Van Hiele 的幾何思考層次理論

第貳章 文獻探討

本章總共分為兩節。第一節為「van Hiele 的幾何思考層次理論」，第二節為

「三角形與四邊形的概念」。

第一節 Van Hiele 的幾何思考層次理論

一、Van Hiele 的幾何思考層次理論

數學教育家 Pierre Marie van Hiele 和 Dina van Hiele-Geldof 夫婦於 1957 年共 同提出 van Hiele 幾何思考層次理論，認為人類的幾何思考具有循序漸進的發展 層次(van Hiele, 1986)，學生於各層次之間的學習成長歷程，主要來自教學的組織 與方法，以及教材的選擇與使用，理論的核心內容為幾何思考層次與幾何教學階 段。

(一)Van Hiele 的幾何思考層次 1.層次 0：視覺期(visualization)

這個層次的學生對於幾何圖形的認識，來自於圖形的整體外觀，而不是 依據圖形的構成要素或性質，也就是他們可以透過對圖形整體輪廓的觀察，

學習幾何詞彙、辨認特定的形狀、複製給定的圖形，但是不能利用圖形的構 成要素或性質來分析圖形。例如：學生能就其外觀以口語描述圖形，將矩形 描述為「像個正方形」，將帄行四邊形描述為「傾斜的矩形」，或將角描述為

「像鐘上的指針」。

2.層次 1：分析期(analysis)

這個層次的學生能經由觀察和實驗來分析圖形的構成要素和性質，並依 此建立圖形的特徵，利用這些特徵來形成形狀分類的概念化過程，也就是可 以從圖形整體辨認出構成要素，也可以從構成要素辨認出圖形整體，但是他 們無法解釋性質之間的關係，也無法瞭解圖形的定義。例如：學生無法形成 或使用正式的定義，當要求學生定義帄行四邊形時，學生能列出許多性質，

但無法確認出一組充分條件，或一組必要條件。

3.層次 2：非形式演繹期(informal deduction)

這個層次的學生能建立圖形屬性之間的相互關係(例如：如果一個四邊 形的對邊都帄行則對角就一定會相等)，和瞭解圖形之間的關係(例如：因為 正方形具有長方形的屬性，所以正方形是長方形的一種)。因此圖形定義對 學生具有意義，他們可以推測出圖形的屬性、辨認出圖形的類別、瞭解圖形

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包含關係和非形式化的證明，但是，他們不瞭解整個證明和公設的意義。雖 然在證明經驗獲得的結果時，學生可以聽懂形式化的證明，但是他們看不出 邏輯的順序可以改變，也看不出如何從不同的或不熟悉的情境去證明。例如：

學生能辨認各種刻畫一個圖形的最少性質，對他的朋友描述正方形時，從列 舉的一些性質中，選擇最少的性質，使得他的朋友能夠確定該圖為正方形。

4.層次 3：形式演繹期(deduction)

這個層次的學生能瞭解利用形式化的證明在一個公設系統中去建立幾 何理論的意義。他們可以瞭解未被定義的詞彙、公設、假說、定義、定理及 證明，並且可以看出不只一種可能的證明方法，能理解充分條件和必要條件 的相互關係，能區別正逆命題之間的差異。

5.層次 4：嚴密期(rigor)

這個層次的學生能在各種不同的公設系統下作嚴謹地推論並建立定理，

包括歐氏幾何和非歐幾何，也能分析比較各種不同的系統。

(二)Van Hiele 幾何思考層次的特性

Crowly(1987)認為 van Hiele 幾何思考層次有以下五個特性：

1.性質 1：序列性(sequential)

學生幾何思維層次的發展是循序漸進的，要在任何一個層次順利發展，

必頇掌握前一個層次的各個概念和策略。也就是說，學生在沒通過第 n-1 層 次之前，無法到達第 n 層次。

2.性質 2：進階性(advancement)

學生的幾何思考層次是經由教導或有效的學習經驗才會提升，不是隨著 學生年齡成長或心理成熟而發展。沒有一種教學方法能使學生跳過任何一個 層次，某些方法或許能增強過程的發展，然而也有些方法會阻礙各層次間的 轉換。

3.性質 3：內隱性和外顯性(intrinsic and extrinsic)

在幾何思考層次中，某個層次的內隱性質將會成為下一個層次的外顯性 質。例如：在層次 0，只有圖形的外貌被學生接受，而圖形的構成要素和性 質這些內隱性質在層次 1 才能被學生發現和分析。

4.性質 4：語言性(linguistics)

每個層次都有其專屬的階段性語言符號和這些符號的關聯系統。在某一

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個層次使用的語言符號，可能到了另一個層次就必頇調整為另一種語言符 號。

5.性質 5：不配合性(mismatch)

如果學生的思考處於一個層次，而教師的教學設計處於另一個層次，那 麼所期望的學習歷程或教學效果就不會發生。尤其當教師教學時，如果教材 的內容、教具的選擇及詞彙的使用均屬於較高的層次，學生將無法理解、思 考教師所教授的內容。

(三)Van Hiele 的幾何學習階段

對應於幾何思考的五個層次，van Hiele 夫婦提出五個學習階段，並給出 詳細的說明。這一序列設計適用於教師引導學生學習，也適用於學生不依賴教 師的獨立學習。

1.階段 1：學前諮詢(inquiry/information)

教學前，教師與學生就學習主題進行雙向溝通。教師經由觀察和發問來 瞭解學生的先備知識，以確定進一步學習的方向。在這個階段，使用的詞彙 與語句是相當重要的，教師與學生針對這個層次的學習主題進行對話，藉由 對話引入這個階段獨特的詞彙、用語和主題的標題。

2.階段 2：引導方向(directed orientation)

教師為學生仔細規畫活動順序，設計一些引起特定反應的簡單作業引導 學生探索、操作，使學生知道學習進行的方向。當這些活動逐漸地呈現這個 層次中獨特的結構給學生，關於概念的資訊將一一浮現在學生面前，教師透 過這些活動和資訊仔細地講解，學生會因此探究出學習的主旨，並對所包含 的概念和結構更函熟悉。

3.階段 3：解釋說明(explication)

學生根據前面的經驗，開始注意並瞭解幾何圖形的關係，教師應該幫助 學生使用正確且適當的詞彙和語言，引導他們表達、交換和討論學習主題。

在這個階段的過程中，經驗的獲得取決於正確的語言符號和學生們在課堂上 對所觀察到的結構的討論，教師只需注意到這些討論所使用的習慣措詞。

4.階段 4：自由探索(free orientation)

教師可以選擇適當的教材與幾何問題，鼓勵學生思考和解答這些可能有 許多步驟或可能能用不同方式完成的作業。學生在尋找方法和解決問題的過

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程中獲得經驗，透過自己決定學習領域的方向，進行調查，學習主題間的關 聯性對學生而言就變得明確了。

5.階段 5：整合(integration)

教師藉由提供整體的概念來幫助學生濃縮他的思想所探索過的全部範 van Hiele 層次的階層性假設(Burger & Shaughnessy, 1986；Denis, 1987；Fuys, Geddes & Tischler, 1988；Mayberry, 1983；Usiskin, 1982)。van Hiele 幾何思考層 次既可以作為診斷學生幾何思考層次的評估指標，也可以用於設計每個層次上的

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