筆者分成以下各點來分析李尚爀在《翼算》中對「正負術」的通論：
一、從解線性方程的觀點來看
李尚爀提出「方程約多法而歸一法，故用減」，由於法實各有其正負之 名，故多項式中各項皆為加法運算，而在係數中表示正負之名，因此只須將 兩式首數互乘對減之後，剩下一「法」一「實」，以此一簡法御繁。當法實 之位明確之後，李尚爀舉《九章算術》中「正負術」，列出同名、異名加減 的法則：「異名之加，即同名之減也，異名之減，即同名之加也」，以及同名、
異名乘除的法則：「同名相乘為正，異名相乘為負」。因此無論方程或開方「皆
89 引自李尚爀，《翼算》上編〈正負論〉，頁 13-14
90 引自李尚爀，《翼算》上編〈正負論〉，頁 10-11
以同名為主，故減者同減異加，加者同加異減」，且「左右相減」時，「在彼 之正為此之負，在彼之負為此之正，視主客而變號」只須「辨主客之位」， 即可「審消長之機」。
在消去時可「以加代減」，即「正負可以互變」。如梅文鼎的《方程論》中：
「首位異名者，變其一以相從，為同減異加地也」但是李尚爀認為「不變而異減 同加，與變而同減異加等」首位異號時如果維持不變號，則兩式首位異號時兩式 相減、同號，變為同號則同名相減、異名相加，結果是一樣的，所以可用加法代 替減法，正負數可以互變。
二、從「天元術」的觀點來看
在天元術「以乘代除」時，李尚爀認為：「天元如積之術，有當除而不受除 者寄分於此，而乘彼以齊之，得正負相當式。」如李尚爀提及《測圓海鏡》〈底 勾〉第五問草：
立天元一為半徑，減於甲行(出北門東行二百步)得小勾，以天元加於乙行(出東 門南行三十步)得小股，以天元加於甲行得大勾，以小股乘之，合以小勾除，
不受除，便以為大股，置天元以分母乘之，以減大股，以乙行乘之得半徑冪 (60 x2+900 x +180000) 91寄左，又以天元為冪，又以小勾通之為同數
(–x2+200x)，與寄左相消得開方式(x3–140 x2+900 x +180000) ，此大勾小股相 乘，合以小勾，除之得大股，而不受除，故便以為大股，則為增幾倍之大股，
故就當減之天元及同數之天元冪，皆以小勾乘之，各增幾倍也。92
李尚爀認為：「凡天元如積之相消者，務得相等之數，故此有所增，則亦增彼數，
彼有所增，則亦增此數，然後相消得正負相當之開方式也。」
三、從「多元術」的觀點來看
在「互乘齊分」時，李尚爀提出「互乘，則數雖蕃衍，其正負則仍同也。」
李尚爀認為「方程之減去首位，天元如積之通分，多元之內二行相乘、外二行相 乘」這三者都是「互乘齊分」，其運算之後，正負仍維持相對。並舉三例來闡述：
以《算學正義》〈方程〉第六問闡述「方程之減去首位」
以《算學啟蒙》〈開方釋鎖門〉第三十三問闡述「天元如積之通分」
以《四元玉鑑》〈三才變通〉第一問闡述「多元之內二行相乘、外二行相乘」
在「剔分消之」時，李尚爀提出「多元之相消也，層數或行數之不等者，
91 原術為籌式記號，筆者為說明之故，改為現代符號表示。以下皆同。
92 引自李尚爀，《翼算》上編〈正負論〉，頁 14
用剔分自乘，然後用以相消」雖然算式已變，但正數、負數仍維持相等。他以多 元術中二元高次方程組，經剔分相消，化為一元式的運算來舉例，在《四元玉鑑》
〈左右逢元〉第一問草中，內外相消，不論以內二行為主減去外二行之值 得–x5–8x4+0x3+48 x2+384 x +768，或是外二行減去內二行 x5+8x4+0x3–48 x2–384 x –768，其中第一廉 384、第二廉 48 皆與實 768 同號，而第四廉 8 及隅 1 與實 768 異號，所以是一致的。
在「以加代減」時，李尚爀認為：「互乘以齊其數及正負，則可以同減異加；
若遇異名之可以直消者，則直用異減同加」此互乘相消之法則， 也可應用在多 元術中，他舉出《算學正義》多元第十三問為證：
以壬式加右式得左式，此欲消下層勾冪，而壬式負右式正，當變一式之號，
然後同減異加，而今乃不變，直用同加異減，則所得左式正負相當之諸數 仍同也。93
四、從「開方術」的觀點來看「較從」、「減從」、「和從」、「益積」、
「翻積」
李尚爀認為開方時「併多法而除一實，故用加」：在開方時，以試商試算，
多「法」相併為一「法」，此時為加法運算。法實異號，和必為零，可由此分辦 出「較從、和從、減從之常」，也可以看出「益積、翻積之變」。雖然在二次方程 式開方時，可用幾何關係來判別方程式的類型，如「在平方有長闊較，則為較從，
而先求長，則為減從，有長闊和，則為和從。」，但是在高於三次的方程式，「多 不合於面體形式，立方以上尤不可以形式論」，所以必須「辨之於數之正負也」
因此，李尚爀依開方時「較從」、「減從」、「和從」、「益積」、「翻積」一一說明以 數之正負來判別高次方程式的類型：
第一種「較從」：即隅與廉為同名，隅與實異名的高次方程式，例如《算學 正義》〈帶從立方〉第三問法之開方式為 x3+50x2+609x–62100=0，此時實為諸法 的總和，而法與實相較適等，因此諸法(含隅與廉)相加為一法，開立方時以初商 20，如下面李尚爀提及《算學正義》〈帶從立方〉第三問法，原文列於左欄，右 欄為筆者之分析，下皆倣此：
93 引自李尚爀，《翼算》上編〈正負論〉，頁 14-15
初商二十尺，乘隅得二十尺，與從長廉 同名相加得七十尺，仍為正，以初商二 十尺乘之得一千四百尺，與從方廉同名 相加得二千零九尺，仍為正，以初商二 十尺乘之得四萬零一百八十尺，與實異 名相減，餘二萬一千九百二十尺為次商 實，即負實之餘，故仍為負也。又以初 商二十尺乘隅得二十尺，與從長廉七十 尺同名相加得九十尺，仍為正，以初商 二十尺乘之得一千八百尺，與從方廉二 千零九尺同名相加得三千八百零九尺，
仍為正，又以初商二十尺乘隅得二十 尺，與從長廉九十尺同名相加得一百十 尺，仍為正也，次商五尺，乘隅五尺，
與從長廉一百十尺同名相加得一百十五 尺，仍為正，以次商五尺乘之得五百七 十五尺，與從方廉三千八百零九尺同名 相加得四千三百八十四尺仍為正，以次 商五尺乘之得二萬一千九百二十尺，與 次商實異名相減，恰盡也，此併方廉、
長廉及隅與實相當，故併方廉、長廉及 隅為法也。
筆者轉以現代符號分析如下：
開方式為 x3+50x2+609x–62100=0 其中隅=1，從長廉=50，從方廉=609，
實=–62100，令初商=20，得 1×20+50=70…從長廉
(1×20+50) ×20+609=2009…從方廉 [(1×20+50) ×20+609]×20=40180
[(1×20+50) ×20+609]×20–62100=–21920 次商實= –20190…負實之餘，為負數 1×20+70=90…從長廉
[ 1×20+ (1×20+50)] ×20+2009=3809 1×20+90=110…從長廉
再令次商=5 1×5+110=115 (1×5+110) ×5=575
(1×5+110) ×5+3809=4384 [(1×5+110) ×5+3809] ×5=21920 21920–21920=0
次商實與實異名相減，恰減盡
第二種「減從」：即隅與廉為異名，且隅與實異名的高次方程式，例如《算 學正義》〈帶從立方〉第三問又法的開方式為–x3+13x2+168x+ 62100=0，正負互變 得 x3–13x2–168x–62100=0，此時隅為正數則實與從廉為負數，即廉與實同號而皆 與隅異號，稱為「減從」，若以隅為主，則隅與廉相減後得一「法」，即以初商乘 隅，減去方廉、長廉，餘數為「法」，與「實」之數相等。如李尚爀提及《算學 正義》〈帶從立方〉第三問又法：
初商四十尺，乘隅得四十尺，與從長廉 異名相減得二十七尺，即負隅之餘，故 變為負；以初商四十尺乘之，得一千零 八十尺，與從方廉異名相減得九百十二 尺，即從長廉之餘，故變為負，以初商 四十尺乘之得三萬六千四百八十尺，與 實異名相減得二萬五千六百二十尺為次 商實，即正實之餘，故仍為正也，又以
筆者轉以現代符號分析如下：
開方式為–x3+13x2+168x+62100=0 令初商=40，得–1×40+13=–27…從長廉 (–1×40+13) ×40+168=–912…從方廉 [(–1×40+13) ×40+168]×40=–36480 –36480+62100=25620
次商實= 25620…正實之餘，為正數
初商四十尺乘隅得四十尺，與從長廉二 十七尺同名相加得六十七尺仍為負，以 初商四十尺乘之得二千六百八十尺，與 從方廉九百十二尺同名相加得三千五百 九十二尺仍為負，又以初商四十尺乘隅 得四十尺，與從長廉六十七尺同名相加 得一百零七尺，仍為負也，次商六尺乘 隅得六尺，與從長廉一百零七尺同名相 加得一百十三尺仍為負，以次商六尺乘 之得六百七十八尺，與從方廉三千五百 九十二尺同名相加得四千二百七十尺，
仍為負，以次商六尺乘之得二萬五千六 百二十尺，與次商實異名相減恰盡也，
此以方廉、長廉減於隅，與實相當，故 以商乘隅內減方廉、長廉，餘為法也。
–1×40–27=–67 (–1×40–27)×40= –2680 –2680–912= –3592 –1×40–67=–107 再令次商=6 –1×6–107=–113 (–1×6–107) ×6=–678
(–1×6–107) ×6–3592=–4270
[(–1×6–107) ×6–3592] ×6=–25620 –25620+25620=0
次商實與實異名相減，恰盡
第三種「和從」：即從廉為正數，實與隅為負數，故實與隅合併後，與從廉 適等，如李尚爀提及《測圓海鏡》〈邊股〉第五問草中 –x2+408x–34560=0 開平方。
「法」以廉為主，隅與廉相減後與「實」相當。說明如下：
初商一百步乘隅得一百步，與從廉異名 相減，得三百八步，即從廉之餘，故仍 為正，以初商一百步乘之，得三萬八百 步，與實異名相減得三千七百六十步為 次商實，即負實之餘，故仍為負也，又 以初商一百步乘隅得一百步，與從廉三 百八步，異名相減得二百八步，即從廉 之餘，故仍為正也，次商二十步乘隅得 二十步，與從廉二百八步異名相減得一 百八十八步，即從廉之餘，故仍為正，
以次商二十步乘之得三千七百六十步，
與次商實異名相減恰盡也，
筆者轉以現代符號分析如下：
開方式為–x2+408x–34560=0 隅=–1，從廉=408，實=–34560，
令初商=100，得
–1×100+408=308…從廉之餘 (–1×100+408) ×100=30800 30800–34560=–3760
次商實=–3760…負實之餘，為負數 –1×100+308=208 …從廉之餘 令次商=20
–1×20+208=188…從廉之餘 (–1×20+208)×20= 3760 3760–3760=0
次商實與實異名相減恰盡
第四種「益積」：即隅為正，廉為負數，兩者相減後與實同號，因此與實同 名相加，為「益積」。如李尚爀提及《測圓海鏡》〈明叀前〉第一問草中開方 式–x2+204x+8640=0，說明如下：
初商二百步，乘隅得二百步，與從廉異 名相減，得四步，即從廉之餘，故仍為 正，以初商二百步乘之得八百步，與實 同名相加得九千四百四十步為次商，實 仍為正，是為益積也。又以初商二百步 乘隅得二百步，與從廉四步異名相減得 一百九十六步，即隅法之餘，故變為負，
是為翻從也，次商四十步乘隅得四十 步，與從廉一百九十六步同名相加得二 百三十六步，仍為負，以初商四十步乘
是為翻從也，次商四十步乘隅得四十 步，與從廉一百九十六步同名相加得二 百三十六步，仍為負，以初商四十步乘