2.2.1 宋元時代
宋元時代，中國數學的研究走在世界的最前列，有著輝煌的成就。西元十一 至十三世紀的中國古算家，不僅創造了增程開方法，用來求解高次方程的普遍解 法，也創造了根據已知條件可以列出方程的方法，這就是天元術。天元指的就是 問題中的未知數，「立天元為某某」即為「設 x 為某某」的意思。中國古算書中 有關天元術的著作流傳至今日者只有李冶的《測圓海鏡》、《益古演段》、朱世傑 的《算學啟蒙》以及《四元玉鑑》。以下筆者簡要幾位與本論文有關的中算家：
沈括(1031-1095)撰成中國科技史上的重要著作《夢溪筆談》，其中「隙積術」
將立體體積問題推廣為高階等差級數求和；「會圓術」中提出由弓形之高與徑求 弧長的近似公式，被郭守敬《授時曆》所採用。
李冶(1192-1279)對中國傳統數學設未知列方程和解方程的方法進行了系統 的研究，創造天元術，對勾股容圓等幾何問題也有獨特的闡述，著有《測圓海鏡》
(1248) 、《益古演段》(1259)。在宋代以前，方程理論一直受幾何思維束縛，常 數項只能為正，因為常數項通常是表示面積、體積等幾何量；方程次數不超過三 次，因為高於三次的方程就難於找到幾何解釋。天元術的產生，標誌著方程理論 有了獨立於幾何的傾向，李冶在《測圓海鏡》中改變了「實(常數項)常為正」的 觀念，實可正可負，而不再拘泥於幾何意義。並根據題目需要，多次用天元術列 出高次方程，書中有十九題列出三次方程，十三題列出四次方程，一題列出六次 方程。在列方程時，採用了從○到九的完整數碼，也發明了負號和小數記法，如 此，方程便可用符號表示，從而改變了用文字敘述方程的舊面貌。但仍缺少運算 符號，尤其是沒有等號，這樣的代數，可稱為「半符號代數」。「天元一」雖是文 字形式，但它是代表各種未知數的一般的、抽象的文字，由本質上也可看作符號。
李冶在《測圓海鏡》中全面而有系統地介紹天元術的理論和算法，臨終前對 其子說：「吾生平著述，死後可盡燔去；獨《測圓海鏡》一書，雖九九小數，吾 嘗精思致力焉，後世必有知者，庶可布廣垂永乎？」。此書一成，標誌著天元術 的成熟。在元、明、清三代，《測圓海鏡》多次再版，比較著名的版本有：1287 年李克修再版本，明顧應祥《測圓海鏡分類釋術》(1550 年)，清《四庫全書》本
《測圓海鏡》(1784 年)，《知不足齋叢書》本《測圓海鏡細草》(1789 年)，《白芙 堂算學叢書》本《測圓海鏡細草》(1874 年)，同文館集珍本《測圓海鏡》(1876
年)，《古今算學叢書》本《測圓海鏡》(1898 年)。以《翼算》成書年代為 1868 年，且書中提及「又如《測圓海鏡》正率第十四問草」，筆者推測李尚爀當時所 參考之文本，應屬透過燕行使貿書所得之《知不足齋叢書》本《測圓海鏡細草》
(1789 年)。52
《測圓海鏡》成書後，由於內容深奧，粗知數學者不易懂，於是李冶便著手 寫一部普及天元術的著作，他以北宋蔣周《益古集》為本，寫成《益古演段》， 全書六十四題，除四題為一次方程外，餘皆為二次方程。其理論上亦有所創新：
運用傳統的出入相補原理及各種等量關係來減少未知數個數，化多元問題為一元 問題，最後只剩「天元一」。比較著名的版本有：初版本(1282 年)，明《永樂大 典》本(約 1402-1408 年)，清《四庫全書》本(1786 年)，《知不足齋叢書》本(1789 年)，《白芙堂算學叢書》本(1874 年)，《古今算學叢書》本(1898 年)。53
南宋秦九韶(1202-1261)在 1247 年寫成《數書九章》，書中對「大衍求一術」
和「正負開方術」有相當深入的研究，並完善了高次方程的數值解法，把中國古 代從開方到解高次方程的研究發展到最高水平，他對線性方程組的解法也作了改 進，應用互乘相消法，來代替直除法。
南宋楊輝著有《詳解九章算法》(1261 年)、《日用算法》、《乘除通變本末》
(1274 年)、《田畝比類乘除捷法》(1275 年)、《續古摘奇算法》(1275 年)，後三部 數學著作合稱《楊輝算法》，保存了賈憲的「開方作法本源圖」，在高階等差級數 方面完成開拓性的工作。
元朱世傑著有《算學啟蒙》(1299)、《四元玉鑑》(1303)，把宋代數學家創造 的天元術推廣成四元術，建立以籌式表達的四元高次方程組，並引消去法化成一 元高次方程，然後用增乘開方法來解方程。《四元玉鑑》中另一傑出成就是垜積 招差術，垜積即高階等差級數，招差即高次內插法，在這兩方面，他已實際掌握 一般三角垜和嵐峰形垜求和公式，並實際上掌握了任意次差的「招差術」。
《算學啟蒙》一書流傳到朝鮮、日本後，產生了巨大的影響。它是教材和選 拔算官的基本書籍之一，在朝鮮已知的刻本有宣德八年(1433)慶州府刻本，順治 十七年(1660)金始振刻本。清朝的翻刻本有同治十年(1871)江南機器製造局影寫 重刊本，光緒八年(1882)醉六堂本，光緒二十一年(1895)上海易著堂石印本，以 及測海山房中西算學叢刻本。此外，又有一本朝鮮人金正喜影寫金始振刻本的《算 學啟蒙》贈給徐有壬(1800-1860)。54
52 參閱孔國平，〈《測圓海鏡》提要〉，收入《中國科學技術典籍通彙》數學卷，第一分冊，頁 725-728。
53 參閱孔國平，〈《測圓海鏡》提要〉，收入《中國科學技術典籍通彙》數學卷，第一分冊，頁 871-872。
54 參閱孔國平，〈《測圓海鏡》提要〉，收入《中國科學技術典籍通彙》數學卷，第一分冊，頁 1201-1204
2.2.2 明代
明代崇尚理學，不重視科學研究，不僅在傳統曆法方面，在傳統數學方面也 處於衰微時期，對古代數學精華往往不得其解，漢唐《算經十書》及宋元算書在 當時已幾乎成為絕學，這一時期數學著作大多是復述以前的工作，很少有所創 新。到明末清初，西方以《幾何原本》和《同文算指》為代表的初等數學開始由 傳教士傳入。許多學者開始研究西方數學、天文學，使這一時期的中西會通達到 高潮。
宋元數學家使用的天元術，至明代已很少有人理解，顧應祥在《測圓海鏡分 類釋術》中稱：「雖徑立天元一，反復合之，而無下手之術，使後學之士茫然無 門路可入。」宋元時期的增乘開方法、四元術也無人知曉。顧應祥曾藏有朱世傑 的《四元玉鑑》，見明嘉靖版《勾股算術》序，但未見有研究著作。徐光啟在《刻
〈同文算指〉》序中曾分析了數百年來數學不能發展的原因，認為「名理之儒士 苴天下之實事」、「妖妄之術謬言數有神理」是明代數學落後的原因，徐光啟曾打 算對元代數學家李冶的《測圓海鏡》加以嚴格的論證，但這一計劃未能實現。
2.2.3 清代
明末清初傳入西方數學，中西之爭日趨劇烈，梅文鼎(1633~1722)在當時堅 信中國傳統數學「必有精理」，不遺餘力的表彰古代數學，同時又正確的對待西 方數學：「技取其長而理唯其是」，「法有可採，何論東西；理所當明，何分新 舊」，應該「去中西之見，以平心觀理」，促進了這個時期數學的發展。梅文鼎 是清初最著名的中算家之一，他一生孜孜不倦地從事曆算研究，著述頗豐，圖2-6 為其孫梅瑴成所收編成之《梅氏叢書輯要》(1723年兼濟堂刻本)。而在表2-4《奎 章閣圖書中國本綜合目錄》所列書目《梅氏叢書》之卷頭書名「兼濟堂纂刻梅勿 庵先生曆算全書」則為魏荔彤編、楊作枚校刊本，咸豐9年(1859)時「閒妙香室 藏板」再傳刻之版本。55「幾何即勾股論」是其幾何學著作的核心思想，在《方 程論》中對線性方程進行分類，對係數是分數的方程組提出新的解法。在《少廣 拾遺》中依據二項式定理係數，舉例說明求平方、立方到十二乘方正根的方法。
56雖未能恢復和發展增乘開方法，但已使明代逐漸消失的求高次冪正根的方法重 新活絡起來。他的著作有釋義、有理論、有解法、有應用，他的研究範圍幾乎涉 及當時可能接觸到的各種領域，並取得了相當水準的成果。與他同時或在他以
55 梅文鼎終生從事天文數學研究，有天文著作 62 種，在《梅氏叢書輯要》中收入 10 種 20 卷。
他的孫子梅瑴成對魏荔彤編的《梅氏曆算全書》(1723 年)有不同意見，於 1761 年重編《梅氏叢 書輯要》60 卷，數學著作 13 種共 40 卷 ，《方程論》(1674)共 6 卷，《少廣拾遺》(1692)1 卷。
56 參閱劉鈍，〈梅文鼎在幾何學領域的若干貢獻〉，載於梅榮照主編，《明清數學史論文集》(南 京：江蘇教育出版社，1990，頁 182-218)；劉鈍，〈清初曆算大師梅文鼎〉，《自然辯證法通訊》
1986.1:61。
後，慕名向他求教的學者很多，甚至有「裹糧走千里，往見梅文鼎」的說法。《疇 人傳》對梅文鼎著作的評價是：「其論算之文務在顯明，不辭勞拙，往往以平易 之語，解極難之法，淺近之言，達至深之理，使讀其書不待詳求而義可曉然。」。
圖2-6 梅氏叢書輯要書影57
梅文鼎之孫梅瑴成(1681-1763)，自幼在家從其祖父學習曆算。後來被調至暢 春園蒙養齋參加《數理精蘊》的編撰工作。由於他將天元術與康熙皇帝所授的借 根方法聯繫起來，用借根方法理解《授時曆》中使用天元術求矢的問題，「乃渙 然冰釋，殆名異而實同」，遂確信「天元一即借根方解」。58在他的繼續倡導下，
「西學中源」說在此後更廣為流傳，以至清末。至民國初年，它還是對一些自幼 就接受新式教育的學者產生了影響。陳在新(1879-1945)在1913年序《高級代數學》
時就寫道：「代數學即古之天元、四元術也。我中國通行已久，而尤昌明於宋代。
如祖沖之、朱世傑、秦九韶、楊輝、李冶等，皆著有成書，闡發此種學理。」59 康熙時代(1662-1722)是繼明末之後中西科學交流的又一高潮，從1689年底開 始，耶穌會士頻繁出入宮廷，向康熙傳授數學。1713年，康熙給皇三子胤祉下旨，
編譯《曆象考成》(原名《欽若曆書》)、《數理精蘊》等天文、數學著作。《數理 精蘊》因被冠以御製的名義，故影響深遠。而雍正一反康熙對西方科學的開放與 支持，採取保守的閉關政策，清中葉的算學研究焦點逐漸轉向中國傳統數學，乾 隆、嘉慶年間成立四庫全書館，網羅人才重新整理古代典籍，古典考證學一時蔚 為風氣，促進了古算的研究和宋元數學的復興，為中算帶來一股希望。
自乾嘉時期掀起研究整理中國古算的熱潮之後，《九章算術》當時被看「學
自乾嘉時期掀起研究整理中國古算的熱潮之後，《九章算術》當時被看「學