三角垜

1 2 (

1

1







n n k

n

k

。

4.2.4 三角垜

「三角垜」就是第一層為 1 個，往下第二層為 1+2 個，再往第三層為 1+2+3 個，將之加總得出總和稱為「三角垜」，如下圖 4-8。

圖 4-8 圖示層疊之後為 n=4 之三角垜 也就是高階等差級數：1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+3+…+n)

=1+3+6+10+…+

2 ) 1 (n

n = ( 1)( 2)

! 3 1 2

) 1 (

1





 



n n k n

n k

k

= ( 1)( 2) 6

1n n n 。

32 引自朱世傑，《算學啟蒙》卷下〈堆積還源門〉，頁 5a。

33 引自朱世傑，《算學啟蒙》卷下〈堆積還源門〉，頁 7a。

「三角垜」又名「茭草落一形垜」，出現在《算學啟蒙》卷下〈堆積還原門〉

第四問(給底面求積)：

今有三角垜果子，每面底子四十四箇，問共積幾何？

答曰：一萬五千一百八十箇。³⁴ 及第十一問(給積求底面)：

今有三角垜果子積一萬五千一百八十箇，問底子一面幾何？

答曰：四十四箇。³⁵

又在《四元玉鑑》卷中〈茭草形段〉第一問：

今有茭草六百八十束，欲令落一形堆之，問底子幾何？

答曰：一十五束。³⁶ 朱世傑之術曰：

立天元一為落一底子，如積求之，得四千八十為益實，二為從方，三為廉，

一為正隅，立方開之，合問。

羅士琳補草，原文之天元術部份為籌式記號，如圖 4-9，筆者為說明之故，改以 現代符號表示，以下皆倣此：

立天元一為落一底子，以天元加一得 x+1，乘之得 x²+x，又以天元加二得 x+2，乘之得 x³+3x²+2x，合以六除之為共積，今不除，使為六段共積寄左，

乃以六通共束，得四千八十為同數，消左得 x³+3x²+2x－4080 =0，開立方得 十五束合問。³⁷

圖 4-9 羅士琳《四元玉鑑細草》〈茭草形段〉第一問書影³⁸

筆者查證《四元玉鑑細草》，發現羅士琳於補草之後，加列數表，如圖 4-10：

34 引自朱世傑，《算學啟蒙》卷下〈堆積還源門〉，頁 5b。

35 引自朱世傑，《算學啟蒙》卷下〈堆積還源門〉，頁 7b。

36 引自朱世傑，《四元玉鑑》卷中〈茭草形段〉，頁 28b。

37 引自羅士琳，《四元玉鑑細草》卷中之七〈茭草形段〉，頁 1a，羅士琳原草為籌式記號，如圖 4-3，筆者為便於了解，改為現代符號，以下皆同。

38 取自羅士琳，《四元玉鑑細草》卷中之七〈茭草形段〉，頁 1a。

圖 4-10 羅士琳《四元玉鑑細草》〈茭草形段〉第一問書影³⁹ 筆者為便於了解，將之改為下面的形式：

茭草形(n) 1 2 3 4 5 6 7 三角底積(S) 1 3 6 10 15 21 28

乘數( 2

1

n ) 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

茭草形(n) 8 9 10 11 12 13 14 15 三角底積(S) 36 45 55 66 78 91 105 120

乘數( 2

1

n ) 4.5 5 5.5 1 1.5 2 2.5 3

他並註記說明：「圖列茭草形於上方，列乘數於下方，上下相乘，置得數於中央，

併中央所得為共積。」，將中央一列之數加總就是三角垜積。寫成現代符號為 (1)+2(1.5)+3(2)+…+n )

2 (n1

=







n

k

k k

1 2

) 1

( ，可看出羅士琳計算的過程。

此種垜積與〈堆垜說〉第四種垜積三角垜積相同，李尚爀採用(1)三角臺體 法(2)反錐差法(3)又法，其中三角臺體法在 4.2 節一開始已論述，而反錐差法為：

「其積亦為以反錐差乘各層底邊之共數也」，李尚爀並說明「反錐差」的意義：

反錐差乘者，以挨次遞加之，各數從末位起一乘之也，蓋三角垜積既為茭草 積之層累，而茭草積又為底邊之層累，故如第三位三角垜積，即第一第二第 三位茭草積之共數，而第一位茭草積即第一位底邊，第二位茭草積即第一第 二位底邊之共數，第三位茭草積即第一第二第三位底邊之共數，則合為第一 位底邊三倍，第二位底邊二倍，第三位底邊一倍，凡以反錐差乘者皆倣此。

39 取自羅士琳，《四元玉鑑細草》卷中之七〈茭草形段〉，頁 1-2。

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