準晶格圖騰(Quasi crystal)

在自然界中有許多不同的礦物，而他們的晶格排列可區分為無結 晶形、準結晶形及結晶形─無結晶形晶格的原子排列是混雜不規則 的，它們不具有垂直及平行對稱及旋轉對稱的特性；結晶形晶格的原 子排列是有垂直及平行對稱的，它的結構可以以同樣的原子或原子團 規則重複排列來表示；準結晶格的原子排列則是具有旋轉對稱但不具 有垂直及平行對稱的特性。一般典型的晶格，是指具有重覆性長程且 有序的排列，其經由平移對稱或旋轉對稱操作後，仍可得到自己本身 的晶格圖樣，典型晶格只有 2 重、3 重、4 重及 6 重對稱。所謂的平

移對稱就是指平行移動某部分晶格一段距離後，仍可回復成原本的晶 格圖樣；所謂的旋轉的對稱操作是繞著通過晶格點的軸作旋轉某一角 度後可得到自己本身的晶格，2、3、4、6 重對稱的晶格，分別是旋 轉 180∘、120∘、90∘、60∘後可得到自己本身的晶格圖樣(圖 2.1)。

而準晶格(Quasi crystal)具有與晶格相似的重覆性長程有序的排列，

但準晶格僅具有晶格的旋轉對稱卻不具有晶格的平移對稱性；不過一 般典型晶格只能具有 2 重、3 重、4 重及 6 重旋轉對稱性，但是準晶 格可以具有其他重的對稱性，例如 5 重、7 重、8 重對稱性或者更高 重的對稱性。

圖 2.1 3、4、6 重對稱示意圖

準晶格的原子具有比原子更精巧且長程的對稱特性，它的原子的 位置都分佈在其對稱軸上，可以利用具週期性且有無理數比的多個波 長 來 疊 加 描 述 [1] ， 而 這 種 描 述 法 可 以 產 生 出 各 式 各 樣 不 同 的

Quasi-crystal 圖案，包括其 5、7 及更高階旋轉對稱圖形。榮獲 2011

1984 年他和以色列理工學院的同事在快速冷卻的鋁、錳合金中發現 了一種新的金屬相，其電子繞射斑具有明顯的 10 重對稱性，同年 Ishimasa 也在鎳-鉻合金中發現 12 對稱的準晶格圖形[2]。在這之後，

有數以百計的準晶體在全球各地的實驗室中被合成。

而在兩個世紀以前，科學家只發現有 2、3、4 與 6 重對稱的晶格 存在於礦物中，其他如 5 與 7 重對稱的晶格，甚至於更高階的對稱晶 格未在礦物中發現。一直到了 2009 年礦物學上的一篇論文發表才替 準晶體是否能在自然條件下形成提供了證據：Peter Lu 等人在俄羅斯 的 哈 吐 卡 (Khatyrka) 河 的 樣 本 中 之 一 塊 鋁 鋅 銅 礦 石 上 發 現 了

Al

Cu

Fe

和實驗室中合成的一樣[1]，這樣的結構第一次在自然界中被發現，

從此也開啟了準晶格的探測方向。

而光波的干涉疊加也可以產生典型的晶格和準晶格的圖騰，其原 理類似全像微影技術，皆是利用多個光源去干涉，再將其以定量的角 度旋轉，產生了多個干涉平面波，其疊加後強度顯像在接受器上[3]，

故多重光束干涉技術(Multi-beam interference technique)[4]常被用來 產生光學中各種具有週期結構的晶格圖案及準週期結構的準晶格圖 案。圖 2.3、圖 2.4 就是利用波函數去描述平面波的干涉疊加，並且 以數學軟體Mathcad 模擬描繪出各式各樣的典型圖案，圖中的 q 表

D D

圖 2.2 (A)Al63Cu24Fe13 礦物原貌 (B)純Al63Cu24Fe13礦物 (C)穿透式電子顯微鏡測量圖 (D)X-射線粉末繞射測量圖

示為利用幾個等分的平面波去疊加；圖 2.3 為 q=3、4 與 6 重對稱的 晶格圖案；而圖 2.4 為 q=5、7、8、16、21 與 30 等較高重對稱性的 準晶格圖樣。我們將在後面章節有詳細的理論推導式子來說明利用波 函數來描述的平面波干涉疊加。

q=3 q=4 q=6

q=3 q=4 q=6

圖 2.3 典型對稱晶格模擬圖樣

q=5 q=7 q=8

q=16 q=21 q=30

q=5 q=7 q=8

q=16 q=21 q=30

圖 2.4 各種高對稱性的準晶格模擬圖樣