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國立中山大學教育研究所碩士在職專班
國中一年級學生一元一次方程式解題策略及錯誤類型之研究
研究生：楊榮達 撰 指導教授：梁淑坤 博士
中華民國 九十六 年 六 月
誌 謝
本論文之完成，首先衷心感謝梁淑坤教授的悉心指導與鼓勵。整 整一年以來，從文獻的探討、研究方向的決定、觀念架構之建立、測 驗試題之選擇，以迄本文之撰寫，老師不斷地予以指導與啟迪，更對 初稿逐字訂正，使得本論文才得以順利完成，師恩浩瀚，永銘五內。
此外，承蒙口試老師楊淑晴教授、溫武男教授許多寶貴的建議與指 正，謹致以最深的謝意。
當然，我的雙親、妻子的鼓勵與二個小孩的支持更是功不可沒 的。尤其是在撰寫論文的最後一個月那段晨昏顛倒、日以繼夜的日子 裡，沒有他們的悉心照料與打氣，我肯定是無法支撐過去的。衷心感 謝他們無所求的付出。
楊榮達謹識
中華民國九十六年六月
國中一年級學生一元一次方程式解題策略 及錯誤類型之研究
摘要
本研究的主要目的在探討國中一年級學生在文字符號、一元一次式、一元一 次方程式及應用問題的解題策略及錯誤答題類型，希望作為教師實施補救教學或 改進教學策略之參考。
本研究的試題參考 12 次國中基本學力測驗中（90-95 每年二次）曾經出現過
的一元一次方程式試題。研究對象則是選取高雄市 Y 國中（都會區）、高雄縣 T
國中（一般城鎮）、屏東縣 Z 國中（鄰近海邊）等三所國中成為方便樣本，再於
三所學校各取二班學生作正式施測。六個班級的選取方式為隨機抽取，人數共 188 名。
本研究的主要結果如下：
1、十題測驗題目的平均正確率為 49.10％，顯示至少有 51％的學生在文字符號 的運算及一元一次方程式的解題是有困難的。
2、學生的解 題 策 略 以 移 項 法 則 使 用 次 數 最 多，偶 而 出 現 等 量 公 理 以 及 列 舉 評 估 法 。 代 入 法 、還原法、隱藏法等三種解題策略均 無 學 生 使 用 。 3、學生的主要錯誤類型有：不知如何使用文字符號、不了解文字符號的意義、
不同類項隨意合併、不了解括號意義、不會作括號計算及不會化簡方程式等。
4、學生解題失敗的主要錯誤原因為：不了解方程式的意義，不了解同類項的意 義與合併規則以及在解方程式時會因運算符號、未知數的位置及題目是否是分數 而造成錯誤原因之發生。
關鍵字：一元一次方程式、解題策略、解題錯誤類型
A Study of Problem-Solving Strategies and Errors in linear equations with one unknown for Junior High School Students
Abstract
The fundamental purpose of this research is to discuss the solution strategies and error types when seventh-grade students in middle school solved simple equations with one unknown and application problems; we hope results can provide reference for teachers in remedial teaching and in improving instructional.
The items in the examination paper used in this research were taken from 12 past papers of basic competency test in Taiwan (2001 to 2006, twice a year). The subjects were students from Kaohsiung City Y Middle School (City region), Kaohsiung County T Middle School (Ordinary town) and Pingtung County Z Middle School (Near seacoast) forming a convenience sample. The investigators selected 2 classes from each school by random, with a total of 188 students.
The main results of this research are as follows:
1. There are ten questions and the average proportion of correct answers is 49.10%; it shows that, at least 51% students have difficulties in solving symbolic operation and linear equations with one unknown.
2. The solution strategy student used most frequently is Removal of Term. Equal Axiom and Enumeration Evaluation Method were used occasionally. No student used Substitution method, Reduction method and Hidden method.
3. The main error types are: missing knowledge of using symbol; do not understand meanings of symbols; combine dissimilar terms freely; do not understand the meaning of bracket; cannot do calculation involving bracket; and, cannot simplify equation etc.
4. The main reasons for failures are: do not understand the meaning of equation; do not understand combination rules of like terms, position of symbol, unknown
variables; whether containing fractions in reducing equation will also cause an error.
Keywords:
linear equations with one unknown, solution strategies, error types.
國中一年級學生一元一次方程式解題策略 及錯誤類型之研究
目 錄
第一章 緒論………..………1
第一節 研究動機………1
第二節 研究目的………4
第三節 名詞解釋………5
第四節 研究範圍及限制………6
第二章 文獻探討………..…...….7
第一節 學生的代數學學習...7
第二節 一元一次方程式解題研究………..………16
第三節 一元一次方程式教材分析...29
第三章 研究方法...37
第一節 研究設計...37
第二節 研究對象...40
第三節 研究工具...42
第四節 研究步驟...46
第四章 結果與討論...49
第一節 一元一次方程式單元解題正確及錯誤百分比...49
第二節 一元一次方程式單元解題策略研究...57
第三節 一元一次方程式單元解題錯誤類型...74
第四節 一元一次方程式單元解題錯誤原因分析...90
第五章 結論與建議...108
第一節 結論...108
第二節 建議...112
參考文獻...116
附錄一：一元一次方程式測驗預試試題...122
附錄二：一元一次方程式測驗正式測驗試題...129
附錄三：正式測驗試題之作答情形...134
附表目次
表 3-1 各版本教材內容之比較表...41
表 3-2 預試題目雙向細目表表...43
表 3-3 預試 20 題答對率統計表...44
表 3-4 正試題目雙向細目表...45
表 4-1 測驗人數統計表...49
表 4-2 正確率統計表...50
表 4-3 第(1)題各選項選答人數統計表...51
表 4-4 第(2)題各選項選答人數統計表...51
表 4-5 第(3)題各選項選答人數統計表...52
表 4-6 第(4)題三校合計作答情形統計表...52
表 4-7 第(5)題三校合計作答情形統計表...53
表 4-8 第(6)題三校合計作答情形統計表...53
表 4-9 第(7)題三校合計作答情形統計表...53
表 4-10 第(8)題三校合計作答情形統計表...54
表 4-11 第(10)題三校合計作答情形統計表...54
表 4-12 第(9)題三校合計作答情形統計表...54
附圖目次
圖 3-1 教材地位分析圖...36 圖 3-2 晤談流程圖...47 圖 3-3 研究流程圖...48
國中一年級學生一元一次方程式解題策略 及錯誤類型之研究
第一章 緒論
第一節 研究動機
「文字符號代表數」是學習代數的第一個難關，在國小階段的教
材呈現中，會藉由（ ）列出算式填充題，來引導學生做計算；也會 使用人名、地名、甲、乙、、、、、等文字、或者□、○等符號來描 述數量的情境以形成初步的代數解題型態。在國中階段的代數教材 中，則是從第一冊第三章第一節敘述的「文字符號代表數」概念開始，
來逐步鋪陳具有邏輯推演的代數觀念，以培養學生代數思考的能力。
為什麼國中教科書會將「文字符號列出一元一次式」及「一元一次方 程式之計算」列為國中學習代數主題學習的第一階段呢？因為這二個 概念沒學好，後續的學習，如二元一次方程式、二元一次聯立方程式、
二元一次方程式的圖形、一元二次方程式及一元一次不等式等學習就 難以展開。因此不論學生在國小階段基本代數觀念是否學好，在國中 階段的教師均應該去檢視學生能否確實了解這些概念。
學者也都認為在代數學習中文字符號概念及一元一次方程式是 重要的，因為這是學生由具體操作導向抽象化數學的重要關鍵。郭汾 派、林光賢與林福來（1989）指出「文字符號代表數」，是國中生從 算術學習進階到代數學習的一個重要橋樑，不僅對數學的推論、演 繹、歸納及其他科學研究帶來莫大的助益，也是形成數學抽象化與形 式化的重要步驟之ㄧ。Linchevski（1995），認為文字符號概念的學習，
是學生在數學學習上的一個關鍵點。數學由算術轉變成代數，也可以 說是使用文字符號來說明算術運算中的數學概念，這是學生往後學習 更高深數學之基礎。Bell（1995）也強調方程式學習的重要，他認為 比起算數的方法，運用方程式來解決問題，是種較普遍也較容易的方 法。
依研究者自己多年教學經驗，學生在以「未知數符號代表數」這 個概念來解題及計算時，因為在解題歷程中，常常只是死記移項法 則，而不是真正理解其概念，因此解題時常出現錯誤。Collis（1975），
認為學生在解文字符號題時所發生之困難，來自於學生對文字符號缺 乏有意義的了解，文字符號對學生是否有意義，是問題是否困難的重 要因素。袁媛（1993）的研究亦指出，學生在解文字符號題時，在運 用符號來表徵問題以及列式方面，明顯出現學習上的困難。這些學習 困難，造成學生產生許多錯誤或迷思之概念。
「錯誤」雖然會影響以後學習效果，阻礙往後的學習，但 Schwarzenberger 卻認為學生錯誤能幫助教師了解數學學習的來龍去 脈以及學生的學習的情況，而正確的答案卻無法看出學生的學習困 難。所以錯誤不只是偏差或缺點，也是學習過程中重要的部份，他的 價值對老師和學生都是非常重要的（引自王如敏,2003）。尤其在多元 化的教學中，教師不只是要思考如何才能達到良好的教學效果，還要 了解學生的錯誤概念與運算技能，如此掌握了學生的錯誤概念與運算 技能，適時提供不同的情境給學生重新思考解題歷程，並教導學生使 用正確的解題策略來修正錯誤概念與運算技能，以免對未來的學習產 生負面的影響。另外，郭丁熒（1992）和 Brown＆ Burton（1978）
的研究也指出對學生學習的錯誤性質及類型之分析，將有助於教師從 事「有效教學策略」設計。因此教師若能透過詳盡的錯誤類型分析來 發現學生學習困難的地方，了解學生產生迷思或形成錯誤的原因，將 這些資料用來當作設計教學或補救教學的依據，就能對學生問題做有 效率的矯治。由以上所述，研究者希望藉由發展測驗工具與晤談，搜 尋學生內在的想法與概念迷思及犯錯之變因，作為將來代數運算診斷 教學策略之參考。
「國中基本學力測驗」，在九十學年度已登場，回顧這五年的測 驗中，數學科的測驗，旨在評量國中三年所學的觀念和靈活運用的能
力，試題設計，是依據國中教育階段應具備的基本能力，形成能力指 標。因此試題力求合理性和生活化的應用，打破傳統填鴨式和運算煩 雜、艱深冷僻的試題，而這些目的都是為了要評量學生是否理解概念 且能靈活運用。因此本研究希望藉由「國中基本學力測驗」中出現的 一元一次方程式的題目，去探討國中學生在一元一次方程式的學習情 形及困難，再藉由質與量方面的研究，分析學生這方面的錯誤概念情 形，並找出犯錯的原因，以協助學生了解及改進錯誤想法，也提供教 師教學、課程設計及評量之參考。
第二節 研究目的
一、基於上述的研究動機，本研究的目的有三：
1、探討國中一年級學生在一元一次方程式之正確解題策略。
2、探討國中一年級學生在一元一次方程式之錯誤解題類型。
3、探討國中一年級學生在一元一次方程式錯誤形成的原因。
二、本研究的待答問題為：
1、探討國中一年級學生在一元一次方程式之正確解題策略為何？
2、探討國中一年級學生在一元一次方程式之錯誤解題類型為何？
3、探討國中一年級學生在一元一次方程式之錯誤形成原因為何？
第三節 名詞解釋
一、文字符號
係指能代表某事物的一種符號，其可能代表已知或未知的數，也 可能代表某一特定事物本身或數值。
二、一元一次方程式
一元一次方程式中所謂的『元』，是指方程式中代表未知數的文 字符號，如a、b、c 等，如果表徵未知數的文字符號只有一個，例如 3k＋10＝40 即為一元一次方程式；而方程式中所謂的『次』指的是 表徵未知數之文字符號最大的次數，例如X＋150＝0，為一元一次方 程式，而X2＋150＝0 則為一元二次方程式（林敏雪，1997）
三、解題策略
指學生在做數學題時的思考方式及運算規則，也就是解題者在面 對數學問題時，沒有立即可資利用的算則或方法，必需融會原有的知 識與概念，並靈活運用策略與方法以求得解答之歷程。
四、錯誤類型
在數學計算式中產生錯誤的步驟，依據其犯錯的關鍵處所分成的 幾種類型稱之。本研究所討論之錯誤類型係指學生在研究者自編之
「一元一次方程式」測驗題本，正式施測所犯的錯誤類型而言。
第四節 研究範圍及限制
一、研究範圍
本研究以九十年至九十五年「國中基本學力測驗」的題目做範 圍，保留題目原始設計精神，但修改人、事、時、地、物，希能讓測 驗的試題更能夠達成所欲測量的效度。
二、研究限制
本研究以高高屏三縣市的三所國中的一年級學生作為研究樣 本，故所得到的結果可能只可以推論到相同地區或類似樣本而已，至 於本研究結果是否能推論至其它年級的學生或其他縣市的學生，則應 特別謹慎考慮，並有待進一步的研究。
第二章 文獻探討
第一節 學生的代數學學習
一、代數學習的演進
西元三世紀，代數學之父－古希臘學家丟番圖（Diophantus）引 入了未知數，創造了未知數的符號，並架構方程式的思想體系，開啟 了代數學習的方向。為了紀念他在方程式的貢獻，刻在墓碑上的墓誌 銘，純粹也是用代數問題所寫的，內容大致如下：『過路的人！這裡 埋葬著丟番圖。請計算下列數字，便可知道他一生度過多少寒暑。他 的一生的六分之一是幸福的童年，十二分一是無憂無慮的少年，再過 七分之ㄧ的年程，他建立了幸福的家庭，五年後兒子出生，不料兒子 竟先其父四年而終，年齡不過父親的一半，晚年喪子真可憐，悲慟中 度過了風燭殘年』（引自袁小明，1995）。
根據 Kieran（1992）對代數學習的歷史研究，依西方數學不同 時代的發展特徵而將代數的發展分成了三個階段：
（一）文辭代數階段（rhetorical algebra stage）
文辭代數階段指的是古希臘學家丟番圖（Diophantus）提出運用 符號之前，大約在西元三世紀時。這階段的特徵是使用一般語言敘述 一些特殊問題的解決辦法，缺乏對未知數的符號或特殊記號的使用。
（二）簡單代數階段（syncopated algebra stage）
古希臘學家丟番圖（Diophantus）用文字縮寫來表示未知量至 十六世紀這段時間被稱為簡單代數階段，代數學已經發展致利用代數 符號及較簡單的符號來代替文字，以表達複雜的代數關係。
（三）符號代數階段（symbolic algebra stage）
這段時間始於 Vieta（法國，1544-1603）在十六世紀用字母 來代替定量。他的特徵除有：代數方程的係數以文字符號表示、符號 可以和數字一樣計算及方程式一端可以置零。
在第三個階段（符號代數階段）的後期，大約在十六至十七世 紀，開始有不少數學家創造了不同形式的符號，讓文字符號表示通解 變成可能。因而慢慢發展變成今日統一的代數符號系統，而代數也成 為一種能提供原則去處數字關係的工具。
近年來西方國家對代數學習方面的研究一直都不遺餘力，最早的 研究就是二十年前英國倫敦大學的CSMS 研究小組探討英國青少年 對代數的了解的研究，緊接著Kuchemann（1981）採用英國 CSMS 小組所做的代數研究題目，以3000 位平均 13 至 15 歲的學生為研究 對象探討英國學生對文字符號概念的理解層次。國內也有類似的研 究，郭汾派、林光賢與林福來（1989）參考英國 CSMS 小組所做的 代數研究題目，再配合自行設計的題目，以2863 位國一學生進行施
測，以探討學生文字符號概念的發展層次。洪有情（2004），則是抽 樣國內的國中共18 校，一、二、三年級學生，共計 3519 人，企圖研 究學生在一元一次方程式的解題錯誤類型。這些的研究都是為了要了 解學生在代數方面的學習。
九十學年度國民中小學九年一貫課程已經開始，並將數學習學 習領域分成五大主題：數與量、代數、圖形與空間、統計與機率、連 結。其中代數主題方面的學習，都是由一元一次方程所延伸出來的，
而學生的文字符號概念，則是一元一次方程式學習的基礎。陳盈言
（2000）的研究中發現學生在文字符號的成熟度對其次方程式概念發 展是有影響。因此我們在在探討學生在代數方面的學習，就必須從學 生的文字符號概念開始著手。
二、學生文字符號之概念
在學生的學習經驗中，對於數的運算，往往在每一次運算步驟後 都能得到一個已知數，然而在『文字符號』的式子運算中，雖然滿足 數的運算規則，可是卻無法在每次運算後都得到一個已知數，所以學 生往往無法用舊經驗來調適到『文字符號』概念的學習中。因為『文 字符號』概念的理解程度之多寡，就會影響學生往後的代數學習。因 此過去三、四十年的時間裡，有許多不同學者針對這個主題加以研究
（袁媛，1992），企圖想要探討學生的文字符號概念。其中較完整的
之研究就是Collis（1975），從學生的觀點出發，將學生文字符號的概 念，分成六種不同使用層次：
1、文字符號可以代表依各可以算出的值，如 a+3=8，a=5
2、文字符號在數學計算裡是可以忽略而不用，c＋d＝31，c＋d＋2＝？
在求出答案的過程裡並不需要考慮到文字符號所代表的意義。
3、把文字符號當作物體，例如將 h 代表為正方形的一邊，所以只是 代表其中的一邊，而不是邊長是多少，這是不一樣的。
4、把文字符號當作是特定的未知數，如一多邊形有 m 個邊，而且每 個邊長為3，知道此多邊形周長為 3m，這是可以直接用來運算的。
5、把文字符號當作一般化的數字，如 x＋y＝12，且 x＜y，則 x 代表 小於6 的數，則此文字符號代表的是一組數字而非單一數值。
6、把文字符號當作變數來使用，亦即該文字代表一個可隨條件變動 的未來數值，如比較s 和 2s 的大小，s 可以是任何數，二者也一定 可以做比較。
Collis(1975)依據學生所理解的觀念，將學校課程中有關的文字符 號概念細分為六個層次，前三者的描述，文字符號的使用停留在具體 的層面，而後三者的分類則過渡到抽象的思考模式。他認為學生在後 來解題時之所以發生困難，是來自於學生對於文字符號缺乏有意義的
了解。所以文字符號對學生是否有意義，將是問題是否困難的重要因 素，而教師瞭解學生對代數理解的程度，將有助於教師修正自己的想 法與教學方法。
有經驗的老師也會發現，很多能迅速而熟練地解方程式的學生，
在一元一次方程式的解題時卻有著很深的挫折感或恐懼感，即使成績 相當優秀的學生亦沒有把握能成功解題。學生在運用文字符號陳述問 題，列出方程式方面，之所以明顯地出現了學習困難。主要就是因為 無法適當的使用文字符號，因此形成了解題的困難與錯誤的迷思。
Wanger（1981）在其探究學生是否了解當改變文字符號的名稱時並影 響方程式與函數意義的研究中發現：許多學生仍固著於所命名之文字 符號的刻板印象，當原有的文字符號改變時，則沒有辦法適應也無法 正確的解題，甚至還會認為整個題意已經改變。由此得知學生在解題 時並沒有完全了解文字符號所代表之意義。
Larkin＆ Chabay（1989）認為學習者對代數運算感到複雜無法 理解的原因是看不到方程式的內在架構及意義，所以解題時容易忘記 規則或誤用，因此造成解題錯誤。 Simon（1980）在其研究中發現學 生缺乏文字符號去表示未知量的能力，顯示學生缺乏了解代數如何去 結合數學關係，並求得一個特殊解的概念。
另外，郭汾派、林光賢與林福來（1989）也曾以台灣地區之國中 為對象，研究國中生在文字符號的概念發展，最後根據結果歸納出四 個層次如下：
第一層：
（1）單一符號做運算或只有數字計算
（2）答案大都為定數或單一文字符號
（3）題目結構簡單 第二層：
（1）二個文字符號的運算
（2）文字符號大部份當未知數用
（3）去括號不變號 第三層：
（1）三個文字符號的關係式
（2）文字符號當未知數或一般數使用
（3）使用二個文字符號來列關係式
（4）去括號需變號 第四層
（1）文字符號當變數或一般數使用
（2）題目結構複雜有干擾性
另外，在此研究中也發現，半數以上台灣地區國中二、三年級 學生的文字符號概念只停留在第一層次，只會作如單一文字符號之運 算、處理單一符號或只有數字計算等結構簡單的題目，因此顯現出多 數學生對文字符號概念的了解並不完全，而且使用文字符號的能力也 有限。
綜合上述研究我們可以得知，學生如果對文字符號概念缺乏有 意義的了解，會造成學生在代數學習上發生困難，並在解題時發生錯 誤。因此本研究希望藉由一元一次方程式測驗來了解學生在文字符號 概念上之發展，以及使用文字符號之能力。
三、方程式及應用問題之解題
十七世紀法國偉大的哲學家笛卡兒（Descartes）曾說過：『一切 問題都可以轉化為數學問題，一切數學問題都可以轉化為代數問題，
一切代數問題都可以轉化為方程式，一切問題均將迎刃而解。』也就 是說，以問題解決與數學角度來看，方程式在代數領域中，扮演著重 要角色（Polya，1945）。Kieran（1980）認為代數教學目標之ㄧ，就 是發展學生解方程式的技巧，並能找出符合特別情形的解。
在Bednarz, Kieran ＆ Lee（1996）的書中也提到，在國際社會 裡，教授和學習代數引起了很大的研究興趣。如何以不同的處理方 式，可以讓學生學習更有意義化，有以下幾個推薦的方向：
1、數字的一般化、幾何形式和管理數字的規律。
2、能使用明確模式去解題、解一元一次方程式。
3、介紹函數情形、物理模式和數學現象之關係。
可見解方程式一直是代數學習的一個重心。但是 Sanford（1927），
從數學方程式問題演進過程中發現，方程式問題的困難一直伴隨著老 師及學生，老師覺得方程式是數學中最難教的一部份，學生也覺得這 是令他們最感到挫折的內容。而在 Hammer（1957）的研究中證實在 解方程式應用問題時，約有75％的學生無法了解真正的問題（引自 王如敏，2003）。
Muth（1991）的研究指出，學生對方程式應用問題的解題能力 會因題目中的干擾而無法成功解題，學生們的觀念都認為題目中所有 的的條件都應被使用，造成學生問題整合的困難。Cummins（1991）
則認為，方程式應用問題比一般計算題牽涉更複雜的認知歷程。而且 從語文發展觀點，一元一次解題錯誤是缺乏問題類型的經驗，因此無 法把握住題意。袁媛（1993）的研究指出，不同認知層次的學生，在 方程式及應用問題的解題表現上，會出現顯著的差異。而認知層次不 僅影響學生對文字符號的概念，同時也是方程式及應用問題成敗的重 要因素。
在謝夢珊（2000）的研究中，探討以□及 X 二種不同表徵來表示 未知數時，學生在解方程式表現的差異。結果發現在運算順序按視覺 順序、等號二邊有位未知數這二類的方程式中，不同的表徵下，學生 的答對率有顯著的差異。而造成不同表徵下解題表現的差異原因有以 下六點：
（1）對文字符號的認知差異
（2）方程式的認知差異
（3）解題策略的認知差異
（4）解題程序的認知差異
（5）等號的認知差異
（6）思考方式的差異
綜合上述的研究，可以發現影響方程式及應用問題的解題因素 有：對方程式的結構是否確實了解、方程式運算過程是否正確以及是 否具有足夠文字符號方面的先備知識。因此若要研究學生的代數學 習，也可以從以上各種因素而設計研究。
第二節 一元一次方程式解題研究
一、一元一次方程式解題策略
當學生逐漸形成使用符號代表已知及未知數量的同時，他們在解 題計算時的注意力，會慢慢的由獲得數值解，轉變去考慮使用的其它 方法或程序，並會逐漸注意到數學運算的本質。因此學生在這裡會自 己發展出不同於其它數學運算的解題策略，所以研究學生在一元一次 方程式的解題中會發展出那一些解題策略，是非常重要的。
根據許多文獻（Lee & Wheeler, 1989；Kieran, 1983；呂玉琴，
1989；南一書局，2006；仁林出版社，2006）指出，學生在一元一次 方程式的解題策略一共分成六種，前四種是有限制的，無法適應於任 何一種方程式。後二種解法則無任何限制，可以適用於任意一種方程 式。
（一）、代入法
代入法是指代入任何數字到方程式中直到找出正確的解為止，例如：
4×y＋y＝20，求 y 4×1＋1＝5
4×2＋2＝10 4×3＋3＝15
在教學中發現，就算學生已學過正式的解方程式策略後，初學 者仍喜歡用代入法解題。Lewis＆Mayer（1987）發現，有些學生只把 代入法用來檢查答案是否正確。Lee＆Wheeler（1989）則發現有些學 生可以知道代入法不只用來測試答案是否正確而已。Booth（1984）
對未學過代數的11 歲學生進行方程式的解題研究，他發現都是用代 入法，任意代入數字求解，並沒有學生利用還原法、移項法則或等量 公理。Kieran（1980）認為，會使用代入法的同學比起不會用代入法 的同學，對方程式較有等價的概念。但是如果在一些比較複雜的方程 式中，答案不為整數時，使用這個方法比較不能順利得到答案。
（二）、列舉評估法
列舉評估法與代入法相似，解題時先以二個不同大小的數字代 入方程式中，經由計算、比較，再評估正確解的大小，反覆此過程直 到找到正確的解為止。
例如：4×□＋□＝84 80÷4＝20 20×5＋5＝105 20×4＋4＝84 □＝4
使用這種方法並不是代入任意數，而是必需掌握數字的變化，因此 教學時常常利用此方法，來建立學生對解的概念，也讓學生對方程式 等號的意義有較大的了解，但若是在一個較複雜的方程式中，使用這 種方法並不能順利得到答案。
例如：9－2（X－1）
＝5（X＋2）＋1
（三）、還原法
例如在2Y＋1＝11 中，學生以下列方式來思考其解法，我們 稱之還原法。
Y → ×2 → ＋1 →11 5 ← ÷2 ← －1 ← 11
儘管還原法是有一個有限制性的方法，例如不適合來解 3Y＋2
（5－Y）＝7；學生使用這種方法可以熟悉運算的結構的起點與逆運 算的概念，進而與移項法則進行比較，就可以避免一些解方程式的迷 思概念。
（四）、隱藏法
隱藏法是指將□或 Z 與一個數的運算，視為另一個未知數，然後 逐步解出新的未知數，再解出□或 Z。
舉例，38－
−Z 7
96 ＝17，只要能洞察這個式子的結構，便能用隱
藏法，將7−Z
96 視為新的未知數，輕易解出這複雜的題目。
（五）、移項法則
移項法則是指將方程式的項，由等號另一邊移至另一邊，將該項 的運算符號改為逆運算。如果教學時過份強調移項法則，容易發生機 械性的錯誤，因此使用移項法則的學生常犯忽略運算符號及忽略等價 關係。儘管移項法則被認為是等量公理的結果，但對學生而言卻完全 不一樣。因為在學生的認知中，等量公理是對等號二邊進行運算；移 項只將符號或數字由等號一邊移至另一邊。例如：T＋3＝5→ T＝5
－3。教學時使用此方法的缺點是，當學生進行上列解題時，只知道 等號左邊數字移到等號右邊時須變號，卻不知是為什麼。
（六）、等量公理
等量公理是指等號二邊同時加減乘除一個相同的數。使用此方法 前必須能了解還原法，才能選擇平衡操作的順序，因為使用還原法之 前，必須能了解式子的運算結構。教學時使用此方法的好處是，能讓 學生知道等價的含意，並讓學生察覺 X 的值不會改變。Kieran（1990）
指出使用等量公理與移項法則，對初學者而言，在認知上是很不一樣 的，雖然移項法則可視為等量公理之精鍊，但是多數的學生都是盲目 的使用移項變號法則，對方程式並沒有等價概念。
一個有效的解題策略，可以使解題者迅速且成功的解決問題，但
一個錯誤的解題策略，不但無助於問題的解決，甚至會讓學生代數學 習發生困難。所以教師如果也能了解學生有那些常用解題策略及解題 歷程，以進行解題策略的教學，增進學生數學解題之能力。
二、一元一次方程式學習上之困難
Harper（1987）認為學生使用代數學習的能力發展，經歷了歷史 上符號發展的三個階段歷程：
第一階段：用語言（不用符號）描述各類特殊問題。
第二階段：利用符號（或簡單記號）代表未知數或量，並能計算出未 知的數量。
第三階段：同時利用符號代表已知及未知的數和量
學生必須經歷了這三個階段，才有可能用一般化的代數方法，並 透過符號代表數值，來處理一般的方程式的數值關係。可是學生剛接 觸以文字符號代表數的時候，文字符號總是令人感到困惑，尤其是面 對由普通語句轉變到數學語句時，常會發生適應不良的地方。Collis
（1975）認為學生在後來代數學習時所發生之困難，就是學生對文字 符號缺乏有意義的了解。
二十年前，英國倫敦大學的 CSMS 研究小組曾探討英國青少年 對代數的了解，根據文獻（Kuchemann, 1981；Hart, 1993；Booth, 1984）
指出，這個小組主要探討兩件事：（1）方程式中基本的文字符號、等
號、簡易的四則運算等，學生的了解情況如何？（2）代數基本概念 的了解，對同一年齡群的學生，是否可建立了解的層次？如果層次可 分，那麼教學上就可以依層次循序漸進來教。他們進一步分析學生在 學習方程式上產生困難的原因：(一)文字符號認知上的差異;（二）
記號，制約認知上的差異;（三）解題過程受舊經驗影響。
在英國倫敦大學的 CSMS 研究後，也有一些研究想要了解學生 在方程式學習上遇上哪一些困難，根據文獻（Ernest, 2002；Kieran, 1990；Filloy ＆ Rojane, 1989）指出學生在方程式上學習困難主要來 自以下的因素：
（一）、文字符號的差異
因為學生在學習代數這個新的符號系統時，因為文字符號所代表 的值包含了所有的數字，而不是一個任何時間檢驗都是一個明確且固 定的值，在這裡學生在學習上就會出現困難。
（二）、方程式的結構
學生會根據他門之前在算術上所獲得經驗去建構代數上的想 法，因此學生的代數系統會承續他們在方程式上的結構性的性質。
（三）、等號
學生對等號這個符號的意義並不完全了解，大多數的學生無法了 解等號的意義代表恆等的意思，他們表示等號只是一種運算符號。
除了上述國外的研究之外，最近幾年國內也有些研究探討學生在 代數學習上遇到困難是什麼，張勝和（1995）研究發現學生認為文字 符號題很難學的原因，常常是無法掌握文字符號的意義，而且會以自 己原有的知識或經驗去解釋文字符號的運算規則，而建構了不當的運 算規則。戴文賓（1999）的研究發現國一學生由算術領域轉入代數領 域時，因為不了解文字符號概念，在方程式學習遇到以下一些困難：
（一）不了解方程式的意義。（二）不了解同類項的意義與合併規則。
（三）不會計算含括號的化簡問題。謝和秀（2000）則是以國中一年 級196 位學生為研究，先將學生以智商等級分為最優、優、中等及低 四組，再施以文字符號概念測驗，發現不同智商的學生在「文字當作 一般化的數字」、及「文字符號當作變數」的概念理解上均感到困難。
綜合以上國內外的研究發現，學生在方程式上的學習，如文字符 號的意義、方程式的表示法、方程式的化簡、等號的意義及括號的化 簡，確實是有困難。學生不了解文字符號的概念，的確會造成學生在 代數學習上的困難及產生一些迷思概念。而這些學習困難及迷思概念 會讓學生在解一元一次方程式題目產生錯誤的解題策略及錯誤題型 發生。因此對教師而言，了解學生學習困難及迷思概念是非常重要 的。因為可以幫助教師在教學上採用適當的教學策略或設計適當的教 學活動，來減少迷思概念的發生。
三、一元一次方程式常見錯誤類型
除了分析錯誤產生的原因之外，對於解題過程中所產生的錯誤 類型也必須加以分析，才有助於教學準備。探究學生面對問題所引發 的概念與解題策略，尤其是錯誤的概念與策略，可以了解學生在過去 學習活動與經驗中所累積下來的種種錯誤，以此可以作為補救教學的 出發點。（Ashlock, 1990；Stephen, Hartman, ＆ Lucas, 1982）。
郭汾派(1988)參考英國 CSMS 小組所設計的題目對全國分區抽樣 測試3693 位國中生在一元一次方程式的主要錯誤類型發現常見的錯 誤有：
1、帶分數模式 7
2＋7＝7 7
2之影響。
如8+t = 8t 之錯誤。
2、係數、文字分別處理。
如2a+5b=7ab，
4×(n+5)=4n+20=24n。
3、不同類項擺在一起。
如h+h+h+h+t=4ht。
4、不知如何使用符號。
如3×(y+2)=3y+2 或 3×y+2。
5、忽略數據資料。
如設st+d=10 且 s<t，求 s 時，答案多為 s=10－t，而忽略 s<t 之條件。
6、認為不同文字代表不同數。
如K+M+N=K+P+N 之題目要回答 M=P 之答案感到困難，認為不同文 字沒有相等之可能性存在。
7、將文字當作特定數處理。
學生容易認為答案一定是一個已知數的錯誤觀念，尚未能建立好公式 一般化的觀念。如小明今年X 歲，小明的父親的年齡是小明的二倍 還大5 歲，則小明父親今年幾歲？學生一般會回答 2X +5 歲，可是有 的學生覺得2X+5 不會是答案，而回答 2X+5=7X 歲。
8、受定義影響。
學生有時會誤解題意或不明白題意，以致作出錯誤的答案。如有一箱 蘋果分給一群小朋友，每人分10 個還剩 6 個，請問這一箱蘋果有多 少個？假設有X 個小朋友。學生為將剩這個字當做[－]號，將分當作 [÷]號，因此回答 10÷X－6 個。
9、重新設定未知數。
習慣以x，y，z 表示未知數，換成 a，b，c 或其他符號，其認知就會 不同，也尚未能體會文字符號只是 “符號”，不管以什麼來代替都可
以的地步。如：一瓶果汁的容量有100cc，X 瓶共有（ ）cc，這是 學生會回答（100X）。可是如果改成：一瓶果汁的容量有 100cc，C 瓶共有（ ）cc，這時學生就會產生困擾。
10、不能辨別符號與物品。
如對甲牌鉛筆每枝７元，那7 支甲牌鉛筆是７甲元感到困難。
11、文字符號當有次序的特定數。
學生隱約會把甲、乙、丙…當成 1，2，3 之順序來處理，如若甲+2=
丙，那麼會把甲+4 回答為『戊』。
12、文字符號只當不為負數的數字處理。
如設c+d=10，且 c<d，求 c=? 很高比例的學生會回答為 1，2，3，4 或0，1，2，3，4。
十多年來，隨著課程標準的修訂及九年一貫課程的實施，為了了 解新課程大綱實施後，國中生在一元一次方程式解題的主要錯誤類 型。洪有情（2004），共抽樣國內的國中共18 校，一年級取 32 班 1193 人，二年級取33 班 1195 人，三年級取 31 班 1131 人，共計 3519 人。
研究發現學生在一元一次方程式的解題錯誤類型如下：
1、.數字與符號的加、乘混用。
如: 3 加 n+8＝11n
2、不同類向隨意合併。
如: 3a+5b＝ 8ab
學生從學習算術的舊經驗認為相加就是要求出答案,而且認為答 案必須是一個數或只有一項。因此把數字相加再把文字符號擺在一起, 而得到上面錯誤類型的答案。
3、括號隨意省略。
如: 3 乘以（n+8）＝ 3n+8 學生忽略了括號，其原因有:
（1）學生認為運算都是由左算到右，不必括號。
(2) 相乘只能數字與數字相乘。
4、刮號的了解不清楚。
如 4a－(b+a)＝5a－b
5、不了解文字符號當作一般數,認為不同文字符號代表不同數。
例如：如果c＝d，則 a+b+c≠a+b+d。學生認為相同的符號代表相 同的數,不同的符號代表不同的數。
6、數字與文字分開運算,且忽略係數 1。
如: 3y－y=3
7、不能分辨係數與指數。
如: (a+b)+(a－b)=a2－b2
8、對於數與分數的乘法不甚了解，影響到文字符號的運算。
例如： 如果 a 是任意數，b 是任意非零的數，那麼 2·a/b＝
b a 2 2
除了國內學者之外，也有國外的一些研究探討學生在一元一次方 程式的錯誤類型，Benander & Clement(1985)在算術與代數基本課程教 學時，以教室觀察、檢討、面談三種方式，發現學生在「解方程式」
時存在下列的錯誤類型：
1、未知數係數是 1 的察覺失敗
如學生認為a 和 1a 不相等，故無法察覺 a＋3a＝1a＋3a＝4a 算式成立。
2、x＝x 的迷惑(x＝x confusion)
當學生化約方程式得到x＝x 時，可能做下了 x＝1 或 x＝0 的結論。
3、無法察覺同類項
學生在判斷方程式中是否有合併的相同項發生了困難，於是認為5＋
y 可以合併為 5y，而不知 5 和 y 是不同類之項次，不可以任意合併。
4、切換逆預算失敗
當化簡方程式時，需要用除法時學生卻用減法，而需要用減法時，學 生卻用除法。當學生在解3y＝5 時，他以 y＝5-3＝2 的方式解出 y＝2。
綜合上述，學生在一元一次方程式主要錯誤類型有：不知如何使 用文字符號、不了解文字符號的意義、不同類項隨意合併、不了解括 號意義、不會作括號計算及不會化簡方程式等。林福來（1991）指出
教師要幫助學生學好數學的最佳參考依據就是進行診斷性評量，以了 解學生的想法、學生的程度、解題策略、常犯的錯誤以及犯錯的原因。
而學生的錯誤概念對教師在教學上是一項很重要的資源，教師若能採 取適當的教學策略來幫助學生減少錯誤概念的產生，一定可以讓學生 更有效學習。
第三節 一元一次方程式教材分析
一、教材編排與代數學習之關係
在歷年的教學經驗裡，研究者總是發現即使到了三年級仍有相當 多數的國中學生面對有關以符號來代表數的題目，感到非常的畏懼、
沒有信心，所以發問的比例最高，顯示他們仍然對文字符號的概念一 知半解。
在 Resnick（1981）和 Carpenter（1982）的研究中發現，當學 生習慣利用□來假設問題時，之後寫成關係式來解題，利用此種方 法通常可以很快解決方程式的問題，但當類似的方程式問題，學生改 以使用文字符號假設未知數解題，答對率明顯降低。所以學習使用何 種形式的文字符號或文字來替代未知數，對於學生在解方程式的問題 上是絕對有幫助的。
學生自國中一年級第一冊第三章開始接觸代數，在往後的數學學 習裡，如多項式、方程式、函數等等可以說幾乎再也離不開文字符號 的運算。在國內謝和秀（2000）發現學生在往後的數學學習裡，因計 算錯誤而無法成功解題的比例也很高，究其根本原因，不難發現問題 早發生在學生學習代數之始。在國外Kieran (1990）也認為文字符號 的學習是學生由具體操作導向抽象化數學的重要關鍵。因為在這之前
象的概念。所以學生無法同化新的教材於舊有的基模中，而必須重新 調適。因此這文字符號學習的成敗，往往就會影響到學生往後代數學 習的良窳。
由以上所述，研究者認為探討國中教科書是否將「文字符號列出 一元一次式」及「一元一次方程式之計算」列為國中學習代數主題學 習的第一階段，是絕對有其必要性。因為這二項概念沒學好，後續的 代數學習如二元一次方程式、二元一次聯立方程式、二元一次方程式 的圖形、一元二次方程式及一元一次不等式等學習上就會發生困難。
Clement（1982）曾歸納多篇研究報告，發現學生在接觸文字符號初 期，如果沒有正確的觀念，會賦予文字符號不同的意義，沒有以我們 預期的答案去作答，造成日後學習代數的困難。
研究者自己也發現當學生會使用文字符號代表已知及未知數量 的同時，他們在解題計算時的注意力，會慢慢的由獲得數值解，轉變 去考慮使用的其它方法或程序，而自己發展出不同於其它數學運算的 解題策略。所以我們希望藉由一元一次教材分析，了解目前國中代數 教材編排方式及章節安排順序，是否會影響學生日後的代數學習。
國中基本學力測驗是經由測驗研究的專業機構，邀請課程、教育 心理、測驗統計學者、學科專家、中學資深優秀教師共同參與研發工 作，按照測驗編製的標準化程序，分析各科教學目標和教材內容，建
構基本學力指標，訂定命題藍圖，依據命題原則和要點，撰擬試題（徐 明珠，2001）。本研究以參考國中基本學力測驗的題目來了解國一學 生在一元一次方程式的解題錯誤類型，更於本節分析以九年一貫綱要 的解國中數學科的教學目標及教材內容。
二、仁林版教科書一元一次方程式教學規劃
在仁林版的教科書中（仁林出版社，2006），將一元一次方程式 放在第一冊第三章，第三章又分為三個小節，分別是：以符號代表數；
代數式的運算；一元一次方程式的列式與解法，其詳細內容分述如下：
（一）3-1 以符號代表數 本節之教學目標：
1、能以符號代表數列出算式。
2、能了解數的運算規則及符號的合併化簡。
3、能給定代表數的的符號之數值時，能計算出算式所代表的數值。
以往學生的數學學習經驗是以具體操作數學的物件（如數字）為主，
第一節的教材設計中，則是想延續學生數學學習的舊經驗，發展出學 生的新概念。因此在這一節中是以商店購物的物品當作是未知量，就 是希望學生在熟悉的情境中，思考以文字符號代表數，方便學生思考 式子的化簡，最後脫離情境並抽象化。
（二）3-2 代數式的運算 本節之教學目標：
1、能以符號代表數列出算式。
2、能了解數的運算規則及符號的合併化簡。
3、能利用數的運算規則進行代數式的運算。第二節的重點是讓學生 熟練一次式的運算，並強調橫式算法和直式算法，都可以算出答案，
不特別做限制。同時在解題時，告訴學生處理一次式的化簡，應該是 去掉括號，利用交換率及結合律進行一次項合併與常數項合併。
（三）3-3 一元一次方程式的列式與解法 本節之教學目標：
1、能將生活情境中的問題表徵為 x、y、z 的算式或方程式。
2、能知道一元一次方程式的形式及其解的意義。
3、能利用等量公理解一元一次方程式。
4、能利用移項法則解一元一次方程式。
5、能利用一元一次方程式解生活情境中的問題。
6、能檢驗一元一次方程式的解的正確性與合理性。
第三節的第一個教學重點是利用等量公理及移項法則解一元一 次方程式，其目的在於讓學生熟練將未知數的像移到一邊，將常數項 移到另外一邊。第二個教學重點是用文字符號代表數，同時將生活情 境中的數量問題列成方程式。一般而言，常會牽涉到的問題有以下幾 點：
（1）此生活情境中數量問題的意思是什麼？
（2）其中的未知數（量）為何？已知量為何？
（3）這些數量之間的關係為何？
（4）如何以文字符號代表某些未知數（量），將上述數量間的關係列 成文字式。
以上利用生活情境解文字應用題，一般而言，學生會覺得文字應用題 很難。所以本節教材在例題選擇盡量生活化，而練習題也都降低難 度，希望能增加學生成功的機會，培養學生解題的意願，提振願意參 與解題活動的態度。
三、教材地位分析
（一）仁林版國中教科書代數教材總綱 第 一 冊
第 3 章 一元一次方程式 3-1 以符號代表數
3-2 代數式的運算
3-3 一元一次方程式的列式與求解
第 二 冊
第 1 章 一元一次不等式 1-1 一元一次不等式
1-2 一元一次不等式的解法 第 2 章 二元一次聯立方程式 2-1 二元一次方程式
2-2 二元一次聯立方程式的列式與求解 第 3 章 直角坐標與二元一次方程式圖形 3-1 直角坐標平面
3-2 二元一次方程式的圖形
3-3 二元一次聯立方程式解的幾何意義
第 5 章 線型函數及其圖形 5-1 變數與函數
5-2 函數圖形及線型函數
第 三 冊
第 4 章 一元二次方程式
4-1 因式分解解一元二次方程式 4-2 配方法解一元一次方程式 4-3 一元一次方程式的公式解
（二）一元一次方程式教材的重要性
從上述教材總綱可以發現，國中教科書的代數學習集中於第一 冊、第二冊及第三冊，其中又將『 以符號代表數』、『 代數式的運 算』、『 一元一次方程式的列式與求解』為國中學習代數主題學習 的第一階段，最主要的原因就是如果這三個概念沒學好，後續的學 習，如一元一次不等式、二元一次方程式、二元一次聯立方程式、二 元一次方程式的圖形、變數與函數、線型函數及其圖形、一元二次方 程式等學習就會難以展開。
四、與其它單元間之關係（以能力指標作分析）
從圖 3-1 教材地位分析圖看出，本章「一元一次式運算」與國 小「算式填充題」作聯結，以收溫故知新之效。「一元一次方程式及
其解的意義」，則是「二元一次聯立方程式」的基礎。「等量公理」及
「移項法則」則求一元一次方程式的解是以後解各種方程式的基本方 法。
已習教材 本章教材 未習教材
能能能能能能能能能能能能 步步步步步步步步步步步步 未未未未未能步步，並能並 釋步釋釋釋釋步能能能釋釋
能步步未未未未，能能能能能 能能釋步能中中步步能步步步
，並並並並步並並步並並
能能步能步能未能釋釋，能能 適適能步步，進進並步，並並
並並能驗驗驗
能能能步能步X、Y等未未 能能列列能能列能，並能
中步步
能並並能能能能能能能 能法法法法法法法步能
並，並並並驗驗驗
能能能未未能能未能能
能能等能能驗能並法法 法法法法步
能能步能能能能能並法法 法法法法步
能能能能能能能能能 法法中法一等步
能能能列未釋能未
能能步能步能並能並 法法中法法法步
能能步能步並能並 法法中法法法步
能能能能能能能能能能 繪中法法法法法步繪繪
能能能能能能能能能 中法法法二二法法步
，並能驗並並並
能能能能能能能能能能 能中法法法二二法法步 能驗並等能能驗
能能能能能能能能能 法法法法並能並一
能能能能能能能能能法法 法法法法步，並驗並並並
能並一 能並能步步未未未未未能能能
能能步步步步步，並並並並步 並並步
圖 3-1 教材地位分析圖
第三章 研究方法
第一節 研究設計
本研究的主要目的在探討國中一年級學生在文字符號、一元一次 式、一元一次方程式及應用問題（統稱一元一次方程式試題）的正確 及錯誤答題類型，希望作為教師實施補救教學或改進教學策略之參 考。研究實施方法如下：
一、藉由學生在一元一次方程式的紙筆測驗中的答題情形，去調查學 生文字符號代表數量關係、一元一次式子化簡、一元一次方程式基本 計算及一元一次方程式應用問題之正確、錯誤答題類型。
二、藉由晤談了解學生的解題想法。
三、整理學生的紙筆測驗、晤談結果，分析學生在一元一次方程式試 題運算上之想法及解題之錯誤題型。
四、題目的分析及說明：
本測驗題目的分類所依據是第二章提及代數學習能力，加上參考 九年一貫正式綱要能力指標。正式綱要能力指標係參酌施行有年且有 穩定基礎的傳統教材、國際間數學課程必備的核心題材、數學作為科 學工具性的特質、現有學生能夠有效學習數學的一般能力等原則進行
因為綱要的能力指標係依主題及階段學習能力而訂定，然而多數 指標須採分年進階式教學方能達成其教學目標。因此，由階段能力指 標演繹出更細緻的分年細目及詮釋，以利分年進階式教學進度目標的 明確掌握。
在國中一年級代數主題內容中共有七項分年細目：
7-a-01 能由命題中用 X 、Y 等符號列出生活中的變量，並列成算式。
7-a-02 能嘗試以代入法或枚舉法求解，並檢驗解的合理性。
7-a-03 能熟練符號的代數操作。
7-a-04 能由具體情境中列出一元一次方程式，並理解其解的意義。
7-a-05 能以等量公理來解一元一次方程式，並作驗算。
7-a-06 能利用移項法則來解一元一次方程式，並作驗算。
7-a-09 能由具體情境中描述解的意義。
因此研究者按照以上目標，再根據分年細目予以分類為四大類：
（1）使用文字符號列式
第一類是對應九年一貫分年細目：
7-a-01 能由命題中用 X 、Y 等符號列出生活中的變量，並列成算式。
（2）一元一次式的化簡
第二類是對應九年一貫分年細目：
7-a-03 能熟練符號的代數操作
（3）解一元一次方程式
第三類是對應九年一貫分年細目：
7-a-02 能嘗試以代入法或枚舉法求解，並檢驗解的合理性。
7-a-05 能以等量公理來解一元一次方程式，並作驗算。
7-a-06 能利用移項法則來解一元一次方程式，並作驗算 （4）一元一次方程式應用問題求解
第四類是對應九年一貫分年細目：
7-a-04 能由具體情境中列出一元一次方程式，並理解其解的意義。
7-a-09 能由具體情境中描述解的意義。
第四類所要測驗的是學生是否能將文字符號代表未知數，將有關情境 上的應問題列成一元一次方程式並求出解答。這類型的題目包含三項 特徵：要了解文字符號概念；能熟練數學的應用文字問題；最重要還 要能將應用問題列出一元一次方程式並求解。
第一、二、三類與第四類題目最大不同的地方就是，第四類一元一次 方程式應用問題比起第一、二、三類一元一次基本概念測驗，涉及更 複雜的認知歷程，常以日常生活的情境做為試題的題材，並且以語文 型態來描述數學問題。學生在解第四類的題目所犯之錯誤，比較少是 因為計算錯誤，主要錯誤都是因為對題目表徵結構的不當解釋。
第二節 研究對象
選取高雄市Y 國中（都會區）、高雄縣 T 國中（一般城鎮）、屏 東縣Z 國中（鄰近海邊）等三所國中成為方便樣本，再於三所學校各 取二班學生作正式施測。班級的選取方式為隨機抽取，也就是從全部 班級中不加以分組、不劃定類別也不排序的方式完全隨機地抽取，最 後共抽取六班人數共188 名。因為樣本涵蓋高、高、屏三個縣（市），
且三所國中所處地理環境皆不相同，希望藉由樣本的選擇讓樣本更具 有地理環境不同的代表性。
在數學科教材部份，高雄市Y 國中一年級所使用的是部編版、
高雄縣T 國中一年級所使用的是仁林版、屏東縣 Z 國中一年級所使 用的是康軒版。三個版本一元一次方程式教材之章節比較（如表3-1）。
這三個版本章節安排順序大致相同，都是在第一冊的最後一個單 元。其中最大不同是康軒版及仁林版的編排方式將一元一次方程式分 成三個小節，但部編版卻將一元一次方程式共分成四個小節。從表 3-1 看出前二節內容大致相同，只有在第三節開始不同。康軒版及仁 林版將一元一次方程式的列式與解法編在3-3 節，但部編版卻將解一 元一次方程式拆成二個小節為3-3 一元一次方程式的解法及 3-4 一元 一次方程式的應用。
表 3-1 各版本教材內容之比較表
高雄市Y 國中 高雄縣 T 國中 屏東縣Z 國中 使用版本 部編版 仁林版 康軒版 教材地位 第一冊第四章 第一冊第三章 第一冊第三章 章節內容 4-1
以符號列式 4-2
一次式的運算 4-3
一元一次方程式 的解法
4-4
一元一次方程式 的應用
3-1
以符號代表數 3-2
代數式的運算 3-3
一元一次方程式 的列式與解法
3-1
以符號代表數 3-2
式子的化簡 3-3
解一元一次方 程式
表 3-1 為三所國中一年級學生所使用之數學科教材比較表，表中 可看出章節順序差異不大，都是先教「以符號列式」再教「一次式的 運算」最後才教「解一元一次方程式」。
第三節 研究工具
一、試題來源：
研究者先參考 12 次國中基本學力測驗中（90-95 每年二次）曾 經出現過的一元一次方程式試題。再與學校教師討論再予以修正，最 後形成一份共二十題的測驗工具（如附錄一），施測試題之雙向細 目表如（表3-2）：
表 3-2 預試題目雙向細目表
教 學 目 標
概念理解 A
基本運算 B
問題解決 C
合計題數 甲：使用文字符號
列式（列式）
（1）（3）
（7）
（2）（6）
（8）
（4）（5） 8
乙：一元一次式的 化簡（化簡）
（11） （9）（10） （12） 4
丙：解一元一次方 程式（解方程）
（14） （13） （15） 3
教 學 內 容
丁：一元一次方 程式應用問題 求解（求解）
（16）（17） （18）（19）
（20）
5
合計題數 5 8 7 20
二、預試：
預試後，依學生預試結果（如表3-3），對於答對率在 0.60 以上無 法研究學生解題錯誤類型的題目以及答對率在0.40 以下而無法研究 學生正確解題策略之題目，都予以刪除。
三、正式施測：
經過預試後形成一份正式試卷，雙向細目表（如表3-4），共計十 題（如附錄二），依教學內容及教學目標區分：
甲類：使用文字符號列式，3 題；
乙類：一元一次式的化簡，2 題；
丙類：解一元一次方程式，2 題；
丁類：一元一次方程式應用問題求解，3 題。
表 3-3 預試 20 題答對率統計表
題號 答題人數 答對人數 答對率 備註
（1） 70 55 0.78 刪除
（2） 70 44 0.62 刪除
（3） 70 42 0.60 刪除
（4） 70 32 0.45
（5） 70 17 0.24 刪除
（6） 70 43 0.61 刪除
（7） 70 32 0.45
（8） 70 40 0.57
（9） 70 35 0.50
（10） 70 43 0.61 刪除
（11） 70 26 0.37 刪除
（12） 70 40 0.57
（13） 70 34 0.48
（14） 70 38 0.54
（15） 70 24 0.34 刪除
（16） 70 39 0.55
（17） 70 40 0.57
（18） 70 33 0.47
（19） 70 16 0.22 刪除
（20） 70 20 0.28 刪除
表 3-4 正試題目雙向細目表
教 學 目 標
概念理解 A
基本運算 B
問題解決 C
合計題數 甲：使用文字符
號列式（列式）
（7） （8） （4） 3
乙：一元一次式 的化簡（化簡）
（9） （12） 2
丙：解一元一次 方程式（解方 程）
（14） （13） 2
教 學 內 容
丁：一元一次方 程式應用問題 求解（求解）
（16）
（17）
（18） 3
合計題數 2 5 3 10
正式測驗共十題，依教學目標區分，其中包含概念理解2 題，基 本運算5 題，問題解決 3 題，合計共十題。
第四節 研究步驟
一、準備資料
本研究於九十五年七月起開始蒐集90-95 年的國中基本學力試 題，並閱讀相關文獻，期間並與校內資深數學教師討論試題之難度並 與指導教授討論文字的修飾之後，共選取二十題做為預試之試題。每 題5 分，合計 100 分。
二、樣本選取
由於希望樣本較具有地理環境不同的代表性，因此於南部選取高 雄市、高雄縣、及屏東縣各一所國中，每一所國中各2 班做正式施測 之班級。
三、研究工具預試
研究者於九十五年九月，由高雄縣B 國中二年級 2 個班，合計 70 名學生，做為預試班級，共二十題選擇題，測驗時間45 分鐘。
四、試題修正
經過預試後，刪除太難及太易之試題，再與指導教授討論，最後 選出做為正式施測之試題十題，配分為每題10 分，合計 100 分。
五、正式施測
正式施測於九十五年度十一月舉行，由三所國中，各校隨機抽取 2 班，共 6 班合計 188 名學生，測驗時間 45 分鐘。為了要了解學生
解題策略及錯誤情形，本測驗除 1-3 題要求學生列一元一次式而採取 選擇題方式，其餘4-10 題採計算題方式，並要求學生必需寫出解題 過程，不可空白。
六、晤談階段
於九十六年一、二月時間開始針對錯誤類型並找出作答內容具代 表性及配合度較高的學生實施晤談，由研究者對學生說明研究之目 的，並藉由收音機錄音以便完整收集學生的面談資料。
並 步 正 確
步步使並步使使能釋能 並步使使解解?
針針使並步使使,能能能能 到並到步到步到
確能確列並法法步確步步並確確步步確法能正確釋能 並 步 錯 誤
確能並並步錯誤能步到.例例確步錯誤, 一不步並能不不不使使錯誤等等.
針針錯誤步到,探探並探列釋能.
圖 3-2 晤談流程圖
七、面談資料分析
於九十六年四月，面談結束後，將所有面談資料收集並予以分 析，用來了解學生可能犯錯之想法與原因。
八、綜合分析
整理學生所有答案及錯誤情形，利用EXCEL 軟體統計各個題 目，每一個錯誤答案的人數及百分比
九、研究流程如圖 3-3
實 施 步 步 流 法
資資資資
編編編編編能
不選適驗選選
並步試並並試試
正步施正
晤晤晤晤
閱閱閱閱並閱釋資資 教教教教,建建建建
編編試並並編
釋選選確與,教教二教
進進試並
並步試試能確能正步並編
能分正步並編 統確確列錯誤步到
不選晤晤確列 能分晤晤資資
綜驗能分
第四章 結果與討論
第一節 一元一次方程式解題正確及錯誤百分比
本次研究之施測學校共有三所國中，測驗樣本數分別是高雄市 Y 國中 118、120 二班共 76 人，高雄縣 T 國中 104、105 二班共 62 人，
屏東縣Z 國中 101、102 二班共 50 人，合計人數共 188 人。
表 4-1 測驗人數統計表
參與測驗學校 參與測驗班級 參與測驗人數 測驗日期
118 37 2007/01/22 高雄市
Y 國中 120 39 2007/01/22 104 29 2007/01/22 高雄縣
T 國中 105 33 2007/01/22 101 25 2007/01/22 屏東縣
Z 國中 102 25 2007/01/22 合計班級、
人數
六班 188 人
