不同初始拓樸形狀

由於 ESO 與 BESO 方法皆是由前一步之分析結果來決定下一步之演進方向，

因此最佳化結果可能會受到初始拓樸形狀影響，而 BESO 又具有將移除之元素填 回的自由，因此初始拓樸形狀不一定要從全設計領域填滿硬材料開始，亦可以改 為從全設計領域填滿軟材料開始，以測試演算法是否能收斂至一至的解。然而初 始設計領域全填滿軟材料代表初始體積為 0，導致式 (2.18) 的更新體積方式將不 適用，因此需要對式 (2.18) 進行修改，使其亦可以適用於初始體積為 0 的情形，

修改方式如下:

V_i =











M ax(V_i−1(1− ER), Vtarget), when V_i−1 > V_target M in(1− (1 − Vi−1)(1− ER), Vtarget), when V_i−1 ≤ Vtarget

(4.1)

修改內容主要是針對前一次迭代體積小於目標體積的更新體積方式進行修 改，由原本將前一次迭代實心元素體積增加固定比例，作為下一次迭代實心元素 體積，改成將前一次迭代空心元素體積減少固定比例，作為下一次迭代空心元素 體積，再以總體積減去空心元素體積便可以得到實心元素體積，透過此修改方法 便可以適用於初始體積為 0 的情形。

另外，由於由軟到硬的拓樸過程中，空心元素體積會逐漸減少，因此以上所 採用之修改方法還有一個優點，也就是當體積逐漸接近目標體積而趨近於收斂 時，可以使每次迭代之體積改變量也會逐漸減少，避免趨近於收斂時出現過大之 改變，同時保持最初幾步迭代不至於演進過慢。以下將以例題演示不同初始拓樸 形狀對最佳化的過程與結果之影響。

[例題 4-3]

本例題之邊界條件、載重形式以及材料參數皆與例題 4-2 相同，並且將初始 設計領域改成全填滿軟材料，也就是將拓樸過程由硬到軟改成由軟到硬，以測試 因為不同初始拓樸形狀所產生的差異。

表 4.3: [例題 4-3] 不同初始拓樸形狀最佳化結果比較

由硬到軟 由軟到硬

Shape

C (kN× mm) 3.072 3.116

V (%) 30.0 30.0

CV (kN× mm) 0.922 0.935

(a) 結構順從度收斂圖 (單位: kN× mm) (b) 體積收斂圖 (無單位)

圖 4.5: [例題 4-3] 簡支梁案例由軟到硬拓樸過程收斂圖

上表 4.3 為本例題與例題 4-2 拓樸最佳化結果之比較，由表中可以發現本例題 由軟到硬的拓樸結果雖然會與由硬到軟的拓樸結果大致相似，但結構之高度明顯 比較低，同時結構順從度則會略微提高 1.4%，顯示 BESO 方法會受到不同初始拓 樸形狀影響而收斂在不同的解。

除了拓樸結果表現略差以外，本例題與例題 4-2 最大的不同之處在於收斂過 程，觀察圖 4.5 中的收斂過程可以發現，由軟到硬的拓樸結果是經過了三百多次 迭代才收斂，其中，達到目標體積後至大約 235 次迭代以前的區間內，拓樸形狀 是不停呈現破碎而不完整的形狀，直到最後一百多步迭代才形成完整形狀，並且 逐漸演進至最終拓樸結果，如下表 4.4 所示，代表目前所使用的 BESO 有不穩定 而不容易收斂的問題，因此以下小節將進一步探討提高 BESO 拓樸過程穩定性之 改進方法。

表 4.4: [例題 4-3] 簡支梁案例由軟到硬拓樸過程

Iteration 50 100

Shape

Iteration 150 200

Shape

Iteration 230 235

Shape

Iteration 240 250

Shape

Iteration 300 348

Shape