(4.6) 此處， 代表衍生性商品價值。
設計一個避險組合Ⅱ ，使得避險組合為無風險且可求解 衍生性商品價值之偏微分方程式。該組合變量 Ⅱ無隨機項 且無風險報酬為
Ⅱ 8。衍生性商品價值之偏微分方程式（Black-Scholes 的偏微分方程式）如下：
(4.7) 將選擇權到期現金流量做為臨界條件（Boundary Conditions），對 Black-Scholes 的偏微分方程式求解選擇權的評價模型。以歐式買權為例，（單層， ， ） 選擇權評價模型可由下列方程式求得：
(4.8) 此處， 為歐式買權在到期時 的現金流量。
S
0K
t
0T
t n=1
圖 4-1 單層選擇權 資料來源：本研究整理
8
請參考陳松男 (2008). 金融工程學, 新陸書局.
20
Black-Scholes 的研究是透過建立避險組合，使避險組合成為無風險，其報酬率是 無風險利率。在無風險下，選擇權到期收益的期望值就可以以無風險利率 來則折 現求算選擇權的合理價格。
後續將參入平賭法相關設定，以便本研究之用。在風險中立假設下，歐式買 權期初價值為到期日價值的現值，則折現率為無風險利率 。
，若 ，若 歐式買權價值可進一步表示為
(4.9) Black-Scholes 假設股價的機率分佈呈現對數常態分配，則股價的機率分配函數為
(4.10) 將 代入式(4.9)可得
(4.11) 第一項利用替代變數法（Jocobian Transformation）轉換9，令
所以可以得到
，故第一項簡化為
(4.12) 其中，積分下限 轉換為
第二項利用變數轉換，令
可以得知
，故第二項簡化為
9
詳細轉換與計算請參考陳松男 (2008). 金融工程學, 新陸書局. P.20 ~ P.21
21
(4.13) 其中，積分下限 轉換為
最終，將轉換後的式(4.12)和式(4.13)相減，可得 Black-Scholes 歐式買權評價 模型如下：
(4.14) 其中，
22
4.2 Longstaff 可展延選擇權模型
(Longstaff, 1990)針對實務上擁有選擇權性質的金融合約和條件求償證劵
（contingent claims）可將到期日展延的問題，延伸出一封閉解模型。以歐式可 展延買權為例，（一層， ， ）選擇權評價模型假設選擇權持有人在第一個 到期日 時，擁有一個可藉由支付額外酬金（additional premium） 給選擇權賣 家延期履約日至第二個到期日 的買權10，其可展延買權於第一個到期日 的現金 流量為
(4.15) 此處， 為一般的歐式買權折現至時間點 的現值，履約價在延期 的時間內將進行調整從 到 （ ），到期日為 。
或是，(4.15)可以改寫成
(4.16)
S0 K1
t0 t2
A
k1
t St1
t1
n=1
圖 4-2 單層可展延選擇權 資料來源：本研究整理
就可展延買權而言，其第一個到期日 的現金流量可分解為傳統買權和買權的買權
（複式選擇權），兩者之間取大，但非衍生性商品包含兩個不同標的物結合。
根據可展延選擇權到期日條件性質可以判斷延期的時機。設定 代表時間點 上 的 一 延 期 價 值 （ Critical value ）， ， 可 展 延 買 權 為 價 外
（out-of-the-money）就不延期；設定 代表時間點 上的一延期值， ，
可展延買權將被執行而非延期。所以，可展延選擇權延期只會發生在 介於區間
中。另外，若選擇延期至時間點 時， ，可展延買權才會被執行。而 確切的 和 可藉由可展延選擇權特色求得，根據以下等式可以求得 ，
(4.17) 此處， 為 的充分條件，代表 若是小於 ，
10