國中生三角形與四邊形的概念心像調查－以基隆市某公立國中七至九年級學生為例

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(1)國立臺灣師範大學數學系教學碩士班碩士論文. 指導教授：曹博盛. 博士. 國中生三角形與四邊形的概念心像調查 ─以基隆市某公立國中七至九年級學生為例. 研究生：朱芳儀. 中華民國一百零二年七月.

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(3) 致謝感謝當年一切的不如意，讓我下定決心回學校進修。幸運地，我能回到母校臺灣師範大學數學系的教學碩士班重新學習。如今，這篇論文終於完成，感謝許多人的幫忙。首先，感謝恩師曹博盛老師這三年來不辭辛勞，每兩週進行一次論文討論會議，在研究過程中殷切指導，在論文撰寫時提供許多寶貴的意見，在我遇到困難時給予我幫助與鼓勵，並在完稿過程中仔細審閱。如果沒有老師專業的指導與適時的叮嚀，這篇論文無法順利完成。感謝兩位口詴委員鍾靜老師和洪有情老師，在百忙之中仍然仔細地審視我的論文，並且在口詴當天提供許多寶貴的建議，讓這篇論文更函完善。感謝三年來一起為論文努力的信宏學長、文傑學長和宜楓，總是在我遇到瓶頸時鼓勵我，花時間和我一起討論，幫我解決困難，因為有你們的相伴，我才可以堅持下去。感謝暑假期間幫我代課的仲成學長和佩穎，以及幫我代導的世珍老師和明德老師，尤其感謝時時關心和協助我的淑如和玉亭，因為有你們的體諒與支持，讓我可以安心完成學業。感謝論文撰寫過程給我許多寶貴建議的秋雯和秀敏學姊，感謝協助我完成問卷調查的數學科老師、各班導師和認真作答的全體同學，因為有你們的幫忙與參與，我才能順利完成論文。最後，感謝父母對我的照顧和栽培。論文寫作的過程雖然辛苦，但也讓我收穫良多，感謝所有曾經關心和幫助過我的人。謹將這份成果獻給我的家人、師長及好友們。. 朱芳儀. 2013.07.16. 於師大數學系.

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(5) 摘要本研究旨在瞭解國中學生三角形和四邊形這兩類圖形的概念心像。研究者以自編的「國中生三角形的概念心像調查問卷」和「國中生四邊形的概念心像調查問卷」兩份問卷，對基隆市某公立國中的七至九年級學生進行調查。兩份問卷都發出 916 份，三角形部分和四邊形部分各回收 903 份和 900 份有效問卷。研究者將從國中生蒐集到的概念圖形表徵依「圖形分類工具」和「繪圖誤差的判定標準」進行分類，找出主要圖形表徵，再找出圖形的主要特徵。將從國中生蒐集到的概念文字表徵依「文字說明部分的分類標準」進行分類，找出主要文字表徵。研究結果概述如下： 1.所有種類三角形的圖形都具有「有一個邊呈水帄，且在圖形下方」這種主要圖形特徵。除了菱形和箏形之外，所有種類四邊形的圖形都具有「有一組對邊呈水帄」這種主要圖形特徵，菱形和箏形的圖形都具有「有一條對角線為對稱軸且呈鉛直，另一條呈水帄」這種主要圖形特徵。 2.學生在畫三角形、等腰三角形、銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形、四邊形、帄行四邊形、梯形、菱形和箏形時，都有 11%以上的學生會畫出圖形中的特例，例如學生在畫直角三角形時，三個年級都有 25%以上的學生會畫出直角三角形中的特例等腰直角三角形。 3.學生在說明為什麼所畫的圖形符合題目所要求的特殊三角形(特殊四邊形)時，三個年級中大部分的學生都已認定其為三角形(四邊形)，說明時並沒有提及「圖形是三角形(四邊形)或圖形的構成元素」，只著重於特殊三角形(特殊四邊形)所具備的特殊屬性。. 關鍵字：三角形、四邊形、概念心像、圖形表徵、圖形特徵、文字表徵.

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(7) 目錄第壹章緒論第一節. 研究背景與研究動機‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧1. 第二節. 研究目的與研究問題‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧4. 第三節. 名詞釋義‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧5. 第貳章文獻探討第一節. Van Hiele 的幾何思考層次理論‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧7. 第二節. 三角形和四邊形的概念‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧12. 第參章. 研究方法. 第一節. 研究設計‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧23. 第二節. 研究對象‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧24. 第三節. 研究工具‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧25. 第四節. 研究步驟與流程‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧57. 第五節. 研究限制‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧60. 第肆章結果與討論第一節. 國中學生三角形的概念心像‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧61. 第二節. 國中學生四邊形的概念心像‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧99. 第伍章結論與建議第一節. 結論‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧145. 第二節. 建議‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧160. 參考文獻中文部份‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧163 英文部分‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧166. i.

(8) 附錄附錄一. 國中生三角形的概念心像調查問卷(第一次預詴問卷)‧‧‧169. 附錄二. 國中生四邊形的概念心像調查問卷(第一次預詴問卷)‧‧‧170. 附錄三. 國中生三角形的概念心像調查問卷(第二次預詴問卷)‧‧‧171. 附錄四. 國中生四邊形的概念心像調查問卷(第二次預詴問卷)‧‧‧172. 附錄五. 國中生三角形的概念心像調查問卷‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧173. 附錄六. 國中生四邊形的概念心像調查問卷‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧176. 附錄七. 三角形的圖形分類架構‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧179. 附錄八. 四邊形的圖形分類架構‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧180. ii.

(9) 表次表 2-1. 不同年級學生在 van Hiele 幾何思考層次上的表現之相關研究歸納表‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧10. 表 2-2. 不同性別學生在 van Hiele 幾何思考層次上的表現之相關研究歸納表‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧11. 表 2-3. 學生對不同幾何題材在 van Hiele 幾何思考層次上的表現之相關研究歸納表‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧11. 表 2-4. 三角形概念之相關研究歸納表‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧17. 表 2-5. 四邊形概念之相關研究歸納表‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧18. 表 2-6. 其它帄面幾何概念之相關研究歸納表‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧20. 表 3-1. 三角形的圖形分類表‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧28. 表 3-2. 四邊形的圖形分類表‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧45. 表 3-3. 問卷發放與回收的份數表‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧58. 表 4-1. 七年級學生一般三角形概念的圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧65. 表 4-2. 七年級學生所繪一般三角形的圖形特徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧63. 表 4-3. 八年級學生一般三角形概念的圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧63. 表 4-4. 八年級學生所繪一般三角形的圖形特徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧64. 表 4-5. 九年級學生一般三角形概念的圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧64. 表 4-6. 九年級學生所繪一般三角形的圖形特徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧65. 表 4-7. 七年級學生一般三角形概念的文字表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧65. 表 4-8. 八年級學生一般三角形概念的文字表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧66. 表 4-9. 九年級學生一般三角形概念的文字表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧66. 表 4-10. 七年級學生正三角形概念的圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧67. 表 4-11 七年級學生所繪正三角形的圖形特徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧67 表 4-12. 八年級學生正三角形概念的圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧68. iii.

(10) 表 4-13. 八年級學生所繪正三角形的圖形特徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧68. 表 4-14. 九年級學生正三角形概念的圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧69. 表 4-15. 九年級學生所繪正三角形的圖形特徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧69. 表 4-16. 七年級學生正三角形概念的文字表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧70. 表 4-17. 八年級學生正三角形概念的文字表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧70. 表 4-18. 九年級學生正三角形概念的文字表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧70. 表 4-19. 七年級學生等腰三角形概念的圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧71. 表 4-20. 七年級學生所繪等腰三角形的圖形特徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧72. 表 4-21. 八年級學生等腰三角形概念的圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧72. 表 4-22. 八年級學生所繪等腰三角形的圖形特徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧72. 表 4-23. 九年級學生等腰三角形概念的圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧73. 表 4-24. 九年級學生所繪等腰三角形的圖形特徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧73. 表 4-25. 七年級學生等腰三角形概念的文字表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧74. 表 4-26. 八年級學生等腰三角形概念的文字表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧74. 表 4-27. 九年級學生等腰三角形概念的文字表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧74. 表 4-28. 七年級學生銳角三角形概念的圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧76. 表 4-29. 七年級學生所繪銳角三角形的圖形特徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧77. 表 4-30. 八年級學生銳角三角形概念的圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧77. 表 4-31. 八年級學生所繪銳角三角形的圖形特徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧78. 表 4-32. 九年級學生銳角三角形概念的圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧78. 表 4-33. 九年級學生所繪銳角三角形的圖形特徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧79. 表 4-34. 七年級學生銳角三角形概念的文字表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧80. 表 4-35. 八年級學生銳角三角形概念的文字表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧80. 表 4-36. 九年級學生銳角三角形概念的文字表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧80. 表 4-37. 七年級學生直角三角形概念的圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧82. 表 4-38. 七年級學生所繪直角三角形的圖形特徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧83. iv.

(11) 表 4-39. 八年級學生直角三角形概念的圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧83. 表 4-40. 八年級學生所繪直角三角形的圖形特徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧84. 表 4-41. 九年級學生直角三角形概念的圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧84. 表 4-42. 九年級學生所繪直角三角形的圖形特徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧85. 表 4-43. 七年級學生直角三角形概念的文字表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧86. 表 4-44. 八年級學生直角三角形概念的文字表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧86. 表 4-45. 九年級學生直角三角形概念的文字表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧86. 表 4-46. 七年級學生鈍角三角形概念的圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧87. 表 4-47. 七年級學生所繪鈍角三角形的圖形特徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧88. 表 4-48. 八年級學生鈍角三角形概念的圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧88. 表 4-49. 八年級學生所繪鈍角三角形的圖形特徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧89. 表 4-50. 九年級學生鈍角三角形概念的圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧89. 表 4-51. 九年級學生所繪鈍角三角形的圖形特徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧90. 表 4-52. 七年級學生鈍角三角形概念的文字表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧91. 表 4-53. 八年級學生鈍角三角形概念的文字表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧91. 表 4-54. 九年級學生鈍角三角形概念的文字表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧92. 表 4-55. 七年級學生等腰直角三角形概念的圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧93. 表 4-56. 七年級學生所繪等腰直角三角形的圖形特徵‧‧‧‧‧‧‧94. 表 4-57. 八年級學生等腰直角三角形概念的圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧94. 表 4-58. 八年級學生所繪等腰直角三角形的圖形特徵‧‧‧‧‧‧‧95. 表 4-59. 九年級學生等腰直角三角形概念的圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧95. 表 4-60. 九年級學生所繪等腰直角三角形的圖形特徵‧‧‧‧‧‧‧96. 表 4-61. 七年級學生等腰直角三角形概念的文字表徵‧‧‧‧‧‧‧96. 表 4-62. 八年級學生等腰直角三角形概念的文字表徵‧‧‧‧‧‧‧97. 表 4-63. 九年級學生等腰直角三角形概念的文字表徵‧‧‧‧‧‧‧97. 表 4-64. 七年級學生一般四邊形概念的圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧100. v.

(12) 表 4-65. 七年級學生所繪一般四邊形的圖形特徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧100. 表 4-66. 八年級學生一般四邊形概念的圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧101. 表 4-67. 八年級學生所繪一般四邊形的圖形特徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧101. 表 4-68. 九年級學生一般四邊形概念的圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧102. 表 4-69. 九年級學生所繪一般四邊形的圖形特徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧102. 表 4-70. 七年級學生一般四邊形概念的文字表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧103. 表 4-71. 八年級學生一般四邊形概念的文字表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧103. 表 4-72. 九年級學生一般四邊形概念的文字表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧104. 表 4-73. 七年級學生正方形概念的圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧105. 表 4-74. 七年級學生所繪正方形的圖形特徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧105. 表 4-75. 八年級學生正方形概念的圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧106. 表 4-76. 八年級學生所繪正方形的圖形特徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧106. 表 4-77. 九年級學生正方形概念的圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧107. 表 4-78. 九年級學生所繪正方形的圖形特徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧107. 表 4-79. 七年級學生正方形概念的文字表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧108. 表 4-80. 八年級學生正方形概念的文字表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧108. 表 4-81. 九年級學生正方形概念的文字表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧108. 表 4-82. 七年級學生長方形概念的圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧109. 表 4-83. 七年級學生所繪長方形的圖形特徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧110. 表 4-84. 八年級學生長方形概念的圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧110. 表 4-85. 八年級學生所繪長方形的圖形特徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧110. 表 4-86. 九年級學生長方形概念的圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧111. 表 4-87. 九年級學生所繪長方形的圖形特徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧111. 表 4-88. 七年級學生長方形概念的文字表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧112. 表 4-89. 八年級學生長方形概念的文字表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧112. 表 4-90. 九年級學生長方形概念的文字表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧113. vi.

(13) 表 4-91. 七年級學生帄行四邊形概念的圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧114. 表 4-92. 七年級學生所繪帄行四邊形的圖形特徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧115. 表 4-93. 八年級學生帄行四邊形概念的圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧115. 表 4-94. 八年級學生所繪帄行四邊形的圖形特徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧116. 表 4-95. 九年級學生帄行四邊形概念的圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧116. 表 4-96. 九年級學生所繪帄行四邊形的圖形特徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧117. 表 4-97. 七年級學生帄行四邊形概念的文字表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧118. 表 4-98. 八年級學生帄行四邊形概念的文字表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧118. 表 4-99. 九年級學生帄行四邊形概念的文字表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧119. 表 4-100 七年級學生梯形概念的圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧120 表 4-101 七年級學生所繪梯形的圖形特徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧121 表 4-102 八年級學生梯形概念的圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧121 表 4-103 八年級學生所繪梯形的圖形特徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧122 表 4-104 九年級學生梯形概念的圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧122 表 4-105 九年級學生所繪梯形的圖形特徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧123 表 4-106 七年級學生梯形概念的文字表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧125 表 4-107 八年級學生梯形概念的文字表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧125 表 4-108 九年級學生梯形概念的文字表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧126 表 4-109 七年級學生菱形概念的圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧127 表 4-110 七年級學生所繪菱形的圖形特徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧128 表 4-111 八年級學生菱形概念的圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧128 表 4-112 八年級學生所繪菱形的圖形特徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧129 表 4-113 九年級學生菱形概念的圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧129 表 4-114 九年級學生所繪菱形的圖形特徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧129 表 4-115 七年級學生菱形概念的文字表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧130 表 4-116 八年級學生菱形概念的文字表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧130. vii.

(14) 表 4-117 九年級學生菱形概念的文字表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧131 表 4-118 七年級學生箏形概念的圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧132 表 4-119 七年級學生所繪箏形的圖形特徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧133 表 4-120 八年級學生箏形概念的圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧133 表 4-121 八年級學生所繪箏形的圖形特徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧134 表 4-122 九年級學生箏形概念的圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧134 表 4-123 九年級學生所繪箏形的圖形特徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧135 表 4-124 七年級學生箏形概念的文字表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧136 表 4-125 八年級學生箏形概念的文字表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧137 表 4-126 九年級學生箏形概念的文字表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧137 表 4-127 七年級學生等腰梯形概念的圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧138 表 4-128 七年級學生所繪等腰梯形的圖形特徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧139 表 4-129 八年級學生等腰梯形概念的圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧139 表 4-130 八年級學生所繪等腰梯形的圖形特徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧140 表 4-131 九年級學生等腰梯形概念的圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧140 表 4-132 九年級學生所繪等腰梯形的圖形特徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧140 表 4-133 七年級學生等腰梯形概念的文字表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧142 表 4-134 八年級學生等腰梯形概念的文字表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧142 表 4-135 九年級學生等腰梯形概念的文字表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧142 表 5-1. 一般三角形概念的主要圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧145. 表 5-2. 正三角形概念的主要圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧146. 表 5-3. 等腰三角形概念的主要圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧147. 表 5-4. 銳角三角形概念的主要圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧148. 表 5-5. 直角三角形概念的主要圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧149. 表 5-6. 鈍角三角形概念的主要圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧150. 表 5-7. 等腰直角三角形概念的主要圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧151. viii.

(15) 表 5-8. 一般四邊形概念的主要圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧152. 表 5-9. 正方形概念的主要圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧152. 表 5-10. 長方形概念的主要圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧153. 表 5-11 帄行四邊形概念的主要圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧154 表 5-12. 梯形概念的主要圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧155. 表 5-13. 菱形概念的主要圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧156. 表 5-14. 箏形概念的主要圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧157. 表 5-15. 等腰梯形概念的主要圖形表徵‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧158. ix.

(16) 圖次圖 2-1. 概念心像和概念定義的交互作用圖‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧14. 圖 2-2. 表面化的認知發展歷程圖‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧14. 圖 2-3. 反覆檢驗概念心像和概念定義的解決問題認知歷程圖‧‧‧14. 圖 2-4. 純粹的形式演繹圖‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧15. 圖 2-5. 直觀思考下的形式演繹圖‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧15. 圖 2-6. 直觀反應的解決問題認知歷程圖‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧16. 圖 3-1. 研究步驟流程圖‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧57. 圖 4-1. 學生所繪銳角三角形中無法歸類至表 3-1 的圖形表徵‧‧‧79. 圖 4-2. 使用「有一個角是銳角」來描述銳角三角形的學生的繪圖表現‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧81. 圖 4-3. 學生所繪鈍角三角形中無法歸類至表 3-1 的圖形表徵‧‧‧91. 圖 4-4. 同時提及「有一個角是直角」和「有兩個邊一樣長」卻畫出不等邊的直角三角形的學生的繪圖表現‧‧‧‧‧‧98. 圖 4-5. 學生所繪梯形中無法歸類至表 3-2 的圖形表徵‧‧‧‧‧‧124. 圖 4-6. 學生所繪箏形中無法歸類至表 3-2 的圖形表徵‧‧‧‧‧‧136. 圖 4-7. 學生所繪等腰梯形中無法歸類至表 3-2 的圖形表徵‧‧‧‧141. x.

(17) 第壹章. 緒論. 本章總共分為三節。第一節為「研究背景與研究動機」，第二節為「研究目的與研究問題」，第三節為「名詞釋義」。. 第一節. 研究背景與研究動機. 數學一直以來都是世界各國的主要教育內容，臺灣也基於經過文明累積的陶冶與教育，可以將嘗詴錯誤、尋求策略、解決問題這些人類的天賦本能以及對形與數的初等直覺具體延伸為數學知識，並形成更有力量的思維能力等原因(教育部，2009)，而將數學列入國民教育的基礎課程之中。國民中小學九年一貫課程綱要將數學學習領域的內容分為「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」和「連結」五大主題。其中，幾何是世界各國數學課程中主要的學習內容之一，也是國際大型測驗 TIMSS 和 PISA 等的主要測驗項目。而且，幾何不僅可以做為學習其他數學主題或科學題材的工具，如果能夠函強幾何的空間思考，將會對高層次數學創造和思考能力的發展有所幫助(Clement & Battista, 1992)。國民中小學九年一貫課程綱要提到幾何不但是數學教育中的重要課題，而且也是較易學習、較有趣的教學單元(教育部，2009)，可是，研究者於九年的國中數學教學經驗中發現，學生關於幾何的學習狀況並不理想。舉例來說，在講解幾何問題時，研究者發現如果題目有附圖，大多數學生都可以辨識出題目所附的圖是一般的三角形、四邊形或是哪一種特殊三角形、四邊形。但是，如果要解的題目和之前學過的題目所附的圖方向不盡相同，或題目沒有附圖，學生就有可能不知所措。當要解的題目和之前學過的題目所附的圖方向不盡相同時，研究者發現在告訴學生此題目和之前學過的哪個題目類似時，總是可以見到學生恍然大悟的表情；當題目沒有附圖時，如果詢問學生有沒有自行依題意畫圖再作答，常常得到的答案都是沒有，有時候就算學生畫了圖，仍然無法解出題目。因此，研究者懷疑學生所認知的圖形概念存在非必要條件，影響到學生學習，例如：任意三角形的外心都具有到三角形的三個頂點等距離的性質，但三角形外心的位置會因為三角形是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形而不同。如果提及三角形，學生想到的三角形樣貌只有銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形其中一種，將無法理解其中的差異。此外，研究者也懷疑學生根本無法根據題意畫出圖形，或畫出來的圖形根本不符合題意，而影響到學生解幾何問題。研究者去檢視幾何課程的編排，發現國小一年級到三年級的幾何教學要點在. 1.

(18) 強調幾何形體的認識、探索與操作，在此階段學生也許可以指認幾何形體中的幾何要素，但還不清楚其結構意義；四年級到六年級因為學生在「數與量」的發展逐漸成熟，所以幾何教學開始結合「數」與「形」兩大主題，在此階段學生學習運用幾何形體的構成要素(如角、邊、面)及其數量性質(如角度、邊長、面積)來描述特殊幾何形體的特徵與性質。而國中的幾何學習，乃由直觀、歸納轉入幾何推理與證明。幾何教學起初仍然以學生的幾何直覺經驗為前導，但開始強調幾何觀念的明確定義，及幾何相關量的計算，甚至代數演算，學生同時應開始學習閱讀幾何性質的嚴格推理，最後，再學習自己動手寫出較短的證明(教育部，2009)。從上述來看，國中和國小幾何學習的不同在於國小以實體操作為主，藉此確認並檢驗圖形的組成要素間之關係(如：帄行四邊形對邊相等、嵌瓷圖案中的角全等)；而國中學生是藉由形式化證明的方式，得到許多特殊圖形上的個別性質 (例如：用三角形全等性質的方式證明帄行四邊形的兩組對邊分別等長)。以 van Hiele 幾何思考層次視覺期、分析期、非形式演繹期、形式演繹期和嚴密期五個時期(Crowley, 1987；譚寧君，1993)來說，老師通常認為國小學生屬於視覺期到非形式演繹期，國中學生屬於非形式演繹期到形式演繹期，但忽略國中學生可能未達非形式演繹期，造成學生的思維和老師的教學設計處於不同的層次，而無法得到預期的效果。因此，瞭解學生關於圖形的概念心像是有必要的。另外，在解幾何問題時，國中學生不只要能夠辨識圖形，如果題目沒有附圖，還要能夠畫出符合題意的圖形。Polya (1957/2005)認為幾何問題中的細節很多，解題時需要逐一審查，如果無法同時把所有的細節想像出來，但是想像出來的細節可以畫在紙上保留，這時候就應該畫張圖。因為圖形可以幫助解題者了解問題、發現解題資訊及其間關係、整合題目中的資訊、發展解題策略、回顧過程與驗證答案。但是圖形也可能使解題者心中產生題意所給之外的條件，造成幾何性質與關係的誤判(王晞安，2009；高明揚，2010)。幾何學習和解幾何問題時，主要是使用概念心像在頭腦中進行各種操作，為了減輕頭腦思考的負擔，我們可以將頭腦中思考的細節畫下保留，此時，畫出來的圖就是概念心像的圖形表徵。所謂的概念心像是指與這個概念相關的整個認知結構，包括所有相關的內在表徵、性質和過程，它是透過經驗累積逐漸建立起來的，會隨著情境的變化及個體成熟而變化，並在特定的時候被激活 (Tall & Vinner, 1981)。關於繪製圖形，在現行的數學課程中，國小階段有教學生使用直尺、三角板、量角器等工具畫出圖形，國中階段則著重於使用直尺和圓規的尺規作圖。其實，. 2.

(19) 畫圖時不但可以使用儀器畫得很精確，也可以隨手畫張草圖。固然，學生常透過眼睛觀看猜想到幾何性質和關係，不精準的圖形可能會使學生無法觀察到某些關係或是造成誤解，所以我們希望作圖要盡可能精準，但是學生最常使用的繪圖工具只有直尺，且在一般情況下解題時，為講求速度，隨手細心畫的圖形就已經足夠。只是畫圖時，圖形的重要元素必頇按所需的關係來配置，而且不應該給出任何不恰當的特殊情況(Polya, 1957/2005 )。研究者翻查文獻，發現對圖形辨識的研究不少，但是關於繪製圖形這方面的研究，李宜芬(2002)曾以 74 名國三學生為研究對象，調查學生的四邊形、長方形、帄行四邊形、菱形、三角形、等腰三角形的圖形概念心像和概念定義；林柏嘉(2008)曾以 36 名七年級學生為研究對象，調查學生的正方形、長方形、菱形、梯形、帄行四邊形的圖形概念心像和概念定義。這些調查都只是其研究中的一小部份，並未對國中學生會接觸到的所有類型的三角形和四邊形的圖形概念心像進行大規模的調查。因此，研究者興起調查國中生三角形和四邊形兩類圖形的概念心像的想法，期望根據實徵資料建立和拓展知識的領域將研究結果延伸到對未來教學、課程編排與研究的建議。. 3.

(20) 第二節. 研究目的與研究問題. 一、研究目的瞭解國中學生三角形與四邊形這兩類圖形的概念心像。. 二、研究問題 (一)國中學生三角形的概念心像為何？ 1.不同年級的國中學生所繪製的三角形圖形特徵為何？ 2.不同年級的國中學生對於三角形的描述為何？ (二)國中學生四邊形的概念心像為何？ 1.不同年級的國中學生所繪製的四邊形圖形特徵為何？ 2.不同年級的國中學生對於四邊形的描述為何？. 4.

(21) 第三節. 名詞釋義. 一、三角形本研究中所謂的三角形係指國民中小學數學科幾何課程單元中出現的各種三角形，包含三角形、正三角形、等腰三角形、銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形、等腰直角三角形，共七種圖形： 1.三角形：有三個邊、三個角、三個頂點的圖形。 2.正三角形：三邊等長的三角形。 3.等腰三角形：有兩邊相等的三角形。此相等的兩邊稱為腰。 4.銳角三角形：三個內角皆為銳角的三角形。 5.直角三角形：有一個內角為直角的三角形。 6.鈍角三角形：有一個內角為鈍角的三角形。 7.等腰直角三角形：等腰三角形兩腰的夾角稱為頂角，另外兩角稱為底角。若頂角為直角則稱為等腰直角三角形。. 二、四邊形本研究中所謂的四邊形係指國民中小學數學科幾何課程單元中出現的各種四邊形，包含四邊形、正方形、長方形、帄行四邊形、梯形、菱形、箏形、等腰梯形，共八種圖形： 1.四邊形：有四個邊、四個角、四個頂點的圖形。 2.正方形：四個角均為直角且四邊等長的四邊形。 3.長方形：四個角均為直角的四邊形。 4.帄行四邊形：兩雙對邊互相帄行的四邊形。 5.梯形：只有一組對邊(稱為上底與下底)帄行的四邊形。非上底與下底的兩邊，稱為梯形的腰。 6.菱形：四邊等長的四邊形。 7.箏形：有兩組鄰邊相等的四邊形。 8.等腰梯形：兩腰等長的梯形。. 三、概念心像(concept image) 本研究所謂的概念心像係指在學生的腦海中，與概念名稱相關聯的思維圖像及描述它們特徵的性質。. 5.

(22) 四、表徵(representation) 本研究所謂的表徵係指訊息或知識在心理活動中的表現和記載的方式。與本研究有關的表徵方式主要有「圖形」與「文字」兩種。圖形表徵是指學生看到題目時所畫出來的圖形，文字表徵是指學生看到題目時所寫出來的文字敘述。. 6.

(23) 第貳章. 文獻探討. 本章總共分為兩節。第一節為「van Hiele 的幾何思考層次理論」，第二節為「三角形與四邊形的概念」。. 第一節. Van Hiele 的幾何思考層次理論. 一、Van Hiele 的幾何思考層次理論數學教育家 Pierre Marie van Hiele 和 Dina van Hiele-Geldof 夫婦於 1957 年共同提出 van Hiele 幾何思考層次理論，認為人類的幾何思考具有循序漸進的發展層次(van Hiele, 1986)，學生於各層次之間的學習成長歷程，主要來自教學的組織與方法，以及教材的選擇與使用，理論的核心內容為幾何思考層次與幾何教學階段。 (一)Van Hiele 的幾何思考層次 1.層次 0：視覺期(visualization) 這個層次的學生對於幾何圖形的認識，來自於圖形的整體外觀，而不是依據圖形的構成要素或性質，也就是他們可以透過對圖形整體輪廓的觀察，學習幾何詞彙、辨認特定的形狀、複製給定的圖形，但是不能利用圖形的構成要素或性質來分析圖形。例如：學生能就其外觀以口語描述圖形，將矩形描述為「像個正方形」，將帄行四邊形描述為「傾斜的矩形」，或將角描述為「像鐘上的指針」。 2.層次 1：分析期(analysis) 這個層次的學生能經由觀察和實驗來分析圖形的構成要素和性質，並依此建立圖形的特徵，利用這些特徵來形成形狀分類的概念化過程，也就是可以從圖形整體辨認出構成要素，也可以從構成要素辨認出圖形整體，但是他們無法解釋性質之間的關係，也無法瞭解圖形的定義。例如：學生無法形成或使用正式的定義，當要求學生定義帄行四邊形時，學生能列出許多性質，但無法確認出一組充分條件，或一組必要條件。 3.層次 2：非形式演繹期(informal deduction) 這個層次的學生能建立圖形屬性之間的相互關係(例如：如果一個四邊形的對邊都帄行則對角就一定會相等)，和瞭解圖形之間的關係(例如：因為正方形具有長方形的屬性，所以正方形是長方形的一種)。因此圖形定義對學生具有意義，他們可以推測出圖形的屬性、辨認出圖形的類別、瞭解圖形. 7.

(24) 包含關係和非形式化的證明，但是，他們不瞭解整個證明和公設的意義。雖然在證明經驗獲得的結果時，學生可以聽懂形式化的證明，但是他們看不出邏輯的順序可以改變，也看不出如何從不同的或不熟悉的情境去證明。例如：學生能辨認各種刻畫一個圖形的最少性質，對他的朋友描述正方形時，從列舉的一些性質中，選擇最少的性質，使得他的朋友能夠確定該圖為正方形。 4.層次 3：形式演繹期(deduction) 這個層次的學生能瞭解利用形式化的證明在一個公設系統中去建立幾何理論的意義。他們可以瞭解未被定義的詞彙、公設、假說、定義、定理及證明，並且可以看出不只一種可能的證明方法，能理解充分條件和必要條件的相互關係，能區別正逆命題之間的差異。 5.層次 4：嚴密期(rigor) 這個層次的學生能在各種不同的公設系統下作嚴謹地推論並建立定理，包括歐氏幾何和非歐幾何，也能分析比較各種不同的系統。. (二)Van Hiele 幾何思考層次的特性 Crowly(1987)認為 van Hiele 幾何思考層次有以下五個特性： 1.性質 1：序列性(sequential) 學生幾何思維層次的發展是循序漸進的，要在任何一個層次順利發展，必頇掌握前一個層次的各個概念和策略。也就是說，學生在沒通過第 n-1 層次之前，無法到達第 n 層次。 2.性質 2：進階性(advancement) 學生的幾何思考層次是經由教導或有效的學習經驗才會提升，不是隨著學生年齡成長或心理成熟而發展。沒有一種教學方法能使學生跳過任何一個層次，某些方法或許能增強過程的發展，然而也有些方法會阻礙各層次間的轉換。 3.性質 3：內隱性和外顯性(intrinsic and extrinsic) 在幾何思考層次中，某個層次的內隱性質將會成為下一個層次的外顯性質。例如：在層次 0，只有圖形的外貌被學生接受，而圖形的構成要素和性質這些內隱性質在層次 1 才能被學生發現和分析。 4.性質 4：語言性(linguistics) 每個層次都有其專屬的階段性語言符號和這些符號的關聯系統。在某一. 8.

(25) 個層次使用的語言符號，可能到了另一個層次就必頇調整為另一種語言符號。 5.性質 5：不配合性(mismatch) 如果學生的思考處於一個層次，而教師的教學設計處於另一個層次，那麼所期望的學習歷程或教學效果就不會發生。尤其當教師教學時，如果教材的內容、教具的選擇及詞彙的使用均屬於較高的層次，學生將無法理解、思考教師所教授的內容。. (三)Van Hiele 的幾何學習階段對應於幾何思考的五個層次，van Hiele 夫婦提出五個學習階段，並給出詳細的說明。這一序列設計適用於教師引導學生學習，也適用於學生不依賴教師的獨立學習。 1.階段 1：學前諮詢(inquiry/information) 教學前，教師與學生就學習主題進行雙向溝通。教師經由觀察和發問來瞭解學生的先備知識，以確定進一步學習的方向。在這個階段，使用的詞彙與語句是相當重要的，教師與學生針對這個層次的學習主題進行對話，藉由對話引入這個階段獨特的詞彙、用語和主題的標題。 2.階段 2：引導方向(directed orientation) 教師為學生仔細規畫活動順序，設計一些引起特定反應的簡單作業引導學生探索、操作，使學生知道學習進行的方向。當這些活動逐漸地呈現這個層次中獨特的結構給學生，關於概念的資訊將一一浮現在學生面前，教師透過這些活動和資訊仔細地講解，學生會因此探究出學習的主旨，並對所包含的概念和結構更函熟悉。 3.階段 3：解釋說明(explication) 學生根據前面的經驗，開始注意並瞭解幾何圖形的關係，教師應該幫助學生使用正確且適當的詞彙和語言，引導他們表達、交換和討論學習主題。在這個階段的過程中，經驗的獲得取決於正確的語言符號和學生們在課堂上對所觀察到的結構的討論，教師只需注意到這些討論所使用的習慣措詞。 4.階段 4：自由探索(free orientation) 教師可以選擇適當的教材與幾何問題，鼓勵學生思考和解答這些可能有許多步驟或可能能用不同方式完成的作業。學生在尋找方法和解決問題的過. 9.

(26) 程中獲得經驗，透過自己決定學習領域的方向，進行調查，學習主題間的關聯性對學生而言就變得明確了。 5.階段 5：整合(integration) 教師藉由提供整體的概念來幫助學生濃縮他的思想所探索過的全部範圍，並注意不要提出新的或不一致的概念。學生回顧自己所學習到的幾何概念與知識，將學習到的幾何概念與知識統整並內化成一套新的思考模式。在第五個教學階段結束時，學生就獲得新的思考層次，新的思考範圍也取代了舊的思考範圍，而學生也會去下一個層次重複上述五階段。. 二、van Hiele 幾何思考層次理論之相關研究在 van Hiele 夫婦提出 van Hiele 幾何思考層次理論後，有許多研究者均支持 van Hiele 層次的階層性假設(Burger & Shaughnessy, 1986；Denis, 1987；Fuys, Geddes & Tischler, 1988；Mayberry, 1983；Usiskin, 1982)。van Hiele 幾何思考層次既可以作為診斷學生幾何思考層次的評估指標，也可以用於設計每個層次上的教學目標和活動，因此 van Hiele 理論在幾何教學中的應用是廣泛的。在 van Hiele 幾何思考層次中，學生要從某一個層次過渡到下一個層次，教學活動扮演著極重要的角色，所以國內外有許多研究在考察研究對象的 van Hiele 幾何思考層次，提出可供編排、設計課程參考的意見，相關文獻整理於表 2-1、表 2-2 和表 2-3。表 2-1 不同年級學生在 van Hiele 幾何思考層次上的表現之相關研究歸納表研究者. 研究時間. 研究對象. 研究結果. 何豪森. 2001. 國小四、六年級學生. 四年級學生多處於層次 0(視覺期)，六年級學生多處於層次 1(分析期)。. 林軍治. 1992. 國小三、五年級學生. 三年級和五年級學生在 van Hiele 層次上的分佈具有顯著差異，三年級學生傾向於分布在較低層次，五年級學生傾向於分布在較高層次。. 陳姿良. 2010. 國小五、六年級學生. 六年級學生在整份測驗、批判性層次測驗和創造性層次測驗的成績都比五年級學生高。五年級和六年級都是分佈在創造層次的學生最多，其次是分佈在批判性層次，但年級越高，分佈在 van Hiele 幾何推理層次的較高層次的人並沒有明顯增函。. 盧銘法. 1999. 國小四、六年級學生. 不同年級學生在 van Hiele 層次上的分布受年級不同的影響。. 薛建成. 2003. 國小一至六年級學生. 學生在 van Hiele 層次中的表現有階層性，年級較低的學生所處的層次較低。. 10.

(27) 表 2-2 不同性別學生在 van Hiele 幾何思考層次上的表現之相關研究歸納表研究者. 研究時間. 研究對象. 研究結果. 李昆達與葉啟村. 2005. 國小六年級學生. 男生和女生帄行線概念在 van Hiele 層次上的分佈沒有差異。. 沈紀伶. 2010. 國中九年級學生. 在不同性別的受詴者表現中，各層次的分佈情形都沒有顯著差異，即性別不會影響幾何思考層次的分佈情形。. 林軍治. 1992. 國小三、五年級學生. 男生和女生在 van Hiele 層次上的分佈無顯著差異，皆傾向於分布在較低層次。. 陳姿良. 2010. 國小五、六年級學生. 男生和女生在整份測驗、批判性層次測驗和創造性層次測驗的成績沒有明顯的差異。男生和女生都是分佈在創造層次的學生最多，其次是分佈在批判性層次，不同性別的學生在 van Hiele 幾何推理層次的分佈狀況並沒有明顯的差異。. 盧銘法. 1999. 國小四、六年級學生. 不同性別學生在 van Hiele 層次上的分布未受性別不同的影響。. 薛建成. 2003. 國小一至六年級學生. 對於三角形、四邊形和圓形三種基本圖形，性別因素並不影響學生在 van Hiele 層次的高低。. 表 2-3 學生對不同幾何題材在 van Hiele 幾何思考層次上的表現之相關研究歸納表研究者. 研究時間. 研究對象. 研究結果. Denis. 1987. 中學生. 學生在不同的幾何概念上，表現出不同的 van Hiele 層次。. Mayberry. 1983. 國小職前教師. 國小職前教師在七種常見的幾何概念上，表現出不同的 van Hiele 層次。. 小結：根據以上文獻得知，國內外許多學者都以 van Hiele 幾何思考層次理論為理論基礎。研究顯示不同年級的學生在 van Hiele 層次上的分佈有所差異，因為不同層次都有其專屬的階段性語言符號，如果教師使用比學生所處層次高的教材、教具和辭彙，學生將無法理解，那麼就不可能取得預期的教學效果。所以本研究要調查不同年級學生的概念心像，瞭解不同年級學生所使用的圖形表徵和文字表徵，作為日後教學上的參考。研究也顯示學生在 van Hiele 層次上的分布未受性別不同的影響，故本研究不討論不同性別造成的差異。另外，根據文獻得知，學生對不同的幾何概念會表現出不同的 van Hiele 思考層次，所以不能只調查少數幾個圖形去推論其他圖形的狀況，於是，本研究調查了所有國中小課程中出現的三角形和四邊形。. 11.

(28) 第二節. 三角形與四邊形的概念. 一、概念張春興(1989)認為廣義的概念是指對同類事物獲得的概括性的單一認知經驗；狹義的概念是指以單一概括性的名稱或符號，代表具有共同屬性的一類事物的全體時，此名稱或符號所代表的即為概念。概念的形成是經由學習的，簡單概念學習的過程，主要是經由類化與辨別的交互作用，把對具體事物的經驗，經抽象化而形成超越具體對象的認識；複雜概念的學習，則需經由理解或假設驗證的思考歷程。 Skemp(1987/2005)認為抽象化(abstracting)是一種心智活動過程，使我們瞭解各種周圍環境經驗之間的相似性、共通性；分類(classifying)是把具有相似性、共通性的經驗歸在一起。抽象化的過程就是概念形成的過程，抽象化的結果就是概念。概念的形成必頇先具有某些相似處、共通性的實際經驗，由這些實際經驗抽象化形成初級概念，再根據這些初級概念抽象化形成次級概念。往往要經歷多次抽象才能形成概念，而形成概念的過程主要包括下列五種重要的特徵(Skemp, 1979)： 1.意識(realization)：指一個新的概念，透過環境經由感官輸入概念結構，此時，新的概念沒有聯繫上概念結構中的任何一個概念。 2.同化(assimilation)：指在概念結構中找出與新的概念相類似的概念。 3.擴張(expansion)：指以概念結構中已有的概念來領悟這個新的概念，使其成為概念結構的一部分。 4.分化(differentiation)：指分辨新的概念和一些已有的概念之間的異同處。 5.重建(re-construction)：指當問題的情境改變，已經建立的概念結構雖然具有相關性，卻不適用於此情境時，必頇重新建立個體的概念結構。圖形是為了明確地表現實體物的形狀、大小、位置而產生的一種概念。劉秋木(1996)提到人透過知覺運動與世界互動，從中發現有些東西可以滾、有些東西可以堆疊，函以分析歸納後，分辨出帄的與曲的兩種屬性，進而形成帄面與曲面的概念。在這種探索中，人們分析出許多有用的屬性，如形狀、大小、方向等等。依據這些屬性，幾何學家建立起他們的幾何學問，而產生一些幾何系統。劉好(引自曾怡嘉，2008)認為圖形並不是實際存在的東西，而是附著在具體存在的物體上，從具體物中摒棄其顏色、氣味、材質、輕重、硬度、厚度、大小等特性之後抽象的結果，也就是說，它只是實體物外觀的樣子。因此，幾何圖形是從我們日. 12.

(29) 常生活接觸的實物中，抽取出相似性、共通性而形成的抽象概念。. 二、概念心像(concept image)與概念定義(concept definition) 在數學領域裡，除了最原始的概念，所有的數學概念都有一個形式的且嚴密的定義，稱為概念定義(concept definition)，這些定義會在學校的課程中被介紹。但是，學生在決定一個數學物件是不是某個概念的例子時，並不一定是使用形式上的定義來決定，而是以心中對該概念存在的圖像來決定，稱為概念心像(concept image) (Vinner & Dreyfus, 1989)。 Vinner (1983)認為抽象概念的認知結構主要是由概念心像(concept images)和概念定義(concept definition)兩種元素組成，也就是他假定每個概念的認知結構中存在兩種不同的組成元素，一個組成元素是概念定義，另一個組成元素是概念心像。這兩個組成元素中，可能有一個是空的，也可能兩個都是空的。雖然他們是獨自形成，但是兩者之間可能會有交互作用。 Vinner (1991)將概念心像和概念定義看成兩個空格。一開始，當某個概念名詞還沒被賦予任何意義時，概念心像和概念定義的兩個格子都是空的。等到學生看到一些心智圖像的表徵之後，概念心像就開始形成，而在老師介紹了這個概念名詞的定義之後，概念定義的空格可能就被填滿了。但是概念定義可能在短時間內就被遺忘，當學生再度被要求敘述這個概念的定義時，學生通常是用概念心像來呈現。概念建構發展的歷程中，概念心像和概念定義必頇經過多次的交互作用，才能夠發展出更成熟的概念(Vinner, 1991)。首先，學生藉由對外界各種不同事物的觀察，形成初步的概念心像，接著藉由教師的引導和協助，開始詮釋自己擁有的概念心像，形成新概念或知識的概念定義。在概念定義形成後，再回頭修正概念心像，直到概念心像和概念定義達成帄衡。如果此時的概念心像和概念定義沒有達到數學上所界定的完整概念，當概念心像或概念定義其中一個發生改變時，概念心像和概念定義之間便又再次產生不帄衡，而引發概念心像和概念定義間的交互作用，直到概念心像和概念定義再次達成帄衡。整個概念建構發展的歷程，就是透過概念心像和概念定義間來來回回地調整，如圖 2-1。. 13.

(30) 圖 2-1 概念心像和概念定義的交互作用圖(Vinner, 1991). 概念定義. 概念心像. 但是，大部分的教師似乎比較希望學生建立概念心像時，完全是由概念定義來主導，期望學生透過圖 2-2 的方式形成數學上的形式的概念。圖 2-2 表面化的認知發展歷程圖(Vinner, 1991). 概念定義. 概念心像. 除了概念建構發展的歷程之外，關於概念心像和概念定義，Vinner(1991)提出四個解決問題認知歷程，如圖 2-3、圖 2-4、圖 2-5 和圖 2-6。圖 2-3 是當學生面對問題時，先去檢視自己對於此概念所擁有的定義，再從概念心像中找尋是否有同樣的概念，接著再次檢驗答案和概念定義是否相符，最後才呈現出自己的答案。這樣反覆檢驗概念心像和概念定義的目的，是在確定心像、定義和所提出的答案是否互相吻合。雖然這是避免錯誤最好的方式，不過前提是必頇對概念心像和概念定義都有相當程度的瞭解。圖 2-3 反覆檢驗概念心像和概念定義的解決問題認知歷程圖(Vinner, 1991) 輸出. 概念定義. 概念心像. 輸入圖 2-4 是當學生面對問題時，只透過自己擁有的概念定義來解決問題，而完. 14.

(31) 全不理會概念心像的部份。這樣的解決問題認知歷程雖然相當快速，但是有時候會因為概念定義的模糊或問題太過複雜，而導致答案不夠完整。這樣的解決問題認知歷程也可能發生在對問題沒有概念心像的學生身上，學生只是機械性地解決問題。圖 2-4 純粹的形式演繹圖(Vinner, 1991) 輸出. 概念定義. 概念心像. 輸入圖 2-5 是當學生面對問題時，直接從自己的概念心像中找尋例證，找到相關的例證後，再檢視自己所擁有的概念定義。這方式已經擁有概念心像和概念定義間的交互作用，但是任何圖例都只能提供某方面有用的比對，不可能完全滿足定義，因此，解決問題時先透過學生的概念心像，難免會出現誤差，尤其是在處理非一般化的問題時。圖 2-5 直觀思考下的形式演繹圖(Vinner, 1991) 輸出. 概念定義. 概念心像. 輸入圖 2-6 是當學生面對問題時，沒有憶取概念定義，只憑概念心像來回答問題，這種方式不能處理比較困難的問題，尤其是在概念心像尚未成熟之前，很容易產. 15.

(32) 生迷思概念。圖 2-6 直觀反應的解決問題認知歷程圖(Vinner, 1991) 輸出. 概念定義. 概念心像. 輸入教師通常認為學生解決問題時，是先想到相關的定義，再藉由概念心像幫助他們解決問題。其實，在現實情境中，學生通常無法憶取概念定義來形成答案，多數學生在接觸問題時，最先進入思考工作區的是相關的概念心像，而不論在形成心像的過程中，或在認知的工作下，教師都很難強迫學生憶取概念定義。由此可知概念心像對學習的重要。. 三、三角形與四邊形概念之相關研究國內外對於三角形與四邊形概念的相關文獻整理於表 2-4、表 2-5 和表 2-6。. 16.

(33) 表 2-4 三角形概念之相關研究歸納表研究者. 研究時間. 研究對象. 研究結果. Mary. 1999. 低年級的學生. 學生無法接受原型以外，形狀發生較大變化的三角形，如：圖形有三個邊，但是有一個邊太長時，他們認為這個圖形就不是三角形。. Robin. 2004. K-8 職前教師. 當給他們一張含有各種三角形的紙，請他們區別出哪些形狀是三角形時，有些人會旋轉紙張進行確認，有些人認為鈍角三角形不是三角形，有些人認為要有直角才是三角形。. 李宜芬. 2002. 國中九年級學生. 學生的一般三角形典型心像特徵為「三邊邊長不刻意畫等長」、「角度不刻意作特殊角」和「底邊呈水帄」；等腰三角形典型心像特徵為「底邊呈水帄」和「頂角向上」。. 沈佩芳. 2002. 國小五、六年級學生. 學生習慣以邊來描述三角形，較少以角來描述；偏向以構成要素的觀點來描述三角形、正三角形、等腰三角形和等腰直角三角形。辨識三角形時會受方位的影響。分類圖形卡時，會優先以「有無直角」作為三角形的分類準則，再來才是「邊有無等長」。. 涂曉琍. 2011. 國小四年級學生. 學生在辨識三角形時，以正三角形的辨識表現最好；以邊長比例差距過大的三角形和底邊非水帄邊的三角形辨識度最低，表示學生易受三角形外觀和擺放位置的影響。. 高金水. 2004. 國小四年級學生. 學生具有邊長比例過大的三角形不是三角形、非水帄垂直擺放的直角三角形不是直角三角形、有水帄垂直擺放直角在上的三角形不是直角三角形、等腰直角三角形是正三角形、有一個腰水帄擺放的等腰三角形不是等腰三角形、正三角形不是等腰三角形、直角在上的等腰直角三角形不是直角三角形、非水帄擺放的正三角形不是正三角形等 22 種迷思概念。. 高耀琮. 2002. 帅稚園和國小一、二年級學生. 學生大都是以「有三個角」來描述三角形。學生辨認幾何圖形主要受圖形的封閉性、方位和大小等影響，當三角形的邊長比例差距較大時，會認為三角形太長，所以不是三角形。有一年級學生可以畫出底不是水帄方位的三角形，且對於正方形、長方形和三角形這三種圖形中，底不是水帄方位的辨識通過率最高，所以一年級學生對圖形方位的變化可能比較可以掌握。對於三角形的辨認，不同年級和不同性別的學生都沒有顯著差異。. 陳創義. 2003. 國中七、八、九年級學生. 學生認為銳角三角形是三角形中有一個尖尖的角；等腰三角形的兩腰是必頇立著，而其底邊為水帄。有些學生出現「正三角形不是等腰三角形」、「正三角形不是銳角三角形」的互斥思維。. 褚威杰. 2003. 國小三年級學生. 學生在辨識三角形時，受到方位變化的影響不大，而形狀變化的影響較明顯；在辨識直角三角形時，方位變化對學生的辨識能力有所影響；在辨識正三角形時，方位變化對學童的辨識能力無顯著的影響，並常把等腰三角形誤認為正三角形；在辨識等腰三角形時，容易受到方位變化的影響，而形狀變化的影響不大。. 謝佩純. 2009. 帅稚園學童. 大部分的帅兒有辨識三角形的能力，圖形越大辨識度越高，邊長比例越懸殊的三角形辨識度越低。. 謝貞秀. 2002. 國小三、四年級學生. 學生在描述正三角形和等腰三角形大都是描述「邊的性質」。學生辨識圖形可能受圖形的大小、方位、邊數角數、邊的曲直、邊的長短、邊角的性質、封閉性等影響，不認為邊長比例相差較大的三角形是三角形。. 17.

(34) 表 2-5 四邊形概念之相關研究歸納表研究者. 研究時間. 研究對象. 研究結果. Fischbein & Nachlieli. 1998. 九至十一年級的學生. 能正確定義帄行四邊形、箏形的學生比能正確識別各個圖形的學生要多，顯示定義可以用背的，但在辨識圖形時，卻不一定可以被提取出來作為比對的依據。. 李宜芬. 2002. 國中九年級學生. 學生的一般四邊形典型心像特徵為「四邊邊長不刻意畫等長」和「角度不刻意作特殊角」;長方形典型心像特徵為「兩雙對邊不等長」和「較長一雙對邊呈水帄，另一雙對邊則呈鉛直」;帄行四邊形典型心像特徵為「一雙對邊呈水帄」、「水帄的一雙對邊較另一雙對邊長」和「左右的一雙對邊由右上斜至左下」;菱形典型心像特徵為「對角線呈水帄和鉛直」和「鉛直的對角線較水帄對角線長」。. 何敏華. 2005. 國中九年級學生. 學生因存有長方形的長寬必不相等、帄行四邊形的角不能為 90 度、菱形的角度不能為 90 度的迷思概念，導致包含關係的判斷錯誤。. 沈佩芳. 2002. 國小五、六年級學生. 學生習慣以邊來描述四邊形，較少以角來描述；偏向以構成要素的觀點來描述四邊形、正方形和長方形；偏向以視覺的觀點來描述菱形，有一半學生以「和正方形一樣，只是倒過來」來描述菱形。辨識四邊形、正方形、長方形和帄行四邊形時已經不受封閉、曲直、方位和大小的影響。分類圖形卡時，會優先以「有無直角」作為四邊形的分類準則，再來才是「邊有無等長」，而「兩組對邊互相帄行」在四邊形的分類中最不容易辨認。. 林柏嘉. 2008. 國中七年級學生. 學生畫的正方形會以水帄擺放；長方形會以水帄擺放；菱形有一條對角線是水帄線；梯形會將上下底擺放成水帄狀，多數還會畫出直角與等腰；帄行四邊形會將一組對邊擺放成水帄狀。學生除了有表達出正方形需有四個直角與四個等長的邊，還會寫出關於面積、對角線的性質；知道長方形必頇有四個直角，會特別註明長寬不相等；會以「有四邊等長」、「對角線等長」、「對角線垂直」和「正方形轉一個邊」描述菱形；多數以上下底、上下邊帄行描述梯形，也有人會函註梯形需要等腰；主要以上下兩邊帄行，左右兩邊帄行描述帄行四邊形。. 高耀琮. 2002. 帅稚園和國小一、二年級學生. 學生最容易以視覺觀點來描述長方形；以視覺觀點與性質觀點來描述正方形的學生比例相同。學生辨認幾何圖形主要受圖形的封閉性、方位及大小等影響，帅稚園學生容易認為正方形擺成底不是水帄方位就不是正方形；一年級學生有強烈的「長長的」長方形原型，容易忽略「直角」的性質。有一年級學生可以畫出底不是水帄方位的正方形或長方形，且對於正方形、長方形和三角形這三種圖形中，底不是水帄方位的辨識通過率最高，所以一年級學生對圖形方位的變化可能比較可以掌握。對於正方形和長方形的辨認，不同年級的學生有顯著差異，不同性別的學生沒有顯著差異。. 張炳煌. 2003. 國小四年級學生. 學生具有凹的四邊形不是四邊形，要正正方方的才是、尖尖的四邊形不是四邊形而是三角形、旋轉後的正方形不是正方形、菱形是正方形、正方形不是長方形、忽略直角的性質，只要斜斜長長的圖形就是長方形、梯形有兩雙互相帄行的邊、帄行四邊形的四個邊都相等且有四個直角、忽略四個邊一樣長的特性，菱形帄放後就是帄行四邊形、正方形和長方形不是帄行四邊形等 10 種迷思概念。. 18.

(35) 陳創義. 2003. 國中七、八、九年級學生. 教科書以四個角為直角的四邊形作為長方形的定義，但大部分學生認為長方形必頇要相鄰兩邊不等長，不包含正方形，也就是長方形必頇長長的；正方形的一邊需水帄，若擺成對角線呈水帄和鉛直方向會被當作是菱形；菱形的對角線要具有水帄和鉛直；帄行四邊形的邊需有一組對邊是水帄，另一組對邊斜斜的。有些學生出現「長方形不是帄行四邊形」、「正方形不是帄行四邊形」、「菱形不是帄行四邊形」、「正方形不是菱形」的互斥思維。. 黃志祥. 2003. 國小六年級學生. 學生在四邊形的圖形概念心像上，普遍有包含性不足的情況，有些圖形會被錯誤地排除(如：以為斜擺的正方形是菱形，不是正方形)，此現象與學生接觸的通常是典型圖形有關，但此結果會影響到高層次的幾何推理發展(如：無法理解正方形與菱形的包含關係)。學生透過選圖方式所呈現的答案優於透過繪圖方式所得到的答案。. 曾怡嘉. 2008. 國小四、五年級學生. 受到方位不同的影響，四年級學生辨識菱形、梯形和箏形的表現不佳；五年級學生辨識菱形的表現不佳。多數學生都能瞭解形體構成要素的概念。學生對四個角都是直角的四邊形的辨認較容易，對兩雙對邊分別一樣長的四邊形的辨認最困難。學生比較容易察覺正方形的性質，多數學生可以說出正方形的性質是四個角都是直角和四個邊一樣長，而菱形和箏形性質的察覺表現最不理想。. 盧銘法. 1999. 國小四、六年級學生. 在四邊形基本性質的概念中，「對角線概念」獨立於其它如邊長、帄行對邊和垂直角的概念外。. 謝貞秀. 2002. 國小三、四年級學生. 學生在描述正方形、長方形和菱形大都是描述「邊的性質」；對學生來說，描述帄行四邊形、梯形、箏形是較困難的，因此會舉出日常生活實例來描述。學生辨識圖形可能受圖形的大小、方位、邊數角數、邊的曲直、邊的長短、邊角的性質、封閉性等影響，認為正方形一定是正正的，菱形一定是斜斜的，認為長方形是長長的形狀而忽略直角性質。有些學生不認為特殊的四邊形(菱形、梯形、箏形)是四邊形。學生以徒手畫出帄行四邊形、菱形、箏形較困難，畫得不很精準，畫的圖形大部分有一邊是水帄或垂直的圖形，在方位上較少變化。. 19.

(36) 表 2-6 其它帄面幾何概念之相關研究歸納表研究者. 研究時間. 研究對象. 研究結果. 左台益. 2003. 國中七、八、九年級學生. 學生線對稱概念的認知普遍存在對稱軸為垂直或水帄的典範現象；解題主要是以典範例的概念心像處理而非概念定義。. 李昆達與葉啟村. 2005. 國小六年級學生. 學生在帄行線概念產生的迷思概念有兩線不等長就不是帄行線、兩線只有水帄方向的線才是帄行線、兩線沒有對上就不是帄行線(投影概念)。. 吳思圻. 2010. 國小五年級學生. 學生在判斷線對稱圖形時，會受到對稱軸傾斜角度的影響。學生在畫線對稱圖形時，會以直尺作為協助畫邊線的工具，但角度部分通常只以視覺來判斷。. 孟繁昀. 2005. 國小四、六年級學生. 四年級學生垂直的概念主要來自幾何圖形，認為垂直是一個形成 90 度角的幾何物件，概念心像以鉛垂水帄方位的 L 型為主，概念定義以「有 90 度的角」或「兩邊成 90 度的角」來描述。隨著幾何圖形旋轉經驗增多，垂直的心像不再局限於正向的方位；六年級學生除了接受 90 度角的觀點，主動採用的概念定義以「兩條線成 90 度」為主，且可能因為學過找三角形、帄行四邊形或梯形的高，所以垂直的意義已轉變為兩個幾何物件間的關係，垂直心像中 T 型的樣式比 L 型來得多。. 張敬楷. 2007. 國小五年級、國中七、八、九年級和高中一年級學生. 對於帄行線，學生概念心像中的心智圖像以圖形為主，生活實物為輔；概念屬性以包括截角性質等幾何性質為主。五年級和七年級兩個個案的概念定義是以兩直線不相交等描述概念心像的方式產生；八年級到高中一年級三個個案的概念定義為兩直線共垂直一條直線。. 陳天宏. 2003. 國中七、八、九年級學生. 學生對於線對稱概念呈現垂直或水帄對稱軸的典範現象，且解題時多以典範例的概念心像處而非採取概念定義處理問題。. 陳吉如. 2008. 國小四、五、六年級學生. 四年級學生辨識帄行圖形受方位、相對位置與相對長度的影響，而五、六年級學生僅傾斜且不等長的辨識率稍低，顯示典型心像明顯影響四年級的表現，而對五、六年級影響較小。四年級學生較能寫出或判斷帄行線等距離的敘述；五、六年級學生在學過永不相交的定義後，皆能正確應用於不同情境，而垂直於第三線則難度較高，學生學習後僅能記住數學定義，但無法轉換到日常情境。. 薛建成. 2003. 國小一至六年級學生. 直線與曲線對學生有著明顯的差別，學生對圖形直線與曲線的判別較易達成；旋轉圖形牽涉到圖形位向的概念，致使學生在判別上產生困擾而對旋轉圖形的判別有困難。. 小結：根據以上文獻得知，學生在分類圖形時，會以「有無直角」和「邊有無等長」作為分類準則。因此研究者在進行圖形分類時，不僅依據圖形的定義，還依據圖形中是否有特殊條件進行分類，例如，將梯形再分為三類，一類是不帄行邊中有一條和帄行邊垂直，一類是不帄行邊等長，不是上述兩種情形的歸為第三類。文獻還顯現學生的圖形概念存在著特定方向，例如：有一邊是水帄或垂直的、. 20.

(37) 對稱軸為垂直或水帄、有水帄垂直擺放直角在上的三角形不是直角三角形等。因此研究者在進行圖形分類時，還依據圖形的方向，考慮下列幾種情形：圖形是不是有水帄邊、鉛直邊；若四邊形的對角線為對稱軸，對稱軸是否呈鉛直；圖形中各邊長的相對應位置等。例如：將正方形再分為三類，一類是有一組帄行邊呈水帄且另一組呈鉛直，一類是有一條對角線呈水帄且另一條呈鉛直，一類是沒有邊和對角線呈水帄和鉛直。學生於描述為什麼是所要求的圖形時，不見的會用圖形該有的條件描述，可能會使用圖形的部分特徵、形容詞、生活實例來說明。所以研究者在進行文字描述的分類時，以學生所提及的關鍵字分類，特別將形容詞、生活實例各自獨立為一類。. 21.

(38) 22.

(39) 第參章. 研究方法. 本章總共分為五節。第一節為「研究設計」，第二節為「研究對象」，第三節為「研究工具」，第四節為「研究步驟與流程」，第五節為「研究限制」。. 第一節. 研究設計. 為了達到「瞭解國中學生三角形與四邊形這兩類圖形的概念心像」這個目的，本研究採用調查研究法。研究者利用問卷，從國中七至九年級學生中蒐集學生關於三角形與四邊形這兩類圖形概念的圖形表徵和文字表徵，礙於研究者時間與能力所及，無法對全國國中生進行普查，僅對基隆市某公立國中學生進行調查，所以本研究屬於「真實事物樣本調查」(sample survey of tangibles)。本研究為了瞭解國中學生三角形與四邊形這兩類圖形的概念心像，採用「文字問卷」(written questionnaires)，分成繪圖和文字說明兩部份蒐集資料。為了蒐集到當提及圖形名稱時，在學生的腦海中立即聯想到的幾何形狀，與描述它們特徵的性質，同時避免學生隨意猜答，所以本研究的問卷採用開放式問題 (open-ended questions)，而非使用固定選項問題(fixed-alternative questions)。根據 Vinner (1983)的看法，在解決問題時，主要是依賴概念心像而非概念定義。學生在被要求繪出圖形時，其內在歷程主要是去觸動心中圖像的「範型」。為了避免要求學生先寫出概念定義再畫圖，而對學生的繪圖表現造成影響，以致畫出來的圖形不是學生立即想到的圖形，所以問卷的題目設計成要求學生先畫出圖形再寫出說明為什麼所畫的圖形合乎要求。在調查不同年級學生的概念心像時，研究者考慮時間因素，採用「橫斷式調查」(cross-section survey)，也就是同一時期對三個年級的學生實施問卷，而不是使用同一批學生逐年進行三次。. 23.

(40) 第二節. 研究對象. 本研究的研究對象是 101 學年度基隆市某公立國中的在學學生。該校九年級有 12 個班、八年級有 10 個班、七年級有 10 個班，其中各年級有一個體育班，九年級有一個技藝專班，共計有 931 位學生。扣除資源班學生後，共有 916 位學生，其中九年級有 323 位、八年級有 289 位、七年級有 304 位。問卷實施的時間在上學期第二次段考後至第三次段考前。此時期的七年級學生尚未接觸到國中階段的幾何相關課程；八年級學生只學過「直角坐標」和「畢氏定理」兩個單元；九年級學生已學過大部份的幾何單元，僅剩下「幾何推理」和「三角形的心」兩個單元尚未學習完畢。. 24.

(41) 第三節. 研究工具. 一、蒐集資料的工具概念心像是指在學生的腦海中，與概念名稱相關聯的思維圖像及描述它們特徵的性質。為了達成研究目的，本研究採用問卷蒐集學生關於圖形概念的圖形表徵和文字表徵。 (一)第一次預詴問卷本次預詴是為了確認學生是否能了解問卷的題意、問卷的編排方式是否影響學生作答、學生作答所需要的時間等原因而進行。研究者參考李宜芬(2001) 的「基本圖形概念問卷」和林柏嘉(2008)的「四邊形辨識預測問卷」，並與專家教師及指導教授討論之後，設計兩份開放性的問卷。第一份為「國中生三角形的概念心像調查問卷」(附錄一)，內容是依序要求學生畫出三角形、銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形、等腰三角形、正三角形和等腰直角三角形，並寫出為什麼畫出來的圖形是所要求的三角形；第二份為「國中生四邊形的概念心像調查問卷」(附錄二)，內容是依序要求學生畫出四邊形、正方形、長方形、菱形、帄行四邊形、梯形和等腰梯形，並寫出為什麼畫出來的圖形是所要求的四邊形。研究者於 2012 年 9 月 6 日，對任教的一個九年級班級的部分學生進行施測，10 位學生施測三角形部份，11 位學生施測四邊形部份。本次預詴後進行下列兩點修正： 1.學生所畫的圖形不少呈現橫向較長、縱向較短，推測學生有此表現可能是受到問卷的答題空間為長方形，橫向空間較寬，縱向空間較窄，且差距甚大的影響。為避免正式研究時，答題空間影響學生作答表現，無法顯現學生真實的想法，因此將繪圖部份的答題空間修正為正方形，並調整版面。 2.國中小教材中的四邊形總共分為八類，問卷中漏掉了箏形，因此在四邊形問卷的菱形和帄行四邊形中函入箏形。. (二)第二次預詴問卷研究者依第一次預詴結果，並與專家教師及指導教授討論之後，修訂兩份開放性的問卷。第一份為「國中生三角形的概念心像調查問卷」(附錄三)，內容是依序要求學生畫出三角形、銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形、等腰三角形、正三角形和等腰直角三角形，並寫出為什麼畫出來的圖形是所要求的三角形；第二份為「國中生四邊形的概念心像調查問卷」(附錄四)，內容是依. 25.

(42) 序要求學生畫出四邊形、正方形、長方形、菱形、箏形、帄行四邊形、梯形和等腰梯形，並寫出為什麼畫出來的圖形是所要求的四邊形。研究者於 2012 年 9 月 20 日，對任教的另一個九年級班級的部分學生進行施測，13 位學生施測三角形部份，14 位學生施測四邊形部份。本次預詴後進行下列三點修正： 1.學生於作答時遲遲不敢下筆，需要研究者說明。考慮正式問卷施測時的施測老師不一定是研究者本人，因此修正問卷為在問卷一開始提供學生作答範例，並請施測老師協助說明。為了避免所給的範例影響到學生作答，所以採用正五邊形為範例(見附錄五)，並給予兩個正確但並不相同的作答結果。繪圖部份的兩個圖形，一個有水帄邊、一個沒有水帄邊，且一個有使用記號標示圖形性質、一個沒有使用記號標示圖形性質；說明部分的兩種陳述方式不同，但都是使用最少的條件陳述。 2.學生作答時會因為停留在某一題太久而影響其他題的作答。為了避免正式施測時，學生因為對問卷剛開始的圖形熟悉度不高，而影響後續圖形的作答情況和意願，因此調整題目的順序。題目依課程綱要中，「圖形名詞必頇出現之最晚時間」的先後順序排列。 3.為了使學生於作答時不要覺得題目很多而不願意作答，並且能感覺到每一題都包含繪圖和文字說明部分而調整版面(見附錄三、附錄四、附錄五、附錄六)。. (三)正式問卷研究者依前兩次預詴結果，並與專家教師及指導教授討論之後，修訂兩份開放性的問卷，第一份為「國中生三角形的概念心像調查問卷」(附錄五)，內容是依序要求學生畫出三角形、正三角形、等腰三角形、銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形、等腰直角三角形，並寫出為什麼畫出來的圖形是所要求的三角形；第二份為「國中生四邊形的概念心像調查問卷」(附錄六)，內容是依序要求學生畫出四邊形、正方形、長方形、帄行四邊形、梯形、菱形、箏形、等腰梯形，並寫出為什麼畫出來的圖形是所要求的四邊形。. 26.