限制每步迭代元素改變數量

觀察拓樸無法收斂的過程，還可以發現兩次迭代之間實心與空心元素會大量 更換，如下表 4.7 所示，表中第 36 與 38 次迭代紅色圓圈範圍內大多為空心元素，

然而在第 37 與 39 次迭代則大多為實心元素，顯示兩次迭代之間即使體積差異不 大，實心元素所在位置卻大不相同，此一情形主要是因為沒有限制每步迭代元素 改變數量所造成的，由於在排序元素敏感度因子時，是所有實心與空心元素一起 排序，因此可以視為每步迭代皆將所有元素填入再移除，導致有可能會出現兩次 迭代之間實心元素差異過大的情形。

表 4.7: [例題 4-3] 簡支梁案例由軟到硬第 36 步至第 39 步拓樸形狀

Iteration 36 37

Shape

Iteration 38 39

Shape

解決上述問題的方法，可以透過改變元素敏感度因子排序方式來達成，由原 先的所有元素敏感度因子一起排序改成實心與空心元素敏感度因子各自排序，只 將實心元素中敏感度因子較小者移除，並將空心元素中敏感度因子較大者填回，

確保多數元素於下一次迭代時，仍然保持相同狀態，達到限制每步迭代元素改變 數量之目的，流程圖可參考下圖 4.6 :

圖 4.6: 限制的方法流程圖

[例題 4-5]

經過以上對於每步迭代元素改變數量進行限制的修改後，本例題將例題 4-3 簡支梁案例由軟到硬改為採用限制的方法，並比較採用不限制與限制的方法對拓 樸過程與結果之影響，如下表 4.8 所示，而限制的方法拓樸收斂過程則可以參考 下圖 4.7 與下表 4.9 。

表 4.8: [例題 4-5] 限制與不限制的方法最佳化結果比較

不限制的方法 限制的方法

Shape

C (kN× mm) 3.116 3.304

V (%) 30.0 30.0

CV (kN× mm) 0.935 0.991

(a) 結構順從度收斂圖 (單位: kN× mm) (b) 體積收斂圖 (無單位) 圖 4.7: [例題 4-5] 簡支梁案例限制的方法拓樸過程收斂圖

表 4.9: [例題 4-5] 簡支梁案例限制的方法拓樸過程

Iteration 10 20

Shape

Iteration 30 40

Shape

Iteration 50 60

Shape

Iteration 70 83

Shape

觀察以上圖 4.7 中限制的方法之收斂圖可以發現，採用限制的方法於收斂的 過程中平滑而沒有上下震盪的情形，而且只經過不到一百次迭代便收斂了，上表 4.9 中的拓樸過程也呈現連續變化，沒有出現過於破碎且兩次迭代間差異極大的情 形。

然而，觀察上表 4.8 中兩種方法拓樸最佳化結果之比較，也可以發現採用限 制的方法所得到結果，其結構順從度會比有限制的方法還要高 6%，顯示有限制的 方法雖然可以改善現有 BESO 的收斂過程以解決不穩定的問題，但由於限制了每 步迭代元素改變數量而容易收斂在較差的解，因此導致限制的方法對於得到最佳 解未必有幫助，考量到限制與不限制的方法各有其優缺點，因此以下例題將會同 時採用兩種方法，並觀察兩者之間的差異。