碎形 圖騰(Fractal)

「碎形」一詞是由曼德布拉特(Benoit B. Mandelbrot)所創造 [6,7]，碎形通常被定義為一個粗糙或零碎的幾何形狀，可以分成數個 小部分，且每一部分具有自相似的性質；對於碎形結構，自我相似就 是尺度一層一層縮小的結構重複性，它們不僅在越來越小的尺度裡重 複細節，而且是以某種固定的方式將細節縮小尺寸，造成某種循環重 現的複雜現象。碎形在自然界隨處可見，雪花晶體、河流分叉、動物 的犄角、螺貝圖、樹幹枝椏、血管分支、綿延的海岸線、雲彩的邊緣 以及天空的閃電，這些複雜的形態都是碎形，他們的特徵都是結構上 相似的重複性。例如我們把某一海岸線風景照片，如下圖 2.9，裁切 其中某部分貼到照片中另一部分，並不會影響我們對此張照片的印 象，或是裁切某部分將之放大，也不改變我們對此照片原本的印象。

又如同蕨葉碎形與樹枝碎形(圖 2.10)，每個小框其實都是大框的縮小 版，如果我們瞪大眼睛看著小框，小框都是由更小的相似細節所構 成，而且看著它們，就如同看到該蕨葉或樹枝的整體。碎形在「大尺 度」與「小尺度」的自我相似，意味著部分/整體一種革新性的關係，

碎形就是不同尺度的自我元素彼此套嵌的呈現。

圖 2.9 美麗的海岸線

圖 2.10 蕨葉碎形與樹枝碎形

碎形可依據其自相似分類成三種：

(1)精確自相似(Exact self-similarity)：

這是最強的一種自相似，碎形在任一尺度下都顯得一樣。由迭代 函數系統定義出的碎形通常會展現出精確自相似，如(圖 2.11)中每種 圖形去切割成很多小部分，每一部分都與原圖非常相似。

圖 2.11 精確自相似圖集

(2)半自相似(Quasi self-similarity)：

這是一種較鬆的自相似，碎形在不同尺度下會顯得大略(但非精 確）相同。半自相似碎形包含有整個碎形扭曲及退化形式的縮小尺 寸。由遞迴關係式定義出的碎形通常會是半自相似，如著名的曼德布 拉特圖集(圖 2.12)由大尺度一直 zoom in 進入小尺度裡，會發現其內 也包含了精細的圖形，不同尺度下會有幾組自相似的情形出現，但並 非全部都自相似。

圖 2.12 半自相似(曼德布拉特圖集)

(3)統計自相似(Statistical self-similarity)：

這是最弱的一種自相似，這種碎形在不同尺度下都能保有固定的 數值或統計測度。大多數對「碎形」合理的定義自然會導致某一類型

的統計自相似。隨機碎形就是統計自相似的一個例子，如布朗運動的 軌跡、綿延的海岸線。

碎形的圖集裡看似零碎粗糙的幾何形狀，但卻具有某種規則有序 的相似性，那麼我們希望可以嘗試利用多重光束干涉技術，設計雷射 光不同的入射的位置、數目，使其干涉疊加出如同碎形般自相似的圖 案，我們留待於後面的章節詳細討論以雷射光光干涉出碎形晶格圖騰 的方式及分析其理論模式。

第三章 二維超晶格圖騰之分析與產生

波在傳播過程中，如果遇到與其波長大小差不多的障礙物（或孔 洞）時，波會明顯偏離原來直線傳播的方向而發生繞射(diffiraction)。

繞射的原理是根據海更士(Huygens)原理─下一個波的行為，可以由 此刻波前上的點當作新波源推演而出(圖 3.1(a))。當波長愈長、障礙 物(或小孔)大小與波長接近時，因相對的波動性顯著，所以容易觀察 到其繞射現象。若行進波遇到與波長大小相當或小於波長的物體，則 行進波會以此物體的邊界為新波源中心，形成環型波看似繞過此物體 繼續前進(圖 3.1(b))；當行進波遇到與波長大小相當或小於波長的孔 洞時，則會以此孔洞為中心，形成環型波繼續前進(圖 3.1(c))。

(a) (b) (c)

(a) (b) (c)

圖3.1 (a)海更士原理示意圖

(b)行進波遇到小孔時的繞射現象

(c)行進波遇到障礙物時邊緣的繞射現象

干涉的原理是指二個或二個以上的波相遇時所造成的疊加現 象，若光束通過二個或以上的小孔時，會各自以小孔為中心，形成環 形波繼續前進，在孔後方相遇疊加形成干涉現象。1803 年，楊格 (Thomas Young) 第一次以雙狹縫干涉(double slit interference)實驗證 實光的波動性，也得到雙狹縫的干涉圖形為明暗相間的直條紋，其條 紋寬度的近似式為

d y_ r

 ，其中

d 為雙狹縫間距，r 為狹縫到屏幕距

離，λ 為光波長。

在Peter Lu 的『Decagonal and Quasi-crystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture』文獻[8]中有提及，利用數個平面波干涉可以產 生出不同晶格、準晶格(Quasi-crystal)圖像，其原理與全像微影技術類 似，皆是利用數個光源去干涉，再將其以定量的角度去旋轉，產生數 個干涉平面波，而將數個干涉波疊加的強度顯影在接收器上[3]，就 可以得到晶格、準晶格的光干涉圖案。

所謂平面波就是一個有固定頻率的波，其波形是振幅固定且平行 的無窮平面，其平面與其行進方向向量垂直(圖 3.2)，如同貝賽爾光 束(Bessel beam) [9-14]與貝塞爾高斯光束(Bessel Gaussian) [15]其沿著 光軸方向具有近似恆定的光照度而光場的橫截面具有窄光束分佈，這 兩種光束都具有傳播距離很遠而不發散的特性，所以被稱為無繞射光

圖3.2 平面波在空間中行進之示意圖

束(non-diffraction beam)。1987 年，第零階貝塞爾光場分佈之無繞射 光束被提出來[9-10]，其特點為此光束在無邊界自由空間中傳播時，

與光軸垂直的每個橫向取樣平面的光場照度峰值總能保持相同，橫向 光照度分佈非常集中，具有很強的空間侷限性。這種光場在傳播的過 程中並不會發生發散的現象，這類光束被稱作無繞射光束。無繞射光 束具有主光斑尺寸小的特點，而且具有較高的照度峰值、方向性佳與 傳播距離遠等優點。在實際的光學系統中，元件孔徑所產生的邊界條 件是存在的，所以無法得到所需的無繞射光束；然而從電腦模擬和實 驗結果證明在有限孔徑的條件下，近似貝塞爾分佈的光束仍然可以傳 播到相當遠的一段距離並保持無繞射光束的主要特性。我們可以利用 幾何軸向錐鏡(axicon)[16]、全像片[17]、圓對稱周期性光柵[18]、繞 射式軸向錐鏡[19]、繞射光學元件[20]……等都可用來產生近似的無 繞射光束，做為本章波干涉實驗所需要的平面波。

遠場上二維的晶格或準晶格結構的光學場可以用平面波的疊加

來表示，因為一個平面波通過光罩板後變成數個有不同K 值(

q=3 q=4 q=6

q=3 q=4 q=6

q=5 q=7 q=8

q=16 q=21 q=30

q=5 q=7 q=8

q=16 q=21 q=30

圖3.4 各種晶格及準晶格結構

平面波疊加的方法是表示不同

K 值的平面波在焦點的圖案，如

果我們想知道任何平面的光場就必須引用傅式光學(Fourier optics)的 觀念，假設鏡後一段距離z 的 complex field u(,,z)是通過光罩板的

其中 λ 是輸入光的波長，f 是聚焦透鏡的焦距。假設輸入光是一道半

遠場的圖案結構會越趨向於

Bessel beam。若光罩板上有多個孔洞，

則通過光罩板的光場可表示為： 所以輸出(output field)可表示為：



值的平面波的

relative phase。由此關係式我們可以得知在任何一垂直

z 軸的平面上的圖案是晶格結構或準晶格結構。而本論文的實驗設置

3.1 二維超晶格的理論模式

) sin , cos

(   

  (3.11)



q q

q  

 ^ (3.12)

式子(3.7)為原本單一晶格結構，式子(3.8)為加上相對角度的另一個單 一晶格結構，q 為孔洞數，K 為橫向波向量 (





 2

K )，θ 為二組孔洞 所夾的相對角度；式子(3.12)為這二個相差一相對角度的晶格結構光 束干涉疊加後的式子，疊加後對應的晶格結構即為超晶格圖騰。

圖3.5 多增加一相對角度孔洞之光罩

3.2 光學干涉實驗架構

實驗架構(圖 3.6)，我們使用具有線偏振的氦氖雷射做為入射光 源，其波長為 632.8nm，輸出功率為 20mW；利用光束擴束器(Beam expander)使氦氖雷射的發散角小於 0.1m rad，使其均勻的照射在光罩 上。實驗前先利用雷射加工在鋼板設備上鑿出實驗所需要的孔洞數分 佈之光罩(Mask)，光罩上環形的半徑為 5mm，孔洞半徑為 0.1mm。

透鏡焦距為1000mm，利用透鏡聚焦成像在焦點上，再使用數位相機 紀錄光束干涉後的成像。

圖3.6 實驗架構

3.3 實驗結果與討論

利用數個光源干涉疊加後可產生單一個晶格或準晶格圖案，本章 實驗設計仿照 2.2 節所提過的表面波上的超晶格圖形的形成方法，先 讓雷射光束均勻照射在一鑿等距 3 孔洞的光罩(圖 3.7)，光束通過孔 洞後形成3 個平面波干涉疊加，在屏幕上可得到一個 3 對稱的晶格圖 案(圖 3.8)；而後在每個孔洞旁各增加一夾相同角度的孔洞，一樣讓 雷射光束均勻照射在光罩上，形成二組 3 孔洞的干涉平面波，由其所 干涉疊加後顯像在接收器上，即可得到超晶格圖案。接著改變不同的 相對角度，所干涉疊加產生的超晶格圖騰亦會呈現不同的樣貌。而相 鄰孔洞所夾的相對角度需要仔細選取，若二組相鄰孔洞所夾的相對角

α

度過大，其疊加後產生的干涉條紋圖案容易跟3 對稱重複或變成 3 對 稱性的倍數，如 6、9、12……；反之若所夾的相對角度過小，其疊 加後產生的干涉條紋圖案之間並無顯著的差距。

本實驗所選取的相對夾角為 10∘、15∘、20∘、25∘、30∘

(圖 3.9)，其光通過孔洞後所產生的波干涉疊加圖案(圖 3.8)會隨著相 對角度的改變而出現不同的圖騰。(圖 3.8)是一個標準的 3 對稱晶格 的理論與實驗對照圖形，從(圖 3.10)來看，當相對夾角為 10∘時，內 部同樣呈現了 3 對稱晶格的圖形，而外圍邊界出現明暗相間的直條 紋，根據本章一開始之敘述，可知明暗相間的直條紋出現是因相鄰夾 一角度的2 孔所互相干涉形成的。隨著每增加 5∘的改變，可看出所 夾的相對角度愈大(即相鄰 2 孔之間距變大)，外圍的干涉條紋愈來愈 細( d

y_ r

 )且界線愈來愈不平滑，內部的 3 對稱圖樣干涉線條愈來愈 寬，使得晶格數目愈來愈少，從相對夾角 10∘時內部的晶格數目有 數十個到相對夾角為30∘，內部的晶格數目僅剩 4、5 個，內部的 3

c 5

R  mm mm

R_a 0.1

c 5

R  mm mm

R_a 0.1

圖3.7 3 個孔洞之光罩

實 驗 理 論

實 驗 理 論

圖3.8 3 個光源干涉實驗、理論圖案

對稱晶格呈現類似小花的圖樣，而周圍的邊界干涉條紋趨像圓滑弧 狀，邊界已不明顯。從實驗結果看來，不管夾任何角度的 3 對稱的 Super lattie 圖形，儘管在外圍邊界出現二個晶格互相干涉條紋，內部 依然呈現3 對稱的晶格圖形，整體超晶格圖形依然延續了晶格圖形的 平移對稱性及旋轉對稱性。對照理論程式模擬圖形與實際光學干涉實 驗結果相對照，二者圖形相當一致，因此我們可以再依照此模式去模 擬出其他重對稱性的超晶格圖騰。

單一組 4 對稱孔洞及夾一相對角度的二組 4 對稱孔洞(圖 3.11)

單一組 4 對稱孔洞及夾一相對角度的二組 4 對稱孔洞(圖 3.11)

在文檔中 利用波的干涉研究超晶格與碎形圖案 (頁 19-0)