第三章 不連續可動機構
3.2 不連續可動機構運動分析方法
首先分析文獻[19]中的混合型球面及球面7𝑅不連續可動機構，如圖 3.1 所示。
圖 3. 1 混合型球面及球面7𝑅不連續可動機構 [19]
此機構之表示法可記作：𝑅𝐳𝐴𝟏𝑅𝐳𝐺𝟐𝑅𝐳𝐵𝟑𝑅𝐳𝐹𝟒𝑅𝐳𝐶𝟓𝑅𝐳𝐸𝟔𝑅𝐳𝐷𝟕。圖 3.1 中顯示此機構處於分歧點 位置的情形，由𝐴、𝐵、𝐶、𝐷四個旋轉對指向點𝑂1，而𝐷、𝐸、𝐹、𝐺四個旋轉對指 向點𝑂2。因此又可寫成：𝑅𝐳𝑂𝟏1𝑅𝐳𝑂𝟐2𝑅𝐳𝑂𝟑1𝑅𝐳𝑂𝟒2𝑅𝐳𝑂𝟓1𝑅𝐳𝑂𝟔2𝑅𝐳𝑂𝟕1。
文獻中選取桿件 7 為地桿、桿件 4 為端效器，經分析後得兩運動模式為 {1/𝑆(𝑂1)}及{1/𝑆(𝑂2)}。以下將改設端效器於桿件 5 上，地桿仍為桿件 7 ，則端效 器之運動表示為{𝐿(7,5)}，而自地桿至端效器間之兩條運動鏈的運動分別為：
{𝐺1} = {𝑅(𝑂1, 𝐳𝟏)}{𝑅(𝑂2, 𝐳𝟐)}{𝑅(𝑂1, 𝐳𝟑)}{𝑅(𝑂2, 𝐳𝟒)}{𝑅(𝑂1, 𝐳𝟓)}
{𝐺2} = {𝑅(𝑂1, 𝐳𝟕)}{𝑅(𝑂2, 𝐳𝟔)}
此時端效器之運動可記作：
{𝐿(7,5)} = {𝐺1} ∩ {𝐺2}
{𝐿(7,5)}
= {𝑅(𝑂1, 𝐳𝟏)}{𝑅(𝑂2, 𝐳𝟐)}{𝑅(𝑂1, 𝐳𝟑)}{𝑅(𝑂2, 𝐳𝟒)}{𝑅(𝑂1, 𝐳𝟓)}{𝐿(7,5)} ==∩ {𝑅(𝑂
1, 𝐳𝟕)}{𝑅(𝑂2, 𝐳𝟔)}經分析後可得端效器具有兩種運動模式──{1/𝑆(𝑂1)}及{1/𝑆(𝑂2)}。{1/𝑆(𝑂1)}
表示{𝑆(𝑂1)}之 1 維次流形，產生一單自由度之球面運動。同理可知{1/𝑆(𝑂2)}為另 一單自由度球面運動。在此仿照文獻[20]使用聯集符號「∪」於運動式中，藉以表 示此機構具有該兩種運動模式，但無法同時作動的特性。並且將端效器之運動記作：
{𝐿(7,5)} ⊇ {1/𝑆(𝑂1)} ∪ {1/𝑆(𝑂2)}
當機構進行運動模式{1/𝑆(𝑂1)}時，接頭𝐸、𝐹、𝐺為固定不動，而端效器之運 動可改寫成：
{𝐿(7,5)}𝑆1 = {𝑅(𝑂1, 𝒛𝟏)}{𝐸}{𝑅(𝑂1, 𝒛𝟑)}{𝐸}{𝑅(𝑂1, 𝒛𝟓)} ∩ {𝑅(𝑂1, 𝒛𝟕)}{𝐸}
{𝐿(7,5)}
𝑆1 = {𝑅(𝑂1, 𝒛𝟏)}{𝑅(𝑂1, 𝒛𝟑)}{𝑅(𝑂1, 𝒛𝟓)} ∩ {𝑅(𝑂1, 𝒛𝟕)}{𝐿(7,5)}
𝑆1 = {1/𝑆(𝑂1)}由於此機構並不僅有此運動模式，因此以{𝐿(7,5)} ⊇ {1/𝑆(𝑂1)}表示來概括。
另一方面，機構進行運動模式{1/𝑆(𝑂2)}時，接頭𝐴、𝐵、𝐶為固定不動，而端效 器之運動可改寫成：
{𝐿(7,5)}𝑆2 = {𝐸}{𝑅(𝑂2, 𝒛𝟐)}{𝐸}{𝑅(𝑂2, 𝒛𝟒)}{𝐸} ∩ {𝑅(𝑂1, 𝒛𝟕)}{𝑅(𝑂2, 𝒛𝟔)}
{𝐿(7,5)}
𝑆2 = {𝑅(𝑂2, 𝒛𝟐)}{𝑅(𝑂2, 𝒛𝟒)} ∩ {𝑅(𝑂1, 𝒛𝟕)}{𝑅(𝑂2, 𝒛𝟔)}{𝐿(7,5)}
𝑆2 = {1/𝑆(𝑂2)}則{𝐿(7,5)} ⊇ {1/𝑆(𝑂2)}。
基於群理論之表示計算，得證{𝐿(7,5)} ⊇ {1/𝑆(𝑂1)} ∪ {1/𝑆(𝑂2)}。
對於此機構做進一步之分析，探討其不連續可動性的因素。首先須了解機構於 分歧點的狀況，由於此位置狀態下可同時滿足兩相異球面運動之條件──分別有足
夠數量之接頭指向同一球心點，因此機構將進入之下一動作有兩種選擇。一旦選擇 其中一運動模式來進行，如{1/𝑆(𝑂1)}，原先指向點𝑂2的數個接頭將無法同時滿足 其共同條件，導致產生球面運動{1/𝑆(𝑂2)}的可能失效，故唯有屬於{1/𝑆(𝑂1)}之接 頭參與此時的運動。反之，屬{1/𝑆(𝑂1)}之接頭於運動模式{1/𝑆(𝑂2)}時，將不再共 同指向點𝑂1，因而無法介入{1/𝑆(𝑂2)}的運動。而在此機構中之𝑅𝐳𝐷𝟕為同時滿足兩相 異運動模式的接頭，表示在任一運動模式作用時，此接頭都不會失去作用，適合作 為驅動接頭。接著以相同的方法分析其他現有的不連續可動機構，並直接探討各機 構之運動結果，將不再對各步驟逐一說明。
文獻[20]中之6𝑅不連續可動機構，如圖 3.2 所示，以𝑅𝐳𝑂𝟏1𝑅𝐳𝑂𝟐1𝑅𝐳𝐴𝟑𝑅𝐳𝐵𝟒𝑅𝐳𝑂𝟓2𝑅𝐳𝑂𝟔2表示。
圖 3. 2 6𝑅不連續可動機構 [20]
圖 3.2 顯示此機構處於分歧點位置的情形，其中𝐳𝟐、𝐳𝟑、𝐳𝟒、𝐳𝟔平行於方向𝐰，而 𝐳𝟏、𝐳𝟓平行於方向𝐮，因此又可寫成：𝑅𝐮𝑂1𝑅𝐰𝑂1𝑅𝐰𝐴𝑅𝐰𝐵𝑅𝐮𝑂2𝑅𝐰𝑂2。
文獻中選取桿件 6 為地桿、桿件 3 為端效器，經分析後得兩運動模式為 {𝑅(𝑂1, 𝐮)}及{1/𝐺(𝐰)}。以下將改設端效器於桿件 2 上，地桿仍為桿件 6，自地桿 至端效器間之兩條運動鏈的運動分別為：
{𝐺1} = {𝑅(𝑂1, 𝐮)}{𝑅(𝑂1, 𝐰)}
{𝐺2} = {𝑅(𝑂2, 𝐰)}{𝑅(𝑂2, 𝐮)}{𝑅(𝐵, 𝐰)}{𝑅(𝐴, 𝐰)}
進入第一種運動模式時，𝑅𝐰𝑂1、𝑅𝐰𝐴、𝑅𝐰𝐵、𝑅𝐰𝑂2為不動，此時端效器之運動可記作：
{𝐿(6,2)} = {𝑅(𝑂1, 𝐮)}{𝐸} ∩ {𝐸}{𝑅(𝑂2, 𝐮)}{𝐸}{𝐸}
{𝐿(6,2)}
= {𝑅(𝑂1, 𝐮)}進入第二種運動模式時，𝑅𝐮𝑂1、𝑅𝐮𝑂2為不動，此時端效器之運動可記作：
{𝐿(6,2)} = {𝐸}{𝑅(𝑂1, 𝐰)} ∩ {𝑅(𝑂2, 𝐰)}{𝐸}{𝑅(𝐵, 𝐰)}{𝑅(𝐴, 𝐰)}
{𝐿(6,2)}
= {1/𝐺(𝐰)}因此可得端效器具兩種運動模式，可寫成：{𝐿(6,2)} ⊇ {𝑅(𝑂1, 𝐮)} ∪ {1/𝐺(𝐰)}。
文 獻 [21] 中 之 平 面 及 平 面 8𝑅 不 連 續 可 動 機 構 ， 如 圖 3.3 所 示 ， 以 𝑅𝐳𝐴𝟏𝑅𝐳𝐵𝟐𝑅𝐳𝐶𝟑𝑅𝐳𝐸𝟒𝑅𝐳𝐷𝟓𝑅𝐳𝐹𝟔𝑅𝐳𝐺𝟕𝑅𝐳𝐻𝟖表示。
圖 3. 3 平面及平面8𝑅不連續可動機構 [21]
其中顯示此機構處於分歧點位置的情形，其中𝐳𝟏、𝐳𝟐、𝐳𝟑、𝐳𝟓平行於方向𝐮，
而𝐳𝟒、𝐳𝟔、𝐳𝟕、𝐳𝟖平行於方向𝐯，因此又可寫成：𝑅𝐮𝐴𝑅𝐮𝐵𝑅𝐮𝐶𝑅𝐯𝐸𝑅𝐮𝐷𝑅𝐯𝐹𝑅𝐯𝐺𝑅𝐯𝐻。
文獻中選取桿件 8 為地桿、桿件 4 為端效器，經分析後得兩運動模式為
{𝑇(𝐰)}{𝑅(𝐷, 𝐮)}及{𝑇(𝐰)}{𝑅(𝐸, 𝐯)}。以下將改設端效器於桿件 5 上，地桿仍為桿件 8，自地桿至端效器間之兩條運動鏈的運動分別為：
{𝐺1} = {𝑅(𝐴, 𝐮)}{𝑅(𝐵, 𝐮)}{𝑅(𝐶, 𝐮)}{𝑅(𝐸, 𝐯)}{𝑅(𝐷, 𝐮)}
{𝐺2} = {𝑅(𝐻, 𝐯)}{𝑅(𝐺, 𝐯)}{𝑅(𝐹, 𝐯)}
進入第一種運動模式時，𝑅𝐯𝐸為不動，此時端效器之運動可記作：
{𝐿(8,5)} = {𝑅(𝐴, 𝐮)}{𝑅(𝐵, 𝐮)}{𝑅(𝐶, 𝐮)}{𝐸}{𝑅(𝐷, 𝐮)}
{𝐿(8,5)} ==∩ {𝑅(𝐻, 𝐯)}{𝑅(𝐺, 𝐯)}{𝑅(𝐹, 𝐯)}
{𝐿(8,5)}
= {𝐺(𝐮)} ∩ {𝐺(𝐯)}{𝐿(8,5)}
= {𝑇(𝐰)}進入第二種運動模式時，𝑅𝐮𝐷為不動，此時端效器之運動可記作：
{𝐿(8,5)} = {𝑅(𝐴, 𝐮)}{𝑅(𝐵, 𝐮)}{𝑅(𝐶, 𝐮)}{𝑅(𝐸, 𝐯)}{𝐸}
{𝐿(8,5)} ==∩ {𝑅(𝐻, 𝐯)}{𝑅(𝐺, 𝐯)}{𝑅(𝐹, 𝐯)}
{𝐿(8,5)}
= {𝐺(𝐮)}{𝑅(𝐸, 𝐯)} ∩ {𝐺(𝐯)}{𝐿(8,5)}
= {𝑇(𝐰)}{𝑅(𝐸, 𝐯)}因此可得端效器具兩種運動模式，可寫成：{𝐿(8,5)} ⊇ {𝑇(𝐰)} ∪ {𝑇(𝐰)}{𝑅(𝐸, 𝐯)}。
文 獻 [22] 中 之 2 − 𝑃𝑃𝑃𝑅𝑅 不 連 續 可 動 機 構 ， 如 圖 3.4 所 示 ， 以 𝑃𝐱𝑃𝐲𝑃𝐳𝑅𝐱𝑁𝑅𝐲𝑁𝑅𝐱𝑁𝑅𝐲𝑁𝑃𝐳𝑃𝐱𝑃𝐲表示。
選取桿件 8 為地桿、桿件 4 為端效器，而自地桿至端效器間之兩條運動鏈的 運動分別為：
{𝐺1} = {𝑇(𝐱)}{𝑇(𝐲)}{𝑇(𝐳)}{𝑅(𝑁, 𝐱)}{𝑅(𝑁, 𝐲)}
{𝐺2} = {𝑇(𝐲)}{𝑇(𝐱)}{𝑇(𝐳)}{𝑅(𝑁, 𝐲)}{𝑅(𝑁, 𝐱)}
圖 3. 4 2 − 𝑃𝑃𝑃𝑅𝑅不連續可動機構 [22]
進入第一種運動模式時，兩個𝑅𝐲𝑁接頭為不動，此時端效器之運動可記作：
{𝐿(10,5)} = {𝑇(𝐱)}{𝑇(𝐲)}{𝑇(𝐳)}{𝑅(𝑁, 𝐱)}{𝐸}
{𝐿(10,5)} ==∩ {𝑇(𝐲)}{𝑇(𝐱)}{𝑇(𝐳)}{𝐸}{𝑅(𝑁, 𝐱)}
{𝐿(10,5)}
= {𝑋(𝐱)} ∩ {𝑋(𝐱)}{𝐿(10,5)}
= {𝑋(𝐱)}進入第二種運動模式時，兩個𝑅𝐱𝑁接頭為不動，此時端效器之運動可記作：
{𝐿(10,5)} = {𝑇(𝐱)}{𝑇(𝐲)}{𝑇(𝐳)}{𝐸}{𝑅(𝑁, 𝐲)}
{𝐿(10,5)} ==∩ {𝑇(𝐲)}{𝑇(𝐱)}{𝑇(𝐳)}{𝑅(𝑁, 𝐲)}{𝐸}
{𝐿(10,5)}
= {𝑋(𝐲)} ∩ {𝑋(𝐲)}{𝐿(10,5)}
= {𝑋(𝐲)}因此可得端效器具兩種運動模式，可寫成：{𝐿(10,5)} ⊇ {𝑋(𝐱)} ∪ {𝑋(𝐲)}。