殼橋案例

本節殼橋案例所參考的是Briseghella et al. (2016) 的例題，而文獻之例題則是 參考自位於義大利的 Musmeci Bridge，實際結構照片可以參考下圖 3.7 ，Musmeci Bridge 為一座特殊的殼橋，其設計為將殼結構作為橋梁之下部結構以提供橋面板 支承，由於設計時需要兼顧美觀以及提供人行之目的，因此需要於橋面板與下部 殼結構之間保留足夠空間供行人行走。

圖 3.7: Musmeci Bridge 實際結構攝影圖

[例題 3-2]

本例題主要參考Briseghella et al. (2016) 的例題，設計一個由殼結構所支撐的 橋，支承位置則設在下方殼結構的四個角落與上方橋面板兩端，殼再於跨距 1/3 與 2/3 的位置與上方橋面板相接，以提供橋面板支承 (如下圖 3.8 所示)，所有支承 皆為鉸支承，板與殼相接處則為固接，橋梁跨距為 40 公尺，寬度為 6 公尺，高度 為 6 公尺，橋面板厚 1 公尺，殼厚 0.3 公尺，橋面板與殼結構採用相同的混凝土材 料，楊氏模數為 30 GPa，柏松比為 0.3，密度為 2500 kg/m³，載重則為自重以及 參考公路橋梁設計規範的人行道活載重並取保守值 3920 N/m²加載於橋面板上。

圖 3.8: 殼橋案例結構示意圖

形狀最佳化之設計領域為下方殼結構，上方橋面板於最佳化過程中固定不 變。為了確保建模時殼與橋面板有確實相接在一起，需要將相接處殼結構的元 素節點固定在與橋面板相同高度處，因此建模時需要將殼結構的形狀分成三個 NURBS 曲面來表達，並將殼結構與橋面板相接處設為 NURBS 曲面之角落，如此 便可以藉由固定角落控制點使殼結構與橋面板能確實相接。由於對稱的關係，第 一個與第三個 NURBS 曲面形狀相同，此外，橋梁沿軸向的兩側亦為對稱，因此 獨立的設計變數為 8 個控制點 z 座標，控制點分布與 NURBS 曲面劃分如下圖 3.9 所示。

圖 3.9: [例題 3-2] 殼橋案例控制點分布圖 (單位: 公尺)

本例題與平板屋頂案例相同，為了方便比較初始形狀與最佳化形狀，最佳化 過程中也會藉由調整殼結構厚度使總體體積維持不變，另外，由於本例題所參考 之殼橋有美觀上的需求，因此會限制控制點最大高度需要比橋面版低 3 公尺。本 例題之最佳化結果與初始形狀之比較如下表 3.2 ，初始形狀與最佳化形狀之側視 圖則可以參考下圖 3.10 ，其中，圖 3.10 與表 3.2 中之形狀皆只截取殼結構之形狀 而隱藏橋面板，以方便觀察最佳化結果:

表 3.2: [例題 3-2] 初始形狀與最佳化結果比較

Initial Optimization Result

Shape

C (N× m) 4.52× 10⁵ 1.99× 10⁵

V (m³) 316.6 316.6

CV (N× m⁴) 1.43× 10⁸ 6.31× 10⁷

u_max(m) 0.092 0.038

u_avg (m) 0.057 0.023

(a) 初始形狀側視圖

(b) 最佳化形狀側視圖

圖 3.10: [例題 3-2] 初始形狀與最佳化結果側視圖比對

圖 3.11: 文獻殼橋案例形狀

由上表 3.2 可知，在相同材料使用量 (體積一樣) 的情況下，經過形狀最佳化 後，整體結構的結構順從度約為初始形狀的 0.44 倍，也就是結構勁度提升為 2.27 倍，同時，結構的最大位移與平均位移也分別為初始形狀的 0.41 倍與 0.40 倍，顯 示形狀最佳化能提升整體結構之表現，比較最佳化形狀與參考文獻結果，也可以 發現兩者形狀相似。

表 3.3: [例題 3-2] 固接與鉸接比較

固接 鉸接

C (N× m) 99618.5 100476 殼角落 σ_max(N/m²) 5.30×10⁷ 5.31×10⁷ 板與殼相接 σ_max(N/m²) 1.32×10⁷ 1.16×10⁷ 殼角落 σ_min(N/m²) -8.04×10⁷ -8.05×10⁷ 殼角落支承反力 (N) 4.63×10⁶ 4.63×10⁶

另外，觀察表3.3中的結果可以發現，若是將殼結構與橋面板相接處由固接改 為鉸接，雖然可以將殼結構相接處的最大張應力由 13.2 MPa 降低為 11.6 MPa，然 而降低後的應力值仍然超過混凝土抗拉強度，同時，殼結構的張應力最大值皆位 於角落接地處，並且會由 53.0 MPa 提高為 53.1 MPa，而整體結構的結構順從度 也會提高為 100476 N× m，以上結果顯示將殼結構與橋面板相接處由固接改為鉸 接，不僅無法解決相接位置應力集中問題，同時還會使結構其他區域應力提高，

整體結構的表現也較差，因此後續殼橋案例維持將殼結構與橋面板相接處設為固 接。

3.4.1 支承最佳化

[例題 3-3]

由例題 3-2 可以發現，NURBS 曲面角落控制點可以直接代表殼結構與橋面 板相接的所在位置，雖然其高度必須限制與橋面版相同而不能作為設計變數，然 而，若是將控制點 x 座標設為設計變數，則代表可以找出殼結構與橋面板沿著軸 向的最佳相接位置，達到支承最佳化的效果，因此可以同時進行形狀最佳化與支 承最佳化。

本例題與例題 3-2 相同，為一跨距 40 公尺之殼橋，不同之處在於設計變數新 增控制點 x 座標，如下圖 3.12 中所示，本例題位於殼結構角落的紅色控制點仍然 維持不變，而殼結構與橋面板相接處的紫色控制點之 x 座標則為新增的獨立設計 變數，其餘控制點之 x 座標則平均分布於紅色與紫色控制點之間，在減少設計變 數的同時，也可以避免控制點分布過於集中。

圖 3.12: [例題 3-3] 殼橋案例支承最佳化控制點分布圖 (單位: 公尺)

本例題之形狀與支承最佳化結果和例題 3-2 形狀最佳化結果之比較可以參考 下表 3.4 ，而本例題與例題 3-2 最佳化形狀之側視圖比對則可以參考下圖 3.13 ， 與例題 3-2 相同，圖 3.13 與表 3.4 中之最佳化形狀只截取殼結構之形狀而隱藏橋 面板，以方便觀察最佳化結果:

表 3.4: [例題 3-2] 與 [例題 3-3] 最佳化結果之比較

Only Shape Optimization Result Shape and Support Optimization Result

Shape

x (m) 6.67 9.11

C (N× m) 1.99× 10⁵ 1.72× 10⁵

V (m³) 316.6 316.6

CV (N× m⁴) 6.31× 10⁷ 5.46× 10⁷

u_max(m) 0.038 0.034

u_avg (m) 0.023 0.019

(a) [例題 3-2] 形狀最佳化結果側視圖

(b) [例題 3-3] 形狀與支承最佳化結果側視圖

圖 3.13: [例題 3-2] 與 [例題 3-3] 最佳化結果側視圖比對

由上表 3.4 可知，在相同材料使用量 (體積一樣) 的情況下，本例題經過形狀 與支承最佳化改變形狀與支承位置後，整體結構的結構順從度約只有形狀最佳化 的 0.86 倍，也就是結構勁度提升了 16%，同時，結構的最大位移與平均位移也分 別比只有形狀最佳化的降低 11% 與 17%，顯示形狀與支承最佳化能進一步提升整 體結構之表現。另外，比較本例題與例題 3-2 之側視圖，也可以發現本例題最佳 化形狀之殼結構與橋面版相接位置更靠近兩端，顯示原始設計支承位於跨距 1/3 與 2/3 的位置並非最佳支承位置。