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r
其中 r 為市場報酬、μ為投資標的報酬、μ-r 為股權風險溢酬、σ為市場風險 及γ為經理人風險趨避程度。
Merton (1971)假設市場是完美、無套利，並將資產分為風險性資產(例如:
股票)及無風險性資產(例如:債券)，以 o
Iˆ 過程(Ito processes)衡量價格波動， t
將現在財富分配及消費(為隨機控制項)，透過非線性偏微方方程式之隨機控制求 得解。但由於完美市場假設與現實不符加上操作上的困難，後來有許多學者透過 放鬆市場假設，使更接近實際市場狀況。另外，Merton (1971)模型為建構封閉解(Closed-Form)須透過複雜的推導、
過程相當困難，為了符合實際市場，將消費與財富限制為非負數，要得到封閉解 將會更加複雜。Pliska (1986)發展出平賭方法(Martingale approach)去代替隨 機控制，而 Cox & Huang (1989)除了使用平賭方法外，考慮了消費與期末財富 非負數的特性，僅需以線性微分方程求解，操作上比 Merton (1971)的方法簡單。
二、 下檔風險控管策略
為了避免下檔風險的發生，投資組合保險於 1980 年代開始活絡發展，起先 由 Leland & Rubinstein (1981)根據 Black & Scholes (1973)選擇權概念，提 出利用現金及股票複製選擇權的概念，可以使投資人於控制下檔風險發生下，且 能追尋財富累積，使得投資財富能維持不低於預先決定之下限(floor)，即為投 資經理須達成的最低績效標準。但此方法為保障投資人免於遭受下檔風險的損害，
需繳付一定金額來執行，像是保險所須繳交保費，勢必會犧牲部分投資的利益。
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Basak (1995)研究投資組合保險對於權益市場均衡價格、波動及風險溢酬之 影響。沿用 Cox and Huang (1989)、Merton (1990)的方法，並考慮絕對投資績 效以管理下檔風險，最適化財富所帶給經理人之效用值；但有別於連續時間下利 用 平 賭 (Martingale) 方 法 考 慮 資 產 價 格 及 資 產 配 置 ， 此 研 究 以 半 平 賭 (Semimartingale)方法，因投資組合保險經理人考慮績效結算時點(T)及績效要 求水準(K)，造成經理人對消費的需求為非連續現象，使得資產價格呈現跳價 (Price Jump)的現象。
投資組合保險經理人透過延遲消費、選擇紅利發放時點等方法以達成最低績 效標準(floor)。過去研究認為投資組合保險會使市場波動性增加，但 Basak (1995)發現透過投資組合保險會降低股票市場的波動性及風險溢酬，推測原因為 投資組合保險經理人相對較風險趨避，對於風險性資產較不願意持有。另外，
Basak (1995)與 Grossman & Zhou (1993)模型相當類似，但 Basak (1995)的經 理人考慮終身的消費期間，而 Grossman & Zhou (1993)僅考慮投資組合契約時 期，造成兩者結果完全相反。
而 Grossman & Zhou (1996)以考慮下檔限制下，檢驗 Merton (1971)模型。
發現於整體市場狀況不佳時，投資組合會使市場價格波動增加，使得資產價格出 現均值回歸之現象，並提高夏普比率(Sharpe Ratio)及整體市場波動性。上述研 究皆屬於下檔保護(Downside Protection)的投資策略，經理人須達成絕對投資 績效。因此造成許多經理人為了達成合約上所規定之績效，使用許多避險方法，
形成龐大的成本且限制了投資獲利。
因此 Basak et al. (2006)提出較有彈性的風險管理方法，為追蹤錯誤限制 (Tracking Error Constraints)，減少為了避免下檔風險所犧牲掉之獲利，即為 相對績效限制，並視其為影響決策之外生變數。採用 Black & Scholes (1973) 的經濟市場架構，假設投資績效標準制定者為風險趨避，加上考慮經濟環境與經
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理人之風險偏好。透過動態調整制定投資績效限制，預估可容忍經理人未達成績 效的機率，使其更有彈性地配置資產，減少因保本造成獲利之減少，以較少的成 本維持績效水準。
發現下檔風險經理人在景氣好時，維持沒有下檔限制之投資策略；反之，則 考慮有下檔限制之投資策略，即可達到最高的效益。但僅能保護相對的下檔風險，
一般委託投資契約大多數看重的仍然是絕對績效的達成，並不會依造市場狀況做 調整。除此之外，相對績效限制須額外面臨追蹤誤差的風險。
Basak & Shapiro (2001)將 Value-at-Risk(以下簡稱 VaR)視為影響經濟狀 況的內生變數，透過 VaR 管理市場風險，分析其對最適化動態資產配置策略之影 響。發現使用 VaR Risk Management(以下簡稱 VaR-RM)來風險管理容易使經理人 配置較高的部位於風險性資產，使得當損失發生時，會對資產造成更嚴重的損害。
主要原因為使用 VaR-RM 者專注於損失機率而不是損失的大小。建議利用期望損 失(Limited Expected Losses)的模型修正 VaR-RM 模型。
Cai et al. (2013)研究主要目的，為分析於保護下檔風險下，使委託經理 人進行資產配置時可達到最大利潤及效益，考慮經理人面對委託契約及其他誘因 對投資策略的影響。絕大部分委託經理人並不是直接為提供資金之投資人工作，
舉例而言勞工提撥退休金至勞保局，勞保局委託經理人操作全體勞工的退休金。
勞工並無法直接控管經理人的行為，故瞭解影響經理人決策行為之因素為投資人 所關心的重要議題。另外，前人的研究主要討論保護下檔風險下之資產配置，著 重於最終財富價值，但多數委託人應隨時關切經理人之投資績效，此研究不僅考 慮最終財富，亦考慮多期投資策略下期間之財富。
為了符合社會的變動，選擇動態資產配置(Dynamic Asset Allocation)，動 態資產配置能隨時掌握市場上的資訊，調整策略。考慮利率之隨機變動、經理人
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之效用，將下檔風險限制視為外生變數，利用隨機控制、平賭方法得到最適投資 策略。發現(1)投資財富相當於經理人握有無風險資產及利用可投資標的所複製 出來的歐式買權(European-type Call Option)，執行價(Strike Price)相當於 給定經理人必須達到的最低績效標準。(2)由於模型假設為完備市場，所得到之 最適資產配置，投資於各標的權重及最終財富，皆受經理人的風險態度影響。
另外，藉由長期的資產配置最適化過程，了解經理人的決策行為(1)當兩期 基準點差距越大的時候，經理人於第二期時，將提高資產配置於股票部位。(2) 當兩期基準點差距趨近於零時，這會趨使經理人減少創造利潤的誘因，當績效要 求達成時，第二期投資於股票部位將趨近於零，投資集中於保守穩定的債券部位。
(3)風險態度趨避之經理人，進行資產配置時，傾向於將近到期日時，降低股票 部位，以減少面臨股票價格之波動，降低不確定性。
Cai et al. (2013)研究此保護下檔風險之最適投資策略，由於此方法存在 下檔保護之限制條件，故與過去學者加入不同的市場環境、限制條件於 Merton (1971)模型中相同，將無法得到與 Merton (1971)在完美市場的假設下之最適化 資產配置，Merton ratio，一樣簡單明瞭的封閉解(Closed-Form)。