本論文結構

本論文第二章主要在介紹自然科學中的圖騰，包含了晶格、準晶 格圖騰、超晶格圖騰以及碎形晶格圖騰。第三章探討二維超晶格的理 論模式以及利用光學實驗干涉出超晶格圖騰並加以分析。第四章探討 三維超晶格的理論模式以及利用光學實驗干涉出超晶格圖騰並加以 分析。第五章則針對碎形晶格圖形進行理論分析與實驗圖騰討論。第 六章為結論及未來可發展的方向。

第二章 自然科學中的圖騰

在我們的生活周遭充滿了各式各樣的圖騰，小時候從萬花筒中看 到了因為一個微小角度的轉動，就讓圖形出現了大轉變；在伊斯蘭教 的建築、地毯、壁畫中，也看到了很多豐富的圖樣；在自然界很多生 物似乎因應著某種生存法則，產生了不同的圖騰，如花瓣的疊序、葉 子生成的排序、鳳梨的外皮鱗片、雛菊花冠的排列、蜻蜓的翅膀紋路、

鸚鵡螺的紋路……等都是有趣且有序的圖騰；而不管是人工合成或天 然的礦物中，也發現很多化合物、合金的晶格排列一樣充滿了多變卻 也有序的圖樣。在這章節中我們將介紹幾種自然科學中常見的圖騰。

2.1 準晶格圖騰(Quasi crystal)

在自然界中有許多不同的礦物，而他們的晶格排列可區分為無結 晶形、準結晶形及結晶形─無結晶形晶格的原子排列是混雜不規則 的，它們不具有垂直及平行對稱及旋轉對稱的特性；結晶形晶格的原 子排列是有垂直及平行對稱的，它的結構可以以同樣的原子或原子團 規則重複排列來表示；準結晶格的原子排列則是具有旋轉對稱但不具 有垂直及平行對稱的特性。一般典型的晶格，是指具有重覆性長程且 有序的排列，其經由平移對稱或旋轉對稱操作後，仍可得到自己本身 的晶格圖樣，典型晶格只有 2 重、3 重、4 重及 6 重對稱。所謂的平

移對稱就是指平行移動某部分晶格一段距離後，仍可回復成原本的晶 格圖樣；所謂的旋轉的對稱操作是繞著通過晶格點的軸作旋轉某一角 度後可得到自己本身的晶格，2、3、4、6 重對稱的晶格，分別是旋 轉 180∘、120∘、90∘、60∘後可得到自己本身的晶格圖樣(圖 2.1)。

而準晶格(Quasi crystal)具有與晶格相似的重覆性長程有序的排列，

但準晶格僅具有晶格的旋轉對稱卻不具有晶格的平移對稱性；不過一 般典型晶格只能具有 2 重、3 重、4 重及 6 重旋轉對稱性，但是準晶 格可以具有其他重的對稱性，例如 5 重、7 重、8 重對稱性或者更高 重的對稱性。

圖 2.1 3、4、6 重對稱示意圖

準晶格的原子具有比原子更精巧且長程的對稱特性，它的原子的 位置都分佈在其對稱軸上，可以利用具週期性且有無理數比的多個波 長 來 疊 加 描 述 [1] ， 而 這 種 描 述 法 可 以 產 生 出 各 式 各 樣 不 同 的

Quasi-crystal 圖案，包括其 5、7 及更高階旋轉對稱圖形。榮獲 2011

1984 年他和以色列理工學院的同事在快速冷卻的鋁、錳合金中發現 了一種新的金屬相，其電子繞射斑具有明顯的 10 重對稱性，同年 Ishimasa 也在鎳-鉻合金中發現 12 對稱的準晶格圖形[2]。在這之後，

有數以百計的準晶體在全球各地的實驗室中被合成。

而在兩個世紀以前，科學家只發現有 2、3、4 與 6 重對稱的晶格 存在於礦物中，其他如 5 與 7 重對稱的晶格，甚至於更高階的對稱晶 格未在礦物中發現。一直到了 2009 年礦物學上的一篇論文發表才替 準晶體是否能在自然條件下形成提供了證據：Peter Lu 等人在俄羅斯 的 哈 吐 卡 (Khatyrka) 河 的 樣 本 中 之 一 塊 鋁 鋅 銅 礦 石 上 發 現 了

Al

Cu

Fe

和實驗室中合成的一樣[1]，這樣的結構第一次在自然界中被發現，

從此也開啟了準晶格的探測方向。

而光波的干涉疊加也可以產生典型的晶格和準晶格的圖騰，其原 理類似全像微影技術，皆是利用多個光源去干涉，再將其以定量的角 度旋轉，產生了多個干涉平面波，其疊加後強度顯像在接受器上[3]，

故多重光束干涉技術(Multi-beam interference technique)[4]常被用來 產生光學中各種具有週期結構的晶格圖案及準週期結構的準晶格圖 案。圖 2.3、圖 2.4 就是利用波函數去描述平面波的干涉疊加，並且 以數學軟體Mathcad 模擬描繪出各式各樣的典型圖案，圖中的 q 表

D D

圖 2.2 (A)Al63Cu24Fe13 礦物原貌 (B)純Al63Cu24Fe13礦物 (C)穿透式電子顯微鏡測量圖 (D)X-射線粉末繞射測量圖

示為利用幾個等分的平面波去疊加；圖 2.3 為 q=3、4 與 6 重對稱的 晶格圖案；而圖 2.4 為 q=5、7、8、16、21 與 30 等較高重對稱性的 準晶格圖樣。我們將在後面章節有詳細的理論推導式子來說明利用波 函數來描述的平面波干涉疊加。

q=3 q=4 q=6

q=3 q=4 q=6

圖 2.3 典型對稱晶格模擬圖樣

q=5 q=7 q=8

q=16 q=21 q=30

q=5 q=7 q=8

q=16 q=21 q=30

圖 2.4 各種高對稱性的準晶格模擬圖樣

2.2 超晶格圖騰(Super lattice)

超晶格是指二個或二個以上獨立而晶格相互影響的晶體。1998 年 A.Kudrolli、B.Pier、J.P.Gollub 等人發表了在表面波上的超晶格圖 形[5]，其圖形大部分是由二個六角晶格相互疊加而形成。第一種超 晶格-Ⅰ的干涉圖形(圖 2.6)是由 2 組等分佈在六角形頂點上的波源干 涉疊加而成，其二組波源振動頻率比 6:7、相鄰 2 波源所夾的相對角 度為 22∘(圖 2.5)；另一種超晶格-Ⅱ的干涉圖形(圖 2.8)是由 2 組分佈 在內外二層六角形頂點上的波源干涉疊加而成(圖 2.7)，其二組波源 的波長比為 3：1，所產生的圖樣具有時間週期性條紋、6 重對稱性；

其文章中也提及可以調整波源振幅的大小及振動頻率來形成各式基 底的晶格。因此同樣的我們也可利用多重光學束技術，改變不同光束 間的夾角，在屏幕上干涉疊加出不同的超晶格圖形，我們另將於後面 的章節詳細討論。

圖 2.5 2 組分布在六角形頂點上的波源

圖 2.6 超晶格-Ⅰ干涉圖形

圖 2.7 分佈在內外二層六角形上的波源

圖 2.8 超晶格-Ⅱ-干涉圖形

2.3 碎形圖騰(Fractal)

「碎形」一詞是由曼德布拉特(Benoit B. Mandelbrot)所創造 [6,7]，碎形通常被定義為一個粗糙或零碎的幾何形狀，可以分成數個 小部分，且每一部分具有自相似的性質；對於碎形結構，自我相似就 是尺度一層一層縮小的結構重複性，它們不僅在越來越小的尺度裡重 複細節，而且是以某種固定的方式將細節縮小尺寸，造成某種循環重 現的複雜現象。碎形在自然界隨處可見，雪花晶體、河流分叉、動物 的犄角、螺貝圖、樹幹枝椏、血管分支、綿延的海岸線、雲彩的邊緣 以及天空的閃電，這些複雜的形態都是碎形，他們的特徵都是結構上 相似的重複性。例如我們把某一海岸線風景照片，如下圖 2.9，裁切 其中某部分貼到照片中另一部分，並不會影響我們對此張照片的印 象，或是裁切某部分將之放大，也不改變我們對此照片原本的印象。

又如同蕨葉碎形與樹枝碎形(圖 2.10)，每個小框其實都是大框的縮小 版，如果我們瞪大眼睛看著小框，小框都是由更小的相似細節所構 成，而且看著它們，就如同看到該蕨葉或樹枝的整體。碎形在「大尺 度」與「小尺度」的自我相似，意味著部分/整體一種革新性的關係，

碎形就是不同尺度的自我元素彼此套嵌的呈現。

圖 2.9 美麗的海岸線

圖 2.10 蕨葉碎形與樹枝碎形

碎形可依據其自相似分類成三種：

(1)精確自相似(Exact self-similarity)：

這是最強的一種自相似，碎形在任一尺度下都顯得一樣。由迭代 函數系統定義出的碎形通常會展現出精確自相似，如(圖 2.11)中每種 圖形去切割成很多小部分，每一部分都與原圖非常相似。

圖 2.11 精確自相似圖集

(2)半自相似(Quasi self-similarity)：

這是一種較鬆的自相似，碎形在不同尺度下會顯得大略(但非精 確）相同。半自相似碎形包含有整個碎形扭曲及退化形式的縮小尺 寸。由遞迴關係式定義出的碎形通常會是半自相似，如著名的曼德布 拉特圖集(圖 2.12)由大尺度一直 zoom in 進入小尺度裡，會發現其內 也包含了精細的圖形，不同尺度下會有幾組自相似的情形出現，但並 非全部都自相似。

圖 2.12 半自相似(曼德布拉特圖集)

(3)統計自相似(Statistical self-similarity)：

這是最弱的一種自相似，這種碎形在不同尺度下都能保有固定的 數值或統計測度。大多數對「碎形」合理的定義自然會導致某一類型

的統計自相似。隨機碎形就是統計自相似的一個例子，如布朗運動的 軌跡、綿延的海岸線。

碎形的圖集裡看似零碎粗糙的幾何形狀，但卻具有某種規則有序 的相似性，那麼我們希望可以嘗試利用多重光束干涉技術，設計雷射 光不同的入射的位置、數目，使其干涉疊加出如同碎形般自相似的圖 案，我們留待於後面的章節詳細討論以雷射光光干涉出碎形晶格圖騰 的方式及分析其理論模式。

第三章 二維超晶格圖騰之分析與產生

波在傳播過程中，如果遇到與其波長大小差不多的障礙物（或孔 洞）時，波會明顯偏離原來直線傳播的方向而發生繞射(diffiraction)。

繞射的原理是根據海更士(Huygens)原理─下一個波的行為，可以由 此刻波前上的點當作新波源推演而出(圖 3.1(a))。當波長愈長、障礙 物(或小孔)大小與波長接近時，因相對的波動性顯著，所以容易觀察 到其繞射現象。若行進波遇到與波長大小相當或小於波長的物體，則 行進波會以此物體的邊界為新波源中心，形成環型波看似繞過此物體 繼續前進(圖 3.1(b))；當行進波遇到與波長大小相當或小於波長的孔 洞時，則會以此孔洞為中心，形成環型波繼續前進(圖 3.1(c))。

(a) (b) (c)

(a) (b) (c)

圖3.1 (a)海更士原理示意圖

(b)行進波遇到小孔時的繞射現象

(c)行進波遇到障礙物時邊緣的繞射現象

干涉的原理是指二個或二個以上的波相遇時所造成的疊加現 象，若光束通過二個或以上的小孔時，會各自以小孔為中心，形成環 形波繼續前進，在孔後方相遇疊加形成干涉現象。1803 年，楊格 (Thomas Young) 第一次以雙狹縫干涉(double slit interference)實驗證 實光的波動性，也得到雙狹縫的干涉圖形為明暗相間的直條紋，其條

干涉的原理是指二個或二個以上的波相遇時所造成的疊加現 象，若光束通過二個或以上的小孔時，會各自以小孔為中心，形成環 形波繼續前進，在孔後方相遇疊加形成干涉現象。1803 年，楊格 (Thomas Young) 第一次以雙狹縫干涉(double slit interference)實驗證 實光的波動性，也得到雙狹縫的干涉圖形為明暗相間的直條紋，其條