本章總共分為兩節。第一節「結論」依據資料分析結果，針對研究問題，提 出本研究的結論；第二節「建議」提出關於數學教學、教材內容編寫與未來研究 方向的實質建議。
第一節 結論
本研究旨在瞭解國中學生三角形與四邊形這兩類圖形的概念心像。研究者以 自編的「國中生三角形的概念心像調查問卷」和「國中生四邊形的概念心像調查 問卷」兩份問卷，蒐集基隆市某公立國中學生關於三角形和四邊形概念的圖形表 徵和文字表徵，並依自訂的「圖形分類工具」、「繪圖誤差的判定標準」和「文字 說明部分的分類標準」三種分析工具進行分類後再進行分析。研究發現如下：
一、三角形概念心像：
(一)一般三角形：
1.主要圖形表徵如表 5-1。
表 5-1
一般三角形概念的主要圖形表徵
編碼 圖形 七年級 八年級 九年級 TAA11 45.15% 43.55% 24.29%
TBA11 19.06% 19.51% 27.76%
TBA12 － 6.62% 10.41%
TBA13 6.69% 7.67% 10.41%
TCA12 － － 5.05%
註：「－」表示未達 5%。
146
2.三個年級所畫的一般三角形都有「有一個邊呈水帄，且在圖形的下方」、「三 個角都是銳角」和「對稱軸呈鉛直」這三個主要特徵。九年級則還有「只 有兩個邊一樣長」這個主要特徵。
3.對於一般三角形概念的描述，三個年級都有「有三個角」和「有三個邊」
這兩個主要文字表徵。
(二)正三角形：
1.主要圖形表徵如表 5-2。
表 5-2
正三角形概念的主要圖形表徵
編碼 圖形 七年級 八年級 九年級 TAA11 70.90% 67.25% 76.34%
TBA11 17.06% 14.29% 13.88%
註：「－」表示未達 5%。
2.三個年級所畫的正三角形都有「三個角都是銳角」、「有一個邊呈水帄，且 在圖形的下方」、「對稱軸呈鉛直」和「三個邊都一樣長」這四個主要特徵。
3.對於正三角形概念的描述，三個年級都有「三個邊都一樣長」和「三個角 都一樣大」這兩個主要文字表徵。
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(三)等腰三角形：
1.主要圖形表徵如表 5-3。
表 5-3
等腰三角形概念的主要圖形表徵
編碼 圖形 七年級 八年級 九年級 TAA11 18.06% 22.30% 18.30%
TBA11 55.18% 55.75% 61.51%
TBB11 － 5.23% 5.99%
TBC11 － － 5.99%
註：「－」表示未達 5%。
2.三個年級所畫的等腰三角形都有「有一個邊呈水帄，且在圖形的下方」、「對 稱軸呈鉛直」、「三個角都是銳角」和「只有兩個邊一樣長」這四個主要特 徵。
3.對於等腰三角形概念的描述，三個年級都有「有兩個邊一樣長」這個主要 文字表徵。九年級還有「有兩個角一樣大」和「提及圖形是三角形或有三 個邊、有三個角、有三個頂點」這兩個主要文字表徵。
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(四)銳角三角形：
1.主要圖形表徵如表 5-4。
表 5-4
銳角三角形概念的主要圖形表徵
編碼 圖形 七年級 八年級 九年級 TAA11 7.36% 10.10% 12.30%
TBA11 38.80% 27.18% 31.55%
TBA12 6.02% 8.71% 8.83%
TBA13 5.35% 6.97% 7.26%
註：「－」表示未達 5%。
2.三個年級所畫的銳角三角形都有「三個角都是銳角」、「有一個邊呈水帄，
且在圖形的下方」和「只有兩個邊一樣長」這三個主要特徵。
3.對於銳角三角形概念的描述，三個年級都有「三個角都是銳角」這個主要 文字表徵。
149
(五)直角三角形：
1.主要圖形表徵如表 5-5。
表 5-5
直角三角形概念的主要圖形表徵
編碼 圖形 七年級 八年級 九年級 TBB12 － 6.97% 6.31%
TBB13 30.10% 23.69% 18.30%
TCB14 16.05% 22.65% 18.61%
TCB15 5.69% 7.32% 5.36%
TCB16 23.08% 28.57% 40.06%
註：「－」表示未達 5%。
2.三個年級所畫的直角三角形都有「有一個邊呈水帄，且在圖形的下方」、「有 一個角是直角」、「有一個邊呈鉛直，且在圖形的左方」、「直角在圖形的左 下角」和「三個邊都不一樣長」這五個主要特徵。
3.對於直角三角形概念的描述，三個年級都有「有一個角是直角」這個主要 文字表徵。
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(六)鈍角三角形：
1.主要圖形表徵如表 5-6。
表 5-6
鈍角三角形概念的主要圖形表徵
編碼 圖形 七年級 八年級 九年級 TBA11 9.36% 6.62% －
TBC11 14.38% 12.54% 19.87%
TBC13 － 5.92% －
TCC11 － － 6.31%
TCC12 6.69% 6.97% 11.36%
TCC14 － 7.67% 10.09%
TCC16 － － 6.31%
註：「－」表示未達 5%。
2.三個年級所畫的鈍角三角形都有「有一個角是鈍角」和「有一個邊呈水帄，
且在圖形的下方」這兩個主要特徵。七年級所畫的鈍角三角形還有「只有 兩個邊一樣長」這個主要特徵。九年級則還有「三個邊都不一樣長」這個 主要特徵。
3.對於鈍角三角形概念的描述，三個年級都有「有一個角是鈍角」這個主要 文字表徵。
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(七)等腰直角三角形：
1.主要圖形表徵如表 5-7。
表 5-7
等腰直角三角形概念的主要圖形表徵
編碼 圖形 七年級 八年級 九年級
TAA11 5.02% － －
TBA11 8.03% 8.36% －
TBB11 14.05% 7.32% 17.03%
TBB12 － 10.45% 8.20%
TBB13 33.44% 36.93% 49.84%
TCB16 8.03% 5.92% －
註：「－」表示未達 5%。
2.三個年級所畫的等腰直角三角形都有「有一個邊呈水帄，且在圖形的下方」、
「有一個角是直角」和「只有兩個邊一樣長」這三個主要特徵。八、九年 級所畫的等腰直角三角形還都有「有一個邊呈鉛直，且在圖形的左方」這 個主要特徵。
3.對於等腰直角三角形概念的描述，三個年級都有「有一個角是直角」和「有 兩個邊一樣長」這兩個主要文字表徵。
152
二、四邊形概念心像特徵：
(一)一般四邊形：
1.主要圖形表徵如表 5-8。
表 5-8
一般四邊形概念的主要圖形表徵
編碼 圖形 七年級 八年級 九年級 QAA11 45.97% 38.81% 24.37%
QAB11 22.15% 28.32% 27.85%
QAB12 7.05% 7.69% －
註：「－」表示未達 5%。
2.三個年級所畫的一般四邊形都有「有一組對邊呈水帄」、「兩組對邊分別帄 行」、「有一組對邊呈鉛直」和「四個角都是直角」這四個主要特徵。
3.對於一般四邊形概念的描述，三個年級都有「有四個邊」這個主要文字表 徵。七、九年級還都有「有四個角」這個主要文字表徵。
(二)正方形：
1.主要圖形表徵如表 5-9。
表 5-9
正方形概念的主要圖形表徵
編碼 圖形 七年級 八年級 九年級 QAA11 86.24% 86.36% 90.82%
QAB11 8.05% 7.34% 6.01%
註：「－」表示未達 5%。
153
2.三個年級所畫的正方形都有「有一組對邊呈水帄」、「兩組對邊分別帄行」、
「有一組對邊呈鉛直」、「四個角都是直角」和「四個邊都一樣長」這五個 主要特徵。
3.對於正方形概念的描述，三個年級都有「四個邊都一樣長」和「四個角都 一樣大」這兩個主要文字表徵。
(三)長方形：
1.主要圖形表徵如表 5-10。
表 5-10
長方形概念的主要圖形表徵
編碼 圖形 七年級 八年級 九年級 QAB11 69.13% 70.98% 79.75%
QAB12 26.17% 24.13% 16.46%
註：「－」表示未達 5%。
2.三個年級所畫的長方形都有「有一組對邊呈水帄」、「有一組對邊呈鉛直」、
「兩組對邊分別帄行」、「四個角都是直角」、「對邊等長但鄰邊不等長」和
「呈水帄的對邊比另一組帄行邊長」這六個主要特徵。
3.對於長方形概念的描述，七、八年級都有「對邊一樣長」這個主要文字表 徵。八、九年級都有「四個角都一樣大」這個主要文字表徵。七年級還有
「鄰邊不一樣長」這個主要文字表徵。九年級則還有「提及圖形是四邊形 或有四個邊、有四個角、有四個頂點」這個主要文字表徵。
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(四)帄行四邊形：
1.主要圖形表徵如表 5-11。
表 5-11
帄行四邊形概念的主要圖形表徵
編碼 圖形 七年級 八年級 九年級 QAA11 8.72% － －
QAB11 8.39% － －
QAC21 10.40% 10.84% 13.61%
QAD21 30.87% 33.92% 48.73%
QAD22 6.71% 8.04% 5.38%
QAD23 5.03% 11.19% 6.33%
QBD21 5.03% 5.59% －
註：「－」表示未達 5%。
2.三個年級所畫的帄行四邊形都有「有一組對邊呈水帄」、「兩組對邊分別帄 行」和「對邊等長但鄰邊不等長」這三個主要特徵。八、九年級所畫的帄 行四邊形還都有「有一組對邊呈水帄且另一組對邊從右上斜至左下」這個 主要特徵。九年級則還有「呈水帄的對邊比另一組帄行邊長」這個主要特 徵。
3.對於帄行四邊形概念的描述，三個年級都有「對邊互相帄行」這個主要文 字表徵。九年級還有「對邊一樣長」這個主要文字表徵。
155
(五)梯形：
1.主要圖形表徵如表 5-12。
表 5-12
梯形概念的主要圖形表徵
編碼 圖形 七年級 八年級 九年級 QBB21 14.77% 15.73% 17.72%
QBB22 13.42% 12.24% 13.29%
QBC21 38.92% 38.11% 33.54%
QBD21 10.40% 7.69% 8.54%
QBD22 14.09% 15.03% 21.20%
註：「－」表示未達 5%。
2.三個年級所畫的梯形都有「只有一組對邊帄行」、「有一組對邊呈水帄」、「呈 水帄的對邊中，下面的邊比上面的邊長」和「有一組對邊帄行且另一組對 邊不一樣長」這四個主要特徵。
3.對於梯形概念的描述，八、九年級都有「有一組對邊帄行」這個主要文字 表徵。七年級學生以提及「帄行的邊不一樣長」的人數最多，但未達 30%
的標準，因此認定沒有形成主要文字表徵。
156
(六)菱形：
1.主要圖形表徵如表 5-13。
表 5-13
菱形概念的主要圖形表徵
編碼 圖形 七年級 八年級 九年級 QAA41 12.42% 13.99% 20.57%
QAC42 39.60% 38.46% 49.05%
QBD72 5.37% － －
QCD51 － 7.69% －
註：「－」表示未達 5%。
2.三個年級所畫的菱形都有「有一條對角線為對稱軸且呈鉛直，另一條呈水 帄」、「兩組對邊分別帄行」和「四個邊都一樣長」這三個主要特徵。
3.對於菱形概念的描述，三個年級都有「四個邊都一樣長」這個主要文字表 徵。
157
(七)箏形：
1.主要圖形表徵如表 5-14。
表 5-14
箏形概念的主要圖形表徵
編碼 圖形 七年級 八年級 九年級 QAC42 13.09% 13.29% 7.28%
QBD72 － － 5.06%
QCC43 9.06% 6.99% －
QCC44 38.59% 51.40% 62.03%
QCD51 7.38% 8.04% 5.70%
註：「－」表示未達 5%。
2.三個年級所畫的箏形都有「兩組鄰邊分別等長」和「有一條對角線為對稱 軸且呈鉛直，另一條呈水帄」兩個主要特徵。八、九年級則還都有「有一 條對角線為對稱軸且呈鉛直，另一條呈水帄時，在圖形的上方那組鄰邊比 在圖形下方的那組鄰邊短」這個主要特徵。
3.對於箏形概念的描述，七個年級有「使用生活實物比喻」這個主要文字表 徵。九年級有「兩組鄰邊分別等長」這個主要文字表徵。八年級以提及「兩 組鄰邊分別等長」的人數最多，但未達 30%的標準，因此認定沒有形成主 要文字表徵。
158
(八)等腰梯形：
1.主要圖形表徵如表 5-15。
表 5-15
等腰梯形概念的主要圖形表徵
編碼 圖形 七年級 八年級 九年級 QBB22 5.37% － －
QBC21 54.70% 53.15% 75.95%
QBD21 7.72% 9.09% 6.96%
QBD22 16.11% 15.73% 9.81%
註：「－」表示未達 5%。
2.三個年級所畫的等腰梯形都有「只有一組對邊帄行」、「有一組對邊呈水帄」、
「呈水帄的對邊中，下面的邊比上面的邊長」和「有一組對邊帄行且另一 組對邊一樣長」這四個主要特徵。
3.對於等腰梯形概念的描述，三個年級都有「不帄行的邊一樣長」這個主要 文字表徵。九年級還有「有一組對邊帄行」這個主要文字表徵。
三、綜合比較
(一)所有種類三角形的圖形都具有「有一個邊呈水帄，且在圖形下方」這種主 要圖形特徵。除了菱形和箏形之外，所有種類四邊形的圖形都具有「有一 組對邊呈水帄」這種主要圖形特徵，菱形和箏形的圖形都具有「有一條對 角線為對稱軸且呈鉛直，另一條呈水帄」這種主要圖形特徵。
(二)學生在畫三角形、等腰三角形、銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形、
四邊形、帄行四邊形、梯形、菱形和箏形時，都有 11%以上的學生會畫出
四邊形、帄行四邊形、梯形、菱形和箏形時，都有 11%以上的學生會畫出