複式買權計 算模式
5.2 三層序列複式可展延選擇權可能之情境
先考慮情況一，將第四章式(4.167)二層可展延買權移至時間點𝑡1，為計算清楚方 便，將分為四個情境計算，分別為第二層選擇延期或不延期和第一層選擇延期或不延期 所產生之案例：
5.2.1 第一情境為（第二層選擇不延期且第一層也選擇不延期）
三層複式可展延買權於時間點𝑡1的價值為標的二層可展延買權𝐶𝐸𝐶𝑡21部分價值和𝐾1 之間的差額，在風險中立設定下，將二層複式可展延買權現金流量於時間點𝑡1折現至𝑡0， 求算如下：
𝐶𝐸𝐶𝑡21 = 𝑆𝑡1𝑁2(𝑐2,1∗1, 𝑐2,2∗1; 𝜌1,2∗1) − 𝐾3𝑒−𝑟(𝑡3−𝑡1)𝑁2(𝑏2,1∗1, 𝑏2,2∗1; 𝜌1,2∗1)
− 𝐾2𝑒−𝑟(𝑡2−𝑡1)𝑁1(𝑏2,1∗1 )
(5.1) 𝐶𝐸𝐶𝑡30 = 𝑒−𝑟(𝑡1−𝑡0)𝐸𝑄[𝑚𝑎𝑥(0, 𝐶𝐸𝐶𝑡21 − 𝐾1)]
(5.2) 令標的二層可展延買權在時間點t1為履約（𝐶𝐸𝐶𝑡21 > 𝐻1）時，股價價值為𝐻̅1,3。
𝑏3,1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅1,3) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡1− 𝑡0) 𝜎√𝑡1− 𝑡0
(5.3) 則當St1 > 𝐻̅1,3等價於𝑍1 > −𝑏3,1，得知累積機率下限，三層複式可展延買權才可被執行。
將式(5.1)中𝑏2,1∗1和𝑏2,2∗1作下式轉換：
𝑏2,1∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐻̅2,3) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡2− 𝑡1)
𝜎√𝑡2− 𝑡1 = 𝑏3,2+ 𝜌1,2𝑍1
√1 − 𝜌1,22
(5.4) 其中，
𝑏3,2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅2,3) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡2− 𝑡0) 𝜎√𝑡2− 𝑡0
同理，
𝑏2,2∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐻3) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡1)
𝜎√𝑡3− 𝑡1 = 𝑏3,3+ 𝜌1,3𝑍1
√1 − 𝜌1,32
(5.5) 其中，
𝑏3,3 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻3) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡0) 𝜎√𝑡3− 𝑡0
77
相關係數需作轉換，依照推倒過程可知，
𝜌1,2∗1 = √𝑡2− 𝑡1/𝑡3− 𝑡1
(5.6) 利用(Lee, Yeh et al. 2008)定理 1.(a)關係式，將𝑛 = 3, 𝑠 = 1代入，可得相關係數𝜌2,3。
𝑄{3},2,3 = 𝑄{2},1,2√1 − (𝑄{3},1,2)2√1 − (𝑄{3},1,3)2+ 𝑄{3},1,2𝑄{3},1,3 = √𝑡2− 𝑡0
√𝑡3− 𝑡0 = 𝜌2,3 (5.7) 選擇權進行參數轉換與整理，−𝑏3,1− 𝜎√𝑡1− 𝑡0 = −𝑐3,1
𝑐3,1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅1,3) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡1− 𝑡0) 𝜎√𝑡1− 𝑡0
(5.8) 將式(5.1)中𝑐2,1∗1和𝑐2,2∗1作下式轉換：
𝑐2,1∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐻̅2,3) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡2− 𝑡1)
𝜎√𝑡2− 𝑡1 = 𝑐3,2+ 𝜌1,2𝑍1′
√1 − 𝜌1,22
(5.9) 其中，
𝑐3,2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅2,3) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡2− 𝑡0) 𝜎√𝑡2− 𝑡0
同理，
𝑐2,2∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐻3) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡1)
𝜎√𝑡3− 𝑡1 = 𝑐3,3+ 𝜌1,3𝑍1′
√1 − 𝜌1,32
(5.10) 其中，
𝑐3,3 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻3) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡0) 𝜎√𝑡3− 𝑡0
78
整合最後結果，
𝐶𝐸𝐶𝑡30 = 𝑒−𝑟(𝑡1−𝑡0)𝐸𝑄[𝑚𝑎𝑥(0, 𝐶𝐸𝐶𝑡21− 𝐾1)]
= 𝑆𝑡0𝑁3[(
𝑐3,1 𝑐3,2
𝑐3,3) ; [𝜌𝑖,𝑗]3×3] −𝐾3𝑒−𝑟(𝑡3−𝑡0)𝑁3[(
𝑏3,1 𝑏3,2 𝑏3,3
) ; [𝜌𝑖,𝑗]3×3]
−𝐾2𝑒−𝑟(𝑡2−𝑡0)𝑁2(𝑏3,1, 𝑏3,2; 𝜌1,2) − 𝐾1𝑒−𝑟(𝑡1−𝑡0)𝑁1(𝑏3,1)
(5.11) 其中，
𝑐3,1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅1,3) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡1− 𝑡0)
𝜎√𝑡1− 𝑡0 ; 𝑏3,1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅1,3) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡1− 𝑡0) 𝜎√𝑡1− 𝑡0
𝑐3,2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅2,3) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡2− 𝑡0)
𝜎√𝑡2− 𝑡0 ; 𝑏3,2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅2,3) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡2− 𝑡0) 𝜎√𝑡2− 𝑡0
𝑐3,3 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻3) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡0)
𝜎√𝑡3− 𝑡0 ; 𝑏3,3 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻3) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡0) 𝜎√𝑡3− 𝑡0
𝐻̅1,3 為𝐶𝐸𝐶𝑡31 = 𝐻1時的股價價值，股價價值約當值。
𝐻̅2,3 為𝐶𝐸𝐶𝑡32 = 𝐻2時的股價價值，股價價值約當值。
𝑁𝑛(∙) 為𝑛維標準常態累積機率 𝜌𝑖,𝑗 為兩變數間之相關係數
79
5.2.2 第二情境為（第二層選擇不延期但第一層選擇延期）
三層複式可展延買權於時間點𝑡1的價值為標的二層可展延買權𝐶𝐸𝐶𝑡21部分價值和𝐾1 之間的差額，在風險中立設定下，將二層複式可展延買權現金流量於時間點𝑡1折現至𝑡0， 求算如下：
𝐶𝐸𝐶𝑡21 = 𝑆𝑡1{𝑁3[(
𝑐3,1∗1
−𝑐3,2∗1
𝑔3,3∗1 ) ; [𝜌𝑖,𝑗∗1]3×3] − 𝑁3[(
𝑐3,1∗1
−𝑚3,2∗1
𝑔3,3∗1 ) ; [𝜌𝑖,𝑗∗1]3×3]}
−𝑘3𝑒−𝑟(𝑡4−𝑡1){𝑁3[(
𝑏3,1∗1
−𝑏3,2∗1 ℎ3,3∗1
) ; [𝜌𝑖,𝑗∗1]3×3] − 𝑁3[(
𝑏3,1∗1
−𝑙3,2∗1 ℎ3,3∗1
) ; [𝜌𝑖,𝑗∗1]3×3]}
−𝐴3𝑒−𝑟(𝑡3−𝑡1)[𝑁2(𝑏3,1∗1, −𝑏3,2∗1; 𝜌1,2∗1) − 𝑁2(𝑏3,1∗1, −𝑙3,2∗1; 𝜌1,2∗1)]
−𝐾2𝑒−𝑟(𝑡2−𝑡1)𝑁1(𝑏3,1∗1)
(5.12) 𝐶𝐸𝐶𝑡30 = 𝑒−𝑟(𝑡1−𝑡0)𝐸𝑄[𝑚𝑎𝑥(0, 𝐶𝐸𝐶𝑡21 − 𝐾1)]
(5.13) 令標的二層可展延買權在時間點t1為履約（𝐶𝐸𝐶𝑡21 > 𝐻1）時，股價價值為𝐻̅1,4。
𝑏4,1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅1,4) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡1− 𝑡0) 𝜎√𝑡1− 𝑡0
(5.14) 則當St1 > 𝐻̅1,4等價於𝑍1 > −𝑏4,1，得知累積機率下限，三層複式可展延買權才可被執行。
將式(5.12)中𝑏3,1∗1、𝑏3,2∗1、𝑙3,2∗1和ℎ3,3∗1作下式轉換：
𝑏3,1∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐻̅2,4) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡2− 𝑡1)
𝜎√𝑡2− 𝑡1 = 𝑏4,2+ 𝜌1,2𝑍1
√1 − 𝜌1,22
(5.15) 其中，
𝑏4,2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅2,4) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡2− 𝑡0) 𝜎√𝑡2− 𝑡0
同理，
𝑏3,2∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐻̅3,4) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡1)
𝜎√𝑡3− 𝑡1 = 𝑏4,3+ 𝜌1,3𝑍1
√1 − 𝜌1,32
(5.16) 其中，
𝑏4,3 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅3,4) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡0) 𝜎√𝑡3− 𝑡0
80
同理，
𝑙3,2∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐿̅3,4) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡1)
𝜎√𝑡3− 𝑡1 = 𝑙4,3+ 𝜌1,3𝑍1
√1 − 𝜌1,32
(5.17) 其中，
𝑙4,3 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐿̅3,4) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡0) 𝜎√𝑡3− 𝑡0
同理，
ℎ3,3∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝑘3) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡1)
𝜎√𝑡4− 𝑡1 = ℎ4,4+ 𝜌1,4𝑍1
√1 − 𝜌1,42
(5.18) 其中，
ℎ4,4 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝑘3) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡0) 𝜎√𝑡4− 𝑡0
利用(Lee, Yeh et al. 2008)定理 1.(a)關係式，可將相關係數[𝜌𝑖,𝑗∗1]3×3進行整理，過 程如下：將𝑛 = 4, 𝑠 = 1代入，
𝑄{4},2,3 = 𝑄{3},1,2√1 − (𝑄{4},1,2)2√1 − (𝑄{4},1,3)2+ 𝑄{4},1,2𝑄{4},1,3 = √𝑡2− 𝑡0
√𝑡3− 𝑡0 = 𝜌2,3 (5.19)
𝑄{4},2,4 = 𝑄{3},1,3√1 − (𝑄{4},1,2)2√1 − (𝑄{4},1,4)2+ 𝑄{4},1,2𝑄{4},1,4 = √𝑡2− 𝑡0
√𝑡4− 𝑡0 = 𝜌2,4 (5.20)
𝑄{4},3,4 = 𝑄{3},2,3√1 − (𝑄{4},1,3)2√1 − (𝑄{4},1,4)2+ 𝑄{4},1,3𝑄{4},1,4 = √𝑡3− 𝑡0
√𝑡4− 𝑡0 = 𝜌3,4 (5.21) 選擇權進行參數轉換與整理，−𝑏4,1− 𝜎√𝑡1− 𝑡0 = −𝑐4,1
𝑐4,1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅1,4) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡1− 𝑡0) 𝜎√𝑡1− 𝑡0
(5.22)
81
將式(5.12)中𝑐3,1∗1、𝑐3,2∗1、𝑚3,2∗1和𝑔3,3∗1作下式轉換：
𝑐3,1∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐻̅2,4) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡2− 𝑡1)
𝜎√𝑡2− 𝑡1 = 𝑐4,2+ 𝜌1,2𝑍1′
√1 − 𝜌1,22
(5.23) 其中，
𝑐4,2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅2,4) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡2− 𝑡0) 𝜎√𝑡2− 𝑡0
同理，
𝑐3,2∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐻̅3,4) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡1)
𝜎√𝑡3− 𝑡1 = 𝑐4,3+ 𝜌1,3𝑍1′
√1 − 𝜌1,32
(5.24) 其中，
𝑐4,3 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅3,4) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡0) 𝜎√𝑡3− 𝑡0
同理，
𝑚3,2∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐿̅3,4) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡1)
𝜎√𝑡3− 𝑡1 = 𝑚4,3+ 𝜌1,3𝑍1′
√1 − 𝜌1,32
(5.25) 其中，
𝑚4,3 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐿̅3,4) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡0) 𝜎√𝑡3 − 𝑡0
同理，
𝑔3,3∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝑘3) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡4 − 𝑡1)
𝜎√𝑡4− 𝑡1 = 𝑔4,4+ 𝜌1,4𝑍1′
√1 − 𝜌1,42
(5.26) 其中，
𝑔4,4 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝑘3) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡0) 𝜎√𝑡4− 𝑡0
82
83
5.2.3 第三情境為（第二層選擇延期但第一層選擇不延期）
三層複式可展延買權於時間點𝑡1的價值為標的二層可展延買權𝐶𝐸𝐶𝑡21部分價值和𝐾1 之間的差額，在風險中立設定下，將二層複式可展延買權現金流量於時間點𝑡1折現至𝑡0， 求算如下：
𝐶𝐸𝐶𝑡21 = 𝑆𝑡1{𝑁3[(
−𝑐3,1∗1 𝑔3,2∗1
𝑐3,3∗1 ) ; [𝜌𝑖,𝑗∗1]3×3] − 𝑁3[(
−𝑚3,1∗1 𝑔3,2∗1
𝑐3,3∗1 ) ; [𝜌𝑖,𝑗∗1]3×3]}
−𝐾3𝑒−𝑟(𝑡4−𝑡1){𝑁3[(
−𝑏3,1∗1 ℎ3,2∗1 𝑏3,3∗1
) ; [𝜌𝑖,𝑗∗1]3×3] − 𝑁3[(
−𝑙3,1∗1 ℎ3,2∗1 𝑏3,3∗1
) ; [𝜌𝑖,𝑗∗1]3×3]}
−𝑘2𝑒−𝑟(𝑡3−𝑡1)[𝑁2(−𝑏3,1∗1, ℎ3,2∗1; 𝜌1,2∗1) − 𝑁2(−𝑙3,1∗1, ℎ3,2∗1; 𝜌1,2∗1)]
−𝐴2𝑒−𝑟(𝑡2−𝑡1)[𝑁1(−𝑏3,1∗1) − 𝑁1(−𝑙3,1∗1)]
(5.28) 𝐶𝐸𝐶𝑡30 = 𝑒−𝑟(𝑡1−𝑡0)𝐸𝑄[𝑚𝑎𝑥(0, 𝐶𝐸𝐶𝑡21 − 𝐾1)]
(5.29) 令標的二層可展延買權在時間點t1為履約（𝐶𝐸𝐶𝑡21 = 𝐻1）時，股價價值為𝐻̅1,4。
𝑏4,1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅1,4) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡1− 𝑡0) 𝜎√𝑡1− 𝑡0
(5.30) 則當St1 > 𝐻̅1,4等價於𝑍1 > −𝑏4,1，得知累積機率下限，三層複式可展延買權才可被執行。
將式(5.28)中𝑏3,1∗1、𝑙3,1∗1、ℎ3,2∗1和𝑏3,3∗1作下式轉換：
𝑏3,1∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐻̅2,4) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡2− 𝑡1)
𝜎√𝑡2− 𝑡1 = 𝑏4,2+ 𝜌1,2𝑍1
√1 − 𝜌1,22
(5.31) 其中，
𝑏4,2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅2,4) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡2− 𝑡0) 𝜎√𝑡2− 𝑡0
同理，
𝑙3,1∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐿̅2,4) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡2− 𝑡1)
𝜎√𝑡2− 𝑡1 = 𝑙4,2+ 𝜌1,2𝑍1
√1 − 𝜌1,22
(5.32) 其中，
𝑙4,2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐿̅2,4) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡2− 𝑡0) 𝜎√𝑡2− 𝑡0
84
同理，
ℎ3,2∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝑆̅3,4) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡3 − 𝑡1)
𝜎√𝑡3− 𝑡1 = ℎ4,3+ 𝜌1,3𝑍1
√1 − 𝜌1,32
(5.33) 其中，
ℎ4,3 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝑆̅3,4) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡0) 𝜎√𝑡3− 𝑡0
同理，
𝑏3,3∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐻3) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡1)
𝜎√𝑡4− 𝑡1 = 𝑏4,4+ 𝜌1,4𝑍1
√1 − 𝜌1,42
(5.34) 其中，
𝑏4,4 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻3) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡0) 𝜎√𝑡4− 𝑡0
利用(Lee, Yeh et al. 2008)定理 1.(a)關係式，可將相關係數[𝜌𝑖,𝑗∗1]3×3進行整理，過 程如下：將𝑛 = 4, 𝑠 = 1代入，
𝑄{4},2,3 = 𝑄{3},1,2√1 − (𝑄{4},1,2)2√1 − (𝑄{4},1,3)2+ 𝑄{4},1,2𝑄{4},1,3 = √𝑡2− 𝑡0
√𝑡3− 𝑡0 = 𝜌2,3 (5.35)
𝑄{4},2,4 = 𝑄{3},1,3√1 − (𝑄{4},1,2)2√1 − (𝑄{4},1,4)2+ 𝑄{4},1,2𝑄{4},1,4 = √𝑡2− 𝑡0
√𝑡4− 𝑡0 = 𝜌2,4 (5.36)
𝑄{4},3,4 = 𝑄{3},2,3√1 − (𝑄{4},1,3)2√1 − (𝑄{4},1,4)2+ 𝑄{4},1,3𝑄{4},1,4 = √𝑡3− 𝑡0
√𝑡4− 𝑡0 = 𝜌3,4 (5.37) 選擇權進行參數轉換與整理，−𝑏4,1− 𝜎√𝑡1− 𝑡0 = −𝑐4,1
𝑐4,1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅1,4) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡1− 𝑡0) 𝜎√𝑡1− 𝑡0
(5.38)
85
將式(5.28)中𝑐3,1∗1、𝑚3,1∗1、𝑔3,2∗1和𝑐3,3∗1作下式轉換：
𝑐3,1∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐻̅2,4) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡2− 𝑡1)
𝜎√𝑡2− 𝑡1 = 𝑐4,2+ 𝜌1,2𝑍1′
√1 − 𝜌1,22
(5.39) 其中，
𝑐4,2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅2,4) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡2− 𝑡0) 𝜎√𝑡2− 𝑡0
同理，
𝑚3,1∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐿̅2,4) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡2− 𝑡1)
𝜎√𝑡2− 𝑡1 = 𝑚4,2+ 𝜌1,2𝑍1′
√1 − 𝜌1,22
(5.40) 其中，
𝑚4,2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐿̅2,4) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡2− 𝑡0) 𝜎√𝑡2 − 𝑡0
同理，
𝑔3,2∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝑆̅3,4) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡1)
𝜎√𝑡3− 𝑡1 = 𝑔4,3+ 𝜌1,3𝑍1′
√1 − 𝜌1,32
(5.41) 其中，
𝑔4,3 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝑆̅3,4) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡0) 𝜎√𝑡3− 𝑡0
同理，
𝑐3,3∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐻3) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡1)
𝜎√𝑡4− 𝑡1 = 𝑐4,4+ 𝜌1,4𝑍1′
√1 − 𝜌1,42
(5.42) 其中，
𝑐4,4 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻3) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡0) 𝜎√𝑡4− 𝑡0
86
87
88
將式(5.44)中𝑏4,1∗1、𝑙4,1∗1、ℎ4,2∗1、𝑏4,3∗1、𝑙4,3∗1和ℎ4,4∗1作下式轉換：
𝑏4,1∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐻̅2,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡2− 𝑡1)
𝜎√𝑡2− 𝑡1 = 𝑏5,2+ 𝜌1,2𝑍1
√1 − 𝜌1,22
(5.47) 其中，
𝑏5,2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅2,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡2− 𝑡0) 𝜎√𝑡2− 𝑡0
同理，
𝑙4,1∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐿̅2,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡2− 𝑡1)
𝜎√𝑡2− 𝑡1 = 𝑙5,2+ 𝜌1,2𝑍1
√1 − 𝜌1,22
(5.48) 其中，
𝑙5,2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐿̅2,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡2− 𝑡0) 𝜎√𝑡2− 𝑡0
同理，
ℎ4,2∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝑆̅3,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡3 − 𝑡1)
𝜎√𝑡3− 𝑡1 = ℎ5,3+ 𝜌1,3𝑍1
√1 − 𝜌1,32
(5.49) 其中，
ℎ5,3 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝑆̅3,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡0) 𝜎√𝑡3− 𝑡0
同理，
𝑏4,3∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐻̅4,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡1)
𝜎√𝑡4− 𝑡1 = 𝑏5,4+ 𝜌1,4𝑍1
√1 − 𝜌1,42
(5.50) 其中，
𝑏5,4 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅4,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡0) 𝜎√𝑡4− 𝑡0
89
同理，
𝑙4,3∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐿̅4,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡1)
𝜎√𝑡4− 𝑡1 = 𝑙5,4+ 𝜌1,4𝑍1
√1 − 𝜌1,42
(5.51) 其中，
𝑙5,4 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐿̅4,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡0) 𝜎√𝑡4− 𝑡0
同理，
ℎ4,4∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝑘3) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡5− 𝑡1)
𝜎√𝑡5− 𝑡1 = ℎ5,5+ 𝜌1,5𝑍1
√1 − 𝜌1,52
(5.52) 其中，
ℎ5,5 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝑘3) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡5− 𝑡0) 𝜎√𝑡5− 𝑡0
利用(Lee, Yeh et al. 2008)定理 1.(a)關係式，可將相關係數
[
1 𝜌
1,2∗1𝜌
1,3∗1𝜌
1,4∗11 𝜌
2,3∗1𝜌
2,4∗11 𝜌
3,4∗11 ]
進 行整理，過程如下：將𝑛 = 5, 𝑠 = 1代入，
𝑄{5},2,3 = 𝑄{4},1,2√1 − (𝑄{5},1,2)2√1 − (𝑄{5},1,3)2+ 𝑄{5},1,2𝑄{5},1,3 = √𝑡2− 𝑡0
√𝑡3− 𝑡0 = 𝜌2,3 (5.53)
𝑄{5},2,4 = 𝑄{4},1,3√1 − (𝑄{5},1,2)2√1 − (𝑄{5},1,4)2+ 𝑄{5},1,2𝑄{5},1,4 = √𝑡2− 𝑡0
√𝑡4− 𝑡0 = 𝜌2,4 (5.54)
𝑄{5},2,5 = 𝑄{4},1,4√1 − (𝑄{5},1,2)2√1 − (𝑄{5},1,5)2+ 𝑄{5},1,2𝑄{5},1,5 = √𝑡2− 𝑡0
√𝑡5− 𝑡0 = 𝜌2,5 (5.55)
𝑄{5},3,4 = 𝑄{4},2,3√1 − (𝑄{5},1,3)2√1 − (𝑄{5},1,4)2+ 𝑄{5},1,3𝑄{5},1,4 = √𝑡3− 𝑡0
√𝑡4− 𝑡0 = 𝜌3,4 (5.56)
90
𝑄{5},3,5 = 𝑄{4},2,4√1 − (𝑄{5},1,3)2√1 − (𝑄{5},1,5)2+ 𝑄{5},1,3𝑄{5},1,5 = √𝑡3− 𝑡0
√𝑡5− 𝑡0 = 𝜌3,5 (5.57)
𝑄{5},4,5 = 𝑄{4},3,4√1 − (𝑄{5},1,4)2√1 − (𝑄{5},1,5)2+ 𝑄{5},1,4𝑄{5},1,5 = √𝑡4 − 𝑡0
√𝑡5 − 𝑡0 = 𝜌4,5 (5.58) 選擇權進行參數轉換與整理，−𝑏5,1− 𝜎√𝑡1− 𝑡0 = −𝑐5,1
𝑐5,1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅1,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡1− 𝑡0) 𝜎√𝑡1− 𝑡0
(5.59) 將式(5.44)中𝑐4,1∗1、𝑚4,1∗1、𝑔4,2∗1、𝑐4,3∗1、𝑚4,3∗1和𝑔4,4∗1作下式轉換：
𝑐4,1∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐻̅2,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡2− 𝑡1)
𝜎√𝑡2− 𝑡1 = 𝑐5,2+ 𝜌1,2𝑍1′
√1 − 𝜌1,22
(5.60) 其中，
𝑐5,2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅2,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡2− 𝑡0) 𝜎√𝑡2− 𝑡0
同理，
𝑚4,1∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐿̅2,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡2− 𝑡1)
𝜎√𝑡2− 𝑡1 = 𝑚5,2+ 𝜌1,2𝑍1′
√1 − 𝜌1,22
(5.61) 其中，
𝑚5,2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐿̅2,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡2− 𝑡0) 𝜎√𝑡2 − 𝑡0
同理，
𝑔4,2∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝑆̅3,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡1)
𝜎√𝑡3− 𝑡1 = 𝑔5,3+ 𝜌1,3𝑍1′
√1 − 𝜌1,32
(5.62)
91
其中，
𝑔5,3 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝑆̅3,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡0) 𝜎√𝑡3− 𝑡0
同理，
𝑐4,3∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐻̅4,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡1)
𝜎√𝑡4− 𝑡1 = 𝑐5,4+ 𝜌1,4𝑍1′
√1 − 𝜌1,42
(5.63) 其中，
𝑐5,4 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅4,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡0) 𝜎√𝑡4− 𝑡0
同理，
𝑚4,3∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐿̅4,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡1)
𝜎√𝑡4− 𝑡1 = 𝑚5,4+ 𝜌1,4𝑍1′
√1 − 𝜌1,42
(5.64) 其中，
𝑚5,4 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐿̅4,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡0) 𝜎√𝑡4 − 𝑡0
同理，
𝑔4,4∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝑘3) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡5 − 𝑡1)
𝜎√𝑡5− 𝑡1 = 𝑔5,5+ 𝜌1,5𝑍1′
√1 − 𝜌1,52
(5.65) 其中，
𝑔5,5 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝑘3) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡5− 𝑡0) 𝜎√𝑡5− 𝑡0
92
93
𝑐5,2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅2,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡2− 𝑡0)
𝜎√𝑡2− 𝑡0 ; 𝑏5,2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅2,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡2− 𝑡0) 𝜎√𝑡2− 𝑡0
𝑚5,2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐿̅2,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡2− 𝑡0)
𝜎√𝑡2− 𝑡0 ; 𝑙5,2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐿̅2,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡2− 𝑡0) 𝜎√𝑡2− 𝑡0
𝑔5,3 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝑆̅3,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡0)
𝜎√𝑡3− 𝑡0 ; ℎ5,3 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝑆̅3,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡0) 𝜎√𝑡3− 𝑡0
𝑐5,4 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅4,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡0)
𝜎√𝑡4− 𝑡0 ; 𝑏5,4 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅4,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡0) 𝜎√𝑡4− 𝑡0
𝑚5,4 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐿̅4,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡0)
𝜎√𝑡4− 𝑡0 ; 𝑙5,4 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐿̅4,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡0) 𝜎√𝑡4− 𝑡0
𝑔5,5 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝑘3) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡5− 𝑡0)
𝜎√𝑡5− 𝑡0 ; ℎ5,5 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝑘3) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡5− 𝑡0) 𝜎√𝑡5− 𝑡0
𝐻̅1,5 為𝐶𝐸𝐶𝑡31 = 𝐻1時的股價價值，股價價值約當值。
𝐻̅2,5 為𝐶𝐸𝐶𝑡32 = 𝐻2時的股價價值，股價價值約當值。
𝐿̅2,5 為𝐶𝐸𝐶𝑡32 = 𝐿2時的股價價值，股價價值約當值。
𝑆̅3,5 為𝐶𝐸𝐶𝑡33 = 𝑘2時的股價價值，股價價值約當值。
𝐻̅4,5 為𝐶𝐸𝐶𝑡32 = 𝐻3時的股價價值，股價價值約當值。
𝐿̅4,5 為𝐶𝐸𝐶𝑡32 = 𝐿3時的股價價值，股價價值約當值。
𝑁𝑛(∙) 為𝑛維標準常態累積機率 𝜌𝑖,𝑗 為兩變數間之相關係數
94
再考慮情況二，將第四章式(4.167)二層可展延買權移至時間點𝑡2，為計算清楚方 便，將再分為四個情境計算，分別為第二層選擇延期或不延期和第一層選擇延期或不延 期所產生之案例：
5.2.5 第五情境為（第二層選擇不延期且第一層也選擇不延期）
三層複式可展延買權於時間點𝑡2的價值為標的二層可展延買權𝐶𝐸𝐶𝑡22部分價值和𝑘1 之間的差額，在風險中立設定下，將二層複式可展延買權現金流量於時間點𝑡2折現至𝑡1， 求算如下：
𝐶𝐸𝐶𝑡22 = 𝑆𝑡2𝑁2(𝑐2,1∗2, 𝑐2,2∗2; 𝜌1,2∗2) − 𝐾3𝑒−𝑟(𝑡4−𝑡2)𝑁2(𝑏2,1∗2, 𝑏2,2∗2; 𝜌1,2∗2)
− 𝐾2𝑒−𝑟(𝑡3−𝑡2)𝑁1(𝑏2,1∗2)
(5.66) 𝐶𝐸𝐶𝑡21 = 𝑒−𝑟(𝑡2−𝑡1)𝐸𝑄[𝑚𝑎𝑥(0, 𝐶𝐸𝐶𝑡22− 𝑘1)]
(5.67) 令標的二層可展延買權在時間點t2為價平（𝐶𝐸𝐶𝑡22 = 𝑘1）時，股價價值為𝑆̅2,4。
ℎ3,1∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝑆̅2,4) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡2 − 𝑡1) 𝜎√𝑡2− 𝑡1
(5.68) 則當St2 > 𝑆̅2,4等價於𝑍1 > −ℎ3,1∗1，得知累積機率下限，三層複式可展延買權才可被執 行。
將式(5.66)中𝑏2,1∗2和𝑏2,2∗2作下式轉換：
𝑏2,1∗2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡2/𝐻̅3,4) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡2)
𝜎√𝑡3− 𝑡2 = 𝑏3,2∗1+ 𝜌1,2∗1𝑍1
√1 − 𝜌1,2∗12
(5.69) 其中，
𝑏3,2∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐻̅3,4) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡1) 𝜎√𝑡3 − 𝑡1
同理，
𝑏2,2∗2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡2/𝐻3) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡2)
𝜎√𝑡4− 𝑡2 = 𝑏3,3∗1+ 𝜌1,3∗1𝑍1
√1 − 𝜌1,3∗12
(5.70) 其中，
𝑏3,3∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐻3) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡1) 𝜎√𝑡4− 𝑡1
相關係數需作轉換，依照推倒過程可知，
𝜌1,2∗2 = √𝑡3− 𝑡2/𝑡4− 𝑡2
(5.71)
95
利用(Lee, Yeh et al. 2008)定理 1.(a)關係式，將𝑛 = 3, 𝑠 = 1代入，可得相關係數𝜌2,3∗1。 𝑄{3},2,3 = 𝑄{2},1,2√1 − (𝑄{3},1,2)2√1 − (𝑄{3},1,3)2+ 𝑄{3},1,2𝑄{3},1,3 = √𝑡3− 𝑡1
√𝑡4− 𝑡1 = 𝜌2,3∗1 (5.72) 選擇權進行參數轉換與整理，−ℎ3,1∗1− 𝜎√𝑡2− 𝑡1 = −𝑔3,1∗1
𝑔3,1∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝑆̅2,4) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡2− 𝑡1) 𝜎√𝑡2 − 𝑡1
(5.73) 將式(5.66)中𝑐2,1∗2和𝑐2,2∗2作下式轉換：
𝑐2,1∗2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡2/𝐻̅3,4) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡2)
𝜎√𝑡3 − 𝑡2 = 𝑐3,2∗1+ 𝜌1,2∗1𝑍1′
√1 − 𝜌1,2∗12
(5.74) 其中，
𝑐3,2∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐻̅3,4) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡1) 𝜎√𝑡3− 𝑡1
同理，
𝑐2,2∗2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡2/𝐻3) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡2)
𝜎√𝑡4− 𝑡2 = 𝑐3,3∗1+ 𝜌1,3∗1𝑍1′
√1 − 𝜌1,3∗12
(5.75) 其中，
𝑐3,3∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐻3) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡1) 𝜎√𝑡4− 𝑡1
所以，結果如下，
𝐶𝐸𝐶𝑡21 = 𝑒−𝑟(𝑡2−𝑡1)𝐸𝑄[𝑚𝑎𝑥(0, 𝐶𝐸𝐶𝑡22− 𝑘1)]
= 𝑆𝑡1𝑁3[(
𝑔3,1∗1 𝑐3,2∗1
𝑐3,3∗1) ; [𝜌𝑖,𝑗∗1]3×3] −𝐾3𝑒−𝑟(𝑡4−𝑡1)𝑁3[(
ℎ3,1∗1 𝑏3,2∗1 𝑏3,3∗1
) ; [𝜌𝑖,𝑗∗1]3×3]
−𝐾2𝑒−𝑟(𝑡3−𝑡1)𝑁2(ℎ3,1∗1, 𝑏3,2∗1; 𝜌1,2∗1) − 𝑘1𝑒−𝑟(𝑡2−𝑡1)𝑁1(ℎ3,1∗1)
(5.76) 在風險中立設定下，將第三層複式可展延買權現金流量於時間點𝑡1折現至𝑡0，求算 如下：
𝐶𝐸𝐶𝑡30 = 𝑒−𝑟(𝑡1−𝑡0)𝐸𝑄[𝑚𝑎𝑥(0, 𝐶𝐸𝐶𝑡21 − 𝐴1)]
(5.77)
96
第三層可展延買權延期之情況成立條件為𝐿1 < 𝐶𝐸𝐶𝑡21 < 𝐻1。令延期條件成立時的股價價 值之上限為𝐻̅1,4，下限為𝐿̅1,4，皆為股價價值約當值。
𝑏4,1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅1,4) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡1− 𝑡0) 𝜎√𝑡1− 𝑡0
(5.78) 𝑙4,1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐿̅1,4) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡1− 𝑡0)
𝜎√𝑡1− 𝑡0
(5.79) 即 是𝐿1 < 𝐶𝐸𝐶𝑡21 < 𝐻1的 成 立 條 件 為𝐻̅1,4 > 𝑆𝑡1 > 𝐿̅1,4 ， 且𝐻̅1,4 > 𝑆𝑡1 > 𝐿̅1,4等 價 於
−𝑏4,1 > 𝑍1 > −𝑙4,1，可知累積機率之上下限。此時，第三層可展延買權才會被延期。
將式(5.76)中ℎ3,1∗1、𝑏3,2∗1和𝑏3,3∗1作下式轉換：
ℎ3,1∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝑆̅2,4) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡2 − 𝑡1)
𝜎√𝑡2− 𝑡1 = ℎ4,2+ 𝜌1,2𝑍1
√1 − 𝜌1,22
(5.80) 其中，
ℎ4,2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝑆̅2,4) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡2− 𝑡0) 𝜎√𝑡2− 𝑡0
同理，
𝑏3,2∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐻̅3,4) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡1)
𝜎√𝑡3− 𝑡1 = 𝑏4,3+ 𝜌1,3𝑍1
√1 − 𝜌1,32
(5.81) 其中，
𝑏4,3 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅3,4) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡0) 𝜎√𝑡3− 𝑡0
同理，
𝑏3,3∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐻3) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡1)
𝜎√𝑡4− 𝑡1 = 𝑏4,4+ 𝜌1,4𝑍1
√1 − 𝜌1,42
(5.82) 其中，
𝑏4,4 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻3) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡0) 𝜎√𝑡4− 𝑡0
97
利用(Lee, Yeh et al. 2008)定理 1.(a)關係式，可將相關係數[𝜌𝑖,𝑗∗1]3×3進行整理，過 程如下：將𝑛 = 4, 𝑠 = 1代入，
𝑄{4},2,3 = 𝑄{3},1,2√1 − (𝑄{4},1,2)2√1 − (𝑄{4},1,3)2+ 𝑄{4},1,2𝑄{4},1,3 = √𝑡2− 𝑡0
√𝑡3− 𝑡0 = 𝜌2,3 (5.83)
𝑄{4},2,4 = 𝑄{3},1,3√1 − (𝑄{4},1,2)2√1 − (𝑄{4},1,4)2+ 𝑄{4},1,2𝑄{4},1,4 = √𝑡2− 𝑡0
√𝑡4− 𝑡0 = 𝜌2,4 (5.84)
𝑄{4},3,4 = 𝑄{3},2,3√1 − (𝑄{4},1,3)2√1 − (𝑄{4},1,4)2+ 𝑄{4},1,3𝑄{4},1,4 = √𝑡3− 𝑡0
√𝑡4− 𝑡0 = 𝜌3,4 (5.85) 選 擇 權 進 行 參 數 轉 換 與 整 理 ，−𝑏4,1− 𝜎√𝑡1− 𝑡0 = −𝑐4,1; −𝑙4,1− 𝜎√𝑡1− 𝑡0 = −𝑚4,1
𝑐4,1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅1,4) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡1− 𝑡0) 𝜎√𝑡1− 𝑡0
(5.86) 𝑚4,1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐿̅1,4) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡1− 𝑡0)
𝜎√𝑡1− 𝑡0
(5.87) 將式(5.76)中𝑔3,1∗1、𝑐3,2∗1和𝑐3,3∗1作下式轉換：
𝑔3,1∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝑆̅2,4) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡2− 𝑡1)
𝜎√𝑡2− 𝑡1 = 𝑔4,2+ 𝜌1,2𝑍1′
√1 − 𝜌1,22
(5.88) 其中，
𝑔4,2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝑆̅2,4) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡2− 𝑡0) 𝜎√𝑡2− 𝑡0
98
同理，
𝑐3,2∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐻̅3,4) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡1)
𝜎√𝑡3− 𝑡1 = 𝑐4,3+ 𝜌1,3𝑍1′
√1 − 𝜌1,32
(5.89) 其中，
𝑐4,3 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅3,4) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡0) 𝜎√𝑡3− 𝑡0
同理，
𝑐3,3∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐻3) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡1)
𝜎√𝑡4− 𝑡1 = 𝑐4,4+ 𝜌1,4𝑍1
√1 − 𝜌1,42
(5.90) 其中，
𝑐4,4 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻3) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡0) 𝜎√𝑡4− 𝑡0
99
100
5.2.6 第六情境為（第二層選擇不延期但第一層選擇延期）
三層複式可展延買權於時間點𝑡2的價值為標的二層可展延買權𝐶𝐸𝐶𝑡22部分價值和𝑘1 之間的差額，在風險中立設定下，將二層複式可展延買權現金流量於時間點𝑡2折現至𝑡1， 求算如下：
𝐶𝐸𝐶𝑡22 = 𝑆𝑡2{𝑁3[(
𝑐3,1∗2
−𝑐3,2∗2
𝑔3,3∗2 ) ; [𝜌𝑖,𝑗∗2]3×3] − 𝑁3[(
𝑐3,1∗2
−𝑚3,2∗2
𝑔3,3∗2 ) ; [𝜌𝑖,𝑗∗2]3×3]}
−𝑘3𝑒−𝑟(𝑡5−𝑡2){𝑁3[(
𝑏3,1∗2
−𝑏3,2∗2 ℎ3,3∗2
) ; [𝜌𝑖,𝑗∗2]3×3] − 𝑁3[(
𝑏3,1∗2
−𝑙3,2∗2 ℎ3,3∗2
) ; [𝜌𝑖,𝑗∗2]3×3]}
−𝐴3𝑒−𝑟(𝑡4−𝑡2)[𝑁2(𝑏3,1∗2, −𝑏3,2∗2; 𝜌1,2∗2) − 𝑁2(𝑏3,1∗2, −𝑙3,2∗2; 𝜌1,2∗2)]
−𝐾2𝑒−𝑟(𝑡3−𝑡2)𝑁1(𝑏3,1∗2)
(5.92) 𝐶𝐸𝐶𝑡21 = 𝑒−𝑟(𝑡2−𝑡1)𝐸𝑄[𝑚𝑎𝑥(0, 𝐶𝐸𝐶𝑡22− 𝑘1)]
(5.93) 令標的二層可展延買權在時間點t2為價平（𝐶𝐸𝐶𝑡22 = 𝑘1）時，股價價值為𝑆̅2,5。
ℎ4,1∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝑆̅2,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡2 − 𝑡1) 𝜎√𝑡2− 𝑡1
(5.94) 則當St2 > 𝑆̅2,5等價於𝑍1 > −ℎ4,1∗1，得知累積機率下限，三層複式可展延買權才可被執 行。
將式(5.92)中𝑏3,1∗2、𝑏3,2∗2、𝑙3,2∗2和ℎ3,3∗2作下式轉換：
𝑏3,1∗2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡2/𝐻̅3,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡2)
𝜎√𝑡3− 𝑡2 = 𝑏4,2∗1+ 𝜌1,2∗1𝑍1
√1 − 𝜌1,2∗12
(5.95) 其中，
𝑏4,2∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐻̅3,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡1) 𝜎√𝑡3 − 𝑡1
同理，
𝑏3,2∗2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡2/𝐻̅4,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡2)
𝜎√𝑡4− 𝑡2 = 𝑏4,3∗1+ 𝜌1,3∗1𝑍1
√1 − 𝜌1,3∗12
(5.96) 其中，
𝑏4,3∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐻̅4,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡1) 𝜎√𝑡4− 𝑡1
101
同理，
𝑙3,2∗2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡2/𝐿̅4,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡2)
𝜎√𝑡4− 𝑡2 = 𝑙4,3∗1+ 𝜌1,3∗1𝑍1
√1 − 𝜌1,3∗12
(5.97) 其中，
𝑙4,3∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐿̅4,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡1) 𝜎√𝑡4− 𝑡1
同理，
ℎ3,3∗2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡2/𝑘3) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡5− 𝑡2)
𝜎√𝑡5 − 𝑡2 = 𝑏4,4∗1+ 𝜌1,4∗1𝑍1
√1 − 𝜌1,4∗12
(5.98) 其中，
ℎ4,4∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝑘3) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡5− 𝑡1) 𝜎√𝑡5− 𝑡1
利用(Lee, Yeh et al. 2008)定理 1.(a)關係式，可將相關係數[𝜌𝑖,𝑗∗2]3×3進行整理，過 程如下：將𝑛 = 4, 𝑠 = 1代入，
𝑄{4},2,3 = 𝑄{3},1,2√1 − (𝑄{4},1,2)2√1 − (𝑄{4},1,3)2+ 𝑄{4},1,2𝑄{4},1,3 = √𝑡3− 𝑡1
√𝑡4− 𝑡1 = 𝜌2,3∗1 (5.99)
𝑄{4},2,4 = 𝑄{3},1,3√1 − (𝑄{4},1,2)2√1 − (𝑄{4},1,4)2+ 𝑄{4},1,2𝑄{4},1,4 = √𝑡3− 𝑡1
√𝑡5− 𝑡1 = 𝜌2,4∗1 (5.100)
𝑄{4},3,4 = 𝑄{3},2,3√1 − (𝑄{4},1,3)2√1 − (𝑄{4},1,4)2+ 𝑄{4},1,3𝑄{4},1,4 = √𝑡4− 𝑡1
√𝑡5− 𝑡1 = 𝜌3,4∗1 (5.101) 選擇權進行參數轉換與整理，−ℎ4,1∗1− 𝜎√𝑡2− 𝑡1 = −𝑔4,1∗1
𝑔4,1∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝑆̅2,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡2− 𝑡1) 𝜎√𝑡2 − 𝑡1
(5.102)
102
將式(5.92)中𝑐3,1∗2、𝑐3,2∗2、𝑚3,2∗2和𝑔3,3∗2作下式轉換：
𝑐3,1∗2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡2/𝐻̅3,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡2)
𝜎√𝑡3 − 𝑡2 = 𝑐4,2∗1+ 𝜌1,2∗1𝑍1′
√1 − 𝜌1,2∗12
(5.103) 其中，
𝑐4,2∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐻̅3,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡1) 𝜎√𝑡3− 𝑡1
同理，
𝑐3,2∗2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡2/𝐻̅4,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡2)
𝜎√𝑡4− 𝑡2 = 𝑐4,3∗1+ 𝜌1,3∗1𝑍1′
√1 − 𝜌1,3∗12
(5.104) 其中，
𝑐4,3∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐻̅4,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡1) 𝜎√𝑡4− 𝑡1
同理，
𝑚3,2∗2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡2/𝐿̅4,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡4 − 𝑡2)
𝜎√𝑡4− 𝑡2 = 𝑚4,3∗1+ 𝜌1,3∗1𝑍1′
√1 − 𝜌1,3∗12
(5.105) 其中，
𝑚4,3∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐿̅4,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡1) 𝜎√𝑡4− 𝑡1
同理，
𝑔3,3∗2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡2/𝑘3) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡5− 𝑡2)
𝜎√𝑡5 − 𝑡2 = 𝑔4,4∗1+ 𝜌1,4∗1𝑍1′
√1 − 𝜌1,4∗12
(5.106) 其中，
𝑔4,4∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝑘3) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡5− 𝑡1) 𝜎√𝑡5− 𝑡1
所以，結果如下，
𝐶𝐸𝐶𝑡21 = 𝑒−𝑟(𝑡2−𝑡1)𝐸𝑄[𝑚𝑎𝑥(0, 𝐶𝐸𝐶𝑡22− 𝑘1)]
103
104
同理，
𝑏4,2∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐻̅3,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡1)
𝜎√𝑡3− 𝑡1 = 𝑏5,3+ 𝜌1,3𝑍1
√1 − 𝜌1,32
(5.112) 其中，
𝑏5,3 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅3,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡0) 𝜎√𝑡3− 𝑡0
同理，
𝑏4,3∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐻̅4,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡1)
𝜎√𝑡4− 𝑡1 = 𝑏5,4+ 𝜌1,4𝑍1
√1 − 𝜌1,42
(5.113) 其中，
𝑏5,4 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅4,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡0) 𝜎√𝑡4− 𝑡0
同理，
𝑙4,3∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐿̅4,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡1)
𝜎√𝑡4− 𝑡1 = 𝑙5,4+ 𝜌1,4𝑍1
√1 − 𝜌1,42
(5.114) 其中，
𝑙5,4 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐿̅4,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡0) 𝜎√𝑡4− 𝑡0
同理，
ℎ4,4∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝑘3) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡5− 𝑡1)
𝜎√𝑡5− 𝑡1 = ℎ5,5+ 𝜌1,5𝑍1
√1 − 𝜌1,52
(5.115) 其中，
ℎ5,5 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝑘3) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡5− 𝑡0) 𝜎√𝑡5− 𝑡0
105
利用(Lee, Yeh et al. 2008)定理 1.(a)關係式，可將相關係數[𝜌𝑖,𝑗∗1]4×4進行整理，過 程如下：將𝑛 = 5, 𝑠 = 1代入，
𝑄{5},2,3 = 𝑄{4},1,2√1 − (𝑄{5},1,2)2√1 − (𝑄{5},1,3)2+ 𝑄{5},1,2𝑄{5},1,3 = √𝑡2− 𝑡0
√𝑡3− 𝑡0 = 𝜌2,3 (5.116)
𝑄{5},2,4 = 𝑄{4},1,3√1 − (𝑄{5},1,2)2√1 − (𝑄{5},1,4)2+ 𝑄{5},1,2𝑄{5},1,4 = √𝑡2− 𝑡0
√𝑡4− 𝑡0 = 𝜌2,4 (5.117)
𝑄{5},2,5 = 𝑄{4},1,4√1 − (𝑄{5},1,2)2√1 − (𝑄{5},1,5)2+ 𝑄{5},1,2𝑄{5},1,5 = √𝑡2− 𝑡0
√𝑡5− 𝑡0 = 𝜌2,5 (5.118)
𝑄{5},3,4 = 𝑄{4},2,3√1 − (𝑄{5},1,3)2√1 − (𝑄{5},1,4)2+ 𝑄{5},1,3𝑄{5},1,4 = √𝑡3− 𝑡0
√𝑡4− 𝑡0 = 𝜌3,4 (5.119)
𝑄{5},3,5 = 𝑄{4},2,4√1 − (𝑄{5},1,3)2√1 − (𝑄{5},1,5)2+ 𝑄{5},1,3𝑄{5},1,5 = √𝑡3− 𝑡0
√𝑡5− 𝑡0 = 𝜌3,5 (5.120)
𝑄{5},4,5 = 𝑄{4},3,4√1 − (𝑄{5},1,4)2√1 − (𝑄{5},1,5)2+ 𝑄{5},1,4𝑄{5},1,5 = √𝑡4 − 𝑡0
√𝑡5 − 𝑡0 = 𝜌4,5 (5.121) 選 擇 權 進 行 參 數 轉 換 與 整 理 ，−𝑏5,1− 𝜎√𝑡1− 𝑡0 = −𝑐5,1; −𝑙5,1− 𝜎√𝑡1− 𝑡0 = −𝑚5,1
𝑐5,1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅1,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡1− 𝑡0) 𝜎√𝑡1− 𝑡0
(5.122) 𝑚5,1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐿̅1,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡1− 𝑡0)
𝜎√𝑡1− 𝑡0
(5.123)
106
將式(5.107)中𝑔4,1∗1、𝑐4,2∗1、𝑐4,3∗1、𝑚4,3∗1和𝑔4,4∗1作下式轉換：
𝑔4,1∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝑆̅2,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡2− 𝑡1)
𝜎√𝑡2− 𝑡1 = 𝑔5,2+ 𝜌1,2𝑍1′
√1 − 𝜌1,22
(5.124) 其中，
𝑔5,2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝑆̅2,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡2− 𝑡0) 𝜎√𝑡2− 𝑡0
同理，
𝑐4,2∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐻̅3,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡1)
𝜎√𝑡3− 𝑡1 = 𝑐5,3+ 𝜌1,3𝑍1′
√1 − 𝜌1,32
(5.125) 其中，
𝑐5,3 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅3,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡0) 𝜎√𝑡3− 𝑡0
同理，
𝑐4,3∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐻̅4,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡1)
𝜎√𝑡4− 𝑡1 = 𝑐5,4+ 𝜌1,4𝑍1′
√1 − 𝜌1,42
(5.126) 其中，
𝑐5,4 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅4,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡0) 𝜎√𝑡4− 𝑡0
同理，
𝑚4,3∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐿̅4,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡1)
𝜎√𝑡4− 𝑡1 = 𝑚5,4+ 𝜌1,4𝑍1′
√1 − 𝜌1,42
(5.127) 其中，
𝑚5,4 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐿̅4,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡0) 𝜎√𝑡4 − 𝑡0
107
108
−𝐾2𝑒−𝑟(𝑡3−𝑡0)[𝑁3[(
−𝑏5,1 ℎ5,2 𝑏5,3
) ; [𝜌𝑖,𝑗]3×3] − 𝑁3[(
−𝑙5,1 ℎ5,2 𝑏5,3
) ; [𝜌𝑖,𝑗]3×3]]
−𝑘1𝑒−𝑟(𝑡2−𝑡0)[𝑁2(−𝑏5,1, ℎ5,2; 𝜌1,2) − 𝑁2(−𝑙5,1, ℎ5,2; 𝜌1,2)]
− 𝐴1𝑒−𝑟(𝑡1−𝑡0)[𝑁1(−𝑏5,1) − 𝑁1(−𝑙5,1)]
(5.129) 其中，
𝑐5,1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅1,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡1− 𝑡0)
𝜎√𝑡1− 𝑡0 ; 𝑏5,1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅1,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡1− 𝑡0) 𝜎√𝑡1− 𝑡0
𝑚5,1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐿̅1,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡1− 𝑡0)
𝜎√𝑡1− 𝑡0 ; 𝑙5,1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐿̅1,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡1− 𝑡0) 𝜎√𝑡1− 𝑡0
𝑔5,2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝑆̅2,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡2− 𝑡0)
𝜎√𝑡2− 𝑡0 ; ℎ5,2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝑆̅2,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡2− 𝑡0) 𝜎√𝑡2− 𝑡0
𝑐5,3 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅3,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡0)
𝜎√𝑡3− 𝑡0 ; 𝑏5,3 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅3,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡0) 𝜎√𝑡3− 𝑡0
𝑐5,4 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅4,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡0)
𝜎√𝑡4− 𝑡0 ; 𝑏5,4 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅4,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡0) 𝜎√𝑡4− 𝑡0
𝑚5,4 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐿̅4,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡0)
𝜎√𝑡4− 𝑡0 ; 𝑙5,4 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐿̅4,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡0) 𝜎√𝑡4− 𝑡0
𝑔5,5 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝑘3) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡5− 𝑡0)
𝜎√𝑡5− 𝑡0 ; ℎ5,5 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝑘3) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡5− 𝑡0) 𝜎√𝑡5− 𝑡0
𝐻̅1,5 為𝐶𝐸𝐶𝑡31 = 𝐻1時的股價價值，股價價值約當值。
𝐿̅1,5 為𝐶𝐸𝐶𝑡31 = 𝐿1時的股價價值，股價價值約當值。
𝑆̅2,5 為𝐶𝐸𝐶𝑡32 = 𝑘1時的股價價值，股價價值約當值。
𝐻̅3,5 為𝐶𝐸𝐶𝑡33 = 𝐻2時的股價價值，股價價值約當值。
𝐻̅4,5 為𝐶𝐸𝐶𝑡34 = 𝐻3時的股價價值，股價價值約當值。
𝐿̅4,5 為𝐶𝐸𝐶𝑡34 = 𝐿3時的股價價值，股價價值約當值。
𝑁𝑛(∙) 為𝑛維標準常態累積機率 𝜌𝑖,𝑗 為兩變數間之相關係數
109
5.2.7 第七情境為（第二層選擇延期但第一層選擇不延期）
三層複式可展延買權於時間點𝑡2的價值為標的二層可展延買權𝐶𝐸𝐶𝑡22部分價值和𝑘1 之間的差額，在風險中立設定下，將二層複式可展延買權現金流量於時間點𝑡2折現至𝑡1， 求算如下：
𝐶𝐸𝐶𝑡22 = 𝑆𝑡2{𝑁3[(
−𝑐3,1∗2 𝑔3,2∗2
𝑐3,3∗2 ) ; [𝜌𝑖,𝑗∗2]3×3] − 𝑁3[(
−𝑚3,1∗2 𝑔3,2∗2
𝑐3,3∗2 ) ; [𝜌𝑖,𝑗∗2]3×3]}
−𝐾3𝑒−𝑟(𝑡5−𝑡2){𝑁3[(
−𝑏3,1∗2 ℎ3,2∗2 𝑏3,3∗2
) ; [𝜌𝑖,𝑗∗2]3×3] − 𝑁3[(
−𝑙3,1∗2 ℎ3,2∗2 𝑏3,3∗2
) ; [𝜌𝑖,𝑗∗2]3×3]}
−𝑘2𝑒−𝑟(𝑡4−𝑡2)[𝑁2(−𝑏3,1∗2, ℎ3,2∗2; 𝜌1,2∗2) − 𝑁2(−𝑙3,1∗2, ℎ3,2∗2; 𝜌1,2∗2)]
−𝐴2𝑒−𝑟(𝑡3−𝑡2)[𝑁1(−𝑏3,1∗2) − 𝑁1(−𝑙3,1∗2)]
(5.130) 𝐶𝐸𝐶𝑡21 = 𝑒−𝑟(𝑡2−𝑡1)𝐸𝑄[𝑚𝑎𝑥(0, 𝐶𝐸𝐶𝑡22− 𝑘1)]
(5.131) 令標的二層可展延買權在時間點t2為價平（𝐶𝐸𝐶𝑡22 = 𝑘1）時，股價價值為𝑆̅2,5。
ℎ4,1∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝑆̅2,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡2 − 𝑡1) 𝜎√𝑡2− 𝑡1
(5.132) 則當St2 > 𝑆̅2,5等價於𝑍1 > −ℎ4,1∗1，得知累積機率下限，三層複式可展延買權才可被執 行。
將式(5.130)中𝑏3,1∗2、𝑙3,1∗2、ℎ3,2∗2和𝑏3,3∗2作下式轉換：
𝑏3,1∗2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡2/𝐻̅3,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡2)
𝜎√𝑡3− 𝑡2 = 𝑏4,2∗1+ 𝜌1,2∗1𝑍1
√1 − 𝜌1,2∗12
(5.133) 其中，
𝑏4,2∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐻̅3,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡1) 𝜎√𝑡3 − 𝑡1
同理，
𝑙3,1∗2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡2/𝐿̅3,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡2)
𝜎√𝑡3− 𝑡2 = 𝑙4,2∗1+ 𝜌1,2∗1𝑍1
√1 − 𝜌1,2∗12
(5.134) 其中，
𝑙4,2∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐿̅3,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡1) 𝜎√𝑡3− 𝑡1
110
同理，
ℎ3,2∗2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡2/𝑆̅4,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡2)
𝜎√𝑡4− 𝑡2 = ℎ4,3∗1+ 𝜌1,3∗1𝑍1
√1 − 𝜌1,3∗12
(5.135) 其中，
ℎ4,3∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝑆̅4,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡4 − 𝑡1) 𝜎√𝑡4− 𝑡1
同理，
𝑏3,3∗2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡2/𝐻3) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡5− 𝑡2)
𝜎√𝑡5− 𝑡2 = 𝑏4,4∗1+ 𝜌1,4∗1𝑍1
√1 − 𝜌1,4∗12
(5.136) 其中，
𝑏4,4∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐻3) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡5− 𝑡1) 𝜎√𝑡5 − 𝑡1
利用(Lee, Yeh et al. 2008)定理 1.(a)關係式，可將相關係數[𝜌𝑖,𝑗∗2]3×3進行整理，過 程如下：將𝑛 = 4, 𝑠 = 1代入，
𝑄{4},2,3 = 𝑄{3},1,2√1 − (𝑄{4},1,2)2√1 − (𝑄{4},1,3)2+ 𝑄{4},1,2𝑄{4},1,3 = √𝑡3− 𝑡1
√𝑡4− 𝑡1 = 𝜌2,3∗1 (5.137)
𝑄{4},2,4 = 𝑄{3},1,3√1 − (𝑄{4},1,2)2√1 − (𝑄{4},1,4)2+ 𝑄{4},1,2𝑄{4},1,4 = √𝑡3− 𝑡1
√𝑡5− 𝑡1 = 𝜌2,4∗1 (5.138)
𝑄{4},3,4 = 𝑄{3},2,3√1 − (𝑄{4},1,3)2√1 − (𝑄{4},1,4)2+ 𝑄{4},1,3𝑄{4},1,4 = √𝑡4− 𝑡1
√𝑡5− 𝑡1 = 𝜌3,4∗1 (5.139) 選擇權進行參數轉換與整理，−ℎ4,1∗1− 𝜎√𝑡2− 𝑡1 = −𝑔4,1∗1
𝑔4,1∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝑆̅2,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡2− 𝑡1) 𝜎√𝑡2 − 𝑡1
(5.140)
111
將式(5.130)中𝑐3,1∗2、𝑚3,1∗2、𝑔3,2∗2和𝑐3,3∗2作下式轉換：
𝑐3,1∗2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡2/𝐻̅3,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡2)
𝜎√𝑡3 − 𝑡2 = 𝑐4,2∗1+ 𝜌1,2∗1𝑍1′
√1 − 𝜌1,2∗12
(5.141) 其中，
𝑐4,2∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐻̅3,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡1) 𝜎√𝑡3− 𝑡1
同理，
𝑚3,1∗2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡2/𝐿̅3,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡3 − 𝑡2)
𝜎√𝑡3 − 𝑡2 = 𝑚4,2∗1+ 𝜌1,2∗1𝑍1′
√1 − 𝜌1,2∗12
(5.142) 其中，
𝑚4,2∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐿̅3,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡1) 𝜎√𝑡3− 𝑡1
同理，
𝑔3,2∗2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡2/𝑆̅4,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡2)
𝜎√𝑡4− 𝑡2 = 𝑔4,3∗1+ 𝜌1,3∗1𝑍1′
√1 − 𝜌1,3∗12
(5.143) 其中，
𝑔4,3∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝑆̅4,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡1) 𝜎√𝑡4 − 𝑡1
同理，
𝑐3,3∗2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡5/𝐻3) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡5− 𝑡2)
𝜎√𝑡5 − 𝑡2 = 𝑐4,4∗1+ 𝜌1,4∗1𝑍1′
√1 − 𝜌1,4∗12
(5.144) 其中，
𝑐4,4∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐻3) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡5− 𝑡1) 𝜎√𝑡5− 𝑡1
所以，結果如下，
𝐶𝐸𝐶𝑡21 = 𝑒−𝑟(𝑡2−𝑡1)𝐸𝑄[𝑚𝑎𝑥(0, 𝐶𝐸𝐶𝑡22− 𝑘1)]
112
113
同理，
𝑏4,2∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐻̅3,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡1)
𝜎√𝑡3− 𝑡1 = 𝑏5,3+ 𝜌1,3𝑍1
√1 − 𝜌1,32
(5.150) 其中，
𝑏5,3 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅3,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡0) 𝜎√𝑡3− 𝑡0
同理，
𝑙4,2∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐿̅3,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡1)
𝜎√𝑡3− 𝑡1 = 𝑙5,3+ 𝜌1,3𝑍1
√1 − 𝜌1,32
(5.151) 其中，
𝑙5,3 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐿̅3,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡0) 𝜎√𝑡3− 𝑡0
同理，
ℎ4,3∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝑆̅4,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡4 − 𝑡1)
𝜎√𝑡4− 𝑡1 = ℎ5,4+ 𝜌1,4𝑍1
√1 − 𝜌1,42
(5.152) 其中，
ℎ5,4 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝑆̅4,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡0) 𝜎√𝑡4− 𝑡0
同理，
𝑏4,4∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐻3) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡5− 𝑡1)
𝜎√𝑡5− 𝑡1 = 𝑏5,5+ 𝜌1,5𝑍1
√1 − 𝜌1,52
(5.153) 其中，
𝑏5,5 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻3) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡5− 𝑡0) 𝜎√𝑡5− 𝑡0
114
利用(Lee, Yeh et al. 2008)定理 1.(a)關係式，可將相關係數[𝜌𝑖,𝑗∗1]4×4進行整理，過 程如下：將𝑛 = 5, 𝑠 = 1代入，
𝑄{5},2,3 = 𝑄{4},1,2√1 − (𝑄{5},1,2)2√1 − (𝑄{5},1,3)2+ 𝑄{5},1,2𝑄{5},1,3 = √𝑡2− 𝑡0
√𝑡3− 𝑡0 = 𝜌2,3 (5.154)
𝑄{5},2,4 = 𝑄{4},1,3√1 − (𝑄{5},1,2)2√1 − (𝑄{5},1,4)2+ 𝑄{5},1,2𝑄{5},1,4 = √𝑡2− 𝑡0
√𝑡4− 𝑡0 = 𝜌2,4 (5.155)
𝑄{5},2,5 = 𝑄{4},1,4√1 − (𝑄{5},1,2)2√1 − (𝑄{5},1,5)2+ 𝑄{5},1,2𝑄{5},1,5 = √𝑡2− 𝑡0
√𝑡5− 𝑡0 = 𝜌2,5 (5.156)
𝑄{5},3,4 = 𝑄{4},2,3√1 − (𝑄{5},1,3)2√1 − (𝑄{5},1,4)2+ 𝑄{5},1,3𝑄{5},1,4 = √𝑡3− 𝑡0
√𝑡4− 𝑡0 = 𝜌3,4 (5.157)
𝑄{5},3,5 = 𝑄{4},2,4√1 − (𝑄{5},1,3)2√1 − (𝑄{5},1,5)2+ 𝑄{5},1,3𝑄{5},1,5 = √𝑡3− 𝑡0
√𝑡5− 𝑡0 = 𝜌3,5 (5.158)
𝑄{5},4,5 = 𝑄{4},3,4√1 − (𝑄{5},1,4)2√1 − (𝑄{5},1,5)2+ 𝑄{5},1,4𝑄{5},1,5 = √𝑡4 − 𝑡0
√𝑡5 − 𝑡0 = 𝜌4,5 (5.159) 選 擇 權 進 行 參 數 轉 換 與 整 理 ，−𝑏5,1− 𝜎√𝑡1− 𝑡0 = −𝑐5,1; −𝑙5,1− 𝜎√𝑡1− 𝑡0 = −𝑚5,1
𝑐5,1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅1,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡1− 𝑡0) 𝜎√𝑡1− 𝑡0
(5.160) 𝑚5,1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐿̅1,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡1− 𝑡0)
𝜎√𝑡1− 𝑡0
(5.161)
115
將式(5.145)中𝑔4,1∗1、𝑐4,2∗1、𝑚4,2∗1、𝑔4,3∗1和𝑐4,4∗1作下式轉換：
𝑔4,1∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝑆̅2,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡2− 𝑡1)
𝜎√𝑡2− 𝑡1 = 𝑔5,2+ 𝜌1,2𝑍1′
√1 − 𝜌1,22
(5.162) 其中，
𝑔5,2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝑆̅2,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡2− 𝑡0) 𝜎√𝑡2− 𝑡0
同理，
𝑐4,2∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐻̅3,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡1)
𝜎√𝑡3− 𝑡1 = 𝑐5,3+ 𝜌1,3𝑍1′
√1 − 𝜌1,32
(5.163) 其中，
𝑐5,3 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅3,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡0) 𝜎√𝑡3− 𝑡0
同理，
𝑚4,2∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐿̅3,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡1)
𝜎√𝑡3− 𝑡1 = 𝑚5,3+ 𝜌1,3𝑍1′
√1 − 𝜌1,32
(5.164) 其中，
𝑚5,3 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐿̅3,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡0) 𝜎√𝑡3 − 𝑡0
同理，
𝑔4,3∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝑆̅4,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡1)
𝜎√𝑡4− 𝑡1 = 𝑔5,4+ 𝜌1,4𝑍1′
√1 − 𝜌1,42
(5.165) 其中，
𝑔5,4 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝑆̅4,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡0) 𝜎√𝑡4− 𝑡0
116
117
−𝐴2𝑒−𝑟(𝑡3−𝑡0)[𝑁3[(
−𝑏5,1 ℎ5,2
−𝑏5,3
) ; [𝜌𝑖,𝑗]3×3] − 𝑁3[(
−𝑏5,1 ℎ5,2
−𝑙5,3
) ; [𝜌𝑖,𝑗]3×3]
− 𝑁3[(
−𝑙5,1 ℎ5,2
−𝑏5,3
) ; [𝜌𝑖,𝑗]3×3] + 𝑁3[(
−𝑙5,1 ℎ5,2
−𝑙5,3
) ; [𝜌𝑖,𝑗]3×3]]
−𝑘1𝑒−𝑟(𝑡2−𝑡0)[𝑁2(−𝑏5,1, ℎ5,2; 𝜌1,2) − 𝑁2(−𝑙5,1, ℎ5,2; 𝜌1,2)]
− 𝐴1𝑒−𝑟(𝑡1−𝑡0)[𝑁1(−𝑏5,1) − 𝑁1(−𝑙5,1)]
(5.167) 其中，
𝑐5,1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅1,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡1− 𝑡0)
𝜎√𝑡1− 𝑡0 ; 𝑏5,1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅1,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡1− 𝑡0) 𝜎√𝑡1− 𝑡0
𝑚5,1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐿̅1,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡1− 𝑡0)
𝜎√𝑡1 − 𝑡0 ; 𝑙5,1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐿̅1,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡1− 𝑡0) 𝜎√𝑡1− 𝑡0
𝑔5,2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝑆̅2,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡2− 𝑡0)
𝜎√𝑡2− 𝑡0 ; ℎ5,2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝑆̅2,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡2− 𝑡0) 𝜎√𝑡2− 𝑡0
𝑐5,3 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅3,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡0)
𝜎√𝑡3− 𝑡0 ; 𝑏5,3 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅3,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡0) 𝜎√𝑡3− 𝑡0
𝑚5,3 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐿̅3,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡0)
𝜎√𝑡3− 𝑡0 ; 𝑙5,3 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐿̅3,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡0) 𝜎√𝑡3− 𝑡0
𝑔5,4 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝑆̅4,5) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡0)
𝜎√𝑡4− 𝑡0 ; ℎ5,4 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝑆̅4,5) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡0) 𝜎√𝑡4− 𝑡0
𝑐5,5 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻3) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡5− 𝑡0)
𝜎√𝑡5− 𝑡0 ; 𝑏5,5 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻3) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡5− 𝑡0) 𝜎√𝑡5− 𝑡0
𝐻̅1,5 為𝐶𝐸𝐶𝑡31 = 𝐻1時的股價價值，股價價值約當值。
𝐿̅1,5 為𝐶𝐸𝐶𝑡31 = 𝐿1時的股價價值，股價價值約當值。
𝑆̅2,5 為𝐶𝐸𝐶𝑡32 = 𝑘1時的股價價值，股價價值約當值。
𝐻̅3,5 為𝐶𝐸𝐶𝑡33 = 𝐻2時的股價價值，股價價值約當值。
𝐿̅3,5 為𝐶𝐸𝐶𝑡33 = 𝐿2時的股價價值，股價價值約當值。
𝑆̅4,5 為𝐶𝐸𝐶𝑡34 = 𝑘2時的股價價值，股價價值約當值。
118
119
將式(5.168)中𝑏4,1∗2、𝑙4,1∗2、ℎ4,2∗2、𝑏4,3∗2、𝑙4,3∗2和ℎ4,4∗2作下式轉換：
𝑏4,1∗2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡2/𝐻̅3,6) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡2)
𝜎√𝑡3− 𝑡2 = 𝑏5,2∗1+ 𝜌1,2∗1𝑍1
√1 − 𝜌1,2∗12
(5.171) 其中，
𝑏5,2∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐻̅3,6) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡1) 𝜎√𝑡3 − 𝑡1
同理，
𝑙4,1∗2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡2/𝐿̅3,6) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡2)
𝜎√𝑡3− 𝑡2 = 𝑙5,2∗1+ 𝜌1,2∗1𝑍1
√1 − 𝜌1,2∗12
(5.172) 其中，
𝑙5,2∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐿̅3,6) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡1) 𝜎√𝑡3− 𝑡1
同理，
ℎ4,2∗2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡2/𝑆̅4,6) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡2)
𝜎√𝑡4− 𝑡2 = ℎ5,3∗1+ 𝜌1,3∗1𝑍1
√1 − 𝜌1,3∗12
(5.173) 其中，
ℎ5,3∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝑆̅4,6) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡4 − 𝑡1) 𝜎√𝑡4− 𝑡1
同理，
𝑏4,3∗2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡2/𝐻̅5,6) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡5− 𝑡2)
𝜎√𝑡5− 𝑡2 = 𝑏5,4∗1+ 𝜌1,4∗1𝑍1
√1 − 𝜌1,4∗12
(5.174) 其中，
𝑏5,4∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐻̅5,6) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡5− 𝑡1) 𝜎√𝑡5 − 𝑡1
120
同理，
𝑙4,3∗2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡2/𝐿̅5,6) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡5− 𝑡2)
𝜎√𝑡5− 𝑡2 = 𝑙5,4∗1+ 𝜌1,4∗1𝑍1
√1 − 𝜌1,4∗12
(5.175) 其中，
𝑙5,4∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐿̅5,6) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡5− 𝑡1) 𝜎√𝑡5− 𝑡1
同理，
ℎ4,4∗2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡2/𝑘3) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡6− 𝑡2)
𝜎√𝑡6− 𝑡2 = ℎ5,5∗1+ 𝜌1,5∗1𝑍1
√1 − 𝜌1,5∗12
(5.176) 其中，
ℎ5,5∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝑘3) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡6− 𝑡1) 𝜎√𝑡6− 𝑡1
利用(Lee, Yeh et al. 2008)定理 1.(a)關係式，可將相關係數[𝜌𝑖,𝑗∗2]4×4進行整理，過 程如下：將𝑛 = 5, 𝑠 = 1代入，
𝑄{5},2,3 = 𝑄{4},1,2√1 − (𝑄{5},1,2)2√1 − (𝑄{5},1,3)2+ 𝑄{5},1,2𝑄{5},1,3 = √𝑡3− 𝑡1
√𝑡4− 𝑡1 = 𝜌2,3∗1 (5.177)
𝑄{5},2,4 = 𝑄{4},1,3√1 − (𝑄{5},1,2)2√1 − (𝑄{5},1,4)2+ 𝑄{5},1,2𝑄{5},1,4 = √𝑡3− 𝑡1
√𝑡5− 𝑡1 = 𝜌2,4∗1 (5.178)
𝑄{5},2,5 = 𝑄{4},1,4√1 − (𝑄{5},1,2)2√1 − (𝑄{5},1,5)2+ 𝑄{5},1,2𝑄{5},1,5 = √𝑡3− 𝑡1
√𝑡6− 𝑡1 = 𝜌2,5∗1 (5.179)
𝑄{5},3,4 = 𝑄{4},2,3√1 − (𝑄{5},1,3)2√1 − (𝑄{5},1,4)2+ 𝑄{5},1,3𝑄{5},1,4 = √𝑡4− 𝑡1
√𝑡5− 𝑡1 = 𝜌3,4∗1 (5.180)
𝑄{5},3,5 = 𝑄{4},2,4√1 − (𝑄{5},1,3)2√1 − (𝑄{5},1,5)2+ 𝑄{5},1,3𝑄{5},1,5 = √𝑡4− 𝑡1
√𝑡6− 𝑡1 = 𝜌3,5∗1 (5.181)
121
𝑄{5},4,5 = 𝑄{4},3,4√1 − (𝑄{5},1,4)2√1 − (𝑄{5},1,5)2+ 𝑄{5},1,4𝑄{5},1,5 = √𝑡5− 𝑡1
√𝑡6− 𝑡1 = 𝜌4,5∗1 (5.182) 選擇權進行參數轉換與整理，−ℎ5,1∗1− 𝜎√𝑡2− 𝑡1 = −𝑔5,1∗1
𝑔5,1∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝑆̅2,6) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡2− 𝑡1) 𝜎√𝑡2 − 𝑡1
(5.183) 將式(5.168)中𝑐4,1∗2、𝑚4,1∗2、𝑔4,2∗2、𝑐4,3∗2、𝑚4,3∗2和𝑔4,4∗2作下式轉換：
𝑐4,1∗2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡2/𝐻̅3,6) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡2)
𝜎√𝑡3 − 𝑡2 = 𝑐5,2∗1+ 𝜌1,2∗1𝑍1′
√1 − 𝜌1,2∗12
(5.184) 其中，
𝑐5,2∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐻̅3,6) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡1) 𝜎√𝑡3− 𝑡1
同理，
𝑚4,1∗2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡2/𝐿̅3,6) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡3 − 𝑡2)
𝜎√𝑡3 − 𝑡2 = 𝑚5,2∗1+ 𝜌1,2∗1𝑍1′
√1 − 𝜌1,2∗12
(5.185) 其中，
𝑚5,2∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐿̅3,6) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡1) 𝜎√𝑡3− 𝑡1
同理，
𝑔4,2∗2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡2/𝑆̅4,6) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡2)
𝜎√𝑡4− 𝑡2 = 𝑔5,3∗1+ 𝜌1,3∗1𝑍1′
√1 − 𝜌1,3∗12
(5.186) 其中，
𝑔5,3∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝑆̅4,6) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡1) 𝜎√𝑡4 − 𝑡1
122
123
124
即 是𝐿1 < 𝐶𝐸𝐶𝑡21 < 𝐻1的 成 立 條 件 為𝐻̅1,6 > 𝑆𝑡1 > 𝐿̅1,6 ， 且𝐻̅1,6 > 𝑆𝑡1 > 𝐿̅1,6等 價 於
−𝑏6,1 > 𝑍1 > −𝑙6,1，可知累積機率之上下限。此時，第三層可展延買權才會被延期。
將式(5.190)中ℎ5,1∗1、𝑏5,2∗1、𝑙5,2∗1、ℎ5,3∗1、𝑏5,4∗1、𝑙5,4∗1和ℎ5,5∗1作下式轉換：
ℎ5,1∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝑆̅2,6) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡2 − 𝑡1)
𝜎√𝑡2− 𝑡1 = ℎ6,2+ 𝜌1,2𝑍1
√1 − 𝜌1,22
(5.194) 其中，
ℎ6,2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝑆̅2,6) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡2− 𝑡0) 𝜎√𝑡2− 𝑡0
同理，
𝑏5,2∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐻̅3,6) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡1)
𝜎√𝑡3− 𝑡1 = 𝑏6,3+ 𝜌1,3𝑍1
√1 − 𝜌1,32
(5.195) 其中，
𝑏6,3 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅3,6) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡0) 𝜎√𝑡3− 𝑡0
同理，
𝑙5,2∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐿̅3,6) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡1)
𝜎√𝑡3− 𝑡1 = 𝑙6,3+ 𝜌1,3𝑍1
√1 − 𝜌1,32
(5.196) 其中，
𝑙6,3 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐿̅3,6) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡0) 𝜎√𝑡3− 𝑡0
同理，
ℎ5,3∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝑆̅4,6) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡4 − 𝑡1)
𝜎√𝑡4− 𝑡1 = ℎ6,4+ 𝜌1,4𝑍1
√1 − 𝜌1,42
(5.197) 其中，
ℎ6,4 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝑆̅4,6) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡0) 𝜎√𝑡4− 𝑡0
125
同理，
𝑏5,4∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐻̅5,6) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡5− 𝑡1)
𝜎√𝑡5− 𝑡1 = 𝑏6,5+ 𝜌1,5𝑍1
√1 − 𝜌1,52
(5.198) 其中，
𝑏6,5 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅5,6) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡5− 𝑡0) 𝜎√𝑡5− 𝑡0
同理，
𝑙5,4∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐿̅5,6) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡5− 𝑡1)
𝜎√𝑡5− 𝑡1 = 𝑙6,5+ 𝜌1,5𝑍1
√1 − 𝜌1,52
(5.199) 其中，
𝑙6,5 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐿̅5,6) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡5− 𝑡0) 𝜎√𝑡5− 𝑡0
同理，
ℎ5,5∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝑘3) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡6− 𝑡1)
𝜎√𝑡6− 𝑡1 = ℎ6,6+ 𝜌1,6𝑍1
√1 − 𝜌1,62
(5.200) 其中，
ℎ6,6 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝑘3) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡6− 𝑡0) 𝜎√𝑡6− 𝑡0
利用(Lee, Yeh et al. 2008)定理 1.(a)關係式，可將相關係數[𝜌𝑖,𝑗∗1]5×5進行整理，過 程如下：將𝑛 = 6, 𝑠 = 1代入，
𝑄{6},2,3 = 𝑄{5},1,2√1 − (𝑄{6},1,2)2√1 − (𝑄{6},1,3)2+ 𝑄{6},1,2𝑄{6},1,3 = √𝑡2− 𝑡0
√𝑡3− 𝑡0 = 𝜌2,3 (5.201)
𝑄{6},2,4 = 𝑄{5},1,3√1 − (𝑄{6},1,2)2√1 − (𝑄{6},1,4)2+ 𝑄{6},1,2𝑄{6},1,4 = √𝑡2− 𝑡0
√𝑡4− 𝑡0 = 𝜌2,4 (5.202)
126
𝑄{6},2,5 = 𝑄{5},1,4√1 − (𝑄{6},1,2)2√1 − (𝑄{6},1,5)2+ 𝑄{6},1,2𝑄{6},1,5 = √𝑡2− 𝑡0
√𝑡5− 𝑡0 = 𝜌2,5 (5.203)
𝑄{6},2,6 = 𝑄{5},1,5√1 − (𝑄{6},1,2)2√1 − (𝑄{6},1,6)2+ 𝑄{6},1,2𝑄{6},1,6 = √𝑡2− 𝑡0
√𝑡6− 𝑡0 = 𝜌2,6 (5.204)
𝑄{6},3,4 = 𝑄{5},2,3√1 − (𝑄{6},1,3)2√1 − (𝑄{6},1,4)2+ 𝑄{6},1,3𝑄{6},1,4 = √𝑡3− 𝑡0
√𝑡4− 𝑡0 = 𝜌3,4 (5.205)
𝑄{6},3,5 = 𝑄{5},2,4√1 − (𝑄{6},1,3)2√1 − (𝑄{6},1,5)2+ 𝑄{6},1,3𝑄{6},1,5 = √𝑡3− 𝑡0
√𝑡5− 𝑡0 = 𝜌3,5 (5.206)
𝑄{6},3,6 = 𝑄{5},2,5√1 − (𝑄{6},1,3)2√1 − (𝑄{6},1,6)2+ 𝑄{6},1,3𝑄{6},1,6 = √𝑡3− 𝑡0
√𝑡6− 𝑡0 = 𝜌3,6 (5.207)
𝑄{6},4,5 = 𝑄{5},3,4√1 − (𝑄{6},1,4)2√1 − (𝑄{6},1,5)2+ 𝑄{6},1,4𝑄{6},1,5 = √𝑡4 − 𝑡0
√𝑡5 − 𝑡0 = 𝜌4,5 (5.208)
𝑄{6},4,6 = 𝑄{5},3,5√1 − (𝑄{6},1,4)2√1 − (𝑄{6},1,6)2+ 𝑄{6},1,4𝑄{6},1,6 = √𝑡4 − 𝑡0
√𝑡6 − 𝑡0 = 𝜌4,6 (5.209)
𝑄{6},5,6 = 𝑄{5},4,5√1 − (𝑄{6},1,5)2√1 − (𝑄{6},1,6)2+ 𝑄{6},1,5𝑄{6},1,6 = √𝑡5− 𝑡0
√𝑡6− 𝑡0 = 𝜌5,6 (5.210) 選 擇 權 進 行 參 數 轉 換 與 整 理 ，−𝑏6,1− 𝜎√𝑡1− 𝑡0 = −𝑐6,1; −𝑙6,1− 𝜎√𝑡1− 𝑡0 = −𝑚6,1
𝑐6,1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅1,6) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡1− 𝑡0) 𝜎√𝑡1− 𝑡0
(5.211)
127
𝑚6,1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐿̅1,6) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡1− 𝑡0) 𝜎√𝑡1− 𝑡0
(5.212) 將式(5.190)中𝑔5,1∗1、𝑐5,2∗1、𝑚5,2∗1、𝑔5,3∗1、𝑐5,4∗1、𝑚5,4∗1和𝑔5,5∗1作下式轉換：
𝑔5,1∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝑆̅2,6) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡2− 𝑡1)
𝜎√𝑡2− 𝑡1 = 𝑔6,2+ 𝜌1,2𝑍1′
√1 − 𝜌1,22
(5.213) 其中，
𝑔6,2 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝑆̅2,6) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡2− 𝑡0) 𝜎√𝑡2− 𝑡0
同理，
𝑐5,2∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐻̅3,6) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡1)
𝜎√𝑡3− 𝑡1 = 𝑐6,3+ 𝜌1,3𝑍1′
√1 − 𝜌1,32
(5.214) 其中，
𝑐6,3 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅3,6) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡0) 𝜎√𝑡3− 𝑡0
同理，
𝑚5,2∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐿̅3,6) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡1)
𝜎√𝑡3− 𝑡1 = 𝑚6,3+ 𝜌1,3𝑍1′
√1 − 𝜌1,32
(5.215) 其中，
𝑚6,3 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐿̅3,6) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡0) 𝜎√𝑡3 − 𝑡0
同理，
𝑔5,3∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝑆̅4,6) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡1)
𝜎√𝑡4− 𝑡1 = 𝑔6,4+ 𝜌1,4𝑍1′
√1 − 𝜌1,42
(5.216)
128
其中，
𝑔6,4 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝑆̅4,6) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡0) 𝜎√𝑡4− 𝑡0
同理，
𝑐5,4∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐻̅5,6) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡5− 𝑡1)
𝜎√𝑡5− 𝑡1 = 𝑐6,5+ 𝜌1,5𝑍1′
√1 − 𝜌1,52
(5.217) 其中，
𝑐6,5 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅5,6) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡5− 𝑡0) 𝜎√𝑡5− 𝑡0
同理，
𝑚5,4∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝐿̅5,6) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡5− 𝑡1)
𝜎√𝑡5− 𝑡1 = 𝑚6,5+ 𝜌1,5𝑍1′
√1 − 𝜌1,52
(5.218) 其中，
𝑚6,5 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐿̅5,6) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡5− 𝑡0) 𝜎√𝑡5 − 𝑡0
同理，
𝑔5,5∗1 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡1/𝑘3) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡6 − 𝑡1)
𝜎√𝑡6− 𝑡1 = 𝑔6,6+ 𝜌1,6𝑍1′
√1 − 𝜌1,62
(5.219) 其中，
𝑔6,6 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝑘3) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡6− 𝑡0) 𝜎√𝑡6− 𝑡0
129
130
131
𝑐6,3 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅3,6) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡0)
𝜎√𝑡3− 𝑡0 ; 𝑏6,3 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅3,6) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡0) 𝜎√𝑡3− 𝑡0
𝑚6,3 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐿̅3,6) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡0)
𝜎√𝑡3− 𝑡0 ; 𝑙6,3 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐿̅3,6) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡3− 𝑡0) 𝜎√𝑡3− 𝑡0
𝑔6,4 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝑆̅4,6) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡0)
𝜎√𝑡4− 𝑡0 ; ℎ6,4 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝑆̅4,6) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡4− 𝑡0) 𝜎√𝑡4− 𝑡0
𝑐6,5 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅5,6) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡5− 𝑡0)
𝜎√𝑡5− 𝑡0 ; 𝑏6,5 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐻̅5,6) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡5− 𝑡0) 𝜎√𝑡5− 𝑡0
𝑚6,5 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐿̅5,6) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡5− 𝑡0)
𝜎√𝑡5− 𝑡0 ; 𝑙6,5 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝐿̅5,6) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡5− 𝑡0) 𝜎√𝑡5− 𝑡0
𝑔6,6 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝑘3) + (𝑟 + 𝜎2/2)(𝑡6− 𝑡0)
𝜎√𝑡6− 𝑡0 ; ℎ6,6 = 𝑙𝑛(𝑆𝑡0/𝑘3) + (𝑟 − 𝜎2/2)(𝑡6− 𝑡0) 𝜎√𝑡6− 𝑡0
𝐻̅1,6 為𝐶𝐸𝐶𝑡31 = 𝐻1時的股價價值，股價價值約當值。
𝐿̅1,6 為𝐶𝐸𝐶𝑡31 = 𝐿1時的股價價值，股價價值約當值。
𝑆̅2,6 為𝐶𝐸𝐶𝑡32 = 𝑘1時的股價價值，股價價值約當值。
𝐻̅3,6 為𝐶𝐸𝐶𝑡33 = 𝐻2時的股價價值，股價價值約當值。
𝐿̅3,6 為𝐶𝐸𝐶𝑡33 = 𝐿2時的股價價值，股價價值約當值。
𝑆̅4,6 為𝐶𝐸𝐶𝑡34 = 𝑘2時的股價價值，股價價值約當值。
𝐻̅5,6 為𝐶𝐸𝐶𝑡35 = 𝐻3時的股價價值，股價價值約當值。
𝐿̅5,6 為𝐶𝐸𝐶𝑡35 = 𝐿3時的股價價值，股價價值約當值。
𝑁𝑛(∙) 為𝑛維標準常態累積機率 𝜌𝑖,𝑗 為兩變數間之相關係數