解 題 ， 沒 有 出 現 前 六 種 策 略。解 二 元 一 次 聯 立 方 程 式 的 關 鍵 就 是 要 想 辦 法 消 去 二 個 未 知 數 的 一 個，使 它 變 成 一 元 一 次 方 程 式 再 求 解。在 一 元 一 次 方 程 式 的 應 用 問 題 裡，有 許 多 題 目 如 果 能 先 使 用 二 元 一 次 聯 立 方 程 式 去 解，會 比 一 元 一 次 方 程 式 的 解 法 更 簡 單、快 速 也 不 容 易 出 錯。但 一 般 一 年 級 學 生 在 一 年 級 上 學 其 還 不 會 使 用 二 元 一 次 聯 立 方 程 式，會 使 用 此 種 解 題 策 略 學 生 大 多 是 因 為 補 習 班 先 行 教 授 的 緣 故 。解 題 步 驟 ：
設 二 人 一 車 有 X 輛，三人一車有 Y 輛
共 有 17 輛因此列 X＋ Y＝ 17...（ 1）
共 有 40 人乘坐因此列 2X＋ 3Y＝ 40...（ 2）
（1） ×2 得 2X＋ 2Y＝ 34...（ 3）
（2）－（ 3） 得 2X＋ 3Y－ 2X－ 2Y＝ 40－ 34 Y＝ 6
代 入 （1）得 X＝ 11
求 出 設 二 人 一 車 有 11 輛，三人一車有 6 輛
三、 討論
統 計 在 一 元 一 次 化 簡 （ 乙 4－5），解一元一次方程式（丙 6－ 7），一元一次方程式應用問題（丁 8-10）中曾出現之解題 策 略 ， 如 下 表 。
第 4-10 題解題策略統計表
解 題 策 略 乙 類
（ 4、 5）
丙 類 （ 6、 7）
丁 類
（ 8、 9、 10）
S1 化簡式子 ˇ ˇ S2 去括號 ˇ ˇ ˇ
S3 比照數字的運算 ˇ ˇ
S4 分數必需先通分 ˇ ˇ
S5 代入法
S6 列舉法 ˇ
S7 還原法
S8 隱藏法
S9 移項法則 ˇ ˇ
S10 等量公理 ˇ ˇ
其 它 解 題 策 略 ˇ
以
乙 類
一 元 一 次 化 簡（
4）、（
5）
二 題 的 來 看 ， 學 生 在 第（
4）
題 的 解 題 策 略 皆 是 利 用 分 配 律 及 去 括 號 化 簡 ， 在 第（
5）
題 則 是 以 將 分 數，化 為 同 分 母 後 再 來 化 簡 並 能 比 較 數 字 運 算 先 乘 除 後 加 減。在丙 類
解 一 元 一 次 方 程 式（
6）、（
7）
二 題 的 題 目 中，學 生 的 解 題 策 略 都 是 使 用 移 項 法 則 解 題，只 有 少 部 份 使 用 等 量 公 理。表 示 學 生 均 能 熟 悉 教 材 內 容，以 教 材 中 最 常 使 用 的 解 題 方 法 解 題。在丁 類
一 元 一 次 方 程 式 應 用 問 題（
8） 、 （
9） 、 （
10）
三 題 的 中 ， 學 生 的 解 題 策 略 為 根 據 題 目 來 列 出 數 與 量 的 關 係 ， 並 將 條 列 的 敘 述 轉 化 成 算 式，再 使 用 移 項 法 則 解 題。此 類 型 的 題 的 題 目 因 題 意 複 雜，會 出 現 較 為 多 樣 化 的 解 題 策 略。因 此 曾 發 現 使 用 二 元 一 次 聯 立 方 程 式 解 題，以 及 使 用 列 舉 評 估 法，試 著 嘗 試 解 出 答 案 。綜 合 以 上 各 題 ， 在 一 元 一 次 化 簡 （ 乙 類 ） 部 份 ， 學 生 均 能 依 照 以 下 幾 種 策 略 解 題：（S1）依照運算性質（交換律、分配律、
結合律）來化簡或展開式子；（S2）去括號的化簡及變號運算；（S3）
比照數字的運算，先乘除後加減；（S4）遇到分數時必需先化簡或通 分。但在一 元 一 次 方 程 式（ 丙 類 ）及 一 元 一 次 應 用 問 題（ 丁 類 ） 的 解 題 策 略 卻 以（S9）移項法則使用次數最多，偶而出現（ S10）
等 量 公 理 以 及（S6）列 舉 評 估 法。（ S5）代 入 法、（S7）還原法、
（S8）隱藏法等三種解題策略均 無學生 使用 ，顯 示學生 僵化的 解 題 策 略 ， 只 會 使 用 自 己 最 熟 悉 的 方 式 解 題 ， 缺 少 變 通 。
總 之 ， 在 解 題 教 學 時 教 師 應 多 問 學 生 是 否 『 有 沒 有 別 的 解 法 ？ 』， 再 鼓 勵 學 生 運 用 不 同 的 解 題 策 略 。 如 果 教 師 太 過 強 調 『 移 項 法 則 』 去 解 題 ， 會 扼 殺 學 生 的 解 題 思 考 策 略 。 例 如 在 第 （10） 題 中 ， 如 果 教 師 限 定 學 生 只 能 用 一 元 一 次 方 程 式 的 （S9） 移 項 法 則 解 題 ， 可 能 許 多 程 度 較 差 的 同 學 即 無 法 依 據 題 意 解 題 。 但 是 其 實 本 題 題 目 中 出 現 的 數 字 不 大 ， 如 果 教 師 能 鼓 勵 學 生 用（S5）代 入 法 及（ S6）列舉評估法將數字代入 解 題 ， 反 而 可 以 提 高 學 生 解 題 成 功 的 機 會 。