第四章 結果與討論
第三節 一元一次方程式單元解題錯誤類型
一、前言
根據文獻（郭汾派, 1988；洪有情, 2004；Benander & Clement, 1985)發現學生在一元一次方程式主要錯誤類型有：
（E1）、不知如何使用文字符號
（E2）、認為答案一定是一個已知數的錯誤觀念
（E3）、不會化簡方程式或不同類項隨意合併
（E4）、不了解括號意義以及不會作括號計算
（E5）、數字與符號的加乘混用
（E6）、對於數或分數的運算不甚了解以致影響到文字符號的運算
（E7）、不會作假設導致假設與式子不符
二、逐題探討錯誤類型
在正式施測的十題試題中，其中文字符號列式（甲類）的（1）、
（2）、（3）題是選擇題，因此不探討的學生的錯誤類型。在本節中主 要是探討一元一次式的化簡（乙類）的（4）、（5）題，解一元一次方 程式（丙類）的（6）、（7）題，以及
一元
一次方程式應用問題求解（丁類）的（8）、（9）、（10）這三類題目的錯誤類型。
三、一元一次式的化簡（乙類）
4、步簡（X－4）－2（X＋3）
在本研究中，第四題的錯誤類型共有三種：E2, E3, E4, 報告如下
錯誤類型
（E2）、認為答案一定是一個已知數的錯誤觀念
許多學生解題受舊經驗的引影響，認為所有數學的答案，一定要寫出
『＝？』此種類型，連文字符號的運算也不例外，因此明明答案已經 算出卻非要寫出『X＝？』這種錯誤答案。
（X－4）－（2X＋6）
＝X－4－2X－6
＝－X－10
已經是正確答案了卻要寫成
－X＝－10 X＝10 這種錯誤答案
錯誤類型
（E3）、不會化簡方程式以及不同類項隨意合併
在代數的運算過程中，含有相同文字符號的部份，是可以相加或將它 們合併；不含文字符號的部份，也可以相加或相減將它們合併化簡；
但是，含有文字符號的部份及不含文字符號的部份，則不可以合併或 化簡，只能以『＋』、『－』將二者組成一個式子表示。出現此錯誤類 型的學生就是將含有文字符號的部份及不含文字符號的部予以合併 或化簡，導致錯誤發生。
化簡（
X－
4）－
2（
X＋
3）
（X－4）－2（X＋3）
＝（－3X）－2（3X）
＝－5X‧3X＝－15X
錯誤類型
（E4）、不了解括號意義以及不會作括號計算
發生此種錯誤類型的學生，多半是不了解括號的定義，也就是這 些學生，不知道乘法對加法的分配律可以應用在式子的運算中，
（X－4）－2（X＋3）
＝X－4－2X－3 正確：X－4－2X－6 ＝X－2X－7
＝－X－7 正確：－X－10
5
、化簡
6 7 3x−
＋
4 9 5x−本類型的題目因為題型較為單純，因此只有出現二種錯誤類型E3,E7
錯誤類型
（E3）、不會化簡方程式或不同類項隨意合併
含有文字符號的部份及不含文字符號的部份，是不可以合併或化簡，
只能以『＋』、『－』將二者組成一個式子表示。
6 7 3x−
＋ 4
9 5x−
＝ 6
−4x＋(
4
−4x) 非同類項不得合併
＝ 24
−16x＋（
24
−24x）
＝ 24
−40X
錯誤類型
（E7）、對於分數的運算不甚了解影響到文字符號的運算。
本題只是單純分數的文字符號化簡，可是發生此種錯誤類型的學生卻 誤以為是解分數方程式而去分母。
6
7 3x−
＋ 4 9 5x−
同乘24，造成錯誤
＝4（3X－7）＋6（5X－9） 到此步驟分母不見了
＝12X－28＋30X－54
＝42X－82
四、一元一次方程式的求解（丙類）
6、
21
（3X－1）＋
3
1
（X－2）＝
4
3
，法 X
在本研究中第 6 題共有 E4,E7 這二種錯誤類型，如下：
錯誤類型
（E4）：不了解括號意義以及不會作括號計算
學生對於去括號的錯誤概念，不論是在整數的一元一次式的運算或是 數的一元一次式的運算，都一再出現。
2
1（3X－1）＋
3
1（X－2）＝
4 3
（2
3X－1）＋（
3
1X－2）＝
4
3 正確（
2 3X－
2
1）＋（
3 1X－
3 2）＝
4 3
2
3X－1＋
3
1X－2＝
4 3
18X－12＋4X－24＝9 22X－36＝9 22X＝45 X＝22
45
錯誤類型
（E7）：對於分數的運算不甚了解影響到文字符號的運算。
發生此類錯誤的學生，對去括號的運算是正確的，可是卻錯誤卻發生 在整數的運算上，而導致解題失敗。
2
1（3X－1）＋
3
1（X－2）＝
4 3
2 3X－
2 1＋
3 1X－
3 2＝
4 3
6 11X－
6 7＝
4 3
22X－14＝9
22X＝25 正確 22X＝23 錯誤類型 E7 之實例
錯誤類型
（E7）：對於分數的運算不甚了解影響到文字符號的運算。
與前一類錯誤最大不同的是，發生此類錯誤的學生，對去括號的運算 也是正確的，可是卻錯誤卻發生在分數的運算上，而導致解題失敗。
因此可以發現，學生如果對整、分數的四則運算不夠熟悉，也會影響 對文字符號的解題表現，
2 3X－
2 1＋
3 1X－
3 2＝
4 3
6 9X－
6 3＋
6 2X－
6 4＝
4 3
6 7X－
6 7＝
4
3 正確：
6 11X－
6 7＝
4 3
6 7X＝
12 9 ＋
12 14
6 7X＝
12 23
X＝12 23×
7 6
X＝14
23 正確：X＝
22 23
7、法法法步 30－X÷7＝4 能並？
第 7 題與第 6 題最大不同之處是題目中出出現『÷』號，研究者發現 共有 E1, E3 ,E6 三種錯誤類型。
錯誤類型
（E1）、不知如何使用文字符號
。解方程式時，移項應先從『＋、－』開始，再做『×、÷』運算， 可 是發生此種錯誤類型的學生卻是先做『×、÷』運算，再作從『＋、
－』運算，
30－X÷7＝4
30－X＝4×7
正確：X÷7＝4－30
30－X＝28－X＝28－30
－X＝－2 X＝2
錯誤類型
（E3）：不會化簡方程式
（1）與
不會化簡方程式
（2）所不同的是，移項後應為『×』卻誤算為『÷』－X÷7＝4－30
－X＝ 7
−26 正確－X＝－26×7 X＝ 7
26 X＝182
錯誤類型
（E3）：不會化簡方程式
（2）與
不會化簡方程式
（1）所不同的是，移項後應為『－』，卻誤算為『＋』。 30－X÷7＝47
1X＝4＋30 正確－
7
1X＝4－30
X＝34×7 X＝238
錯誤類型
（E6）：數字與符號的加乘混用
。 30－X÷7＝47 30－
7
1X＝4 正確：30－
7
1X＝4
同乘7
30－1X＝28
－1X＝－2 X＝2
五、一元一次方程式應用問題求解（丁類）
本 類 題 目 共 分 為 三 題，分 別 是 文 字 題（ 8）、（ 9）、（ 10），本 題主要是測驗學生是否能所要測驗的是學生是否能將文字符號代表未 知數，將有關情境上的應問題列成一元一次方程式並求出解答。這類 型的題目包含三項特徵：要了解文字符號概念；能熟練數學的應用文 字問題；最重要還要能將應用問題列出一元一次方程式並求解。
8、大華和小不、爸爸、媽媽能能重，已未媽媽和小不共 90 能斤，
爸爸和大華 共 100 能斤。若小不比大華重 3 能斤，能爸爸比媽媽重 幾能斤？
研究者共整理出E1, E4, E7 共三種錯誤類型，如下：
錯誤類型
（E1）：不知如何使用文字符號
。此種錯誤類型從列式就開始錯誤，像題目中
小明比大華重 3 公 斤
，應該列式為小明 X，大華 X＋3，可是卻誤列為 X－3；連帶父親 也列式錯誤，將103－X，列式為 97－X，所以就算計算過程正確，最後答案仍然錯誤。
（97－X）－（90－X）
＝97－X－90＋X
＝7
正確：
13錯誤類型
（E4）：不了解括號意義不會作括號計算
。此種錯誤類型從列式的計算部份就開始錯誤，所以雖然計算過程 正確，答案仍然錯誤。
依題意設小明：X 公斤， 媽媽：90－X，大華：X－3，可是在依 題意將爸爸列式時，因不會作括號的計算，將 100
－（
X－
3）
計算錯 誤，因此答案變成：100－X－3。雖然後面的計算過程正確，卻因為 列式錯誤，答案仍然錯誤。錯誤類型
（E7）：對於數的運算不甚了解以致影響到文字符號的運算
。 此種錯誤類型，列式正確但在化簡方程式時卻發生錯誤。設大華X 公斤，父親 100－X 公斤，小明 X＋3 公斤母親 90－（X
＋3）公斤，100－X－【90－（X ＋3）】
＝100－X－90＋X－3 正確 100－x－90＋x＋3
＝7 正確 13
9、小不和家人去看電影，買了 3 張中人票釋 2 張確列票，總共付 清了 530 法，已未中人票比確列票貴 10 法，假設中人票 X 法，法確 列票多少法？
研究者共整理 E3、E7 二種錯誤類型：
錯誤類型
（E3）：不會化簡方程式此種錯誤類型是能正確的依題意假設成人票X 元，學生票 X－10，
並成功列出一元一次方程式。但錯誤卻發生在不會使用移項法則，導 至在化簡方程式時發生錯誤，因此答案也發生錯誤，而將成人票算成 102 元，學生票 102－10＝92 元。
列式 3X＋2（X－10）＝530 3X＋2X－20＝530
5X＝510 正確 5X＝550 X＝102 正確 X＝110
錯誤類型
（E7）：不會作假設導至假設與式子不符此種錯誤類型是依題意作假設時發生錯誤，學生依據題目之敘述會將 成人票假設為X 元，卻將『已未中人票比確列票貴 10 法』之『貴』
字意義誤解為『＋』，而將學生票假設錯誤 X＋10， 正確：X－10。
以致縱使計算過程正確，答案仍然錯誤。
3X＋2（X＋10）＝530 正確：3X＋2（X－10）＝530 3X＋2X＋20＝530
5X＝510
X＝102 正確：X＝110
10、小健全班能週末步墾丁鵝鑾鼻郊遊，40 人共租了 17 輛協力 車，同確建建每輛只能能中人能三人，請釋 17 輛協力車，中人共騎 能有幾輛？
錯誤類 型
（E1）： 不知如何使用文字符號。有些學生嘗試去使用列舉評估法，但不知如何掌握數字與文字符號的 變化，以及無法建立對等號的概念，因此發現困難後隨即放棄而隨便 寫出一個答案。
40÷2＝ 20 20÷2＝ 10
X＝ 10 A10 輛
錯誤類型
（E3）：不會化簡方程式設二人騎的有X 輛，三人騎的有 17－X
2X＋3×17－X＝40 正確：2X＋3×（17－X）＝40 2X＋51－X＝40
X＋51＝40
X＝40－51 X＝9
錯誤類 型
（E4）：不了解括號的意義以及不會作括號計算
（1）在做整數化簡時產生錯誤。
二人有X，三人有 17－X (2‧ X)＋ （ 17－ X） ×3＝ 40 2X＋ 41－ 3X＝ 40
－X＝ 40－ 41
－X＝ － 1 X＝1
錯誤類型
（E4）：不了解括號的意義以及不會作括號計算
（2）與前項（1）不同的是，學生知道假設二人共騎有 X 輛，三人共騎的 有17－X 輛，但在建立一元一次方程式時，因為對括號的計算方式 不了解，因此產生了錯誤的方程式，造成解題失敗。
六、討論
統 計 在 一 元 一 次 化 簡（ 乙 4－ 5），解一元一次方程式（丙 6
－7），一元一次方程式應用問題（丁 8-10）中曾出現之錯誤類 型 ， 如 下 表 ：
第 4-10 題錯誤類型統計表
乙 類
（ 4、 5）
丙 類 （ 6、 7）
丁 類
（ 8、 9、 10）
E1 不會使用文字符號
ˇ ˇ E2 答案是一個已知數 ˇ E3 不會化簡方程式 ˇ ˇ ˇ E4 不會作括號計算 ˇ ˇ ˇ E5 數字與符號混用
ˇ E6 對數的運算不了解 ˇ ˇ ˇ E7 不會作假設
ˇ
綜合以上各題，學生在一元一次方程式最主要錯誤類型有：不 知如何使用文字符號、不了解文字符號的意義、不同類項隨意合併、
不了解括號意義、不會作括號計算及不會化簡方程式等。但除了上述 錯誤類型外，還有一些其它的錯誤類型發生。在 一 元 一 次 式 化 簡
（ 乙
及 整、分 數 的 加 減 乘 除 四 則 運 算 錯 誤 以及認為答案一定是一個已 知數的錯誤觀念。Kieran（1992）的研究指出學生會習慣將代數 式 變 成 方 程 式 ， 並 發 現 學 生 對 a＋ 3 的 a 說 不 出 什 麼 意 義 ， 因 為 這 個 代 數 式 缺 少 等 號 和 右 邊 的 項。另 外 在 解 一 元 一 次 方 程 式
（ 丙
6－
7）
二 題 的 題 目 中，其 它 錯 誤 類 型 有：將 不 是 括 號 化 簡 的 題 型 以 括 號 化 簡 方 式 解 題 以 及 做整分數的運算時發生錯誤。在 一 元 一 次 方 程 式 應 用 問 題（ 丁
8－
10）
三 題 的 中，錯 誤 類 型 有 ： 開 始 的 假 設 錯 誤 而 導 致 解 題 錯 誤、移 項 法 則 使 用 錯 誤 以 及 在 整 數 運 算 過 程 錯 誤 。最 為 特 殊 的 是，部 份 學 生 會 嘗 試 用 列 舉 法 去 求 答 案，但 卻 未 能 檢 驗 答 案 是 否 符 合 題 意，而 產 生 錯 誤 類 型。還 有 一 些 同 學 習 慣 用 舊 經 驗 解 題，例 如 去 分 母 只 能 用 在 解 方 程 式，可 是 卻 有 許 多 學 生 卻 將 一 元 一 次 式 的 化 簡 也 誤 用 去 分 母 ， 造 成 錯 誤 類 型 ， 這 些 都 是 值 得 未 來 研 究 者 深 入 探 討 的 地 方 。