加勁層最佳材料配置

[例題 5-3]

不同於單層殼結構最佳材料配置，本例題會先將例題 3-1 之形狀最佳化結果 複製成兩層，再將上下兩層殼結合在一起，上層於拓樸最佳化過程中維持不變，

作為加勁層的下層殼則為設計領域，拓樸結果即為加勁層最佳材料配置，當上、

下層殼實心元素皆使用相同材料參數時，拓樸結果也可以視為找出殼結構需要加 厚處，下層殼實心元素分佈區域代表總厚度為上、下兩層殼厚度相加，而下層殼 空心元素分佈區域代表總厚度只有上層殼厚度。

本例題之實心與空心元素之材料參數、邊界條件、載重以及篩選半徑皆與例 題 5-2 相同，由於本例題分為上下兩層殼，因此將會設置下層體積比例 V_bottom以 及目標體積 Vf 兩個參數，並透過這兩個參數對上、下層殼的厚度 ttop、tbottom進 行調整，其中，計算目標體積 V_f 時只會考慮屬於設計領域的下層殼，也就是以下 層殼全填滿實心元素時的體積為 100%，目標體積便是拓樸結果下層殼實心元素佔 下層殼所有元素的體積比例，而下層體積比例 Vbottom則代表拓樸結果下層殼實心 元素體積佔整體結構的體積比例，

如同第 5.3.1 節中所敘述的，本例題之自重會隨著體積減少而降低，因此需要 對體積做出調整才能與形狀最佳化結果進行比較，為了滿足拓樸結果與形狀最佳 化結果具有相同體積之目的，本例題將會先配合 Vbottom與 Vf 來調整上層與下層 殼的厚度，再以拓樸移除元素使體積回到與形狀最佳化結果相同，以找出相同體 積下的最佳材料配置，其中，上、下層殼的厚度 t_top、t_bottom 與 V_bottom及 V_f 的關 係如下:

t_top = t_initial× (1 − Vbottom) (5.1)

t_bottom = t_initial× Vbottom× 1

V_f (5.2)

式中 tinitial為原始形狀最佳化結果殼結構的厚度，透過上式對上、下層殼的

厚度進行調整後，便可以確保拓樸完成後的整體結構體積會與形狀最佳化結果相 同，本例題將分別嘗試不同的 V_bottom與 V_f，以了解這兩個參數對結果之影響，固 定 V_f 為 0.5 並改變 V_bottom 之拓樸最佳化結果則可以參考下表 5.3 ，而固定 V_bottom 為 0.5 並改變 Vf 之拓樸最佳化結果則可以參考下表 5.4 ，拓樸形狀之俯視圖則可 以參考下圖 5.6 與圖 5.7 ，為了方便觀察拓樸結果，圖中皆只顯示下層殼的實心元 素並隱藏上層殼與下層殼的空心元素。

表 5.3: [例題 5-3] 固定 V_f 而改變 V_bottom 下層殼拓樸最佳化結果

Vbottom 0.1 0.3 0.5 0.7

Shape

ttop(m) 0.222 0.173 0.124 0.074

tbottom(m) 0.049 0.148 0.247 0.346

C (N× m) 277.76 163.57 198.13 279.21

V (m³) 30.0 30.0 30.0 30.0

CV (N× m⁴) 8332.8 4898.25 5944.75 8371.09

umax(m) 0.00055 0.00025 0.00036 0.00049 uavg (m) 0.00041 0.00022 0.00025 0.00033

表 5.4: [例題 5-3] 固定 V_bottom並改變 V_f 下層殼拓樸最佳化結果

V_f 0.3 0.5 0.7

Shape

t_top (m) 0.124

t_bottom(m) 0.412 0.247 0.176

C (N× m) 190.82 198.13 195.52

V (m³) 30.0 30.0 30.0

CV (N× m⁴) 5706.92 5944.75 5865.83

u_max(m) 0.00033 0.00036 0.00031 u_avg (m) 0.00024 0.00025 0.00026

(a) Vbottom=0.1 (b) Vbottom=0.3

(c) V_bottom=0.5 (d) Vbottom=0.7

圖 5.6: [例題 5-3] 固定 V_f 而改變 V_bottom 下層殼拓樸最佳化結果俯視圖

(a) V_f=0.3 (b) V_f=0.7

圖 5.7: [例題 5-3] 固定 Vbottom 而改變 Vf 下層殼拓樸最佳化結果俯視圖

由上表 5.3 與表 5.4 可以發現，當固定 V_f 而改變 V_bottom時，選用較大與較小

V_bottom的拓樸結果結構順從度會比較高，顯示將材料集中至上層殼或加勁層都不

是較好的設計，需要適當的比例將材料分配至上層殼與加勁層，才能有效降低結 構順從度；當固定 V_bottom而改變 V_f 時，V_f 等於 0.3 與 0.7 的拓樸結果結構順從度 都會比 V_f 等於 0.5 時還要低，其中，又以 V_f 等於 0.3 的結果表現最好，顯示相同 材料用量之下，相較於採用較薄但分布面積較廣之加勁層，採用較厚但分布面積 較少之加勁層可以更有效提升結構勁度，然而需要注意的是，若是 V_f 採用更小之 0.1，則依照式 (5.2) 所計算之加勁層厚度會達到 1.24 公尺，對於本例題跨度僅 10 公尺之結構已為不合理之設計，而且過小之 V_f 也可能造成拓樸結果實心元素數量 不足以形成完整桿件，因此 Vf 不宜選用過小之數值。

另外，當固定 V_f 而 V_bottom 等於 0.1 時，拓樸結果的實心元素會呈現斷開並集 中在角落的情形，推測是因為下層體積佔比太小，導致整體結構主要以上層殼來 傳遞力量，下層則只是於接近支承處增加殼結構的厚度。

本例題所嘗試的 Vf 與 Vbottom組合中，以選用 Vf 為 0.3 與 Vbottom 為 0.5 之組 合具有最小之結構順從度，並且比形狀最佳化結果降低了約 24%，也就是結構勁 度約提升 32%，顯示在相同材料用量之下，本研究之拓樸最佳化方法可以使材料 分布於更有效率處並且提升整體結構勁度。