第肆章 結果與討論
第二節 國中學生四邊形的概念心像
本節總共分為九個部份，一、一般四邊形的概念心像；二、正方形的概念心像；
三、長方形的概念心像；四、帄行四邊形的概念心像；五、梯形的概念心像；六、
菱形的概念心像；七、箏形的概念心像；八、等腰梯形的概念心像；九、各種四 邊形的綜合比較。第一至第八部份依序描述學生的繪圖表現和文字說明表現，第 九部份敘述各種四邊形概念心像之間的綜合比較。
繪圖表現分為圖形表徵和圖形特徵兩類來報導，圖形表徵以表格列出有 3%
以上的學生繪製的圖形類型，表格中虛線的上方代表有 5%以上的學生繪製的圖 形類型，即為主要圖形表徵；圖形特徵以表格列出學生繪製的圖形中，有 20%
以上的圖形所具有的特徵，表格中虛線的上方代表有 50%以上的圖形所具有的特 徵，即為圖形主要特徵。文字說明表現報導文字表徵，以表格列出 5%以上的學 生提及的文字描述，表格中虛線的上方代表有 30%以上的學生提及的文字描述，
即為主要文字表徵。
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一、一般四邊形的概念心像 (一)學生的一般四邊形繪圖表現
本項依照學生在第 1 題的第(1)小題「請畫出一個四邊形。」中的繪圖表 現進行分析。
1.七年級學生的一般四邊形繪圖表現 (1)圖形表徵有三種，如表 4-64 所示。
表 4-64
七年級學生一般四邊形概念的圖形表徵
編碼 圖形 人數 百分比
QAA11 137 人 45.97%
QAB11 66 人 22.15%
QAB12 21 人 7.05%
(2)圖形特徵有七種，如表 4-65 所示。
表 4-65
七年級學生所繪一般四邊形的圖形特徵
學生所繪圖形的特徵 人數 百分比
有一組對邊呈水帄 248 人 83.22%
兩組對邊分別帄行 245 人 82.21%
有一組對邊呈鉛直 237 人 79.53%
四個角都是直角 229 人 76.85%
四個邊都一樣長 144 人 48.32%
對邊等長但鄰邊不等長 101 人 33.89%
呈水帄的對邊比另一組帄行邊長 73 人 24.50%
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2.八年級學生的一般四邊形繪圖表現 (1)圖形表徵有三種，如表 4-66 所示。
表 4-66
八年級學生一般四邊形概念的圖形表徵
編碼 圖形 人數 百分比
QAA11 111 人 38.81%
QAB11 81 人 28.32%
QAB12 22 人 7.69%
(2)圖形特徵有七種，如表 4-67 所示。
表 4-67
八年級學生所繪一般四邊形的圖形特徵
學生所繪圖形的特徵 人數 百分比
有一組對邊呈水帄 247 人 86.36%
兩組對邊分別帄行 233 人 81.47%
有一組對邊呈鉛直 222 人 77.62%
四個角都是直角 216 人 75.52%
四個邊都一樣長 117 人 40.91%
對邊等長但鄰邊不等長 116 人 40.56%
呈水帄的對邊比另一組帄行邊長 87 人 30.42%
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3.九年級學生的一般四邊形繪圖表現 (1)圖形表徵有五種，如表 4-68 所示。
表 4-68
九年級學生一般四邊形概念的圖形表徵
編碼 圖形 人數 百分比
QAB11 88 人 27.85%
QAA11 77 人 24.37%
QBB21 13 人 4.11%
QAB12 12 人 3.80%
QCD51 11 人 3.48%
(2)圖形特徵有八種，如表 4-69 所示。
表 4-69
九年級學生所繪一般四邊形的圖形特徵
學生所繪圖形的特徵 人數 百分比
有一組對邊呈水帄 227 人 71.84%
有一組對邊呈鉛直 201 人 63.61%
兩組對邊分別帄行 196 人 62.03%
四個角都是直角 182 人 57.59%
對邊等長但鄰邊不等長 113 人 35.76%
呈水帄的對邊比另一組帄行邊長 94 人 29.75%
四個邊都一樣長 83 人 26.27%
只有一組對邊帄行 77 人 24.37%
4.綜合比較
(1)對於一般四邊形概念的圖形，三個年級都有「有一組對邊呈水帄」、「兩 組對邊分別帄行」、「有一組對邊呈鉛直」和「四個角都是直角」這四
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個主要特徵。
(2)在畫一般四邊形時，三個年級分別都有 81%以上的學生畫出四邊形中 的特例正方形、長方形或梯形。隨著年級越高，畫出來的是正方形的 學生所占的比例越低(七年級占 46.31%、八年級占 39.16%、九年級占 24.68%)；畫出來的是梯形的學生所占的比例越高(七年級占 11.07%、
八年級占 11.19%、九年級占 24.37%)。而畫出來的是長方形的學生所 占的比例以八年級最高、七年級最低 (七年級占 30.54%、八年級占 36.36%、九年級占 32.91%)。
(二)學生的一般四邊形文字說明表現
本項依照學生在第 1 題的第(2)小題「請說明為什麼你在第(1)小題中畫的 圖形是一個四邊形。」中的文字說明表現進行分析。
1.七年級學生的一般四邊形文字說明表現 文字表徵有四種，如表 4-70 所示。
表 4-70
七年級學生一般四邊形概念的文字表徵
學生提及的圖形屬性 人數 百分比
有四個邊 220 人 73.83%
有四個角 93 人 31.21%
四個邊都一樣長 61 人 20.47%
四個角都一樣大 42 人 14.09%
2.八年級學生的一般四邊形文字說明表現 文字表徵有五種，如表 4-71 所示。
表 4-71
八年級學生一般四邊形概念的文字表徵
學生提及的圖形屬性 人數 百分比
有四個邊 208 人 72.73%
有四個角 80 人 27.97%
四個角都一樣大 44 人 15.38%
四個邊都一樣長 37 人 12.94%
四個內角和等於 360 度 16 人 5.59%
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3.九年級學生的一般四邊形文字說明表現 文字表徵有四種，如表 4-72 所示。
表 4-72
九年級學生一般四邊形概念的文字表徵
學生提及的圖形屬性 人數 百分比
有四個邊 268 人 84.81%
有四個角 158 人 50.00%
四個內角和等於 360 度 20 人 6.33%
四個角都一樣大 17 人 5.38%
4.綜合比較
(1)對於一般四邊形概念的描述，三個年級都有「有四個邊」這個主要文 字表徵。七、九年級還都有「有四個角」這個主要文字表徵。
(2)同時提及「有四個邊」和「有四個角」的學生，七年級有 81 人(占 27.18%)、
八年級有 72 人(占 25.17%)、九年級有 149 人(占 47.15%)，可見九年級 學生較能完整說出四邊形的構成要素。三個年級都只有不到 5%的學生 提及「有四個頂點」，可見對大多數的國中生來說，邊和角的重要性比 頂點高。
(3)隨著年級越高，提及「四個邊都一樣長」的學生所占的比例越低；七、
八年級提及「四個角都一樣大」的學生所占的比例差不多一樣，且比 九年級多出 8%以上。這點和「年級越高，畫出來的是正方形的學生所 占的比例越低」一致。
(4)八、九年級分別有 5.59%和 6.33%的學生提及「四個內角和等於 360 度」， 可見部分國中生不清楚四邊形的定義，而將這些性質當作定義使用。
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二、正方形的概念心像 (一)學生的正方形繪圖表現
本項依照學生在第 2 題的第(1)小題「請畫出一個正方形。」中的繪圖表 現進行分析。
1.七年級學生的正方形繪圖表現
(1)圖形表徵有兩種，如表 4-73 所示。
表 4-73
七年級學生正方形概念的圖形表徵
編碼 圖形 人數 百分比
QAA11 257 人 86.24%
QAB11 24 人 8.05%
(2)圖形特徵有五種，如表 4-74 所示。
表 4-74
七年級學生所繪正方形的圖形特徵
學生所繪圖形的特徵 人數 百分比
有一組對邊呈水帄 296 人 99.33%
兩組對邊分別帄行 291 人 97.65%
有一組對邊呈鉛直 288 人 96.64%
四個角都是直角 286 人 95.97%
四個邊都一樣長 259 人 86.91%
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2.八年級學生的正方形繪圖表現
(1)圖形表徵有三種，如表 4-75 所示。
表 4-75
八年級學生正方形概念的圖形表徵
編碼 圖形 人數 百分比
QAA11 247 人 86.36%
QAB11 21 人 7.34%
QAB12 10 人 3.50%
(2)圖形特徵有五種，如表 4-76 所示。
表 4-76
八年級學生所繪正方形的圖形特徵
學生所繪圖形的特徵 人數 百分比
有一組對邊呈水帄 280 人 97.90%
兩組對邊分別帄行 280 人 97.90%
有一組對邊呈鉛直 279 人 97.55%
四個角都是直角 279 人 97.55%
四個邊都一樣長 248 人 86.71%
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3.九年級學生的正方形繪圖表現
(1)圖形表徵有兩種，如表 4-77 所示。
表 4-77
九年級學生正方形概念的圖形表徵
編碼 圖形 人數 百分比
QAA11 287 人 90.82%
QAB11 19 人 6.01%
(2)圖形特徵有五種，如表 4-78 所示。
表 4-78
九年級學生所繪正方形的圖形特徵
學生所繪圖形的特徵 人數 百分比
有一組對邊呈水帄 311 人 98.42%
兩組對邊分別帄行 311 人 98.42%
四個角都是直角 309 人 97.78%
有一組對邊呈鉛直 308 人 97.47%
四個邊都一樣長 290 人 91.77%
4.綜合比較
(1)對於正方形概念的圖形，三個年級都有「有一組對邊呈水帄」、「兩組 對邊分別帄行」、「有一組對邊呈鉛直」、「四個角都是直角」和「四個 邊都一樣長」這五個主要特徵。
(2)在畫正方形時，畫出來的圖形同時具有「有一組對邊呈水帄」和「有 一組對邊呈鉛直」這兩個特徵的學生，七年級有 286 人(占 95.97%)、
八年級有 278 人(占 97.92%)、九年級有 307 人(占 97.15%)。這點和「在 畫直角時，大多數學生是使用水帄線和鉛直線組成直角」一致。
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個角、有四個頂點」，可見大部分的學生已經認定正方形是四邊形，說 明時只著重於正方形所具備的特殊屬性。
(3)三個年級提及「四個邊都一樣長」的人都比提及「四個角都一樣大」
的人多出 11%以上。
(4)同時提及「四個邊都一樣長」和「四個角都一樣大」的學生，七年級 有 128 人(占 42.95%)、八年級有 154 人(占 53.85%)、九年級有 243 人(占 76.90%)；只有提及「四個邊都一樣長」或「四個角都一樣大」其中一 項的，七年級有 134 人(占 44.97%)、八年級有 100 人(占 34.97%)、九 年級有 54 人(占 17.09%)，可見三個年級都有 17%以上的學生停留在 van Hiele 幾何思考層次 1，只注意到圖形的部份性質，無法完整說明正方 形所具備的條件，隨著年級越低，有此種狀況的學生所占的比例越高。
三、長方形的概念心像 (一)學生的長方形繪圖表現
本項依照學生在第 3 題的第(1)小題「請畫出一個長方形。」中的繪圖表 現進行分析。
1.七年級學生的長方形繪圖表現
(1)圖形表徵有兩種，如表 4-82 所示。
表 4-82
七年級學生長方形概念的圖形表徵
編碼 圖形 人數 百分比
QAB11 206 人 69.13%
QAB12 78 人 26.17%
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(2)圖形特徵有七種，如表 4-83 所示。
表 4-83
七年級學生所繪長方形的圖形特徵
學生所繪圖形的特徵 人數 百分比
有一組對邊呈水帄 291 人 97.65%
有一組對邊呈鉛直 288 人 96.64%
兩組對邊分別帄行 287 人 96.31%
對邊等長但鄰邊不等長 287 人 96.31%
四個角都是直角 284 人 95.30%
呈水帄的對邊比另一組帄行邊長 209 人 70.13%
呈鉛直的對邊比另一組帄行邊長 78 人 26.17%
2.八年級學生的長方形繪圖表現
(1)圖形表徵有兩種，如表 4-84 所示。
表 4-84
八年級學生長方形概念的圖形表徵
編碼 圖形 人數 百分比
QAB11 203 人 70.98%
QAB12 69 人 24.13%
(2)圖形特徵有七種，如表 4-85 所示。
表 4-85
八年級學生所繪長方形的圖形特徵
學生所繪圖形的特徵 人數 百分比
有一組對邊呈水帄 279 人 97.55%
有一組對邊呈鉛直 275 人 96.15%
兩組對邊分別帄行 274 人 95.80%
四個角都是直角 274 人 95.80%
對邊等長但鄰邊不等長 272 人 95.10%
呈水帄的對邊比另一組帄行邊長 203 人 70.98%
呈鉛直的對邊比另一組帄行邊長 69 人 24.13%
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3.九年級學生的長方形繪圖表現
(1)圖形表徵有兩種，如表 4-86 所示。
表 4-86
九年級學生長方形概念的圖形表徵
編碼 圖形 人數 百分比
QAB11 252 人 79.75%
QAB12 52 人 16.46%
(2)圖形特徵有六種，如表 4-87 所示。
表 4-87
九年級學生所繪長方形的圖形特徵
學生所繪圖形的特徵 人數 百分比
學生所繪圖形的特徵 人數 百分比