4.4.1〈堆垜說〉垜積全積求法
在全積求法中，其中 13 種垜積已在第 4.2 節，將〈堆垜說〉與《四元玉鑑》
作過分析比較，且分別詳列「梯田法」、「三角臺體法」、「方臺體法」、「反錐差法」
及「又法」。以下，筆者僅列出《四元玉鑑》所無、李尚爀所增補的 3 種垜積：
四角撒星積、正方嵐峰積及正方嵐峰更落一積之全積求法。
第十種垜積：四角撒星積
其全積=1+[1+ (1+22)] +[1+ (1+22) +(1+22+32)]+…+[1+ (1+22) +(1+22+32) +…
+ (1+22+32+…+n )]； 2
李尚爀之想法為：「四角撒星積，即層累四角落一積之共數，亦為以反錐差乘各 層四角垜積之共數也。」，89即 1×n+22×(n－1) +32×(n－2) +…+n ×1。因此，2 「法 以三角落一積為實，以底邊二倍加三乘之，五歸得積。」，90算法=三角落一積(底 邊×2+3)5=
5 ) 1 3 2 ( ) 3 )(
2 )(
1 24 (
1 n n n n n = ( 1)( 2)( 3)(2 3) 120
1 n n n n n 。
第十三種垜積：正方嵐峰積
其全積=13+23+33+…+n3= ( 1)]2 2
[1n n ；
李尚爀之算法為：「以茭草積為實，以茭草積乘之得積，或以底邊冪為實，以底 邊加一冪，乘之，四歸，得積(底邊為首率，底邊加一為末率，而二位茭草積為中率，故底 邊與茭草積自乘四倍之數也)。」，91即 ( 1)]2
2
[1n n 或
4 ) 1 1 ( 2
2 n
n 。
第十四種垜積：正方嵐峰更落一積
其全積=1+(1+8)+(1+8+27)+…+(1+8+27+…+n3) ；
李尚爀之算法為：「以三角垜積為實，以三角垜積為實，以底邊冪三倍及底邊六
89 引自李尚爀，《翼算》下編〈堆垜說〉，頁 7a。
90 引自李尚爀，《翼算》下編〈堆垜說〉，頁 7a。
91引自李尚爀，《翼算》下編〈堆垜說〉，頁 9b。
倍加一乘之，十歸，得積。」，92即
10 ) 1 6 3 ) ( 1 2 )(
1 6 (
1 2
1 1
3
n n n
n n k
n
r r
k
。
4.4.2〈堆垜說〉垜積截積求法
截積即求自第 k 層面積累加至第 n 層面積之和，李尚爀所提出的截積求法共 有「梯田法」、「分積法」與「差分法」共三種。
「梯田法」與羅士琳之梯田積公式相同，皆為梯形以上底、下底、高(層數) 求面積之公式。李尚爀以「梯田法」求截積的垜積只有茭草積，因此，此法並不 是他求截積的主要方法。
「分積法」，就是如同總解第三則茭草嵐峰積的算法中，將垜積分解成本位 積、前位積……分別計算。他以「分積法」求截積的有茭草積、三角垜積、三角 落一積、三角撒星積、四角落一積、茭草嵐峰積共六種垜積。分析如下：
第一種垜積：茭草積截積分積法
原文為：「置本位茭草積(凡位數為底邊，亦為層數，至於截積底邊，必多於層數，以 層數作本位底邊，求之後倣此)，以上邊減一乘層數從之」。93
其想法為：將截積每層皆提出(k－1)個後，剩下的就是以層數為位邊的本位茭草 積，兩者相加，得到截積。如下式：
n k
k
k( 1)( 2)...
=[1+(k－1)]+[2+(k－1)]+[3+(k－1)]+…+[(n－k+1)+ (k－1)]
=[1+2+3+…+(n－k+1)]+ (k－1)×(n－k+1)
=本位茭草積+上邊減一乘層數。
第四種垜積：三角垜積截積分積法
原文為：「置本位三角垜積，上邊減一以乘本位茭草積，上層面積(為第一層茭 草積，凡三角諸積之稱面積者，皆茭草積也)內減一邊以乘本位底邊，相併從之。」94 其想法為：本位三角垜積＋(上邊－1) ×本位茭草積＋(上層面積－邊) ×本位底 邊。
第五種垜積：三角落一積截積分積法
原文為：「置本位三角落一積上邊減一，以乘本位三角垜積，上層面積內減 一邊，以乘本位茭草積，上層三角垜積內減上層面積，以乘本位底邊，相併從之，
92 引自李尚爀，《翼算》下編〈堆垜說〉，頁 10a。
93 引自李尚爀，《翼算》下編〈堆垜說〉，頁 2a。
94 引自李尚爀，《翼算》下編〈堆垜說〉，頁 4a。
得逐層三角垜積之共數也。」95
其想法為：即本位三角落一積+(上邊減一)×本位三角垜積+(上層面積內減一邊)×
本位茭草積+(上層三角垜積內減上層面積)×本位底邊。
第六種垜積：三角撒星積截積分積法
原文為：「置本位三角撒星積上邊減一，以乘本位三角落一積，上層面積內 減一邊，以乘本位三角垜積，上層三角垜積內減上層面積，以乘本位茭草積，相 併從之，得以反錐差乘逐層三角垜積之共數也」96
其想法為：即本位三角撒星積+(上邊減一)×本位三角落一積+(上層面積內減一邊)
×本位三角垜積+(上層三角垜積內減上層面積) ×本位茭草積。
第八種垜積：四角垜積截積分積法
原文為：「置本位四角垜積上邊倍之，內減二，以乘本位茭草積上層面積(為 第一層正方面積，凡四角諸積之稱面積者，皆正方面積也)加一，內減倍邊，以乘本位，
底邊相併從之。」97
其想法為：本位四角垜積+(上邊×2－2) ×本位茭草積+(上層面積+1－上邊×2) ×本 位底邊。
第九種垜積：四角落一積截積分積法
原文為：「置本位四角落一積，上邊倍之內減二，以乘本位三角垜積，上層 面積加一，內減倍邊以乘本位茭草積，上層四角垜積內減上層面積，以乘本位底 邊，相併從之，得逐層四角垜積之共數也。」98
其想法為：本位四角落一積+(上邊×2－2)×本位三角垜積+(上層面積+1－上邊×2)
×本位茭草積+(上層四角垜積－上層面積) ×本位底邊。
第十種垜積：四角撒星積截積分積法
原文為：「置本位四角撒星積，上邊倍之內減二以乘本位三角落一積，上層 面積加一內減倍邊以乘本位三角垜積，上層四角垜積內減上層面積以乘本位茭草 積，相併從之，得以反錐差乘逐層四角垜積之共數也」99
其想法為：本位四角撒星積+(上邊×2－2) ×本位三角落一積+(上層面積+1－上邊
×2)×本位三角垜積+(上層四角垜積－上層面積) ×本位茭草積。若以上層四角落一 積，內減上層四角垜積，以乘本位底邊加之，則為逐層四角落一積之共數。
第十一種垜積：茭草嵐峰積截積分積法
95 引自李尚爀，《翼算》下編〈堆垜說〉，頁 4b。
96 同上。
97 引自李尚爀，《翼算》下編〈堆垜說〉，頁 6a。
98 引自李尚爀，《翼算》下編〈堆垜說〉，頁 7a。
99 引自李尚爀，《翼算》下編〈堆垜說〉，頁 7b。
原文為：「置本位茭草嵐峰積，上邊倍之內減二以乘本位三角垜積，上層面 積加一內減倍邊以乘本位茭草積，相併從之，得按位以層數乘逐層茭草積之共數 也」100
其想法為：本位茭草嵐峰積+(上邊×2－2) ×本位三角垜積+ (上層面積+1－上邊
×2)×本位茭草積。
第三種方法「差分法」，就是高階等差級數，其中三角垜積、三角落一積、
四角垜積、四角落一積、茭草嵐峰積是三階等差級數，故用「三差法」；而三角 嵐峰積、正方嵐峰積、正方嵐峰更落一積、四角嵐峰積是四階等差級數，故用「四 差法」。
第四種垜積：三角垜積截積三差法
原文為：「以第一層面積為上差，第二層面積內減上差為中差，第三層面積 內減二中差及一上差為下差，乃以本位底邊乘上差，以前位茭草積乘中差，以前 前位(前前位者，層數減二之位，後倣此)三角垜積乘下差，併之，得逐層茭草積之共 數也，置本位三角垜積，上邊減一，以乘本位茭草積，併之，得以反錐差乘逐層 底邊之共數也」101
即本位底邊×上差+前位茭草積×中差+前前位三角垜積×下差。
其中，上差=第一層面積，中差=第二層面積內減上差，下差=第三層面積內減二 中差及一上差。
第五種垜積：三角落一積截積三差法
原文為：「以本位茭草積乘上差，以前位三角垜積乘中差，以前前位三角落 一積乘下差，併之，得以反錐差乘逐層茭草積之共數也。」102
即本位茭草積×上差+前位三角垜積×中差+前前位三角落一積×下差。
第八種垜積：四角垜積截積三差法
原文為：「以第一層面積為上差，第二層面積內減上差為中差，第三層面積內 減二中差及一上差為下差，乃以本位底邊乘上差，以前位茭草積乘中差，以前前 位三角垜積乘下差併之，得逐層正方面積之共數也」103
即本位底邊×上差+前位茭草積×中差+前前位三角垜積×下差。
其中，上差=第一層面積，中差=第二層面積－上差，下差=第三層面積－中差×2
－上差。
100 引自李尚爀，《翼算》下編〈堆垜說〉，頁 8a。
101 同上。
102 引自李尚爀，《翼算》下編〈堆垜說〉，頁 5a。
103 引自李尚爀，《翼算》下編〈堆垜說〉，頁 6b。
第九種垜積：四角落一積截積三差法
原文為：「以本位茭草積乘上差，以前位三角垜積乘中差，以前前位三角落 一積乘下差併之」104
即本位茭草積×上差+前位三角垜積×中差+前前位三角落一積×下差。
第十一種垜積：茭草嵐峰積截積三差法
原文為：「以上層每邊為上差，第二層每邊倍之為中差，第三層每邊內減第 二層每邊餘三之為下差，乃以本位茭草積乘上差，以前位三角垜積乘中差，以前 前位三角落一積乘下差，併之得以梯田積，乘逐層底邊之共數也。」105
即本位茭草積×上差+前位三角垜積×中差+前前位三角落一積×下差。
其中，上差=上層每邊，中差=第二層每邊×2，下差=第三層每邊－第二層每邊 第十二種垜積：三角嵐峰積截積四差法
原文為：「以第一層面積為一差，第二層面積倍之為二差，第三層面積內減 第二層面積，餘為積較仍三之為三差，第四層面積內減第二層面積及二倍積，較 餘四之為四差，乃以本位茭草積乘一差，以前位三角垜積乘二差，以前前位三角 落一積乘三差，以又其前位(又其前位者，層數減三之位，後倣此)三角撒星積乘 四差，併之得以梯田積乘逐層茭草積之共數也」106
即本位茭草積×一差+前位三角垜積×二差+前前位三角落一積×三差+又其前位 (層數減三之位) 三角撒星積×四差。
其中，一差=第一層面積，二差=第二層面積×2，三差=(第三層面積－第二層面積)
×3 ，四差=(第四層面積－第二層面積－積較×2)，其中，積較=第三層面積－第 二層面積。
第十三種垜積：正方嵐峰積截積四差法
原文為：「以第一層立方積(即底邊自乘再乘積)為一差，第二層立方積內減 第一層立方積為二差，第三層立方積內減二倍二差及一一差為三差，第四層立方 積內減三倍二差、三倍三差及一差為四差，乃以本位底邊乘一差，以前位茭草積 乘二差，以前前位三角垜積乘三差，以又其前位三角落一積乘四差，併之得逐層 立方積之共數也。」107
即本位底邊×一差+前位茭草積×二差+前前位三角垜積×三差+又其前位三角落一 積×四差。
其中，一差=第一層立方積，二差=第二層立方積－第一層立方積，三差=第三層 立方積－二差×2－一差，四差=第四層立方積－二差×3－三差×3－一差。
104 同上。
105 同上。
106 引自李尚爀，《翼算》下編〈堆垜說〉，頁 9a。
107引自李尚爀，《翼算》下編〈堆垜說〉，頁 9b。
第十四種垜積：正方嵐峰更落一積截積四差法
原文為：「以本位茭草積乘一差，以前位三角垜積乘二差，以前前位三角落 一積乘三差，以又其前位三角撒星積乘四差，併之得以反錐差逐層立方積之共數 也。」108
即本位茭草積×一差+前位三角垜積×二差+前前位三角落一積×三差+又其前位三 角撒星積×四差。
第十五種垜積：四角嵐峰積截積四差法
原文為：「以本位茭草積乘一差，以前位三角垜積乘二差，以前前位三角落
原文為：「以本位茭草積乘一差，以前位三角垜積乘二差，以前前位三角落