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# 國中一年級學生一元一次方程式解題策略及錯誤類型之研究

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## 誌 謝

中華民國九十六年六月

(3)

### 摘要

1、十題測驗題目的平均正確率為 49.10％，顯示至少有 51％的學生在文字符號 的運算及一元一次方程式的解題是有困難的。

2、學生的解 題 策 略 以 移 項 法 則 使 用 次 數 最 多，偶 而 出 現 等 量 公 理 以 及 列 舉 評 估 法 。 代 入 法 、還原法、隱藏法等三種解題策略均 無 學 生 使 用 。 3、學生的主要錯誤類型有：不知如何使用文字符號、不了解文字符號的意義、

4、學生解題失敗的主要錯誤原因為：不了解方程式的意義，不了解同類項的意 義與合併規則以及在解方程式時會因運算符號、未知數的位置及題目是否是分數 而造成錯誤原因之發生。

(4)

A Study of Problem-Solving Strategies and Errors in linear equations with one unknown for Junior High School Students

Abstract

The fundamental purpose of this research is to discuss the solution strategies and error types when seventh-grade students in middle school solved simple equations with one unknown and application problems; we hope results can provide reference for teachers in remedial teaching and in improving instructional.

The items in the examination paper used in this research were taken from 12 past papers of basic competency test in Taiwan (2001 to 2006, twice a year). The subjects were students from Kaohsiung City Y Middle School (City region), Kaohsiung County T Middle School (Ordinary town) and Pingtung County Z Middle School (Near seacoast) forming a convenience sample. The investigators selected 2 classes from each school by random, with a total of 188 students.

The main results of this research are as follows:

1. There are ten questions and the average proportion of correct answers is 49.10%; it shows that, at least 51% students have difficulties in solving symbolic operation and linear equations with one unknown.

2. The solution strategy student used most frequently is Removal of Term. Equal Axiom and Enumeration Evaluation Method were used occasionally. No student used Substitution method, Reduction method and Hidden method.

3. The main error types are: missing knowledge of using symbol; do not understand meanings of symbols; combine dissimilar terms freely; do not understand the meaning of bracket; cannot do calculation involving bracket; and, cannot simplify equation etc.

4. The main reasons for failures are: do not understand the meaning of equation; do not understand combination rules of like terms, position of symbol, unknown

variables; whether containing fractions in reducing equation will also cause an error.

Keywords:

linear equations with one unknown, solution strategies, error types.

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

### 第一節 研究動機

「文字符號代表數」是學習代數的第一個難關，在國小階段的教

(10)

(11)

「錯誤」雖然會影響以後學習效果，阻礙往後的學習，但 Schwarzenberger 卻認為學生錯誤能幫助教師了解數學學習的來龍去 脈以及學生的學習的情況，而正確的答案卻無法看出學生的學習困 難。所以錯誤不只是偏差或缺點，也是學習過程中重要的部份，他的 價值對老師和學生都是非常重要的（引自王如敏,2003）。尤其在多元 化的教學中，教師不只是要思考如何才能達到良好的教學效果，還要 了解學生的錯誤概念與運算技能，如此掌握了學生的錯誤概念與運算 技能，適時提供不同的情境給學生重新思考解題歷程，並教導學生使 用正確的解題策略來修正錯誤概念與運算技能，以免對未來的學習產 生負面的影響。另外，郭丁熒（1992）和 Brown＆ Burton（1978）

「國中基本學力測驗」，在九十學年度已登場，回顧這五年的測 驗中，數學科的測驗，旨在評量國中三年所學的觀念和靈活運用的能

(12)

### 第二節 研究目的

1、探討國中一年級學生在一元一次方程式之正確解題策略。

2、探討國中一年級學生在一元一次方程式之錯誤解題類型。

3、探討國中一年級學生在一元一次方程式錯誤形成的原因。

1、探討國中一年級學生在一元一次方程式之正確解題策略為何？

2、探討國中一年級學生在一元一次方程式之錯誤解題類型為何？

3、探討國中一年級學生在一元一次方程式之錯誤形成原因為何？

(13)

### 四、錯誤類型

「一元一次方程式」測驗題本，正式施測所犯的錯誤類型而言。

(14)

(15)

### 一、代數學習的演進

（一）文辭代數階段（rhetorical algebra stage）

(16)

（二）簡單代數階段（syncopated algebra stage）

（三）符號代數階段（symbolic algebra stage）

(17)

（2000）的研究中發現學生在文字符號的成熟度對其次方程式概念發 展是有影響。因此我們在在探討學生在代數方面的學習，就必須從學 生的文字符號概念開始著手。

### 二、學生文字符號之概念

（袁媛，1992），企圖想要探討學生的文字符號概念。其中較完整的

(18)

1、文字符號可以代表依各可以算出的值，如 a+3=8，a=5

2、文字符號在數學計算裡是可以忽略而不用，c＋d＝31，c＋d＋2＝？

3、把文字符號當作物體，例如將 h 代表為正方形的一邊，所以只是 代表其中的一邊，而不是邊長是多少，這是不一樣的。

4、把文字符號當作是特定的未知數，如一多邊形有 m 個邊，而且每 個邊長為3，知道此多邊形周長為 3m，這是可以直接用來運算的。

5、把文字符號當作一般化的數字，如 x＋y＝12，且 x＜y，則 x 代表 小於6 的數，則此文字符號代表的是一組數字而非單一數值。

6、把文字符號當作變數來使用，亦即該文字代表一個可隨條件變動 的未來數值，如比較s 和 2s 的大小，s 可以是任何數，二者也一定 可以做比較。

Collis(1975)依據學生所理解的觀念，將學校課程中有關的文字符 號概念細分為六個層次，前三者的描述，文字符號的使用停留在具體 的層面，而後三者的分類則過渡到抽象的思考模式。他認為學生在後 來解題時之所以發生困難，是來自於學生對於文字符號缺乏有意義的

(19)

Wanger（1981）在其探究學生是否了解當改變文字符號的名稱時並影 響方程式與函數意義的研究中發現：許多學生仍固著於所命名之文字 符號的刻板印象，當原有的文字符號改變時，則沒有辦法適應也無法 正確的解題，甚至還會認為整個題意已經改變。由此得知學生在解題 時並沒有完全了解文字符號所代表之意義。

Larkin＆ Chabay（1989）認為學習者對代數運算感到複雜無法 理解的原因是看不到方程式的內在架構及意義，所以解題時容易忘記 規則或誤用，因此造成解題錯誤。 Simon（1980）在其研究中發現學 生缺乏文字符號去表示未知量的能力，顯示學生缺乏了解代數如何去 結合數學關係，並求得一個特殊解的概念。

(20)

（1）單一符號做運算或只有數字計算

（2）答案大都為定數或單一文字符號

（3）題目結構簡單 第二層：

（1）二個文字符號的運算

（2）文字符號大部份當未知數用

（3）去括號不變號 第三層：

（1）三個文字符號的關係式

（2）文字符號當未知數或一般數使用

（3）使用二個文字符號來列關係式

（4）去括號需變號 第四層

（1）文字符號當變數或一般數使用

（2）題目結構複雜有干擾性

(21)

### 三、方程式及應用問題之解題

(22)

1、數字的一般化、幾何形式和管理數字的規律。

2、能使用明確模式去解題、解一元一次方程式。

3、介紹函數情形、物理模式和數學現象之關係。

Muth（1991）的研究指出，學生對方程式應用問題的解題能力 會因題目中的干擾而無法成功解題，學生們的觀念都認為題目中所有 的的條件都應被使用，造成學生問題整合的困難。Cummins（1991）

(23)

（1）對文字符號的認知差異

（2）方程式的認知差異

（3）解題策略的認知差異

（4）解題程序的認知差異

（5）等號的認知差異

（6）思考方式的差異

(24)

### 一、一元一次方程式解題策略

1989；南一書局，2006；仁林出版社，2006）指出，學生在一元一次 方程式的解題策略一共分成六種，前四種是有限制的，無法適應於任 何一種方程式。後二種解法則無任何限制，可以適用於任意一種方程 式。

（一）、代入法

4×y＋y＝20，求 y 4×1＋1＝5

4×2＋2＝10 4×3＋3＝15

(25)

（二）、列舉評估法

(26)

＝5（X＋2）＋1

（三）、還原法

Y → ×2 → ＋1 →11 5 ← ÷2 ← －1 ← 11

（5－Y）＝7；學生使用這種方法可以熟悉運算的結構的起點與逆運 算的概念，進而與移項法則進行比較，就可以避免一些解方程式的迷 思概念。

（四）、隱藏法

Z 7

96 ＝17，只要能洞察這個式子的結構，便能用隱

(27)

96 視為新的未知數，輕易解出這複雜的題目。

（五）、移項法則

－3。教學時使用此方法的缺點是，當學生進行上列解題時，只知道 等號左邊數字移到等號右邊時須變號，卻不知是為什麼。

（六）、等量公理

(28)

### 二、一元一次方程式學習上之困難

Harper（1987）認為學生使用代數學習的能力發展，經歷了歷史 上符號發展的三個階段歷程：

（1975）認為學生在後來代數學習時所發生之困難，就是學生對文字 符號缺乏有意義的了解。

(29)

（一）、文字符號的差異

（二）、方程式的結構

（三）、等號

(30)

（一）不了解方程式的意義。（二）不了解同類項的意義與合併規則。

（三）不會計算含括號的化簡問題。謝和秀（2000）則是以國中一年 級196 位學生為研究，先將學生以智商等級分為最優、優、中等及低 四組，再施以文字符號概念測驗，發現不同智商的學生在「文字當作 一般化的數字」、及「文字符號當作變數」的概念理解上均感到困難。

(31)

### 三、一元一次方程式常見錯誤類型

1、帶分數模式 7

2＋7＝7 7

2之影響。

2、係數、文字分別處理。

4×(n+5)=4n+20=24n。

3、不同類項擺在一起。

4、不知如何使用符號。

(32)

5、忽略數據資料。

6、認為不同文字代表不同數。

7、將文字當作特定數處理。

8、受定義影響。

9、重新設定未知數。

(33)

10、不能辨別符號與物品。

11、文字符號當有次序的特定數。

12、文字符號只當不為負數的數字處理。

1、.數字與符號的加、乘混用。

(34)

2、不同類向隨意合併。

3、括號隨意省略。

（1）學生認為運算都是由左算到右，不必括號。

(2) 相乘只能數字與數字相乘。

4、刮號的了解不清楚。

5、不了解文字符號當作一般數,認為不同文字符號代表不同數。

6、數字與文字分開運算,且忽略係數 1。

7、不能分辨係數與指數。

(35)

8、對於數與分數的乘法不甚了解，影響到文字符號的運算。

b a 2 2

1、未知數係數是 1 的察覺失敗

2、x＝x 的迷惑(x＝x confusion)

3、無法察覺同類項

y 可以合併為 5y，而不知 5 和 y 是不同類之項次，不可以任意合併。

4、切換逆預算失敗

(36)

(37)

### 一、教材編排與代數學習之關係

(38)

Clement（1982）曾歸納多篇研究報告，發現學生在接觸文字符號初 期，如果沒有正確的觀念，會賦予文字符號不同的意義，沒有以我們 預期的答案去作答，造成日後學習代數的困難。

(39)

### 二、仁林版教科書一元一次方程式教學規劃

（一）3-1 以符號代表數 本節之教學目標：

1、能以符號代表數列出算式。

2、能了解數的運算規則及符號的合併化簡。

3、能給定代表數的的符號之數值時，能計算出算式所代表的數值。

(40)

（二）3-2 代數式的運算 本節之教學目標：

1、能以符號代表數列出算式。

2、能了解數的運算規則及符號的合併化簡。

3、能利用數的運算規則進行代數式的運算。第二節的重點是讓學生 熟練一次式的運算，並強調橫式算法和直式算法，都可以算出答案，

（三）3-3 一元一次方程式的列式與解法 本節之教學目標：

1、能將生活情境中的問題表徵為 x、y、z 的算式或方程式。

2、能知道一元一次方程式的形式及其解的意義。

3、能利用等量公理解一元一次方程式。

4、能利用移項法則解一元一次方程式。

5、能利用一元一次方程式解生活情境中的問題。

6、能檢驗一元一次方程式的解的正確性與合理性。

(41)

（1）此生活情境中數量問題的意思是什麼？

（2）其中的未知數（量）為何？已知量為何？

（3）這些數量之間的關係為何？

（4）如何以文字符號代表某些未知數（量），將上述數量間的關係列 成文字式。

(42)

### （一）仁林版國中教科書代數教材總綱 第 一 冊

3-2 代數式的運算

3-3 一元一次方程式的列式與求解

### 第 二 冊

1-2 一元一次不等式的解法 第 2 章 二元一次聯立方程式 2-1 二元一次方程式

2-2 二元一次聯立方程式的列式與求解 第 3 章 直角坐標與二元一次方程式圖形 3-1 直角坐標平面

3-2 二元一次方程式的圖形

3-3 二元一次聯立方程式解的幾何意義

(43)

5-2 函數圖形及線型函數

### 第 三 冊

4-1 因式分解解一元二次方程式 4-2 配方法解一元一次方程式 4-3 一元一次方程式的公式解

### 四、與其它單元間之關係（以能力指標作分析）

(44)

「移項法則」則求一元一次方程式的解是以後解各種方程式的基本方 法。

，並並並並步並並步並並

，並能驗並並並

(45)

### 第一節 研究設計

(46)

7-a-01 能由命題中用 X 、Y 等符號列出生活中的變量，並列成算式。

7-a-02 能嘗試以代入法或枚舉法求解，並檢驗解的合理性。

7-a-03 能熟練符號的代數操作。

7-a-04 能由具體情境中列出一元一次方程式，並理解其解的意義。

7-a-05 能以等量公理來解一元一次方程式，並作驗算。

7-a-06 能利用移項法則來解一元一次方程式，並作驗算。

7-a-09 能由具體情境中描述解的意義。

（1）使用文字符號列式

7-a-01 能由命題中用 X 、Y 等符號列出生活中的變量，並列成算式。

（2）一元一次式的化簡

7-a-03 能熟練符號的代數操作

(47)

（3）解一元一次方程式

7-a-02 能嘗試以代入法或枚舉法求解，並檢驗解的合理性。

7-a-05 能以等量公理來解一元一次方程式，並作驗算。

7-a-06 能利用移項法則來解一元一次方程式，並作驗算 （4）一元一次方程式應用問題求解

7-a-04 能由具體情境中列出一元一次方程式，並理解其解的意義。

7-a-09 能由具體情境中描述解的意義。

(48)

(49)

4-4

3-1

3-1

(50)

### 第三節 研究工具

（1）（3）

（7）

（2）（6）

（8）

（4）（5） 8

（11） （9）（10） （12） 4

（14） （13） （15） 3

（16）（17） （18）（19）

（20）

5

(51)

(52)

（1） 70 55 0.78 刪除

（2） 70 44 0.62 刪除

（3） 70 42 0.60 刪除

（4） 70 32 0.45

（5） 70 17 0.24 刪除

（6） 70 43 0.61 刪除

（7） 70 32 0.45

（8） 70 40 0.57

（9） 70 35 0.50

（10） 70 43 0.61 刪除

（11） 70 26 0.37 刪除

（12） 70 40 0.57

（13） 70 34 0.48

（14） 70 38 0.54

（15） 70 24 0.34 刪除

（16） 70 39 0.55

（17） 70 40 0.57

（18） 70 33 0.47

（19） 70 16 0.22 刪除

（20） 70 20 0.28 刪除

(53)

（7） （8） （4） 3

（9） （12） 2

（14） （13） 2

（16）

（17）

（18） 3

(54)

(55)

(56)

(57)

### 第一節 一元一次方程式解題正確及錯誤百分比

118 37 2007/01/22 高雄市

Y 國中 120 39 2007/01/22 104 29 2007/01/22 高雄縣

T 國中 105 33 2007/01/22 101 25 2007/01/22 屏東縣

Z 國中 102 25 2007/01/22 合計班級、

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