方法驗證

本節參考 Hassani et al. (2013) 將拓樸最佳化與形狀最佳化結合之文獻，嘗試 以本研究所使用的方法進行驗證。由於文獻中所使用的拓樸最佳化演算法是固體 等向性懲罰函數法 SIMP，其設計變數是以介於 0 到 1 之間連續的數值來代表元素 的相對密度，因此文獻可以先將同樣為連續設計變數的控制點座標正規化，再同 時以適用於連續設計變數的演算法進行形狀與拓樸最佳化。

與文獻中所使用的 SIMP 不同，本研究中所使用之拓樸最佳化演算法 BESO，

其設計變數是以離散的 0 與 1 來分別代表空心及實心元素，導致難以直接與形狀 最佳化結合並同時進行，而考量實際結構設計往往先決定其外型，再對其桿件與 材料配置進行設計，因此本研究嘗試先進行形狀最佳化再進行拓樸最佳化，並以 文獻之例題驗證，確認本研究之方法是否可以得到與文獻相似之結果。

[例題 5-1]

本例題主要參考 Hassani et al. (2013) 之例題，初始形狀為邊長 6 公尺、厚度 1 公分之正方形平板，材料的楊氏模數為 210 GPa，柏松比為 0.3，邊界條件為四個 邊緣中點鉸支承，承受的載重為正中央與四個角落各 1 kN 的集中載重，結構示 意圖可以參考下圖 5.1 。本例題之控制點分布則如下圖 5.2 所示，由於整體結構 為 1/8 對稱，並且支承所在的紅色控制點固定不動，因此全部 49 個控制點當中，

9 個控制點 z 座標為獨立設計變數，在圖 5.2 中以藍色控制點作代表，而其餘黑色 控制點座標則可以透過對稱得到。

圖 5.1: [例題 5-1] 平板案例結構示意圖

圖 5.2: [例題 5-1] 平板案例控制點分布圖 (單位: 公尺)

本例題形狀最佳化過程中會藉由調整厚度使體積維持不變，形狀最佳化完成 後再以拓樸最佳化移除無效率之元素，拓樸最佳化之目標體積為 50%，篩選半徑 rmin 為 0.525 公尺，目標函數為最小化結構順從度，本例題之最佳化結果與初始 形狀之比較如下表 5.1 ，最佳化結果之俯視圖可以參考下圖 5.3 ，而文獻之最佳化 結果則可以參考下圖 5.4 :

表 5.1: [例題 5-1] 平板案例最佳化結果

Initial Optimization Result

Shape

C (N× m) 567.38 8.60

V (m³) 0.36 0.18

CV (N× m⁴) 204.26 1.56

u_max(m) 0.142 0.00213

u_avg (m) 0.025 0.00031

圖 5.3: [例題 5-1] 平板案例最佳化結果俯視圖

圖 5.4: [例題 5-1] 文獻最佳化結果

由上表 5.1 中的結果可知，經過形狀最佳化與拓樸最佳化之後，結構順從度 下降了 98.5%，也就是勁度提升為初始平板的 66 倍，顯示形狀最佳化與拓樸最佳 化可以大幅提升結構勁度。

觀察本研究之最佳化結果，可以發現曲面形狀與拓樸形狀皆與文獻結果大致 相似，然而細節之桿件粗細大小則略有不同，考量到文獻並沒有對控制點上下限 以及所選擇之篩選半徑 r_min 提供完整資訊，並且拓樸最佳化演算法也有所不同，

因此無法更詳細地比較差異，只能從結果大致相似確定本研究所使用先形狀最佳 化再拓樸最佳化的方法，可以找到大方向正確的解。