國中學生三角形的概念心像

本節總共分為八個部份：一、一般三角形的概念心像；二、正三角形的概念 心像；三、等腰三角形的概念心像；四、銳角三角形的概念心像；五、直角三角 形的概念心像；六、鈍角三角形的概念心像；七、等腰直角三角形的概念心像；

八、各種三角形的綜合比較。第一至第七部份依序描述學生的繪圖表現和文字說 明表現，第八部份敘述各種三角形概念心像之間的綜合比較。

繪圖表現分為圖形表徵和圖形特徵兩類來報導，圖形表徵以表格列出有 3%

以上的學生繪製的圖形類型，表格中虛線的上方代表有 5%以上的學生繪製的圖 形類型，即為主要圖形表徵；圖形特徵以表格列出學生繪製的圖形中，有 20%

以上的圖形所具有的特徵，表格中虛線的上方代表有 50%以上的圖形所具有的特 徵，即為圖形主要特徵。文字說明表現報導文字表徵，以表格列出 5%以上的學 生提及的文字描述，表格中虛線的上方代表有 30%以上的學生提及的文字描述，

即為主要文字表徵。

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一、一般三角形的概念心像 (一)學生的一般三角形繪圖表現

本項依照學生在第 1 題的第(1)小題「請畫出一個三角形。」中的繪圖表 現進行分析。

1.七年級學生的一般三角形繪圖表現 (1)圖形表徵有六種，如表 4-1 所示。

表 4-1

七年級學生一般三角形概念的圖形表徵

編碼 圖形 人數 百分比

TAA11 135 人 45.15%

TBA11 57 人 19.06%

TBA13 20 人 6.69%

TBB11 13 人 4.35%

TCA12 13 人 4.35%

TBA12 12 人 4.01%

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(2)圖形特徵有五種，如表 4-2 所示。

表 4-2

七年級學生所繪一般三角形的圖形特徵

學生所繪圖形的特徵 人數 百分比

有一個邊呈水帄，且在圖形的下方 281 人 93.98%

三個角都是銳角 259 人 86.62%

對稱軸呈鉛直 207 人 69.23%

三個邊都一樣長 140 人 46.82%

只有兩個邊一樣長 116 人 38.80%

2.八年級學生的一般三角形繪圖表現 (1)圖形表徵有四種，如表 4-3 所示。

表 4-3

八年級學生一般三角形概念的圖形表徵

編碼 圖形 人數 百分比

TAA11 125 人 43.55%

TBA11 56 人 19.51%

TBA13 22 人 7.67%

TBA12 19 人 6.62%

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(2)圖形特徵有五種，如表 4-4 所示。

表 4-4

八年級學生所繪一般三角形的圖形特徵

學生所繪圖形的特徵 人數 百分比

有一個邊呈水帄，且在圖形的下方 271 人 94.43%

三個角都是銳角 243 人 84.67%

對稱軸呈鉛直 190 人 66.20%

三個邊都一樣長 128 人 44.60%

只有兩個邊一樣長 125 人 43.55%

3.九年級學生的一般三角形繪圖表現 (1)圖形表徵有六種，如表 4-5 所示。

表 4-5

九年級學生一般三角形概念的圖形表徵

編碼 圖形 人數 百分比

TBA11 88 人 27.76%

TAA11 77 人 24.29%

TBA12 33 人 10.41%

TBA13 33 人 10.41%

TCA12 16 人 5.05%

TBB11 12 人 3.79%

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(2)圖形特徵有五種，如表 4-6 所示。

表 4-6

九年級學生所繪一般三角形的圖形特徵

學生所繪圖形的特徵 人數 百分比

有一個邊呈水帄，且在圖形的下方 298 人 94.01%

三個角都是銳角 268 人 84.54%

對稱軸呈鉛直 182 人 57.41%

只有兩個邊一樣長 180 人 56.78%

三個邊都一樣長 78 人 24.61%

4.綜合比較

(1)對於一般三角形概念的圖形，三個年級都有「有一個邊呈水帄，且在 圖形的下方」、「三個角都是銳角」和「對稱軸呈鉛直」這三個主要特 徵。九年級則還有「只有兩個邊一樣長」這個主要特徵。

(2)在畫一般三角形時，三個年級分別都有 85%以上的學生畫出三角形中 的特例正三角形或等腰三角形。隨著年級越高，畫出來的是正三角形 的學生所占的比例越低(七年級占 46.82%、八年級占 44.60%、九年級 占 27.18%)；畫出來的是等腰三角形的學生所占的比例越高(七年級占 38.80%、八年級占 43.55%、九年級占 62.72%)。

(二)學生的一般三角形文字說明表現

本項依照學生在第 1 題的第(2)小題「請說明為什麼你在第(1)小題中畫的 圖形是一個三角形。」中的文字說明表現進行分析。

1.七年級學生的一般三角形文字說明表現 文字表徵有四種，如表 4-7 所示。

表 4-7

七年級學生一般三角形概念的文字表徵

學生提及的圖形屬性 人數 百分比

有三個角 213 人 71.24%

有三個邊 164 人 54.85%

三個邊都一樣長 59 人 19.73%

三個角都一樣大 34 人 11.37%

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11.99%的學生提及「三個內角和等於 180 度」、有 5.99%的學生提及「任 意兩邊的和大於第三邊」，可見部分國中生不清楚三角形的定義，而將 這些性質當作定義使用。

二、正三角形的概念心像 (一)學生的正三角形繪圖表現

本項依照學生在第 2 題的第(1)小題「請畫出一個正三角形。」中的繪圖 表現進行分析。

1.七年級學生的正三角形繪圖表現 (1)圖形表徵有三種，如表 4-10 所示。

表 4-10

七年級學生正三角形概念的圖形表徵

編碼 圖形 人數 百分比

TAA11 212 人 70.90%

TBA11 51 人 17.06%

TBA13 9 人 3.01%

(2)圖形特徵有五種，如表 4-11 所示。

表 4-11

七年級學生所繪正三角形的圖形特徵

學生所繪圖形的特徵 人數 百分比

有一個邊呈水帄，且在圖形的下方 290 人 96.99%

三個角都是銳角 287 人 95.99%

對稱軸呈鉛直 264 人 88.29%

三個邊都一樣長 217 人 72.58%

只有兩個邊一樣長 72 人 24.08%

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2.八年級學生的正三角形繪圖表現 (1)圖形表徵有四種，如表 4-12 所示。

表 4-12

八年級學生正三角形概念的圖形表徵

編碼 圖形 人數 百分比

TAA11 193 人 67.25%

TBA11 41 人 14.29%

TBA12 12 人 4.18%

TBA13 11 人 3.83%

(2)圖形特徵有五種，如表 4-13 所示。

表 4-13

八年級學生所繪正三角形的圖形特徵

學生所繪圖形的特徵 人數 百分比

三個角都是銳角 274 人 95.47%

有一個邊呈水帄，且在圖形的下方 272 人 94.77%

對稱軸呈鉛直 240 人 83.62%

三個邊都一樣長 202 人 70.38%

只有兩個邊一樣長 73 人 25.43%

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3.九年級學生的正三角形繪圖表現 (1)圖形表徵有兩種，如表 4-14 所示。

表 4-14

九年級學生正三角形概念的圖形表徵

編碼 圖形 人數 百分比

TAA11 242 人 76.34%

TBA11 44 人 13.88%

(2)圖形特徵有四種，如表 4-15 所示。

表 4-15

九年級學生所繪正三角形的圖形特徵

學生所繪圖形的特徵 人數 百分比

三個角都是銳角 308 人 97.16%

有一個邊呈水帄，且在圖形的下方 305 人 96.21%

對稱軸呈鉛直 289 人 91.17%

三個邊都一樣長 248 人 78.23%

4.綜合比較

(1)對於正三角形概念的圖形，三個年級都有「三個角都是銳角」、「有一 個邊呈水帄，且在圖形的下方」、「對稱軸呈鉛直」和「三個邊都一樣 長」這四個主要特徵。

(2)在畫正三角形時，畫出來的圖形三個邊並不一樣長，卻有使用記號標 示出三角形的三個邊要一樣長的學生，七年級有 33 人(占 11.37%)、八 年級有 44 人(占 15.33%)、九年級有 35 人(占 11.40%)，可見三個年級 都有部分的學生儘管知道正三角形的三個邊要一樣長，但是畫出來的 圖形卻不符合三個邊一樣長。

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(3)三個年級提及「三個邊都一樣長」的人都比提及「三個角都一樣大」

的人多出 17%以上。

(4)同時提及「三個邊都一樣長」和「三個角都一樣大」的學生，七年級 有 137 人(占 45.82%)、八年級有 135 人(占 45.15%)、九年級有 196 人(占 61.83%)，可見三個年級都有一部分學生未達到 van Hiele 幾何思考層次 2，不知道使用最少條件說明為什麼其所畫的圖形是一個正三角形。

(5)至少有提及「三個邊都一樣長」和「三個角都一樣長」其中一項的，

七年級有 250 人(占 83.61%)、八年級有 246 人(占 85.71%)、九年級有 293 人(占 92.46%)，都比畫出符合三個邊都一樣長的三角形的人數多，

呼應前面有關圖形表徵的結果「三個年級都有部分的學生儘管知道正 三角形的三個邊要一樣長，但是畫出來的圖形卻不符合三個邊一樣 長」。

三、等腰三角形的概念心像 (一)學生的等腰三角形繪圖表現

本項依照學生在第 3 題的第(1)小題「請畫出一個等腰三角形。」中的繪 圖表現進行分析。

1.七年級學生的等腰三角形繪圖表現 (1)圖形表徵有三種，如表 4-19 所示。

表 4-19

七年級學生等腰三角形概念的圖形表徵

編碼 圖形 人數 百分比

TBA11 165 人 55.18%

TAA11 54 人 18.06%

TBB11 14 人 4.68%

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(2)圖形特徵有四種，如表 4-20 所示。

表 4-20

七年級學生所繪等腰三角形的圖形特徵

學生所繪圖形的特徵 人數 百分比

有一個邊呈水帄，且在圖形的下方 284 人 94.98%

三個角都是銳角 247 人 82.61%

對稱軸呈鉛直 241 人 80.60%

只有兩個邊一樣長 217 人 72.58%

2.八年級學生的等腰三角形繪圖表現 (1)圖形表徵有三種，如表 4-21 所示。

表 4-21

八年級學生等腰三角形概念的圖形表徵

編碼 圖形 人數 百分比

TBA11 160 人 55.75%

TAA11 64 人 22.30%

TBB11 15 人 5.23%

(2)圖形特徵有五種，如表 4-22 所示。

表 4-22

八年級學生所繪等腰三角形的圖形特徵

學生所繪圖形的特徵 人數 百分比

有一個邊呈水帄，且在圖形的下方 270 人 94.08%

對稱軸呈鉛直 246 人 85.71%

三個角都是銳角 243 人 84.67%

只有兩個邊一樣長 201 人 70.03%

三個邊都一樣長 64 人 22.30%

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3.九年級學生的等腰三角形繪圖表現 (1)圖形表徵有四種，如表 4-23 所示。

表 4-23

九年級學生等腰三角形概念的圖形表徵

編碼 圖形 人數 百分比

TBA11 195 人 61.51%

TAA11 58 人 18.30%

TBB11 19 人 5.99%

TBC11 19 人 5.99%

(2)圖形特徵有四種，如表 4-24 所示。

表 4-24

九年級學生所繪等腰三角形的圖形特徵

學生所繪圖形的特徵 人數 百分比

有一個邊呈水帄，且在圖形的下方 309 人 97.48%

對稱軸呈鉛直 291 人 91.80%

三個角都是銳角 273 人 86.12%

只有兩個邊一樣長 243 人 76.65%

4.綜合比較

(1)對於等腰三角形概念的圖形，三個年級都有「有一個邊呈水帄，且在 圖形的下方」、「對稱軸呈鉛直」、「三個角都是銳角」和「只有兩個邊 一樣長」這四個主要特徵。

(2)在畫等腰三角形時，三個年級分別都有 18%以上的學生畫出等腰三角 形中的特例正三角形。而且畫出來的是正三角形的學生所占的比例差 不多一樣(七年級占 18.39%、八年級占 22.30%、九年級占 18.30%)。

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(二)學生的等腰三角形文字說明表現

本項依照學生在第 3 題的第(2)小題「請說明為什麼你在第(1)小題中畫的 圖形是一個等腰三角形。」中的文字說明表現進行分析。

1.七年級學生的等腰三角形文字說明表現 文字表徵有五種，如表 4-25 所示。

表 4-25

七年級學生等腰三角形概念的文字表徵

學生提及的圖形屬性 人數 百分比

有兩個邊一樣長 215 人 71.90%

提及圖形是三角形或有三個邊、有三個角、有三個頂點 67 人 22.41%

有兩個角一樣大 40 人 13.38%

三個邊都一樣長 27 人 9.03%

有一個邊不一樣長 27 人 9.03%

2.八年級學生的等腰三角形文字說明表現 文字表徵有三種，如表 4-26 所示。

表 4-26

八年級學生等腰三角形概念的文字表徵

學生提及的圖形屬性 人數 百分比

有兩個邊一樣長 234 人 81.53%

提及圖形是三角形或有三個邊、有三個角、有三個頂點 64 人 22.30%

有兩個角一樣大 47 人 16.38%

3.九年級學生的等腰三角形文字說明表現

3.九年級學生的等腰三角形文字說明表現

在文檔中 國中生三角形與四邊形的概念心像調查－以基隆市某公立國中七至九年級學生為例 (頁 77-115)