三維超晶格的理論模式

我們一樣藉由圓柱座標表示法來定量描述數個平面波結構光束 之疊加式子為:



m

expander)使氦氖雷射的發散角小於 0.1m rad，使其均勻的照射在光罩 上。實驗前先利用雷射加工在鋼板設備上鑿出本實驗所需要的孔洞數 分佈之光罩((Mask)，環上 2 組分佈相同的孔洞，環中心鑿一孔洞，

光罩上環形的半徑為5mm，孔洞半徑為 0.1mm，中間的孔洞半徑為 (0.15)mm。透鏡焦距為 1000mm，利用透鏡聚焦成像，再使用數位相 機紀錄光束干涉後的成像。

Mask He-Ne Laser

Beam expander Focusing lens f = 1000mm

CCD camera Re-image

lens

y x

Mask z He-Ne Laser

Beam expander Focusing lens f = 1000mm

CCD camera Re-image

lens

章節我們在光罩中間多鑿一孔洞，讓擴束光束均勻通過孔洞，在屏幕 上干涉疊加後形成圖案。從(圖(4.3(a)、(b))、圖(4.4(a)、(b))、圖(4.5(a)、

(b))、圖(4.6(a)、(b))來看，在上一章所看到的干涉圖形中，外圍邊界 的干涉條紋及內部 3 對稱晶格圖樣依然可見，但隨著

z 軸距離的不一

樣，也發現圖樣產生了一些變化。就圖(4.3(a)、(b))來看，z = 1000mm

～1052mm 隨著 z 的改變，干涉的亮、暗紋也隨之移動，從外部邊界 的干涉條紋來看，最暗處由左漸漸往右偏移再到下一晶格的邊界上為 一循環；以內部的3 對稱晶格來看，中間的亮點，由暗轉為最亮再回 到暗，為一週期圖樣的循環距離。再由圖(4.5(a)、(b))來看，內部的 晶格數目分佈類似花瓣圖樣，也可看出花瓣的亮暗隨著 z 軸改變出現 變化，z=1003mm 內部有 3 個明顯的圓暗紋、z=1011mm 內部有 6 個明 顯的圓暗紋且中間夾一個超亮點、z=1021 內部有 3 個明顯的圓暗紋 但和 z=1003 的 3 個圓暗紋恰成相對、z=1033 內部再次呈現 6 個明顯 的圓暗紋但中間亮點比 z=1011mm 暗、z=1050mm 則與 z=1003mm 的圖 案幾乎相同，至此為一循環距離。從

Mathcad 程式也模擬出隨著

z 軸改變所出現的亮暗變化之3D 圖(圖(4.3(c))、圖(4.4(c))、圖(4.5(c))、

圖(4.6(c))，可以看到其隨著第三維的變化而出現的週期反覆性，進而 影響了整體圖騰的樣貌，讓超晶格圖騰集的呈現更豐富。

1000mm

1013mm

1036mm

1052mm

(a) (b)

(c) 1000mm

1013mm

1036mm

1052mm

(a) (b)

(c)

圖4.3 (a)中間開孔的 3 對稱夾 10∘實驗圖 (b)中間開孔的 3 對稱夾 10∘理論圖 (c)中間開孔的 3 對稱夾 10∘理論 3D 圖

1000mm

1010mm

1033mm

1052mm

(a) (b)

(c) 1000mm

1010mm

1033mm

1052mm

(a) (b)

(c)

圖4.4 (a)中間開孔的 3 對稱夾 15∘實驗圖 (b)中間開孔的 3 對稱夾 15∘理論圖

(c)中間開孔的 3 對稱夾 15∘理論 3D 圖

(a) (b)

(c) 1003mm

1011mm

1021mm

1033mm

1050mm

(a) (b)

(c) 1003mm

1011mm

1021mm

1033mm

1050mm

圖4.5 (a)中間開孔的 3 對稱夾 20∘實驗圖 (b)中間開孔的 3 對稱夾 20∘理論圖

(c)中間開孔的 3 對稱夾 20∘理論 3D 圖

(a) (b)

(c) 1000mm

1011mm

1021mm

1033mm

1050mm

(a) (b)

(c) 1000mm

1011mm

1021mm

1033mm

1050mm

圖4.6 (a)中間開孔的 3 對稱夾 30∘實驗圖 (b)中間開孔的 3 對稱夾 30∘理論圖

(c)中間開孔的 3 對稱夾 30∘理論 3D 圖

綜合上述的實驗結果，夾 10∘、15∘、20∘、30∘的 Revival 距 離為 52mm、52mm、50mm、50mm，而在上一節的理論分析中提到 式子(4.8)為重覆出現圖形的週期距離(ZT)，將我們光學實驗所用的設 備數據

λ = 632.8nm、R = 5mm、f = 1000mm 代入式子(4.8)，所得到的 Z

T

= 50.6mm，對照實驗所得到的各相對夾角的 revival 距離，與所夾

的角度並無太大關係，皆與理論值 50.6mm 相去不遠，說明了實驗數 據與理論分析數據大致相符。

4.4 結論

由以上的實驗與理論的圖樣可得知，超晶格(Super lattice)的干涉 圖樣可以很多樣化，若僅僅只有二組夾相對角度的 3 對稱圖樣，其圖 形的變化就可以相當多變，外圍干涉條紋由寬、直變化到細、弧，內 部的晶格條紋由細變寬、數目也由多漸漸變少，出現非常豐富的圖 樣，不過僅止於二維維度；而在加入圓中心的孔洞所造成的干涉圖 樣，除了可看到原本二維多變的干涉圖樣外，同時也出現隨著 z 軸而 有明亮不同的圖形變化，進入到三維維度的變化，使得可觀察的圖騰 更加多變。因此也可以類推其他重對稱性晶格超晶格或準晶格超晶格 的，應該也可以出現豐富有層次性的圖騰集，將來亦可再嘗試另鑿不 同對稱性夾不同相對夾角的光罩孔洞，去發現更多漂亮的超晶格圖 集。

第五章 碎形晶格圖騰的分析與產生

碎形具有自相似的特性，所謂的「自相似性」是指將一圖形中的 任意部分不斷的細分成很多小部分，每一部分仍然可以展現出或近似 於原來的圖形。分形樹(圖 5.1)就是碎形的一個例子，若將分形樹細 分成許多小部分，每一小部分都跟原來的圖形相似。我們可以試著來 拆解分形樹，以中間的主枝幹為基底層，分別在

3 1、

3

2枝幹長的位置

各長出第二層新枝幹，其分布在一左一右且長度縮短為第一層層主枝 幹長的3

1並同時各將新枝幹逆時針及順時針旋轉 6

 ，如此一來總共有

5 段相同長度的第二層枝幹(圖 5.1(a))；接著再依照上述長出新枝之 模式，在這 5 段枝幹上再依序長出第三層新枝幹，其長度為第一層主 枝幹長的 )²

3

(1 ，共有 25 段相同長度的第三層枝幹(圖5.1(b))；以同樣

方 法 繼 續 分 枝 生 長 ， 會 得 到 125 段 相 同 長 度 的 第 四 層 枝 幹 (圖 5.1(c))……；以此類推生長新枝幹下去，就會長成一顆分形樹。

不論將此樹細分成多麼微小，最原始的生長模式一直存在，每個小部 分都會自相似原來的樹木。

本論文在第二章曾經提及碎形根據自相似形態可分成三大類，精 確自相似、半自相似、統計自相似，上述的分形樹就是屬於精確自相 似類。而以下本章所欲探討的─利用波干涉出碎形晶格的圖騰─也是 屬於精確自相似類，在設計孔洞分布的模式是仿照分形樹的概念，分

析其理論模式並以Mathcad程式輔助模擬出各種碎形晶格圖騰，並同 時設置雷射光進行干涉實驗，以期望得到各種碎形晶格圖騰。

5.1 二層碎形晶格的理論模式

單一組的q 對稱晶格圖騰可利用 q 個平面波干涉而成，我們在第 二章介紹過單一組 q 對稱的晶格圖形(圖 2.3)、(圖 2.4)，亦在第三章 中提及多個平面波之干涉疊加的理論模式，而本節依然以平面波干涉 疊加理論來探討光罩上的孔洞為碎形式分佈法的二層孔洞，將通過這 些孔洞之平面波干涉疊加後所產生的圖騰集。以下理論模式皆以3 對 稱為例來闡述。

如同本章一開頭所分析的分形樹方法來分佈光罩上孔洞的位 置。我們利用複數平面座標系來描述光罩上孔洞位置，單層的孔洞位 置(圖5.2)的分佈方法為以 Z0=0 為起點，R 為孔洞與起點的直線距離

圖5.1 分形樹 拆解

(a) (b) (c)

(即光罩環半徑)，均等分佈在環上，角度分別為

z4

將 通 過 上 述 9 個 孔 洞 的 平 面 波 干 涉 疊 加 的 式 子 為





 ¹²  4

s

iK s

e

S

A

^

 _{，其中 As、Ks分別為第} s 個平面波的振幅及橫向波向

量，即可得到3 對稱二層碎形晶格圖案。

依照上述方法可類推出 2 對稱、4 對稱、5 對稱…、任意對稱的 二層碎形式孔洞位置(圖5.4)之複數平面座標表示法。

圖5.4 2、4、5 對稱的二層碎形式孔洞位置分佈

5.2 二層碎形晶格的實驗結果與討論

設置實驗架構(圖 5.5)，我們使用具有線偏振的氦氖雷射做為入 射光源，其波長為632.8 nm，輸出功率為 20 mW；利用光束擴束器 (Beam expander)使氦氖雷射的發散角小於 0.1 m rad，使其均勻的照射 在光罩上。實驗前先利用雷射加工在鋼板設備上鑿出實驗所需要的孔 洞數分佈(二層碎形式孔洞分佈)之光罩(Mask)，光罩上環形的半徑為

5 mm，孔洞半徑為 0.1 mm。透鏡焦距為 1000 mm，利用透鏡聚焦成 像，使用數位相機紀錄光束干涉後的成像。

Mask He-Ne Laser

Beam expander Focusing lens f = 1000mm

CCD camera Re-image

lens y x

Mask z He-Ne Laser

Beam expander Focusing lens f = 1000mm

CCD camera Re-image

lens

度皆可看到二層多重對稱晶格干涉圖形，縮小成小尺度其內層晶格圖 形與原圖自相似；以上皆符合碎形的定義裡，圖形裁切成很多小部分，

小部分的圖樣依然與原始圖形相似，成功的利用平面波干涉出碎形晶 格圖騰。

圖5.6 2 對稱碎形晶格理論、實驗圖

1.6mm 0.16mm

1.6mm 0.16mm

圖5.7 3 對稱碎形晶格理論、實驗圖

1.6mm 0.16mm

1.6mm 0.16mm

圖5.8 4 對稱碎形晶格理論、實驗圖

q = 5 q = 8 q = 9

q = 5 q = 8 q = 9

圖5.9 5、8、9 對稱碎形晶格理論、實驗圖

而在第四章我們曾提及三維的超晶格圖形，其圖騰會隨著 z 軸有 一週期性的圖騰集，其 Revival 的距離為 ² ₂²

R

Z_{T } f ，影響的因素與波 長(λ)、透鏡焦距(f)及 R 有關(R 的因素來自於干涉的平面波的 K 向 量，一種為通過環上的孔洞的平面波，一種是通過環中心孔洞的平面 波，二者的 K 向量與 R 有正相關)，而此章節所使用的波長與透鏡焦 距皆與超晶格圖騰實驗使用的相同，最大的不同是孔洞的分佈將使通 過孔洞的平面波之k 向量不同，因此推論此種碎形式孔洞分佈所干涉 而成的圖形，應該也會像三維超晶格圖騰一樣，不是只侷限於二維維 度上的變化，而是具有三維維度上的變化，也可能隨著 z 軸有一週期

去模擬碎形似的孔洞分佈的三維干涉圖形，確實從模擬干涉圖形中發 現有三維維度上的變化特性。

(圖 5.10)、(圖 5.11)、 (圖 5.12)分別為利用 Mathcad 模擬出的 二層碎形式孔洞分佈的2、3、4 重對稱，在同一尺度下其隨著 z 軸的 改變所出現的圖騰變化集。就 2 重對稱(圖 5.10)來說，z = 1000mm 時 有很明顯的粗暗紋中間夾著細暗紋，z = 1004mm 時細暗紋中亦再夾 著更細的暗紋，z = 1008mm 時粗暗紋再次出現但位置整體可視為往 右偏移一小段距離，z = 1012mm 時又回到與 z = 1004mm 相同的圖 形，z = 1016mm 則回到與 z = 1000mm 完全相同的圖形，其模擬出來 的Revival 距離為 16mm。3 重對稱(圖 5.11) z = 1000mm 時，可看到

內 外 部 分 之 邊 界 非 常 清 楚 ， 內 部 晶 格 完 整 呈 現 3 重 對 稱 ， z = 1006mm，內外部分之邊界變淡，內部晶格圖案也出現一些變化轉

成類似消波柱的圖形，z = 1010mm，邊界為明顯的雙條紋分佈，內部

晶格變成單個圓形圖案，z = 1014mm，圖形與 z = 1006mm 相似，

z = 1020mm 時則回到與 z = 1000mm 相同圖形，其模擬出來的 Revival 距離為20mm。4 重對稱(圖 5.12) z = 1000mm 時，內外部分之邊界 明顯，內部晶格完整呈現4 重對稱，z = 1004mm，邊界線擴大但趨向 淡化，內部晶格依然呈現4 重對稱，z = 1008mm，整個圖形看來內部

僅 剩 單 個 晶 格 數 ， 邊 界 由 雙 條 紋 構 成 ， z = 1012mm， 圖 形 與

z = 1004mm 相同，z = 1016mm，圖形與 z = 1000mm 相同，其模擬出 來的 Revival 距離為 16mm。根據以上討論，可驗証一開始的推論─

會有三維的Revival 距離。

Z=1000mm Z=1004mm Z=1008mm Z=1012mm Z=1016mm Z=1000mm Z=1004mm Z=1008mm Z=1012mm Z=1016mm

圖5.10 2 對稱 ZT理論圖

z=1000mm z=1006mm z=1010mm z=1014mm z=1020mm z=1000mm z=1006mm z=1010mm z=1014mm z=1020mm

圖5.11 3 對稱 ZT理論圖

I2 I2 I2 I2 I2

Z=1000mm Z=1004mm Z=1008mm Z=1012mm Z=1016mm

I2 I2 I2 I2 I2

Z=1000mm Z=1004mm Z=1008mm Z=1012mm Z=1016mm

圖5.12 4 對稱 ZT理論圖

5.3 多層碎形晶格的理論模式

3 4

16mm 1.6mm

0.32mm

16mm 1.6mm

0.32mm 在不同尺度下(分別為 16mm、1.6mm、0.32mm 三種尺度)，都出現 相同的干涉圖形，與碎形的自相似特性一樣，可稱此圖騰集為3 層碎 形晶格圖騰集，其中圖 5.19、圖 5.20、圖 5.21) 、圖 5.22 分別為利 用 Mathcad 程式所模擬出來的 2 對稱、3 對稱、4 對稱、5 對稱之 4 層碎形式孔洞分佈之干涉圖騰集，可看到每種對稱圖騰集都可以發現

0.32mm 在不同尺度下(分別為 16mm、1.6mm、0.32mm 三種尺度)，都出現 相同的干涉圖形，與碎形的自相似特性一樣，可稱此圖騰集為3 層碎 形晶格圖騰集，其中圖 5.19、圖 5.20、圖 5.21) 、圖 5.22 分別為利 用 Mathcad 程式所模擬出來的 2 對稱、3 對稱、4 對稱、5 對稱之 4 層碎形式孔洞分佈之干涉圖騰集，可看到每種對稱圖騰集都可以發現

在文檔中 利用波的干涉研究超晶格與碎形圖案 (頁 42-0)