材料集中化

對於例題 4-6 拓樸結果破碎而不連續的問題，本研究參考呂其翰 (2010) 的材 料集中化方法，並經過施可葳 (2013) 的簡化，應用於本例題之中。材料集中化方 法是將材料介面長度加入最佳化目標函數之中一同考量，以解決拓樸結果破碎零 散以及元素與主要結構斷開的問題，材料集中化的方法將最佳化問題變更如下:

min : C + λΓ s.t. : KU = F

(4.3)

式中 Γ 為材料介面長度，而 λ 則為材料介面長度之權重，若選用較大的權重 代表以材料集中化為優先考量，反之則會以勁度最大化為優先考量。由於修改了 目標函數，因此對於元素 e 之敏感度因子 αe也需要進行修正，修正方式如下:

αe = Ce+ λ∆γe (4.4)

∆γ_e= γ_e,hard− γe,sof t (4.5)

上式 (4.4) 中 C_e即為元素 e 之兩倍應變能，式 (4.5) 中的 γ_e,hard 為元素 e 與相 鄰的實心元素間之介面長度，而 γ_{e,sof t} 則為元素 e 與相鄰的空心元素間之介面長 度，以下圖 4.11 為例子做說明，對於圖中之中心元素而言，式 (4.5) 與式 (4.4) 代 入如下:

∆γ_e= γ_e,hard− γe,sof t = l− 3l = −2l < 0 (4.6) α = C + λ∆γ = C − λ(2l) < C (4.7)

由於中心元素 e 周圍相臨之元素以空心元素居多，若考慮材料集中化則中心 元素 e 應設為空心元素，而式中的 ∆γ_e項便會降低元素 e 的敏感度因子，使元素 e在排序時，更容易被設為空心元素，反之，若中心元素 e 周圍相臨之元素以實 心元素居多，則 ∆γ_e項會提高元素 e 的敏感度因子，使元素 e 更容易被設為實心 元素。

圖 4.11: 材料集中化示意圖，黑色為實心元素，白色為空心元素

[例題 4-7]

本例題將例題 4-6 改為考慮材料集中化並採用 γ 為 1，同時對收斂結果之判斷 進行修改，並且將會分別採用不限制與限制的方法進行拓樸最佳化，本例題兩種 方法之拓樸結果分別可以參考下表 4.13 與表 4.14 ，而拓樸收斂過程則分別可以參 考下圖 4.9 與圖 4.10 。

表 4.13: [例題 4-7] 採用不限制的方法最佳化結果 不限制的方法

Shape

C (N× m) 257.48

V (%) 30.0

CV (N× m) 77.24

(a) 結構順從度收斂圖 (單位: N× m) (b) 體積收斂圖 (無單位)

圖 4.12: [例題 4-7] 採用不限制的方法拓樸過程收斂圖

表 4.14: [例題 4-7] 採用限制的方法最佳化結果 限制的方法

Shape

C (N× m) 250.60

V (%) 30.0

CV (N× m) 75.18

(a) 結構順從度收斂圖 (單位: N× m) (b) 體積收斂圖 (無單位)

圖 4.13: [例題 4-7] 採用限制的方法拓樸過程收斂圖

觀察上表 4.13 與表 4.14 中的結果，顯示材料集中化可以成功修正設計領域左 上角及右上角區域拓樸結果破碎而不完整的問題，讓兩種方法皆可以形成完整的 桿件，而上圖 4.9 與圖 4.10 中的拓樸收斂過程則略微減少目標函數上下震盪的程 度，減緩元素與主要結構斷開之情形。

材料集中化雖然有助於改善拓樸結果破碎以及桿件斷開的問題，但同時也會 有阻止孔洞生成的效果，造成拓樸過程主要是由設計領域外圍逐漸向內部移除元 素，因此在達到目標體積後，還需要花較多次迭代才能達到最佳解，所以需要搭 配較小之容許誤差以避免過早收斂，而本例題考量材料集中化並採用兩種方法的 拓樸結果，便是將容許誤差由 0.001 分別改為 0.0005 以及 0.0001 才得到的，也導 致兩種方法分別需要約兩百多次與四百多次迭代才能夠收斂，因此材料集中化主 要適用於拓樸結果破碎並且元素與主要結構斷開之情形。

另外，比較表 4.13 與表 4.14 中之結果，也可以發現採用限制方法所得到的最 佳化結果之結構順從度比不限制的方法還低，顯示原始不限制的方法即使允許兩 次迭代之間有更多元素變更，仍然可能收斂在較差的解，因此本研究後續第五章 進行拓樸最佳化時，會同時使用限制與不限制的兩種方法，並從中取目標函數表 現較好者作為最佳化結果。