三角形與四邊形的概念

一、概念

張春興(1989)認為廣義的概念是指對同類事物獲得的概括性的單一認知經 驗；狹義的概念是指以單一概括性的名稱或符號，代表具有共同屬性的一類事物 的全體時，此名稱或符號所代表的即為概念。概念的形成是經由學習的，簡單概 念學習的過程，主要是經由類化與辨別的交互作用，把對具體事物的經驗，經抽 象化而形成超越具體對象的認識；複雜概念的學習，則需經由理解或假設驗證的 思考歷程。

Skemp(1987/2005)認為抽象化(abstracting)是一種心智活動過程，使我們瞭解 各種周圍環境經驗之間的相似性、共通性；分類(classifying)是把具有相似性、共 通性的經驗歸在一起。抽象化的過程就是概念形成的過程，抽象化的結果就是概 念。概念的形成必頇先具有某些相似處、共通性的實際經驗，由這些實際經驗抽 象化形成初級概念，再根據這些初級概念抽象化形成次級概念。往往要經歷多次 抽象才能形成概念，而形成概念的過程主要包括下列五種重要的特徵(Skemp, 1979)：

1.意識(realization)：指一個新的概念，透過環境經由感官輸入概念結構，此時，

新的概念沒有聯繫上概念結構中的任何一個概念。

2.同化(assimilation)：指在概念結構中找出與新的概念相類似的概念。

3.擴張(expansion)：指以概念結構中已有的概念來領悟這個新的概念，使其成為 概念結構的一部分。

4.分化(differentiation)：指分辨新的概念和一些已有的概念之間的異同處。

5.重建(re-construction)：指當問題的情境改變，已經建立的概念結構雖然具有相 關性，卻不適用於此情境時，必頇重新建立個體的概念結構。

圖形是為了明確地表現實體物的形狀、大小、位置而產生的一種概念。劉秋 木(1996)提到人透過知覺運動與世界互動，從中發現有些東西可以滾、有些東西 可以堆疊，函以分析歸納後，分辨出帄的與曲的兩種屬性，進而形成帄面與曲面 的概念。在這種探索中，人們分析出許多有用的屬性，如形狀、大小、方向等等。

依據這些屬性，幾何學家建立起他們的幾何學問，而產生一些幾何系統。劉好(引 自曾怡嘉，2008)認為圖形並不是實際存在的東西，而是附著在具體存在的物體 上，從具體物中摒棄其顏色、氣味、材質、輕重、硬度、厚度、大小等特性之後 抽象的結果，也就是說，它只是實體物外觀的樣子。因此，幾何圖形是從我們日

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常生活接觸的實物中，抽取出相似性、共通性而形成的抽象概念。

二、概念心像(concept image)與概念定義(concept definition)

在數學領域裡，除了最原始的概念，所有的數學概念都有一個形式的且嚴密 的定義，稱為概念定義(concept definition)，這些定義會在學校的課程中被介紹。

但是，學生在決定一個數學物件是不是某個概念的例子時，並不一定是使用形式 上的定義來決定，而是以心中對該概念存在的圖像來決定，稱為概念心像(concept image) (Vinner & Dreyfus, 1989)。

Vinner (1983)認為抽象概念的認知結構主要是由概念心像(concept images)和 概念定義(concept definition)兩種元素組成，也就是他假定每個概念的認知結構中 存在兩種不同的組成元素，一個組成元素是概念定義，另一個組成元素是概念心 像。這兩個組成元素中，可能有一個是空的，也可能兩個都是空的。雖然他們是 獨自形成，但是兩者之間可能會有交互作用。

Vinner (1991)將概念心像和概念定義看成兩個空格。一開始，當某個概念名 詞還沒被賦予任何意義時，概念心像和概念定義的兩個格子都是空的。等到學生 看到一些心智圖像的表徵之後，概念心像就開始形成，而在老師介紹了這個概念 名詞的定義之後，概念定義的空格可能就被填滿了。但是概念定義可能在短時間 內就被遺忘，當學生再度被要求敘述這個概念的定義時，學生通常是用概念心像 來呈現。

概念建構發展的歷程中，概念心像和概念定義必頇經過多次的交互作用，才 能夠發展出更成熟的概念(Vinner, 1991)。首先，學生藉由對外界各種不同事物的 觀察，形成初步的概念心像，接著藉由教師的引導和協助，開始詮釋自己擁有的 概念心像，形成新概念或知識的概念定義。在概念定義形成後，再回頭修正概念 心像，直到概念心像和概念定義達成帄衡。如果此時的概念心像和概念定義沒有 達到數學上所界定的完整概念，當概念心像或概念定義其中一個發生改變時，概 念心像和概念定義之間便又再次產生不帄衡，而引發概念心像和概念定義間的交 互作用，直到概念心像和概念定義再次達成帄衡。整個概念建構發展的歷程，就 是透過概念心像和概念定義間來來回回地調整，如圖 2-1。

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圖 2-1

概念心像和概念定義的交互作用圖(Vinner, 1991)

但是，大部分的教師似乎比較希望學生建立概念心像時，完全是由概念定義 來主導，期望學生透過圖 2-2 的方式形成數學上的形式的概念。

圖 2-2

表面化的認知發展歷程圖(Vinner, 1991)

除了概念建構發展的歷程之外，關於概念心像和概念定義，Vinner(1991)提 出四個解決問題認知歷程，如圖 2-3、圖 2-4、圖 2-5 和圖 2-6。

圖 2-3 是當學生面對問題時，先去檢視自己對於此概念所擁有的定義，再從 概念心像中找尋是否有同樣的概念，接著再次檢驗答案和概念定義是否相符，最 後才呈現出自己的答案。這樣反覆檢驗概念心像和概念定義的目的，是在確定心 像、定義和所提出的答案是否互相吻合。雖然這是避免錯誤最好的方式，不過前 提是必頇對概念心像和概念定義都有相當程度的瞭解。

圖 2-3

反覆檢驗概念心像和概念定義的解決問題認知歷程圖(Vinner, 1991)

圖 2-4 是當學生面對問題時，只透過自己擁有的概念定義來解決問題，而完 概念定義 概念心像

輸出

輸入

概念定義 概念心像 概念定義 概念心像

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全不理會概念心像的部份。這樣的解決問題認知歷程雖然相當快速，但是有時候 會因為概念定義的模糊或問題太過複雜，而導致答案不夠完整。這樣的解決問題 認知歷程也可能發生在對問題沒有概念心像的學生身上，學生只是機械性地解決 問題。

圖 2-4

純粹的形式演繹圖(Vinner, 1991)

圖 2-5 是當學生面對問題時，直接從自己的概念心像中找尋例證，找到相關 的例證後，再檢視自己所擁有的概念定義。這方式已經擁有概念心像和概念定義 間的交互作用，但是任何圖例都只能提供某方面有用的比對，不可能完全滿足定 義，因此，解決問題時先透過學生的概念心像，難免會出現誤差，尤其是在處理 非一般化的問題時。

圖 2-5

直觀思考下的形式演繹圖(Vinner, 1991)

圖 2-6 是當學生面對問題時，沒有憶取概念定義，只憑概念心像來回答問題，

這種方式不能處理比較困難的問題，尤其是在概念心像尚未成熟之前，很容易產 概念定義 概念心像

輸出

輸入

概念定義 概念心像 輸出

輸入

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生迷思概念。

圖 2-6

直觀反應的解決問題認知歷程圖(Vinner, 1991)

教師通常認為學生解決問題時，是先想到相關的定義，再藉由概念心像幫助 他們解決問題。其實，在現實情境中，學生通常無法憶取概念定義來形成答案，

多數學生在接觸問題時，最先進入思考工作區的是相關的概念心像，而不論在形 成心像的過程中，或在認知的工作下，教師都很難強迫學生憶取概念定義。由此 可知概念心像對學習的重要。

三、三角形與四邊形概念之相關研究

國內外對於三角形與四邊形概念的相關文獻整理於表 2-4、表 2-5 和表 2-6。

概念定義 概念心像 輸出

輸入

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表 2-5

四邊形概念之相關研究歸納表

研究者 研究時間 研究對象 研究結果

Fischbein &

Nachlieli

1998 九至十一年級

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對稱軸為垂直或水帄、有水帄垂直擺放直角在上的三角形不是直角三角形等。因 此研究者在進行圖形分類時，還依據圖形的方向，考慮下列幾種情形：圖形是不 是有水帄邊、鉛直邊；若四邊形的對角線為對稱軸，對稱軸是否呈鉛直；圖形中 各邊長的相對應位置等。例如：將正方形再分為三類，一類是有一組帄行邊呈水 帄且另一組呈鉛直，一類是有一條對角線呈水帄且另一條呈鉛直，一類是沒有邊 和對角線呈水帄和鉛直。

學生於描述為什麼是所要求的圖形時，不見的會用圖形該有的條件描述，可 能會使用圖形的部分特徵、形容詞、生活實例來說明。所以研究者在進行文字描 述的分類時，以學生所提及的關鍵字分類，特別將形容詞、生活實例各自獨立為 一類。

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